第一節(jié) 函數(shù)概念高等數(shù)學(xué)

1、本課程基礎(chǔ)本課程基礎(chǔ) 函數(shù)函數(shù) 極限極限 連續(xù)連續(xù) 研究對象研究對象 研究工具研究工具 研究橋梁研究橋梁 上頁 下頁 返回 結(jié)束 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限 第一節(jié)函數(shù)的基本概念函數(shù)的基本概念 v 初等初等函數(shù)函數(shù)v 函數(shù)的定義函數(shù)的定義v 函數(shù)的簡單特性函數(shù)的簡單特性v 函數(shù)的運(yùn)算函數(shù)的運(yùn)算v 相關(guān)概念相關(guān)概念 在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量常量, ,而數(shù)值變化的量稱為而數(shù)值變化的量稱為變量變量. . 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 高等數(shù)學(xué)所處理的數(shù)一般都是實(shí)數(shù)高等數(shù)學(xué)所處理的數(shù)一般都是實(shí)數(shù).實(shí)數(shù)與數(shù)

2、軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，代數(shù)觀點(diǎn)：非負(fù)數(shù)；代數(shù)觀點(diǎn)：非負(fù)數(shù)；幾何觀點(diǎn)：兩點(diǎn)間的距離幾何觀點(diǎn)：兩點(diǎn)間的距離.|axRaxa.xa.x因而往往不加區(qū)別因而往往不加區(qū)別.,baRba 且且bxax ),(ba bxax ,ba ),ba,(ba),xaxa ),(bxxb 有限區(qū)間有限區(qū)間無限區(qū)間無限區(qū)間),(,(),( ba開區(qū)間開區(qū)間閉區(qū)間閉區(qū)間左閉右開左閉右開, 左開右閉左開右閉xabxab 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 . 0 且,與是兩個實(shí)數(shù)設(shè)a),(aU,鄰域中心點(diǎn) a.鄰域半徑).,(aaxa a a .的去心鄰域點(diǎn)a. 0 axx axx),(aU,鄰域

3、的點(diǎn)a左左 鄰域鄰域:右右 鄰域鄰域: :),( aa),(aa 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 稱為稱為定義域定義域二、二、函數(shù)的定義函數(shù)的定義使對任意的使對任意的)(00 xfyxx 0 xDxxfy , )(自變量自變量因變量因變量.,Dyx數(shù)集數(shù)集設(shè)有設(shè)有變量Dx函數(shù)的值域.，y 總有確定的值與之對應(yīng)，總有確定的值與之對應(yīng)，y 為為x 的函數(shù)的函數(shù). .記作記作 在在 點(diǎn)的函數(shù)值點(diǎn)的函數(shù)值),(DxxfyyW 函數(shù)是兩個數(shù)集之間的一個映射函數(shù)是兩個數(shù)集之間的一個映射. . 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ,若f有有對對應(yīng)應(yīng)法法則則則稱則稱(2) (2) 確定函數(shù)的確定函

4、數(shù)的兩要素兩要素: :定義域、對應(yīng)法則定義域、對應(yīng)法則. .(3) (3) 函數(shù)關(guān)系可由數(shù)學(xué)式子函數(shù)關(guān)系可由數(shù)學(xué)式子圖象給出圖象給出、表格、表格、 注注（4 4）單值函數(shù)、多值函數(shù)單值函數(shù)、多值函數(shù) (1) (1) 定義域的確定：定義域的確定：抽象算式抽象算式自然定義域自然定義域; ;實(shí)際問題實(shí)際問題由問題的背景來確定由問題的背景來確定. .( (值域隨之確定值域隨之確定) ) 例如例如，對應(yīng)法則，對應(yīng)法則322yx確定雙值函數(shù)確定雙值函數(shù)23xy 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解例例2 22ln)(ln2)(xxgxxf與設(shè)設(shè)ux 1，則，則 2111uuuf ,112uu )0

5、(.11)(2 xxxxfoxyxWD),(yxy （5 5）函數(shù)的圖形）函數(shù)的圖形 是平面點(diǎn)集：是平面點(diǎn)集：),(),(Dxxfyyx例例1 1. .是同一個函數(shù)是同一個函數(shù). .不是同一個函數(shù)；不是同一個函數(shù)；22tuxy與與 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 y = f (x).)16(log2)1(的定義域求函數(shù)xyx解解, 0162 x, 01 x, 11 x 214xxx, 4221 xx及及).4 , 2()2 , 1(即即在自變量的不同變化范圍內(nèi)在自變量的不同變化范圍內(nèi), ,對應(yīng)法則用不同的對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù)式子來表示的函數(shù), ,稱為稱為分段函數(shù)分段函數(shù).

6、.2.2.分段函數(shù)分段函數(shù)xyo符號函數(shù)符號函數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)1-1例例3 3. .例例4.4. 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1,110,2)(xxxxxfy求求 )(21f及及, )1( xf解解21212)( f2 )1( xf110 x,12 x11 x,11 x并寫出并寫出 的定義域和值域的定義域和值域 . .定義域定義域 ),1 D值域值域 ),0)( Df 0.201, 12xxxx例例5 5 已知已知)1( xf51)5(f 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 三、函數(shù)的簡單特性三、函數(shù)的簡單特性 總成立,使對若設(shè)MxfXxMDX )(

7、, 0,1.1.有界性有界性.)()(上無界在上有界.否則稱在則稱函數(shù)XxfXxf例例6 6. .2arctan xy 21 xyxy1有上界有上界, ,無無下界下界, ,因此無界因此無界. .), 0(), 1 (上有界上有界. .上無界上無界, ,有界有界. .在在在在 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 注：注：函數(shù)的有界性跟區(qū)間有關(guān)函數(shù)的有界性跟區(qū)間有關(guān).2.2.單調(diào)性單調(diào)性, , 周期性周期性 奇偶性奇偶性, , 利用函數(shù)的連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)利用函數(shù)的連續(xù)性和導(dǎo)數(shù),可以方便地確定有界可以方便地確定有界性性, 單調(diào)性單調(diào)性. 除上述簡單性質(zhì)外除上述簡單性質(zhì)外, 函數(shù)還有連續(xù)性函數(shù)還有連續(xù)

8、性,可導(dǎo)性可導(dǎo)性,可積性等等性質(zhì)可積性等等性質(zhì).四、函數(shù)的運(yùn)算四、函數(shù)的運(yùn)算1. 和、差、積、商和、差、積、商 四則運(yùn)算四則運(yùn)算函數(shù)值之間的運(yùn)算函數(shù)值之間的運(yùn)算.2. 求反函數(shù)的運(yùn)算求反函數(shù)的運(yùn)算例例7 7. .),(),(,3WDxyWyyx 3對每一對每一Dx3/1yx 3/1yx 3xy ，由方程，由方程，有確定的，有確定的與之與之對應(yīng)：對應(yīng)：稱稱為為的的反函數(shù)反函數(shù). 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 一般地，設(shè)一般地，設(shè).,)(1Wxxfy 則其反函數(shù)則其反函數(shù). . 如果如果yf (x) 單值單調(diào)（遞增或遞減），單值單調(diào)（遞增或遞減），,)(1存存在在xfy 且也單值單調(diào)（遞

9、增或且也單值單調(diào)（遞增或 .是是單單值值函函數(shù)數(shù)單單值值函函數(shù)數(shù)的的反反函函數(shù)數(shù)未未必必2xy 注注 , )(WDxfy .)(的反函數(shù)的反函數(shù)xfy Wy yxf)(若對每一若對每一Dx)(yx, 由方程由方程，有確定的，有確定的與之與之對應(yīng)，對應(yīng)， 則稱這樣得到的則稱這樣得到的為為的反函數(shù)的反函數(shù)函數(shù)函數(shù)把把.)(叫做直接函數(shù)叫做直接函數(shù)xfy )(xfy 通常，將通常，將記作記作遞減）遞減）.反函數(shù)為反函數(shù)為xy 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 bQxfyxfbxfx則的圖象經(jīng)過點(diǎn)若的反函數(shù)為已知),2, 5()()(2)(11， 互為反函數(shù)互為反函數(shù),它們的圖形關(guān)于直線它們的圖

10、形關(guān)于直線對稱對稱. .)(xfy )(1xfy xy ),(abQ),(baPxyo)(xfy )(1xfy xy 例例8 8. . 1的反函數(shù)的步驟求)(xfy 12 xy(1) 由方程由方程, 解出解出 x = x(y);(2) 交換字母交換字母 x, y, 得反函數(shù)得反函數(shù). 例例 為求為求) 1(21yx21xy的反函數(shù)的反函數(shù), 解得解得反函數(shù)為反函數(shù)為與與yxf)( 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ),(ufy )(xgu .2W稱為由稱為由y = f (u)與與u = g (x) 所確定的所確定的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù), , 記作記作u 稱為稱為中間變量中間變量. . ),(

11、xgfy 定義定義. 設(shè)設(shè) 定義域?yàn)槎x域?yàn)?1D值域?yàn)橹涤驗(yàn)?1WD 如果如果不是空集不是空集, 則在則在x 的一定取值范圍的一定取值范圍內(nèi)內(nèi), 由由yuxufyxgu )()(確定確定y 為為x 的函數(shù)的函數(shù), 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ,uy 設(shè)設(shè),12xu 21xy f 稱為稱為外層函數(shù)，外層函數(shù)， g 稱為稱為內(nèi)層函數(shù)內(nèi)層函數(shù)，求復(fù)合函數(shù)的過程叫做求復(fù)合函數(shù)的過程叫做函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算.注注 1. 不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合. 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ,arcsinuy 例例如如;22xu )2arcsin(2xy 是

12、由是由例如例如2cotxy ,uy ,cotvu .2復(fù)合而成復(fù)合而成xv 2. 復(fù)合函數(shù)可以有兩個以上的函數(shù)復(fù)合而成復(fù)合函數(shù)可以有兩個以上的函數(shù)復(fù)合而成.3. 會找函數(shù)的復(fù)合關(guān)系：會找函數(shù)的復(fù)合關(guān)系：從運(yùn)算順序入手將復(fù)合從運(yùn)算順序入手將復(fù)合函數(shù)拆成幾個簡單的函數(shù)表示的函數(shù)函數(shù)拆成幾個簡單的函數(shù)表示的函數(shù).可分解為可分解為例如例如2cotsin2xy ,wv ,cotzw .2xz ,2uy ,sinvu 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 可分解為可分解為又例如又例如xy1sin2e .1,sin, ,2xwwvvueyu 例例9 9 ).(),(,)(,1|, 11, 01, 1)(x

13、fgxgfexgxxxxfx求求 )()(xefxgf解解1, 1 xe1, 0 xe1. 1 xe 0, 1 x0, 0 x0. 1 x )()(xfexfg1,1 xe1, 1 x1. xe 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 0113 xx例例10.10. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),1,1,13)( xxxxxf )(xff1)(,1)(3 xfxf1)(, )( xfxf 0,49 xx1)13(3 x10 x1, xx求求.)(xff解解,13 x 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和有由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和有限次函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并

14、可用一個式子表示的函限次函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個式子表示的函數(shù)數(shù), ,稱為稱為初等函數(shù)初等函數(shù). .五、初等函數(shù)五、初等函數(shù)1.1.基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)反三角函數(shù)反三角函數(shù) 以下函數(shù)在中學(xué)階段已詳細(xì)討論，它們是構(gòu)成以下函數(shù)在中學(xué)階段已詳細(xì)討論，它們是構(gòu)成常見函數(shù)的基本構(gòu)件，稱為常見函數(shù)的基本構(gòu)件，稱為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).2.2.初等函數(shù)初等函數(shù) 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 非初等函數(shù)的例子非初等函數(shù)的例子符號函數(shù)（符號函數(shù)（）取整函數(shù)取整函數(shù)xy Znnxn,1,n,|2xxy可表為可表為故為初等函數(shù)故為初等函數(shù). .2xxy2lnxxexxeln2,uey .ln2

15、xxuy0,xx0,xx分段函數(shù)分段函數(shù)一般地，一般地，.冪指函數(shù)冪指函數(shù)是以下函數(shù)是以下函數(shù)復(fù)合而成復(fù)合而成. 因此是初等函數(shù)因此是初等函數(shù). 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )( 是是常常數(shù)數(shù)xy oxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 冪函數(shù)冪函數(shù) 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )1, 0(log aaxyaxxyeloglnxyalog xya1log )1( a)0 , 1( 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)（自然對數(shù)函數(shù)）（自然對數(shù)函數(shù)） 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 三角函數(shù)三角函數(shù) 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xycos 余弦函數(shù) y = cos x 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xytan xytan 正切函數(shù) 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xyarcsin xyarcsin 反