華東交通大學(xué) B 蔡漢林孫燕青 段亞光

1、 太陽能小屋的設(shè)計摘要世界能源危機和環(huán)境污染使得開發(fā)利用可再生能源和各種綠色能源以實現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展成為人類必須采取的措施。近年來，太陽能光伏發(fā)電技術(shù)和產(chǎn)業(yè)得到了長足的發(fā)展，太陽能光伏發(fā)電不僅是當(dāng)今能源的一個重要補充，更具備成為未來主要能源之一的潛力,因此研究光伏電池在小屋外表面的優(yōu)化鋪設(shè)問題具有重大而深遠的意義，本文就此問題進行了較詳盡的分析，希望能為政府和企業(yè)制定決策提供些許幫助在建立模型之前，我們先對必要數(shù)據(jù)用綜合加權(quán)的方法進行了處理。針對問題一，要求我們給出小屋部分外表粘附式的鋪設(shè)方案，并選出逆變器的容量和數(shù)量。首先我們通過自己定義的“效率”在每種類型的電池組件中找出了3種最優(yōu)的產(chǎn)品型號為

2、：A3，B3和C7；然后通過優(yōu)化選出了最優(yōu)的組合：A3和C7，然后我們分析得到傾斜面上的光輻射強度計算公式；最后利用類背包法找出了每面墻上的使用的電池組件種類和數(shù)量（鋪設(shè)方式在正文中有圖示）東向墻南向墻西向墻北向墻屋頂南向墻屋頂北向墻A3156170486C726842704353最后我們算出了當(dāng)年總發(fā)電量為23928168.54w 單位發(fā)電量費用為14.0147291元/kw，投資回報年限大約為33.88年。針對問題二，考慮到問題的復(fù)雜性我們查找了資料上關(guān)于求解固定式太陽能光伏板最佳傾角問題，對此我們得到了電池組件的傾斜角，然后根據(jù)第一問的求解思路得到了該種方式下的當(dāng)年總發(fā)電量= 87144

3、8490.3 w ，單位發(fā)電量費用=0.013.19886元/w ；投資回報年限大概為28.6年，明顯說明了這種太陽板安裝方式較上一問有所提高。針對問題三，要求我們重新設(shè)計一個小屋，對此我們將根據(jù)第二問中太陽能電池板的外形建造房屋，然后根據(jù)房屋的建造要求，畫出房屋的外形圖（有圖示）。關(guān)鍵詞: 太陽能小屋,太陽能電池組件，綜合加權(quán)，多目標(biāo)線性規(guī)劃問題，矩形件排樣20一、問題重述我們在設(shè)計太陽能小屋時，需在建筑物外表面（屋頂及外墻）鋪設(shè)光伏電池，其中鋪設(shè)方式有粘附墻壁和架空等方式，光伏電池組件所產(chǎn)生的直流電需要經(jīng)過逆變器轉(zhuǎn)換成220V交流電才能供家庭使用，并將剩余電量輸入電網(wǎng)。不同種類的光伏電池每

4、峰瓦的價格差別很大，且每峰瓦的實際發(fā)電效率或發(fā)電量還受諸多因素的影響，如太陽輻射強度、光線入射角、環(huán)境、建筑物所處的地理緯度、地區(qū)的氣候與氣象條件、安裝部位及方式（貼附或架空）等。因此，在太陽能小屋的設(shè)計中，研究光伏電池在小屋外表面的優(yōu)化鋪設(shè)是很重要的問題。根據(jù)附件1-7提供了相關(guān)信息。對下列三個問題，分別給出小屋外表面光伏電池的鋪設(shè)方案，使小屋的全年太陽能光伏發(fā)電總量盡可能大，而單位發(fā)電量的費用盡可能小，并計算出小屋光伏電池35年壽命期內(nèi)的發(fā)電總量、經(jīng)濟效益（當(dāng)前民用電價按0.5元/kWh計算）及投資的回收年限。在求解每個問題時，都要求配有圖示，給出小屋各外表面電池組件鋪設(shè)分組陣列圖形及組件

5、連接方式（串、并聯(lián)）示意圖，也要給出電池組件分組陣列容量及選配逆變器規(guī)格列表。在同一表面采用兩種或兩種以上類型的光伏電池組件時，同一型號的電池板可串聯(lián)，而不同型號的電池板不可串聯(lián)。在不同表面上，即使是相同型號的電池也不能進行串、并聯(lián)連接。應(yīng)注意分組連接方式及逆變器的選配。問題1：請根據(jù)大同市的近一年的氣象數(shù)據(jù)，僅考慮貼附安裝方式，選定光伏電池組件，對題目附件小屋的部分外表面進行鋪設(shè)，并根據(jù)電池組件分組數(shù)量和容量，選配相應(yīng)的逆變器的容量和數(shù)量。問題2：電池板的朝向與傾角均會影響到光伏電池的工作效率，選擇架空方式安裝光伏電池，重新考慮問題1。問題3：根據(jù)附件7給出的小屋建筑要求，請為大同市重新設(shè)計

6、一個小屋，要求畫出小屋的外形圖，并對所設(shè)計小屋的外表面優(yōu)化鋪設(shè)光伏電池，給出鋪設(shè)及分組連接方式，選配逆變器，計算相應(yīng)結(jié)果。 二、 問題分析這是一個關(guān)于太陽能中電池板的選定以及鋪設(shè)的問題，我們可以將這個問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型中多目標(biāo)線性規(guī)劃問題，聯(lián)系到實際電池組件的鋪設(shè)及選材過程中，我們會發(fā)現(xiàn)在不完整的外墻上（含窗戶和門）鋪設(shè)電池板是一個NP問題，再加上鋪設(shè)的電池板還要考慮價格和其內(nèi)在的串并聯(lián)關(guān)系，使得這個NP問題更加困難。因此我們必須從另外的角度化解這個問題。 對于問題（1），要求我們給出小屋部分外表粘附式的鋪設(shè)方案，并選出逆變器的容量和數(shù)量。首先我們我們必須找出斜平面的光輻射強度的計算公式；然后

7、問題的關(guān)鍵是怎樣去鋪設(shè)電池板，對此首先我們將定義一個電池板的“效率”，通過這個我們可以找到同種類型的中最優(yōu)的電池板，然后通過矩形件排樣算法得到單個面上的電池組件的使用數(shù)量和種類，最后通過目標(biāo)函數(shù)就可以分別得出發(fā)電總量、單位發(fā)電量費用以及投資回報年限。 對于問題（2），要求我們選擇架空方式安裝光伏電池，對此問題很顯然我們首先要找到太陽電池板的傾斜角度，而這個角度跟大同的地理位置、太陽高度角、以及時角等等都是有關(guān)系的，為了避免問題的復(fù)雜性我們只考慮改變電池板的方位角，以及只考慮固定的電池板支架。得到傾斜角度時，再根據(jù)的第一問思想就可以算出所有問題。 對于問題（3），要求我們重新設(shè)計一個小屋，對此我

8、們將根據(jù)第二問中太陽能電池板的外形建造房屋，然后根據(jù)房屋的建造要求，畫出房屋的外形圖。三、模型假設(shè) 1、在問題一貼附安裝方式中，我們認為太陽板電池組件在同一個墻面上任何距離、任何方向都能連接、且不考慮該項連接費用。2、在以后的年份中太陽輻射強度總體上不會發(fā)生很大的改變（即其后的年份氣候保持較穩(wěn)定狀態(tài)）3、針對研究的問題中，所給的數(shù)據(jù)（所有器件的價格、規(guī)格）短時間內(nèi)不會發(fā)生物價改變。4、資料上查找的數(shù)據(jù)及計算公式公式具有較高準(zhǔn)確性；5、太陽能小屋安裝費用及建成后的維修費用假設(shè)可以忽略；6、在考慮斜面上的光輻射強度是我們都可以不用考慮地面的發(fā)射光強。四、符號說明全年太陽能光伏發(fā)電總量；單位發(fā)電量的

9、費用；：代表每個墻面上年輻射強度；：鋪設(shè)電池板的面積；：第種類型第種產(chǎn)品電池組件的轉(zhuǎn)換率；：第種類型第種產(chǎn)品電池組件的單價； ：太陽能電池組件的數(shù)量：第種型號的逆變器的逆變效率；：第種型號的逆變器的單價；：太陽能電池組件的數(shù)量：第種類型第種產(chǎn)品電池組件的費用；：光輻射時間：為太陽方位角，；：為太陽高度角，：為坡度（在本文中指屋頂面的傾斜角度）；：赤緯角；：時角；：為當(dāng)?shù)氐木暥?。五、模型建立與求解首先，我們采用類背包模型延伸出來的矩形件排樣方法處理電池組件的排版，采用原因：背包問題(Knapsack problem)1是一種組合優(yōu)化的NP完全問題。問題可以描述為：給定一組物品，每種物品都有自己的

10、重量和價格，在限定的總重量內(nèi)，我們?nèi)绾芜x擇，才能使得物品的總價格最高。也可以將背包問題描述為決定性問題，即在總重量不超過W的前提下，總價值是否能達到V，而由其引申出來的矩形件排樣問題是對一定面積下如何使不同形狀的工藝矩形件進行最優(yōu)的組合排版。1、 引入類背包模型矩形件排樣設(shè)任一部分墻面的長為，寬為 ，所有要排的矩形 件共有種，第種矩形件的個數(shù)為 ，長度為 ，寬度為，則全部要排的矩形件總數(shù)為 1）、板寬條料的產(chǎn)生 ：首先對給定的，計算該式的非負最小值 ： （1）并對于當(dāng)前所有未排的矩形件計算 ：，這里，若則在式(1)中選擇小的一個，并決定產(chǎn)生一個條料。 這時令而對于那些 的矩形件，則直接產(chǎn)生個寬

11、度為長度，的條料，其中 這里，為除以 的余數(shù)，第個條料 的長度為，并且令 ； 2） 條料的補充方案一 從以上產(chǎn)生條料的方案中可以看出，當(dāng)?shù)谝环N情況的兩個條件都不滿足時，當(dāng)?shù)诙N情況的不滿足時，就可能在矩形中排放其他未排的矩形件，因此有 必要對以上產(chǎn)生條料的方案進行補充 補充方案一是對上面相應(yīng)矩形，接板材的橫 向試探是否能產(chǎn)生若干個長度接近或的條 料，如果能產(chǎn)生這樣的若干個條料，并且所有條料之和大于等于， 這時采用背包算法，按板材的橫向方向用這些條 料補充先產(chǎn)生的條料。3）、條料的補充方案二 補充方案二是在補充方案一條件不滿足的條件下。先將已產(chǎn)生的條料全部補充到原始條料中去然后繼續(xù)填充空白部分直

12、至不可再填充或不再有剩下的矩形件為止。在全部的矩形件都被排放到某個條料中之后， 就采用背包算法，以所有條料的寬度基礎(chǔ)，接板材長度L方向，排放這些條料。由此看出，在以上算法中有兩處采用了背包算法。并且是將二維排樣 轉(zhuǎn)化為一維下料問題，從而利用背包算法的。4）、背包問題這是個0-1規(guī)劃問題，設(shè)為個給定寬度的條料，為給定的長度，目的是合理地組合這些h ，使得所用長為的板材的數(shù)量最少。因此其數(shù)學(xué)模型為： (1)2、 模型的建立和求解根據(jù)題目要求我們可以建立太陽能電池的鋪設(shè)方案決策函數(shù)：a、總發(fā)電總量大：輻射強度*電池板面積*電池板系數(shù)（轉(zhuǎn)換系數(shù)）*逆變器轉(zhuǎn)換系數(shù)*時間b、單位發(fā)電量費用最小：（太陽能電

13、池價格*數(shù)量+逆變器價格*數(shù)量）/總發(fā)電量約束條件：（1）、太陽能電池板的類型約束：效率=轉(zhuǎn)換率*面積/費用（2）、太陽能電池板數(shù)量，可根據(jù)上面矩形件排樣模型思想進行太陽能的組件的選擇及安裝,即按照模型(1)進行選擇鋪設(shè)方式，從而選擇出電池組件的（3)、太陽能電池板的并串聯(lián)約束：并聯(lián)的光伏組件端電壓相差不超過10% （4）、逆變器的兩點約束：最小電壓和額定功率：電池板的輸出電壓不大于逆變器的額定電壓： 電池板的輸出功率不大于逆變器的額定功率：2.1 斜平面的光照輻射強度計算1. 變量說明：為太陽方位角， 為太陽高度角，為坡度（在本文中指屋 頂面的傾斜角度），赤緯角，時角，為當(dāng)?shù)氐木暥取?. 其

14、中：1）、太陽直射緯度，其計算公式近似為 (2)其中為日期序號，例如，1月1日為，3月22日為。 2）、 太陽高度角可以使用下面的算式，經(jīng)由計算得到很好的近似值： 3）、時角的計算公式為 (1)其中為太陽時（單位：小時）。4）、方位角計算公式： (5) 在計算之前我們先建立一個空間直角坐標(biāo)系，以正東方向為x軸正軸方向，以正北方向為y軸正軸方向，以正上方向為z軸正軸方向，則我們可以得到光直射單位法向量：朝南向的屋頂面的法向量為： 經(jīng)資料查詢和推算： 斜面上的光照強度= *法向直射輻射強度+水平面散射輻射強度* 2.2 電池組件的選定考慮到上面引入的模型可選的電池組件種類太多，但是相同類型的電池的

15、尺寸、功率、電壓甚至轉(zhuǎn)換效率都是相差不大的，因此為了簡化模型我們采用了先在同種型號的電池中挑選效率最高的產(chǎn)品型號， 表一型號組件功率長寬費用/mm2轉(zhuǎn)換率 費用/轉(zhuǎn)換率*mm2A121515808080.00250916.84%0.0149A232519569910.00249816.64%0.01501A320015808080.00233418.70%0.01248A427016519920.00245616.50%0.01489A524516509910.00223314.98%0.0149A629519569910.00226815.11%0.01501B126516509910.00

16、202616.21%0.0125B232019569910.00206416.39%0.01259B321014829920.00178615.98%0.01117B424016409920.00184414.80%0.01246B528019569920.00180415.98%0.01129B629519569920.001915.20%0.0125B7250166810000.00187414.99%0.0125C1100130011000.0003366.99%0.0048C25813217110.0002966.17%0.0048C3100141411140.0003056.35%0

17、.0048C490140011000.0002815.84%0.0048C5100140011000.0003126.49%0.0048C643103550.0001743.63%0.00481C746151800.0001733.63%0.00478C886153550.0001763.66%0.00481C9129203550.0001763.66%0.00482C10128183550.0001984.13%0.0048C115016457120.0002054.27%0.0048要使得全年太陽能光伏發(fā)電總量盡可能大，而單位發(fā)電量的費用盡可能小，我們有公式：效率=轉(zhuǎn)換率*面積/費用由上表

18、我們可以得出效率最高的電池板分別是：A3、B3、C7。2.3 對數(shù)據(jù)的綜合加權(quán)的初步分析結(jié)果根據(jù)附件4_山西大同典型氣象年逐時參數(shù)及北方向輻射強度方向輻射強度做出如下圖 圖一由圖分析我們發(fā)現(xiàn)幾乎大部分時間北向墻輻射強度方向輻射強度都低于單晶硅和多晶硅電池啟動發(fā)電的表面總輻射量80W/m2 ，卻基本上高于薄膜電池表面總輻射量30W/m2，因此在北向貼太陽能電池板時我們只使用C種薄膜電池組件。（一）、針對問題一實際安裝太陽板時，如果我們理論上采用了多種尺寸的電池板，那么我們即使知道各種電池板的數(shù)量，在實際中組合安裝時也是很復(fù)雜的一件事，因此我們只選擇一塊尺寸稍大的和一塊尺寸稍小的電池板進行組合安裝

19、，這樣根據(jù)上面最高效率的電池板分成兩組：第一組：A3、C7；第二組;B3、C7。就東向墻上的鋪設(shè)情況如下： 表二塊數(shù)所選逆變器 總發(fā)電量單位發(fā)電量費用A3、C7組A3需15塊、C7需26塊SN6171707634.94732B3、C7組B3需12塊、C7需10塊SN8134637744.79219 由上表明顯可知A3、C7組明顯更優(yōu)，因此我們在鋪設(shè)其他墻面時也都是選用該電池組件組合，由矩形件排樣方法可得出每一面墻上的所需電池板快數(shù)： 表三： 各墻上所需電池板的塊數(shù)（單位：塊）東向墻南向墻西向墻北向墻屋頂南向墻屋頂北向墻A3156170486C72684272074353然后根據(jù)光照輻射強度計算

20、公式，可計算如下表 表四電池南向屋頂東西北北向屋頂南總計數(shù)單價總費用A348151766922980274160C7432627207538444019.28448逆變器SN41169006900SN61121500030000SN12112690013800SN17114375043750發(fā)電量2096140.8571717075.952958344190143.815659252149735624118312.34 年總發(fā)電量= 24118312.34 （w） ； 總費用=377058 （元）；單位發(fā)電量費用=0.0156336809427023元/w ；表五年盈利1-10年10-25年前

21、25年剩余年數(shù)回收年限12059.16120591.5617162798.6083283390.179.60173214834.60173215投資回收回收年限大概為34.6年模型優(yōu)化： 考慮到北向墻發(fā)電效率很低，而且費用很高因此我們也給出了北向墻不貼電池組件的情況：當(dāng)年總發(fā)電量為23928168.54w 單位發(fā)電量費用為14.0147291元/kw，表六年盈利1-10年10-25年前25年剩余年數(shù)回收年限11964.08119640.8161515.12811568.883632233.88363因此投資回收回收年限大概為33.88年。圖二：南向墻電池板粘附方式圖三：東向墻電池板粘附方式圖四

22、：西向墻電池板粘附方式圖五：頂層朝北電池板粘附方式圖六：頂層朝喃電池板粘附方式（二）、針對問題二利用架空（固定，不隨光照而移動）方式安裝光伏電池，因此本問主要是要找到固定式太陽能光伏板最佳傾角，同時我們也只是考慮樓頂層電池板的角度問題，對于四周墻的電池板的傾角初步進行數(shù)據(jù)分析我們認為,對增加總發(fā)電量影響不大。 2.1 尋找傾角的算法 傾斜放置的太陽能光伏板的朝向可分為朝向赤道和任意方向兩種，在相同傾角的情況下，前者斜面接收的輻射能要大于后者，本文只討論前一種情況4 某一時刻，傾斜放置的太陽能光伏板上接收的總輻射能，主要由直接輻射、散射輻射（）兩部分部分組成： 上式中，電池板上太陽瞬時直接輻射能

23、：電池板上瞬時太陽散射輻射：1天內(nèi)，電池板表面接收的總輻射能：式中：為日直接輻射能：1年內(nèi)，電池板表面接收的總輻射能：最佳傾角設(shè)計 在理論上，給定地理緯度、地形高度等參數(shù)以后，傾角為的太陽能光伏板表面年內(nèi)接收的總輻射是一個關(guān)于變量 的函數(shù)關(guān)于變量求導(dǎo)并取值為0，即求解上面的方程，即可得到年最佳傾角。由此我國地區(qū)一般傾角的選擇如下表所示。城市所在緯度最佳傾角鄭州34.72+7濟南36.68+6北京39.80+4上海31.17+3南京32.00+5成都30.67+2西安34.30+7沈陽41.77+1長春43.90+1哈爾濱45.68+3天津39.10+5烏魯木齊43.78+12呼和浩特40.78

24、+2蘭州36.05+8銀川38.48+2合肥31.85+9南昌28.67+2武漢30.63+7長沙28.20+6廣州23.13-7貴陽26.58+8昆明25.02-8拉薩29.70-8 根據(jù)上表以及我們所考察的山西大同的緯度（即北緯40.1），不難得出本課題所需要安裝的太陽能電池的最佳傾角應(yīng)為：+2據(jù)查資料可得：=42根據(jù)第一問的算法模型同理我們可以得出表七電池南向屋頂東西北北向屋頂南總計數(shù)單價總費用A3615170486922980274160C74816270206838619.27411.2逆變器SN41169006900SN61121500030000SN121169006900SN1

25、7114375043750總發(fā)電量2791310.5021717075.952958343.81718700946149735627665031.44年總發(fā)電量= 27665031.44 （w*h） ； 總費用= 365607.6 （元）；單位發(fā)電量費用= 13.21551元/ w*h ；35年總發(fā)電量= 871448.4903 （w*h）；表八年盈利1-10年10-25年前25年剩余年數(shù)回收年限35年發(fā)電量(kw*h)13832.52138325.2186739325064.13.66378428.66378871448.4903由上表可知：投資回報年限為28.66年。（3）、針對問題三，由

26、第二問中樓頂層中太陽板的傾斜角度我們通過建立外表與其相似的小屋模型，然后通過在其表面粘附太陽能電池板，這樣的既可以保證在相對情況下使其發(fā)電量達到最高。首先我們根據(jù)房屋的建設(shè)要求建立數(shù)學(xué)模型如下：為第面的面積；為第面單位面積發(fā)電量決策函數(shù)：約束函數(shù)： ； 然后根據(jù)開窗面積與房間地板面積的比值以及開窗面積與所在朝向墻面積的比值就能算出窗戶的面積，從而得出了太陽能小屋的建造。 六、模型的改進與推廣1. 關(guān)于問題一的模型貼附安裝方式時沒有考慮到更一般的選材和組合排樣，我們只是把模型優(yōu)化為只采用兩種最優(yōu)效率的組合進行排樣，雖然喪失了一些精確度，但是這樣建模其實更符合實際應(yīng)用，相于其它極其繁瑣的模型而言，

27、還是利大于弊的2. 關(guān)于問題二模型的改進，本模型只是采用了固定式支架安裝太陽能電池板，其實在現(xiàn)實生活中已經(jīng)出現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)式的支架即有相應(yīng)的向日跟蹤裝置，對此我們可以再根據(jù)太陽的線速度等等數(shù)據(jù)設(shè)計好太陽板的旋轉(zhuǎn)速度，這樣建模的明顯會增加光照輻射強度。3. 同樣對于問題二，我們只是考慮了在樓頂要注意電池板的傾角問題，而沒有對四周墻的傾斜角進行分析，這樣確實構(gòu)成了本模型的扣分點。4. 關(guān)于問題三，該問題還是在傳統(tǒng)的屋型結(jié)構(gòu)下進行改良，從而得到了一個較優(yōu)的太陽能小屋，但通過查找資料，在實際生活中大多數(shù)優(yōu)良太陽能小屋都是奇型怪異的，因此此模型有待改進。5.本模型還是比較合理的，相比其它同類模型而言，本模型立意新穎，結(jié)構(gòu)簡單，易于理解，同時具有很強的操作性，值得政府部門及企業(yè)參考。4、從提高準(zhǔn)確性的角度考慮，還可以編寫程序?qū)δＰ瓦M行仿真研究，這樣的話會使得數(shù)據(jù)更加可信。七、參考文獻1數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用. 高等教育出版社，解放軍信息工程學(xué)院 韓中庚 編著2姜啟源、謝金星、葉俊.數(shù)學(xué)模型.高等教育出版社，2005年第8次印刷3工程數(shù)學(xué)學(xué)報 工程數(shù)學(xué)學(xué)報編輯委員會 參考了若干本4 （杭州電子科技大學(xué)機電工程研究所，浙江杭州 ）韓斐，潘玉良，蘇忠賢附件： 問題一結(jié)果圖表: 北全C7總發(fā)電量年盈利2096140.861717075.952958343.817190143.815659252.3814