基于窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的新算法設(shè)計(jì)(一)

1、基于窗函數(shù)法設(shè)計(jì)fir數(shù)字濾波器的新算法設(shè)計(jì)(一) 摘要：在用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)fir數(shù)字濾波器時，設(shè)計(jì)的優(yōu)化主要是通過調(diào)整窗函數(shù)來進(jìn)行的。文中提出一種新的優(yōu)化算法，其基本思想是在窗函數(shù)和濾波器階數(shù)不變的情況下，通過迭代運(yùn)算尋找一個最佳的頻率響應(yīng)函數(shù)，對此頻率響應(yīng)函數(shù)的傅里葉反變換進(jìn)行加窗所設(shè)計(jì)出的濾波器的頻率響應(yīng)相對于理想頻率響應(yīng)的逼近誤差最小。文中對算法的運(yùn)用和改進(jìn)作了說明，并給出一個設(shè)計(jì)實(shí)例。關(guān)鍵詞： fir數(shù)字濾波器；窗函數(shù)法；優(yōu)化算法；逼近誤差引言相對于iir數(shù)字濾波器，fir數(shù)字濾波器的主要優(yōu)點(diǎn)有：一、可具有嚴(yán)格的線性相位特性；二、不存在穩(wěn)定性問題；三、可利用dft來實(shí)現(xiàn)。這些優(yōu)點(diǎn)使fi

2、r數(shù)字濾波器得到了廣泛應(yīng)用。窗函數(shù)法是一種設(shè)計(jì)fir數(shù)字濾波器的基本方法，但它不是最佳設(shè)計(jì)方法，在滿足同樣設(shè)計(jì)指標(biāo)的情況下，用這種方法設(shè)計(jì)出的濾波器的階數(shù)通常偏大。文中提出的算法是在窗函數(shù)法的基礎(chǔ)上，以所定義的逼近誤差最小為準(zhǔn)則來進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的一種算法，由于其中的逼近誤差可根據(jù)不同的設(shè)計(jì)要求進(jìn)行定義，故此算法適應(yīng)性強(qiáng)，它即可用于設(shè)計(jì)選頻型濾波器，又適用于非選頻型濾波器的設(shè)計(jì)。          設(shè)計(jì)fir數(shù)字濾波器的基本方法       

3、;         設(shè)計(jì)fir數(shù)字濾波器的基本方法有窗函數(shù)法、頻率取樣法和等波動最佳逼近法，它們主要是針對選頻型濾波器（低通、高通、帶通和帶阻濾波器）的設(shè)計(jì)，此種濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)是類似的，典型的指標(biāo)為通帶波動和阻帶衰減。在fir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中，還會涉及如微分器和希爾伯特變換器之類的系統(tǒng)，這類非選頻型濾波器的設(shè)計(jì)也遵循以上方法，更完善的設(shè)計(jì)則是基于任意頻域指標(biāo)的。 窗函數(shù)法又稱傅里葉級數(shù)法，其設(shè)計(jì)是在時域進(jìn)行的。設(shè)需設(shè)計(jì)的理想濾波器的頻率響應(yīng)和單位沖激響應(yīng)分別為和，是的傅里葉反變換，它可表示為: &nb

4、sp;一般是無限長且非因果的，設(shè)計(jì)時需用一個合適的窗函數(shù)把截成有限長的因果序列，使對應(yīng)的頻率響應(yīng)（的傅里葉變換）盡可能好地逼近理想頻率響應(yīng)。為實(shí)際所設(shè)計(jì)出的濾波器的單位沖激響應(yīng)，其表達(dá)式為：    式中是窗函數(shù)，根據(jù)的特點(diǎn)和設(shè)計(jì)要求確定窗函數(shù)的形狀和濾波器的階數(shù)是這種方法的關(guān)鍵。常用的窗函數(shù)有矩形窗函數(shù)、三角窗函數(shù)、漢寧（hanning）窗函數(shù)、海明（hamming）窗函數(shù)、布萊克曼（blackman）窗函數(shù)、凱塞（kaiser）窗函數(shù)等。設(shè)的傅里葉變換為，則可表示為： 逼近的程度主要決定于的幅度函數(shù)的主瓣寬度以及旁瓣值的波動范圍和衰減速率。對于選頻型濾

5、波器，主瓣寬度決定了過渡帶寬的寬度，旁瓣值的波動則會在通帶和阻帶中引起相應(yīng)的波動。    窗函數(shù)法的主要缺點(diǎn)是：一、不容易設(shè)計(jì)預(yù)先給定截止頻率的濾波器；二、滿足同樣設(shè)計(jì)指標(biāo)的情況下所設(shè)計(jì)出的濾波器的階數(shù)通常偏大。 頻率取樣法是利用理想濾波器頻率響應(yīng)的有限個樣本點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)的一種方法。這種方法的突出優(yōu)點(diǎn)是可以在頻域直接進(jìn)行設(shè)計(jì)，而且在設(shè)計(jì)選頻型濾波器時可通過優(yōu)化設(shè)計(jì)減小逼近誤差；其缺點(diǎn)在于截止頻率的取值受限，另外，因賴以進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的變量僅限于過渡帶上的少數(shù)自由樣本點(diǎn)，故這種設(shè)計(jì)不是最佳設(shè)計(jì)。 相對于前兩種方法，等波動最佳逼近法是一種最佳設(shè)計(jì)方法，

6、但這里的最佳僅僅是指在濾波器階數(shù)相同的情況下，用這種方法設(shè)計(jì)出的濾波器的頻率響應(yīng)相對于理想濾波器的頻率響應(yīng)的最大誤差最小，對于其它設(shè)計(jì)指標(biāo)而言，這種方法則不一定是最佳的。 基于窗函數(shù)法設(shè)計(jì)fir數(shù)字濾波器的新算法此算法是一種基于窗函數(shù)法的優(yōu)化算法，其基本思想是在窗函數(shù)和濾波器階數(shù)不變的情況下，通過迭代運(yùn)算尋找一個最佳的頻率響應(yīng)函數(shù)，將對的傅里葉反變換加窗后得到的序列（）作為所設(shè)計(jì)濾波器的單位沖激響應(yīng)，對應(yīng)的頻率響應(yīng)相對于理想頻率響應(yīng)的逼近誤差最小。  算法的表述如下： 第一步：定義逼近誤差,確定窗函數(shù)和濾波器階數(shù)。 第二步：設(shè)定初值；。（和分別表示傅里葉變換和傅里

7、葉反變換運(yùn)算。） 第三步（從此步進(jìn)入迭代運(yùn)算）：； 。  第四步：；。 第五步：；。 第六步：將看作設(shè)計(jì)結(jié)果，利用和計(jì)算值。 第七步：若，值增加1，返回到第三步。若，判斷值是否小于上一次迭代所計(jì)算出的值（即利用和計(jì)算出的值），若是，值增加1，返回到第三步，若否，退出迭代，和即為設(shè)計(jì)結(jié)果。 下面對算法作幾點(diǎn)說明：第一步中，可根據(jù)設(shè)計(jì)要求任意定義。對于選頻型濾波器，一般將其定義為： 式中為通帶和阻帶的并集，為指定的誤差加權(quán)函數(shù)。設(shè)計(jì)不同的非選頻型濾波器時，對的定義往往也不同，有時將其定義為與之差的模的平均值： &nbs

8、p;            二、此算法是一種在窗函數(shù)法的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的算法，窗函數(shù)不同時，優(yōu)化效果和設(shè)計(jì)結(jié)果都是不同的，因而，設(shè)計(jì)時應(yīng)首先根據(jù)、和設(shè)計(jì)指標(biāo)（逼近誤差）在常用的窗函數(shù)中選擇最佳的窗函數(shù)；若不能確定最佳窗函數(shù)，可首先采用多種窗函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，然后從中選取最好的設(shè)計(jì)結(jié)果。    三、在算法的迭代過程中，隨著值的增加對應(yīng)的值在有些情況下是非遞增的，在有些情況下則是波動的，這同以及對的定義有關(guān)。所以，第七步中當(dāng)值不再減小時可繼續(xù)進(jìn)行迭代，待迭代次數(shù)足夠大后

9、，選擇其中最小的值所對應(yīng)的和作為最后設(shè)計(jì)結(jié)果。    四、第二步中，在保證的對稱性的前提下（針對線性相位濾波器的設(shè)計(jì)），可對的幅度作其它設(shè)定（其相位不能改變），的幅度不同時設(shè)計(jì)結(jié)果會有所不同，設(shè)計(jì)時可通過調(diào)整其幅度進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果。  五、前面提到的最佳頻率響應(yīng)函數(shù)是由、和決定的。假設(shè)迭代次后得到設(shè)計(jì)結(jié)果，并記，通常是一個與不相等但接近的頻率響應(yīng)函數(shù)，接近的程度同第二步中所設(shè)定的有關(guān)。  六、此算法對矩形窗函數(shù)是無效的。可以證明，當(dāng)采用矩形窗函數(shù)時，迭代過程中隨著值的增加的值將保持為零。 算法的應(yīng)用舉例我們運(yùn)用此算法對直接數(shù)字式信號合成系統(tǒng)中dac幅頻衰減補(bǔ)償濾波器進(jìn)行了設(shè)計(jì)，此濾波器理想的頻率響應(yīng)為： 是線性相位的，根據(jù)其幅度函數(shù)的特點(diǎn)，所要設(shè)計(jì)的濾波器的階數(shù)應(yīng)為奇數(shù)。當(dāng)值較小時，算法的優(yōu)化效果很明顯，設(shè)計(jì)中將值定為11，采用的窗函數(shù)為布萊克曼（bl