學生--雙曲線

1、2.3 雙曲線2.3.1 雙曲線定義：到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等于定長（|F1F2|）的點的軌跡（ ）這兩個定點叫雙曲線的焦點注：（1）距離之差的絕對值.（2）2a|F1F2|，這兩點與橢圓的定義有本質的不同.當|MF1|MF2|=2時，即時，曲線僅表示 ；當|MF1|MF2|=2a時，即時，曲線僅表示 ；當2a=|F1F2|時，軌跡是 ；當2a|F1F2|時， . 1. P是雙曲線左支上的一點，F(xiàn)1、F2分別是左、右焦點，且焦距為2c，則的內切圓的圓心的橫坐標為（ ）A B C D 2.如圖2所示，為雙曲線的左焦點，雙曲線上的點與關于軸對稱，則的值是（ ）A9 B16 C18

2、D27 2.3.2 雙曲線的標準方程：雙曲線的標準方程由兩種不同類型：和（a0，b0），分別表示焦點在 軸和焦點在 軸上的雙曲線.注：（1）這里的參數(shù)確定了雙曲線的大小和形狀，這里 ，其中|=2c.與橢圓中相區(qū)別，且橢圓中，而雙曲線中，大小不確定。（2）焦點的位置，是雙曲線定位的條件?！?”：若的系數(shù)為正，則焦點在軸上；若的系數(shù)為正，那么焦點在軸上。（3）當且僅當雙曲線的中心在原點，其焦點在坐標軸上時，雙曲線的方程才具有標準形式。（4）雙曲線標準形式可以寫為 ，這種形式是焦點所在的坐標軸不易判斷時的同一設法。（5）規(guī)律總結： 判定方程所表示的曲線類型，在對參數(shù)進行討論時，首先要找好討論的分界點

3、，除了區(qū)別曲線類型外，同一類曲線還要區(qū)別焦點在軸上還是在軸上。 確定方程類型時，首先應明確方程表示雙曲線的條件，即?；?。若焦點在軸上，則 ；若焦點在軸上，則 。 常見題型：一是判斷含有參數(shù)的方程的曲線類型；二是已知曲線的類型，求方程中參數(shù)的取值范圍。（6）橢圓與雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：橢圓雙曲線根據(jù)根據(jù)，（），（，不一定大于）3到兩定點、的距離之差的絕對值等于6的點的軌跡 （ ）A橢圓B線段C雙曲線D兩條射線4方程表示雙曲線，則的取值范圍是（ ） AB C D或5 雙曲線的焦距是（ ）A4BC8D與有關6若，雙曲線與雙曲線有（ ）A相同的虛軸B相同的實軸C相同的漸近線D 相同的焦點7.雙曲線的焦

4、距為（ ）A 3B 4C 3D 48. 若橢圓與雙曲線有相同的焦點F1，F(xiàn)2，P是兩條曲線的一個交點，則|PF1|PF2|的值是 （ ）A. B. C. D. 2.3.3 雙曲線的簡單幾何性質這里以焦點在軸為例：標注方程為=1（a0，b0）（1） 范圍：由方程可知；。當逐漸增大時，也無限增大，所以雙曲線是無限伸展的，不是封閉圖形。（2） 對稱性：關于x、y軸均對稱，關于原點中心對稱。（3） 頂點：軸端點A1（a，0），A2（a，0），雙曲線與軸沒有交點，所以當時，是沒有實數(shù)根的。但是我們把畫在軸上。線段，叫做雙曲線的實軸，叫做實半軸；線段，叫做雙曲線的虛軸，叫做虛半軸。注： 雙曲線只有兩個頂點

5、，即實軸的兩個端點。 雙曲線的焦點總在實軸上，實軸與虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。 與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是（4） 漸近線：對于雙曲線經(jīng)過點作軸的平行直線，經(jīng)過點作軸的平行直線，四條直線圍成一個矩形，矩形的兩條對角線所在直線方程是。根據(jù)雙曲線的對稱性可知，雙曲線向外無限伸展時，總局限在由直線相交而分平面所成的、含雙曲線焦點的兩個區(qū)域內，并與這兩直線無限接近，但永遠不相交。這里我們把直線叫做雙曲線=1的漸近線。注： 若雙曲線方程為漸近線方程；若雙曲線方程為漸近線方程；在記憶時，可將雙曲線方程中的“1”換成“0”，然后因式分解即可得到漸進線方程。 若漸近線方程為雙曲線可設為； 若雙曲線與有

6、公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，焦點在y軸上）；與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是 實軸長與虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線，方程記為。所有等軸雙曲線的漸近線方程為，特別地，是一條等軸雙曲線。將雙曲線的實、虛軸互易，所得雙曲線方程為：.這兩個雙曲線就是互相共軛的雙曲線.它們有相同的焦距而焦點的位置不同；它們又有共同的漸近線而為漸近線所界定的范圍不一樣.9焦點為，且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是（ ）ABCD10. 兩共軛雙曲線的離心率分別為，證明：=1.（5） 離心率雙曲線的焦距與實軸長的比，叫做雙曲線的離心率。因為，所以雙曲線的離心率。由，可以看出越大，也越大。即漸近線的斜率的絕對值

7、越大。這時雙曲線的形狀從扁狹逐漸變得開闊。即張口越來越大。反之，當越小，漸近線的斜率絕對值越小，雙曲線的張口也越小，形狀就越扁。通常用的值來刻畫雙曲線的扁平程度。注： 若雙曲線的焦點在軸上，漸近線的傾斜角為，則 。 等軸雙曲線的離心率為 。特別地當 ，分別為y=，此時雙曲線為等軸雙曲線，可設為；y=x，y=x。 雙曲線離心率及其范圍的求法：a) 雙曲線離心率的求解，一般可采用定義法、直接法等方法。b) 在解析幾何中，求范圍的問題一般可以從以下幾點考慮：（1）與已知范圍聯(lián)系，通過求值域或解不等式來完成；（2）通過判別式大于0；（3）利用點在曲線內部形成的不等關系；（4）利用解析式的結構特點，如等

8、非負性。注：(1)點在雙曲線的內部 .(2)點在雙曲線的外部 .11 雙曲線的兩條準線將實軸三等分，則它的離心率為（ ） AB3CD 12. 已知雙曲線的右焦點為,過且斜率為的直線交于兩點，若,則的離心率為（ ）AB C D 13. 設F1和F2為雙曲線的兩個焦點, 若F1,F2，P(0,2b)是正三角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為 （ ） AB2CD314. 設，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）ABCD15. 設是等腰三角形，則以為焦點且過點的雙曲線的離心率為（ ）AB C D16. 雙曲線（，）的左、右焦點分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為ABC

9、D17求一條漸近線方程是，一個焦點是的雙曲線標準方程，并求此雙曲線的離心率18. 過雙曲線C：的一個焦點作圓x2+y2=的兩條切線，切點分別為A，B，若AOB=120（O是坐標原點），則雙曲線線C的離心率為 19.己知斜率為1的直線l與雙曲線C：相交于B、D兩點，且BD的中點為，求C的離心率；20. 如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率（ ）（A） （B） （C） （D）（6）焦半徑：，（點P在雙曲線的右支上）；，（點P在雙曲線的右支上）；2.3.4 雙曲線的第二定義平面內一個動點到一定點F的距離與它到一條定直線l

10、的距離之比是常數(shù)e(e1)時，這個動點的軌跡是雙曲線這定點叫做雙曲線的焦點，定直線l叫做雙曲線的準線 準線：l1：x=，l2：x=，兩準線之距為注： 定點在直線外。 比值是大于1的常數(shù)。 當點到定點的距離與它到直線的距離之比是常數(shù)時，點的軌跡方程是。 運用第二定義時，要注意焦點與準線是對應的，即左焦點對應左準線；右焦點對應右準線。 點是雙曲線上的任意一點，設點到對應準線的距離是，點到對應準線的距離是，則。即。這樣就可將雙曲線上的點到焦點的距離問題轉化為改點到準線的距離問題來解決，使問題得到簡化。21雙曲線的右焦點到右準線的距離為_22與橢圓有相同的焦點，且兩準線間的距離為的雙曲線方程為_23.

11、點在雙曲線的右支上，若點到右焦點的距離等于，則 ；24. 已知雙曲線與點M（5，3），F(xiàn)為右焦點，若雙曲線上有一點P，使最小，則P點的坐標為 2.3.5 雙曲線定義的運用（1）利用雙曲線的定義求雙曲線的方程 如果平面上的動點滿足條件：（定長），當時，點的軌跡為雙曲線；當時，點的軌跡為射線；如果不含有絕對值，那么軌跡是一支雙曲線或一條射線。選擇恰當?shù)淖鴺讼?，依雙曲線的定義直接寫出方程。（2）雙曲線中的焦點三角形 雙曲線上一點與雙曲線的兩個焦點構成的三角形稱為焦點三角形，其中為三角形的三邊，解決與這個三角形有關的問題要充分利用雙曲線的定義和三角形的邊角關系、正弦定理、余弦定理。例如：求的面積。 解

12、決此類問題的關鍵是“”形式的“配湊”。25. 設P為雙曲線上的一點F1、F2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF1|：|PF2|=3：2，則PF1F2的面積為（ ）AB12CD2426. 過雙曲線左焦點F1的弦AB長為6，則（F2為右焦點）的周長是（ ）A28 B22C14D1227. 已知雙曲線的左右焦點分別為，為的右支上一點，且，則的面積等于ABCD28. 設為雙曲線上的一點，是該雙曲線的兩個焦點，若，則的面積為（ ）A B C. D 2.3.6 標準方程的求法（1）求雙曲線的標準方程就是根據(jù)題意求出的值，并由焦點所在的坐標軸確定方程形式。常見的類型：一是根據(jù)題意可以判定出焦點的位置，從而設出標

13、準方程的形式，利用待定系數(shù)法確定的值，二是未給出坐標系，需建立坐標系，然后根據(jù)雙曲線的定義確定方程。主要步驟是先定位，后定量。（2）求雙曲線的方程也可以運用前面求軌跡方程的方程，如：直接法、定義法、轉化法等。（3）在應用定義和標準方程解題時注意以下幾點： 動點是否滿足雙曲線的全部定義； 條件“”是否成立； 是否使同時成立； 焦點所在坐標軸是否明確； 將給定焦點組成的的邊化為的關系。（4）利用待定系數(shù)法求標準方程需注意： 如果雙曲線的中點心在原點，焦點在軸上，方程為 ； 如果雙曲線的中點心在原點，焦點在軸上，方程為 ； 如果已知雙曲線方程的標準式，但不知焦點所處的位置，也可把方程設為 。 利用上

14、述方法求方程時，根據(jù)題意可得到關于或的二元方程組，解方程組來求值。29. 已知雙曲線（a0,b0）的一條漸近線為y=kx(k0),離心率e=,則雙曲線方程為A=1B C.D30. 已知雙曲線C與雙曲線=1有公共焦點，且過點（3，2）.求雙曲線C的方程31.已知雙曲線的漸近線方程是，焦點在坐標軸上且焦距是10，則此雙曲線的方程為 ； 32. 已知點，動圓與直線切于點，過、與圓相切的兩直線相交于點，則點的軌跡方程為A BC（x 0） D2.3.7 與漸近線有關問題的處理方法（1）求雙曲線的漸近線方程若雙曲線方程為漸近線方程 ；若雙曲線方程為漸近線方程 ；在記憶時，可將雙曲線方程中的“ ”換成“ ”

15、，然后因式分解即可得到漸進線方程。（2）有共同漸近線的雙曲線系方程及應用 若雙曲線與有相同漸近線，可設為 ；與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是。即 。故與有相同漸近線的方程為。實軸長與虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線，方程記為 。所有等軸雙曲線的漸近線方程為 ，特別地，是一條等軸雙曲線。若漸近線方程為 雙曲線可設為 ；（3）漸近線與離心率綜合問題的求解 由漸近線中的關系，結合建立含有的方程，進而求。33. 設雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1 只有一個公共點，則雙曲線的離心率為 A B 5C D34.已知雙曲線的離心率為2，焦點與橢圓的焦點相同，那么雙曲線的焦點坐標為 ；漸近線方程為 。35.

16、 過點（1，3）且漸近線為的雙曲線方程是36.焦點為（0，6），且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是 （ ）A B C D37. 以橢圓的右焦點為圓心，且與雙曲線的漸近線相切的圓的方程是 A B C D 2.3.8 直線與雙曲線的位置關系（1）直線與雙曲線的位置關系的判定方法 聯(lián)立方程組； 消元，轉化為一元二次方程； 計算。當，直線與雙曲線有兩個交點，相交；當，直線與雙曲線有一個交點，相切；當時，直線與雙曲線沒有交點，相離。要注意項或項系數(shù)是否為零的情況，否則容易漏解。38. 已知雙曲線的準線過橢圓的焦點，則直線y=kx+2與橢圓至多有一個交點的充要條件是AKBK C.KD （2）弦長公式當

17、直線與雙曲線相交于兩點，則。其中涉及等值，運用韋達定理來解決。若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則，若分別為A、B的縱坐標，則。（3）雙曲線的切線方程（1）雙曲線上一點處的切線方程是.（2）過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.（3）雙曲線與直線相切的條件是.39給出下列曲線：4x+2y1=0; x2+y2=3; ，其中與直線y=2x3有交點的所有曲線是（ ）A B C D40直線與雙曲線相交于兩點，則=_41過點且被點M平分的雙曲線的弦所在直線方程為 42已知不論b取何實數(shù)，直線y=kx+b與雙曲線總有公共點，試求實數(shù)k的取值范圍.43. 已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是，一條漸近線的方程是.求雙曲線C的方程；44. 雙曲線的一弦中點為（2，1），則此弦所在的直線方程為 （ ）A. B. C. D. 但是，“設而不求”的手段應當慎用.不問條件是否成熟就濫用，也會出漏子.請看：45. 在雙曲線上，是否存在被點M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由.46已知動點P與雙曲線x2y21的兩個焦點F1，F(xiàn)2的距離之和為定值，且cosF1PF2的最小值為.（1）求動點P的軌跡方程；（2）設M(0，1