對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)課件

1、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)第四節(jié)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì) 二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分 第十章 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)0 0、引言：、引言： 前面我們?cè)玫谝恍停▽?duì)弧長(zhǎng)）的曲線前面我們?cè)玫谝恍停▽?duì)弧長(zhǎng)）的曲線積分來表示質(zhì)量非均勻分布的曲線形物積分來表示質(zhì)量非均勻分布的曲線形物件的質(zhì)量，用類似的方法可以表示質(zhì)量件的質(zhì)量，用類似的方法可以表示質(zhì)量非均勻分布的曲面殼的質(zhì)量。非均勻分布的曲面殼的質(zhì)量。對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)oxyz一、對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)一、對(duì)

2、面積的曲面積分的概念與性質(zhì)引例引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度),(zyx類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求質(zhì) “大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者). 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)類似的象求溫度非均勻分布的曲面類似的象求溫度非均勻分布的曲面 上的熱量、電荷非均勻分布的曲面上的熱量、電荷非均勻分布的曲面殼上的電量等問題，也會(huì)遇到上述殼上的電量等問題，也會(huì)遇到上述類型的和式極限，因此，有必要研類型的和式極限

3、，因此，有必要研究這一類型的和式極限，為此，我究這一類型的和式極限，為此，我們引入對(duì)面積的曲面積分的概念。們引入對(duì)面積的曲面積分的概念。對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)SzyxMd),(定義定義: 設(shè) 為光滑曲面,“乘積和式極限” kkkkSf),(nk 10lim都存在,的曲面積分Szyxfd),(其中 f (x, y, z) 叫做被積據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為SSdf (x, y, z) 是定義在 上的一 個(gè)有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對(duì) 做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn), 則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 上對(duì)面積函數(shù), 叫做積分曲面.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

4、返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)則對(duì)面積的曲面積分存在. 對(duì)積分域的可加性.,21則有Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 線性性質(zhì).則為常數(shù)設(shè),21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上連續(xù), 對(duì)面積的曲面積分與對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分性質(zhì)類似. 積分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成兩片光滑曲面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)oxyz定理定理: 設(shè)有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上連續(xù),存在, 且有Szyxfd),(

5、yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法二、對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算法 則曲面積分證明證明: 由定義知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(2

6、2),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而(光滑)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)說明說明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有類似的公式.1) 如果曲面方程為2) 若曲面為參數(shù)方程, 只要求出在參數(shù)意義下dS 的表達(dá)式 , 也可將對(duì)面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對(duì)參數(shù)的二重積分. (見本節(jié)后面的例4, 例5) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)yxD例例1. 計(jì)算曲面積分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的頂部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:22

7、22222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下兩部分,) (dzS) (dzS0hln4aa則hhoxzy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)例例2. 計(jì)算,dSzyx其中 是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面. ozyx111解解: 設(shè)上的部分, 則4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(

8、xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx與, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分別表示 在平面 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)xozy例例3. 設(shè)2222:azyx),(zyxf計(jì)算.d),(SzyxfI解解: 錐面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1設(shè),),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分, 它在 xoy 面上的投影域?yàn)?yxD則 1d)(22SyxI機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念

9、與性質(zhì)1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考: 若例3 中被積函數(shù)改為),(zyxf,22yx ，022yxz當(dāng)22yxz當(dāng)計(jì)算結(jié)果如何 ? 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)例例4. 求半徑為R 的均勻半球殼 的重心.解解: 設(shè) 的方程為yxDyxyxRz),( ,222利用對(duì)稱性可知重心的坐標(biāo),0 yx而 z 223RRR用球坐標(biāo)cosRz ddsind2RS SdSzd20032dcossindR2002dsindR思考題思考題: 例 3 是否可用球面坐標(biāo)計(jì)算

10、 ?例3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)例例5. 計(jì)算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐標(biāo)系, 則,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)例例6. 計(jì)算,d)(22SyxI其中 是球面22yx 利用對(duì)稱性可知SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: 顯然球心為, ) 1 , 1 , 1 (半徑為3x利用重心公式SxdSd).(22zyx

11、z機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)zzd例例7. 計(jì)算,d222zyxSI其中 是介于平面之間的圓柱面.222Ryx分析分析: 若將曲面分為前后(或左右)zRSd2d則HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解解: 取曲面面積元素兩片, 則計(jì)算較繁. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)oyxzL例例8. 求橢圓柱面19522yx位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 的側(cè)面積 S . 解解: )0(sin3,cos5:ttytxL取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zs

12、zSddttttdcos9sin5sin3220syLd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)例例9. 設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星, 距地面高度 h = 36000 km,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同, 試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比. (地球半徑 R = 6400 km )解解: yzxohRR建立坐標(biāo)系如圖, 覆蓋曲面 的半頂角為 , 利用球坐標(biāo)系, 則ddsind2RS 衛(wèi)星覆蓋面積為SAd0202ddsinR)cos1 (22RhRRcoshRhR22對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回

13、 結(jié)束 故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為24 RA)(2hRh6610)4 . 636(21036%5 .40由以上結(jié)果可知, 衛(wèi)星覆蓋了地球 31以上的面積, 故使用三顆相隔32角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面. 說明說明: 此題也可用二重積分求 A (見下冊(cè)P109 例2) . yzxohRR對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 計(jì)算: 設(shè),),( , ),(:yxDyxyxzz則Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他兩種情況類似) 注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐

14、標(biāo)、對(duì)稱性、重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算的技巧. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)思考與練習(xí)思考與練習(xí)P190 題1；3；4(1) ; 7 解答提示解答提示:P190 題1.SzyxzyIxd),()(22P191 題3. ,),( ,0:yxDyxzyxDyxyxfSzyxfdd),(d),(設(shè)則0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)P191 題4(1).oyxz2 在 xoy 面上的投影域?yàn)?:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(4122yxDSyxyxSdd)(41d22rrrd41d20220313這是 的面積 !2

15、xyD)(2:22yxz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)P191 題7. 如圖所示, 有yxyxyxSzyxDdd1)(21d2222rrrd1d21202320354tttd) 1(302221rt令o21yxDzyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)典型 題2. 設(shè)),0(:2222zazyx在第為1一卦限中的部分, 則有( ).;d4d)(1SxSxA;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzC.d4d)(1SzyxSzyxDC( 2000 考研 )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)作業(yè) P190 4(1)(3); 5(2); 6(1), (2); 7 第五節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)備用題備用題 1. 已知曲面殼)(322yxz,22zyx求此曲面殼在平面 z1以上部分 的的面密度質(zhì)量 M . 解解: 在 xoy 面上的投影為 ,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(4132213機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)面積的曲面積分的概念與性質(zhì)2. 設(shè) 是四面體的表0,0,0,