金融工程9-維納過程與伊藤引理2011

1、Dr. Fan1第第12章章 維納過程和伊藤引理維納過程和伊藤引理范范 閩閩金融工程研究中心金融工程研究中心Dr. Fan2 教學(xué)目的與要求 掌握隨機(jī)變量的概念，了解馬爾科夫過程的特點(diǎn)，掌握隨機(jī)變量的概念，了解馬爾科夫過程的特點(diǎn)，掌握維納過程的特點(diǎn)和性質(zhì)，掌握一般維納過程掌握維納過程的特點(diǎn)和性質(zhì)，掌握一般維納過程的特征以及其漂移率和方差率，維納過程的均值的特征以及其漂移率和方差率，維納過程的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。掌握和標(biāo)準(zhǔn)差。掌握Ito過程的特征。過程的特征。 Dr. Fan3 教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn) 一、馬爾科夫過程與效率市場的關(guān)系。一、馬爾科夫過程與效率市場的關(guān)系。 二、維納過程、一般維納過程與此同時二、

2、維納過程、一般維納過程與此同時Ito過程的過程的特征，漂移率和方差率，變量的均值與方差。以特征，漂移率和方差率，變量的均值與方差。以及這幾種過程的內(nèi)在聯(lián)系和變化。及這幾種過程的內(nèi)在聯(lián)系和變化。 三、三、Ito定理及其運(yùn)用。定理及其運(yùn)用。 Dr. Fan4期權(quán)的估值期權(quán)的估值 歐式期權(quán)的到期收益歐式期權(quán)的到期收益 Max (STX, 0) ST不確定，所以期權(quán)到期的收益也不確定。不確定，所以期權(quán)到期的收益也不確定。 期權(quán)當(dāng)期的價值？期權(quán)當(dāng)期的價值？ 風(fēng)險中性估值風(fēng)險中性估值 期權(quán)當(dāng)期的價值未來收益折現(xiàn)后的期望值期權(quán)當(dāng)期的價值未來收益折現(xiàn)后的期望值 cE Max (STX, 0) 問題問題 ST的

3、分布是怎樣的？的分布是怎樣的？ 只有確定只有確定ST的分布才能確定的分布才能確定c的價值的價值Dr. Fan512.1 弱式效率市場假說與馬爾可夫過程弱式效率市場假說與馬爾可夫過程 效率市場假說效率市場假說 1965年，法瑪年，法瑪(Fama)提出了著名的效率市場假說。該假說認(rèn)為：提出了著名的效率市場假說。該假說認(rèn)為： 投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬；投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬； 證券價格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價格能完證券價格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價格能完全反應(yīng)全部信息；全反應(yīng)全部信息； 市場競爭使證券價格從一個均衡水平過渡到另一

4、個均衡水平，而市場競爭使證券價格從一個均衡水平過渡到另一個均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價格變動是相互獨(dú)立的。與新信息相應(yīng)的價格變動是相互獨(dú)立的。 效率市場分類效率市場分類 效率市場假說可分為三類：弱式、半強(qiáng)式和強(qiáng)式。效率市場假說可分為三類：弱式、半強(qiáng)式和強(qiáng)式。 弱式效率市場假說認(rèn)為，證券價格變動的歷史不包含任何對預(yù)測弱式效率市場假說認(rèn)為，證券價格變動的歷史不包含任何對預(yù)測證券價格未來變動有用的信息，也就是說不能通過技術(shù)分析獲得證券價格未來變動有用的信息，也就是說不能通過技術(shù)分析獲得超過平均收益率的收益。超過平均收益率的收益。Dr. Fan6 半強(qiáng)式效率市場假說認(rèn)為，證券價格會迅速、準(zhǔn)半強(qiáng)式效率市

5、場假說認(rèn)為，證券價格會迅速、準(zhǔn)確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調(diào)整，因此以往確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調(diào)整，因此以往的價格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本的價格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選價格被高估或低估的證券。面信息都無助于挑選價格被高估或低估的證券。 強(qiáng)式效率市場假說認(rèn)為，不僅是已公布的信息，強(qiáng)式效率市場假說認(rèn)為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價中，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價中，因此任何信息因此任何信息(包括包括“內(nèi)幕信息內(nèi)幕信息”)對挑選證券都沒對挑選證券都沒有用處。有用處。 效率市場假說提出后，許多學(xué)者運(yùn)用各種數(shù)據(jù)對效率

6、市場假說提出后，許多學(xué)者運(yùn)用各種數(shù)據(jù)對此進(jìn)行了實(shí)證分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，發(fā)達(dá)國家的證券此進(jìn)行了實(shí)證分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，發(fā)達(dá)國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。市場大體符合弱式效率市場假說。Dr. Fan7 馬爾可夫過程馬爾可夫過程 弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機(jī)過程弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機(jī)過程(Markov Stochastic Process)來表述。來表述。 馬爾科夫過程馬爾科夫過程(Markov process)是一種特殊類型的隨機(jī)過程。是一種特殊類型的隨機(jī)過程。 未來的預(yù)測只與變量的當(dāng)前值有關(guān)，與變量過去的歷史和變量從未來的預(yù)測只與變量的當(dāng)前值有關(guān)，與變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)

7、在的演變方式不相關(guān)。過去到現(xiàn)在的演變方式不相關(guān)。 股價的馬爾科夫性質(zhì)與弱型市場有效性股價的馬爾科夫性質(zhì)與弱型市場有效性(the weak form of market efficiency)相一致：相一致： 一種股票的現(xiàn)價已經(jīng)包含了所有信息，當(dāng)然包括了所有過去的價一種股票的現(xiàn)價已經(jīng)包含了所有信息，當(dāng)然包括了所有過去的價格記錄。格記錄。 如果弱型市場有效性正確的話，技術(shù)分析師可通過分析股價的過如果弱型市場有效性正確的話，技術(shù)分析師可通過分析股價的過去歷史數(shù)據(jù)圖表獲得高于平均收益率的收益是不可能的。去歷史數(shù)據(jù)圖表獲得高于平均收益率的收益是不可能的。 是市場競爭保證了弱型市場有效性成立。是市場競爭保

8、證了弱型市場有效性成立。 Dr. Fan812.2 維納過程維納過程（ Wiener Process ） 布朗運(yùn)動起源于物理學(xué)中對完全浸沒于液體或氣布朗運(yùn)動起源于物理學(xué)中對完全浸沒于液體或氣體中的小粒子運(yùn)動的描述，以發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象的英體中的小粒子運(yùn)動的描述，以發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象的英國植物學(xué)家國植物學(xué)家Robert Brown命名。命名。 描述布朗運(yùn)動的隨機(jī)過程的定義是維納描述布朗運(yùn)動的隨機(jī)過程的定義是維納(wiener)給給出的，因此布朗運(yùn)動又稱維納過程出的，因此布朗運(yùn)動又稱維納過程 股價行為模型通常用布朗運(yùn)動來描述。股價行為模型通常用布朗運(yùn)動來描述。 布朗運(yùn)動是馬爾科夫隨機(jī)過程的一種特殊形式。布朗運(yùn)

9、動是馬爾科夫隨機(jī)過程的一種特殊形式。Dr. Fan9維納過程（維納過程（ Wiener Process ） 維納過程（維納過程（Wiener Process） 性質(zhì)一：股票價格的變動是一個正態(tài)變量與時間的乘積性質(zhì)一：股票價格的變動是一個正態(tài)變量與時間的乘積 （服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布） 性質(zhì)二：任意兩個不重疊時段的股票價格變動相互獨(dú)立性質(zhì)二：任意兩個不重疊時段的股票價格變動相互獨(dú)立 從性質(zhì)一，我們知道從性質(zhì)一，我們知道z服從正態(tài)分布，性質(zhì)服從正態(tài)分布，性質(zhì)2則隱含則隱含z遵循馬爾科夫過程。遵循馬爾科夫過程。 維納過程維納過程/布朗運(yùn)動的特征布朗運(yùn)動的特征 股票價格在任意時段變動的均值

10、都為股票價格在任意時段變動的均值都為0。 股票價格在某一時段變動的方差等于時間的長度股票價格在某一時段變動的方差等于時間的長度tz0),(21zzCorrDr. Fan10程序：維納過程的模擬程序：維納過程的模擬 % 假設(shè)初始點(diǎn)為假設(shè)初始點(diǎn)為0，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)300個，這樣將個，這樣將1個單個單位時間等分為位時間等分為300個等分個等分 rnd=random(norm,0, 1,300,1); %建立初始的零向量，用來放置計算的結(jié)果建立初始的零向量，用來放置計算的結(jié)果 w=zeros(1,300); for i=1:299 w(i+1)=w(i)+rnd(i

11、+1)*(1/300)0.5; end x=1:1:300; w plot(x,w)1,(0,1)ttttwwtiidNDr. Fan11股票價格的一般變動股票價格的一般變動 一般化的維納過程一般化的維納過程 變量本身隨著時間的推移會有定量的增長變量本身隨著時間的推移會有定量的增長at 除了時間價值之外的變動為布朗運(yùn)動除了時間價值之外的變動為布朗運(yùn)動zbtaxDr. Fan1212.3 股票價格的一般變動股票價格的一般變動 股票價格的變動股票價格的變動 股票價格有隨時間推移增長的穩(wěn)定趨勢股票價格有隨時間推移增長的穩(wěn)定趨勢 股票股票“實(shí)際實(shí)際”價格變動為布朗運(yùn)動價格變動為布朗運(yùn)動zStSS13布

12、朗運(yùn)動股票價格布朗運(yùn)動股票價格tWStt14指數(shù)布朗運(yùn)動股票價格指數(shù)布朗運(yùn)動股票價格)exp(tWStt15上證指數(shù)上證指數(shù)Dr. Fan1612.4 Itos Lemma Itos Lemma 假設(shè)存在一個伊騰過程：假設(shè)存在一個伊騰過程： 如果如果G是是x和和t的函數(shù)，即：的函數(shù)，即：G=G(x,t) 那么：那么： 期權(quán)及其他衍生證券的價格變動期權(quán)及其他衍生證券的價格變動 股票價格服從維納過程：股票價格服從維納過程： 那么：那么：ztxbttxax),(),(zbxGtbxGtGaxGG22221zStSSzSSftSSftfSSff222221Dr. Fan17證明：如前述，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價

13、格變動過程服從：證明：如前述，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格變動過程服從：其中其中利用泰勒展開，忽略高階項(xiàng)，利用泰勒展開，忽略高階項(xiàng)，G(x,t)可以展開為可以展開為tzztxbttxax),(),(),(212121),(2222222txotxtxGxxGttGxxGttGtxGDr. Fan1832200limlim0ttx ta tbt 因此，上式可以改寫為因此，上式可以改寫為22201lim2tfffftxxtxx 保留保留1階項(xiàng)，忽略階項(xiàng)，忽略1階以上的高階項(xiàng)階以上的高階項(xiàng)Dr. Fan192200322222022limlim lim2 tttxa tbtatbtabtbt 其中（忽略高階項(xiàng)）

14、：其中（忽略高階項(xiàng)）：Dr. Fan2022222()()()ExE btbtE因此，可得因此，可得22(0,1),( )(0) ()1NDEE由于則22()Exbt由此得到由此得到代入前述公式可得到伊藤引理。代入前述公式可得到伊藤引理。Dr. Fan2112.5 股票價格的對數(shù)正態(tài)特性股票價格的對數(shù)正態(tài)特性 對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布 股票價格服從維納過程股票價格服從維納過程 股票價格的分布為對數(shù)正態(tài)分布股票價格的分布為對數(shù)正態(tài)分布 公式公式ttSS),(ttSStTtTSST),)(2(lnln20Dr. Fan22關(guān)于對數(shù)正態(tài)分布關(guān)于對數(shù)正態(tài)分布 定義定義G=lnS，由于：，由于： 所以有

15、：所以有： 即：即： 顯然顯然G為一個廣義維納過程，其漂移率為常數(shù)為一個廣義維納過程，其漂移率為常數(shù) ，波動率為常數(shù)波動率為常數(shù) 。 因此，因此，lnS的變化服從正態(tài)分布，不難知道：的變化服從正態(tài)分布，不難知道：0,11222tGSSGSSG，dzdtdG)2(2)2(2222lnln(/2) ,0, TsNSTt tT dzdtSd)2(ln2Dr. Fan23對數(shù)正態(tài)分布對數(shù)正態(tài)分布幾何布朗運(yùn)動的深入分析幾何布朗運(yùn)動的深入分析 在很短的時間在很短的時間t t后，后，證券價格比率的變化值證券價格比率的變化值 為：為： 可見，在短時間內(nèi)，可見，在短時間內(nèi)， 具有正態(tài)分布特征具有正態(tài)分布特征 其

16、均值為其均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為，方差為 。 SSttSS (,)SttS tt2t幾何布朗運(yùn)動的深入分析（幾何布朗運(yùn)動的深入分析（2） 但是，在一個較長的時間但是，在一個較長的時間T后，后， 不再具有正態(tài)不再具有正態(tài)分布的性質(zhì)：分布的性質(zhì)： 多期收益率的乘積問題多期收益率的乘積問題 因此，盡管因此，盡管是短期內(nèi)股票價格百分比收益率的標(biāo)是短期內(nèi)股票價格百分比收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，但是在任意時間長度準(zhǔn)差，但是在任意時間長度T T后，這個收益率的標(biāo)準(zhǔn)后，這個收益率的標(biāo)準(zhǔn)差卻不再是差卻不再是 。股票價格的年波動率并不是一。股票價格的年波動率并不是一年內(nèi)股票價格百分比收益率變化的標(biāo)準(zhǔn)差。年內(nèi)股

17、票價格百分比收益率變化的標(biāo)準(zhǔn)差。SST幾何布朗運(yùn)動的深入分析（幾何布朗運(yùn)動的深入分析（3） 如果股票價格服從幾何布朗運(yùn)動，則可以利用如果股票價格服從幾何布朗運(yùn)動，則可以利用Ito引理來推導(dǎo)證券價格自然對數(shù)引理來推導(dǎo)證券價格自然對數(shù)lnS所遵循的所遵循的隨機(jī)過程：隨機(jī)過程： 這個隨機(jī)過程的特征：這個隨機(jī)過程的特征： 普通布朗運(yùn)動：恒定的漂移率和恒定的方差率。普通布朗運(yùn)動：恒定的漂移率和恒定的方差率。 在任意時間長度在任意時間長度T之后，之后，G的變化仍然服從正態(tài)分布的變化仍然服從正態(tài)分布，均值為，均值為 ，方差為，方差為 。標(biāo)準(zhǔn)差仍然。標(biāo)準(zhǔn)差仍然可以表示為可以表示為 ，和時間長度平方根成正比。，

18、和時間長度平方根成正比。 從自然對數(shù)從自然對數(shù)lnS所遵循的這個隨機(jī)過程可以得到兩個所遵循的這個隨機(jī)過程可以得到兩個結(jié)論結(jié)論:2()2dGdtdz2(/2)()Tt2()T ttT22 ()(),GTtTt （1）幾何布朗運(yùn)動意味著股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布。）幾何布朗運(yùn)動意味著股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布。 令令t時刻時刻G的值為的值為lnS，T時刻時刻G的值為的值為lnST，其中，其中S表示表示t時刻（當(dāng)前時刻）的證券價格，時刻（當(dāng)前時刻）的證券價格，ST表示表示T時刻（將來時時刻（將來時刻）的證券價格，則在刻）的證券價格，則在Tt期間期間G的變化為：的變化為： 這意味著：這意味著： 進(jìn)一步從正

19、態(tài)分布的性質(zhì)可以得到進(jìn)一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到 也就是說，證券價格對數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個變量也就是說，證券價格對數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個變量的自然對數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個變量服從對數(shù)正態(tài)的自然對數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個變量服從對數(shù)正態(tài)分布。這表明分布。這表明ST服從對數(shù)正態(tài)分布。服從對數(shù)正態(tài)分布。 這正好與這正好與作為預(yù)期收益率的定義相符。作為預(yù)期收益率的定義相符。lnlnTSS22lnln ()(),TSSTtTt 22ln ln()(),TSSTtTt()()T tTE SSe222()()var()1T tT tTSS ee（2）股票價格對數(shù)收益率服從正態(tài)分布股票價格對數(shù)收益率

20、服從正態(tài)分布 由于由于dG實(shí)際上就是連續(xù)復(fù)利的對數(shù)收益率。因?qū)嶋H上就是連續(xù)復(fù)利的對數(shù)收益率。因此幾何布朗運(yùn)動實(shí)際上意味著對數(shù)收益率遵循此幾何布朗運(yùn)動實(shí)際上意味著對數(shù)收益率遵循普通布朗運(yùn)動，對數(shù)收益率的變化服從正態(tài)分普通布朗運(yùn)動，對數(shù)收益率的變化服從正態(tài)分布，對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差與時間的平方根成比布，對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差與時間的平方根成比例。例。 將將t與與T之間的連續(xù)復(fù)利年收益率定義為之間的連續(xù)復(fù)利年收益率定義為，則，則22t22lnln ()(1e), (n,lt)TTTSSSSSTtTStTt （T- ）， 可得T-由結(jié)論結(jié)論 幾何布朗運(yùn)動較好地描繪了股票價格的運(yùn)動過程幾何布朗運(yùn)動較好地描繪了

21、股票價格的運(yùn)動過程。Dr. Fan3012.6 隨機(jī)過程的蒙特卡羅模擬隨機(jī)過程的蒙特卡羅模擬 有關(guān)蒙特卡羅方法的由來有關(guān)蒙特卡羅方法的由來 取名于摩納哥的著名賭城取名于摩納哥的著名賭城 擲色子是一個隨機(jī)事件擲色子是一個隨機(jī)事件 蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法 任何涉及隨機(jī)采樣的數(shù)值方法任何涉及隨機(jī)采樣的數(shù)值方法 不僅僅用于有關(guān)隨機(jī)的問題不僅僅用于有關(guān)隨機(jī)的問題 估計估計 圓周率圓周率 優(yōu)化問題優(yōu)化問題 40年代美國年代美國Los Alamos 實(shí)驗(yàn)室的科學(xué)家用于核武器的研實(shí)驗(yàn)室的科學(xué)家用于核武器的研究究 代表人物：馮諾依曼代表人物：馮諾依曼經(jīng)濟(jì)和金融中的模擬方法經(jīng)濟(jì)和金融中的模擬方法 Monte C

22、arlo 方法方法在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)里，如果我們對某種估計方法在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)里，如果我們對某種估計方法的統(tǒng)計性質(zhì)不是很了解，而又要用到該種方的統(tǒng)計性質(zhì)不是很了解，而又要用到該種方法時，可以用法時，可以用Monte Carlo 方法來解決方法來解決.在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的例子在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的例子:1.對聯(lián)立方程偏誤的定量研究對聯(lián)立方程偏誤的定量研究.2.確定確定Dickey-Fuller 檢驗(yàn)的臨界值檢驗(yàn)的臨界值.3.確定在自相關(guān)檢驗(yàn)中樣本大小對檢驗(yàn)功效確定在自相關(guān)檢驗(yàn)中樣本大小對檢驗(yàn)功效的影響的影響.經(jīng)濟(jì)和金融中的模擬方法經(jīng)濟(jì)和金融中的模擬方法 Monte Carlo 方法方法在金融中的例子在金融中的例子:

23、1.奇異期權(quán)的定價奇異期權(quán)的定價.2.確定宏觀環(huán)境對金融市場的影響確定宏觀環(huán)境對金融市場的影響.3.風(fēng)險管理建模風(fēng)險管理建模: 壓力測試，例如，確定最小壓力測試，例如，確定最小資本要求資本要求.模擬中的模擬中的“隨機(jī)數(shù)隨機(jī)數(shù)” 進(jìn)行蒙特卡羅模擬首先要設(shè)定數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)。而設(shè)進(jìn)行蒙特卡羅模擬首先要設(shè)定數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)。而設(shè)定數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)的關(guān)鍵是要產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù)。例定數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)的關(guān)鍵是要產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù)。例如模擬樣本為如模擬樣本為100的隨機(jī)趨勢過程的的隨機(jī)趨勢過程的DF統(tǒng)計量的分統(tǒng)計量的分布，若試驗(yàn)布，若試驗(yàn)1萬次，則需要生成萬次，則需要生成200萬個隨機(jī)數(shù)。萬個隨機(jī)數(shù)。 計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中蒙特卡羅模擬

24、和自舉模擬所用到的隨計量經(jīng)濟(jì)學(xué)中蒙特卡羅模擬和自舉模擬所用到的隨機(jī)數(shù)一般是服從機(jī)數(shù)一般是服從N(0,1)分布的隨機(jī)數(shù)。分布的隨機(jī)數(shù)。 計算機(jī)所生成的隨機(jī)數(shù)并不是計算機(jī)所生成的隨機(jī)數(shù)并不是“純隨機(jī)數(shù)純隨機(jī)數(shù)”，而是，而是具有某種相同統(tǒng)計性質(zhì)的隨機(jī)數(shù)，即某種具有某種相同統(tǒng)計性質(zhì)的隨機(jī)數(shù)，即某種“偽隨機(jī)偽隨機(jī)數(shù)數(shù)”（pseudo-random number）。生成隨機(jī)數(shù)的）。生成隨機(jī)數(shù)的程序稱作程序稱作“偽隨機(jī)數(shù)生成系統(tǒng)偽隨機(jī)數(shù)生成系統(tǒng)”。實(shí)際上計算機(jī)不。實(shí)際上計算機(jī)不可能生成純隨機(jī)數(shù)?？赡苌杉冸S機(jī)數(shù)。模擬的計算機(jī)實(shí)現(xiàn)模擬的計算機(jī)實(shí)現(xiàn) 蒙特卡羅模擬和自舉模擬的實(shí)現(xiàn)要通過計算機(jī)編蒙特卡羅模擬和自舉模

25、擬的實(shí)現(xiàn)要通過計算機(jī)編程來實(shí)現(xiàn)。程來實(shí)現(xiàn)。 常用的軟件有常用的軟件有Mathematica，Gauss，Ox，EViews，Stata等。其原理基本一樣。等。其原理基本一樣。 若干例子見圖。若干例子見圖。 圖圖1 隨機(jī)游走序列隨機(jī)游走序列 圖圖2 帶趨勢項(xiàng)的隨機(jī)游走序列帶趨勢項(xiàng)的隨機(jī)游走序列-202-202-1-0.500.51-202 圖圖3 三維圖圓環(huán)三維圖圓環(huán) 圖圖4 空間曲面空間曲面 圖圖5 投幣投幣1000次的概率值模擬次的概率值模擬 圖圖6 生長曲線生長曲線 圖圖7 二元正態(tài)分布二元正態(tài)分布 圖圖8 蒲豐問題蒲豐問題Dr. Fan3712.7 蒙特卡羅模擬的實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅模擬的實(shí)現(xiàn)

26、我們從幾個例子來看我們從幾個例子來看 例例1：兩個：兩個I(1)變量相關(guān)系數(shù)分布的蒙特卡羅模擬變量相關(guān)系數(shù)分布的蒙特卡羅模擬 未達(dá)到未達(dá)到N圖圖11 蒙特卡羅模擬過程示意圖蒙特卡羅模擬過程示意圖生成生成 xt, yt I(1) 估計相關(guān)估計相關(guān)系數(shù)系數(shù)r 分析分析r的的 分布分布 設(shè)定循環(huán)設(shè)定循環(huán)次數(shù)次數(shù)N 設(shè)定設(shè)定 xt,yt I(1) EViews程序如下：程序如下：workfile corr u 1 500series resultfor !i=1 to 500smpl 1 100series x=nrndseries y=nrndseries xxseries yyscalar sum

27、1=0scalar sum2=0for !counter=1 to 100sum1=sum1+x(!counter)sum2=sum2+y(!counter) xx(!counter)=sum1yy(!counter)=sum2nextscalar r=cor(xx,yy)result(!i)=rnextresult.hist 定義一個非時間序列（定義一個非時間序列（u）工作文件，）工作文件，corr，容量為，容量為500。定義一個空序列定義一個空序列result，用來存儲相關(guān)系數(shù)的計算結(jié)果。，用來存儲相關(guān)系數(shù)的計算結(jié)果。!i為控制變量，通過一個為控制變量，通過一個for循環(huán)語句使計算進(jìn)行循環(huán)

28、語句使計算進(jìn)行500次。次。把樣本范圍設(shè)置成把樣本范圍設(shè)置成100。生成兩個互不相關(guān)的白噪聲序列生成兩個互不相關(guān)的白噪聲序列x、y，樣本容量，樣本容量100。定義兩個空的序列定義兩個空的序列xx和和yy，樣本容量也是，樣本容量也是100。定義兩個標(biāo)量定義兩個標(biāo)量sum1和和sum2，初始值為，初始值為0。!counter為控制變量，在這個為控制變量，在這個for循環(huán)中，分別對序列循環(huán)中，分別對序列x和和y進(jìn)行進(jìn)行一次累加生成兩個一階單整的序列，將結(jié)果分別放到序列一次累加生成兩個一階單整的序列，將結(jié)果分別放到序列xx和和yy中。中。累加一次。累加一次。計算序列計算序列xx和和yy的相關(guān)系數(shù)，并將

29、結(jié)果放到標(biāo)量的相關(guān)系數(shù)，并將結(jié)果放到標(biāo)量r中。中。將相關(guān)系數(shù)計算結(jié)果放到序列將相關(guān)系數(shù)計算結(jié)果放到序列result中，在這個中，在這個for循環(huán)中，這個循環(huán)中，這個操作要進(jìn)行操作要進(jìn)行500次。次。顯示序列顯示序列result的直方圖以及有關(guān)統(tǒng)計量。的直方圖以及有關(guān)統(tǒng)計量。圖圖13 兩個非相關(guān)兩個非相關(guān)I(1) 序列的相關(guān)系數(shù)的分布序列的相關(guān)系數(shù)的分布例例2：DW統(tǒng)計量分布的蒙特卡羅模擬統(tǒng)計量分布的蒙特卡羅模擬 生成生成T=50的相互獨(dú)立的的相互獨(dú)立的IN(0,1)序列序列ut 和和vt用用ut 和和vt分別生成兩個相互獨(dú)立的分別生成兩個相互獨(dú)立的I(1)序列序列yt = yt-1 + ut

30、, y0 = 0, xt = xt-1 + vt , x0 = 0,估計模型估計模型yt = 0 + 1xt + wt 并計算殘差并計算殘差用殘差計算用殘差計算DW統(tǒng)計量的值統(tǒng)計量的值存儲存儲2000個個DW值值畫畫DW頻數(shù)分布直方圖。記錄頻數(shù)分布直方圖。記錄T=50條件下條件下DW分分布的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和第布的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和第90、95、99百分位數(shù)。百分位數(shù)。分別估計分別估計DW均值、標(biāo)準(zhǔn)差和第均值、標(biāo)準(zhǔn)差和第90、95、99百分百分位數(shù)值對位數(shù)值對(1/T )的響應(yīng)面函數(shù)的響應(yīng)面函數(shù) 例例3（利用模擬方法對歐式期權(quán)進(jìn)行定價）（利用模擬方法對歐式期權(quán)進(jìn)行定價）設(shè)股票價格設(shè)股票價格St服從風(fēng)險

31、中性測度下的幾何服從風(fēng)險中性測度下的幾何Brown運(yùn)動：運(yùn)動：ttttdSrS dtS dB其離散化形式為其離散化形式為1(1)(0,1)(1)iiiiiSr SSBBN根據(jù)金融工程理論，設(shè)現(xiàn)在股票價格為根據(jù)金融工程理論，設(shè)現(xiàn)在股票價格為S0，T時時刻到期（單位天），敲定價為刻到期（單位天），敲定價為K的歐式看漲期權(quán)的歐式看漲期權(quán)的價格為的價格為rTTCeESKMC方案：按照（方案：按照（1）遞推產(chǎn)生）遞推產(chǎn)生n條風(fēng)險中性測度下的條風(fēng)險中性測度下的軌道，提取出軌道，提取出ST (n)；（；（2） 11nirTTiCeSKn42 對一個大眾型歐式看漲期權(quán)的定價對一個大眾型歐式看漲期權(quán)的定價. 具體步驟如具體步驟如下下: 確定標(biāo)的資產(chǎn)的數(shù)據(jù)產(chǎn)生過程確定標(biāo)的資產(chǎn)的數(shù)據(jù)產(chǎn)生過程. 通常假設(shè)該過程為具通常假設(shè)該過程為具有漂移的隨機(jī)游走，即要確定漂移和波動參數(shù)有漂移的隨機(jī)游走，即要確定漂移和波動參數(shù). 同時同時要確定行權(quán)價格要確定行權(quán)價格K 及到期日及到期日T. 產(chǎn)生產(chǎn)生T 個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)據(jù)，作為誤差項(xiàng)個標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)據(jù)，作為誤差項(xiàng), ut N(0,1). 構(gòu)造構(gòu)造T 個標(biāo)的資產(chǎn)的觀測值個標(biāo)的資產(chǎn)的觀測值.43 記錄在時刻記錄在時刻 T時標(biāo)的資產(chǎn)的價格時標(biāo)的資產(chǎn)的價格S