平行四邊形培優(yōu)講義新打印版

1、平邊四邊形知識(shí)點(diǎn).知識(shí)框架.知識(shí)概念平行四邊的定義：兩線對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點(diǎn) 連成的線段叫做它的對(duì)角線。平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等,對(duì)角線互相平分。 平行四邊形的判別方法：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角。（矩形是軸對(duì)稱

2、圖形, 有兩條對(duì)稱軸）矩形的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形 （根據(jù)定義）。對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。 四個(gè)角都相等的四邊形是矩形。推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且四條邊都相等，兩條對(duì)角線互相垂直平分，每一條對(duì)角 線平分一組對(duì)角。菱形是軸對(duì)稱圖形，每條對(duì)角線所在的直線都是對(duì)稱軸。 菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 四條邊都相等的四邊形是菱形。S菱形=1/2X ab （a b為兩條對(duì)角線）或底x高正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。正方

3、形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。 四條對(duì)稱軸）正方形常用的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形； 鄰邊相等的矩形是正方形； 對(duì)角線互相垂直的矩形；對(duì)角線相等的菱形；（正方形是軸對(duì)稱圖形，有梯形的定義： 一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。直角梯形的定義：有一個(gè)角是直角的梯形等腰梯形的定義：兩腰相等的梯形。等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底邊上的兩個(gè)角相等；等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。 等腰梯形判定定理：同一底上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。梯形常用輔助線：平行四邊形的判定及性質(zhì)鞏固練習(xí)題1、如圖，已知在四邊形 ABCD中, AD=BC/ D=Z DCE求證：四邊形 A

4、BCD是平行四邊形.2、如圖，在 口ABCD中，E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，且 AE / CF , AE與CF相等嗎？說明理由3、有一個(gè)四邊形的四邊長(zhǎng)分別是a, b, c, d,且有a2+b2+c2+d2=2 （ac+bd）.求證：此四邊形是平行四邊形.4、 ABCD中 ,AC、BD交于點(diǎn) O, AE=CF 求證：BE=DF5、（變式練習(xí) 2） ABCD中 ,AC、BD交于點(diǎn)O, AE=CF BM=DN求證：四邊形MFNE!平行四邊形6、（變式練習(xí)3）如圖，平行四邊形 ABCD中, E、F是AC上兩點(diǎn)，且 AE=CF又點(diǎn)M N分別在AB CD上 , 且MF/ EN MN交AC于O。求證：EF

5、與MN互相平分。7、（變式練習(xí)4）如圖所示，口ABCD的對(duì)角線 AC、BD交于O, EF過點(diǎn)O交AD于E，交BC于F , G是OA的中點(diǎn)，H是OC的中點(diǎn)，四邊形 EGFH是平行四邊形，說明理由8 （變式練習(xí)）口 ABCD中, DE平分/ ADC交BC的延長(zhǎng)線于 E, BF平分/ ABC交AB的延長(zhǎng)線于F,求證：四邊形 DEBF是平行四邊形9、（變式練習(xí)1）如圖所示，平行四邊形 ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點(diǎn)，連結(jié)AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于點(diǎn)P，CM、DN交于點(diǎn)Q.四邊形MGNP是平行四邊形嗎？為什么?10、（變式練習(xí)2）如圖，E、F分別為口 ABCD的邊AD BC的中點(diǎn)

6、。求證：（1）BE=DF（2） O為GH的中點(diǎn)。11、 ABCD中, E在 AB上, F 在 CD上，且 AE=CF,M為 DE中點(diǎn)，N為 FB 中點(diǎn)，求證：FM=NE ME=NF12、已知如圖：在ABCD中，延長(zhǎng) AB到E,延長(zhǎng)CD到F,使BE=DF，則線段AC與EF是否互相平分？說明理由.13、如圖所示，已知點(diǎn) D是厶ABC的邊AB上的中點(diǎn)，點(diǎn) E是AC上的一點(diǎn)，DF/ BE,EF/ AB,證明：AE、DF 互相平分14、如圖,結(jié)AE,已知人。是厶ABC的邊BC上的中線，求證：DE=ACF15、如圖，在 口ABCD中，/ DAB=60，點(diǎn)E、F分別在 CD AB的延長(zhǎng)線上，且 AE=AD

7、CF=CB求證：四邊形 AFCE是平行四邊形.16、如圖所示，某城市部分街道示意圖，AF / BC , EC丄BC, BA / DE , BD / AE , EF=FC，甲、乙兩人同時(shí)從B站乘車到F站，甲乘1路車，路線是 BtAtEtF,乙乘2路，路線是 B宀D宀C宀F,假設(shè)兩車速 度相同，途中耽誤時(shí)間相同，那么誰(shuí)先到達(dá)F站，請(qǐng)說明理由R(:17、在平行四邊形 ABCD中，BN = DM , BE = DF，求證：四邊形 MENF是平行四邊形BE C18、如圖，在二ABCD 中，AB=2AD，延長(zhǎng) AD至U F,使DF=AD,再延長(zhǎng) DA至U E,使AE=AD,求證：BF丄CE.F19、如圖1

8、9- 1 30,分別以 ABC的三邊為邊長(zhǎng)，在 BC的同側(cè)作等邊三角形 ABD，等邊三角形 BCE , 等邊三角形ACF，連接DE，EF。求證：四邊形 ADEF是平行四邊形。圖 19-1-3020、如圖3，在 ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn), E分別是AD及其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)， CF / BE，連結(jié)BF, CE，試判斷四邊形 BECF是何種特殊四邊形，并說明理由。21、如圖2,平行四邊形 ABCD中，E、G、F、H分別是四條邊上的點(diǎn)，且 AE = CF, BG = DH，試說明:EF與GH相互平分.矩形拓展題1、如圖，四邊形 ABCD的對(duì)角線互相平分，要使它成為矩形，那么需要添加的條件是（）A .

9、 AB = CDB. AD = BCC. AB= BCD . AC= BDD2、如圖，矩形 ABCD AB=12cm AD=16cm現(xiàn)將其按下列步驟折疊： （1）將厶BAD對(duì)折，使AB落在AD上, 得到折痕AF,如圖（2）將厶AFB沿BF折疊，AF與DC交點(diǎn)G,如圖則所得梯形 BDGF勺周長(zhǎng)等于（）A.12+2 ,2B.24+22C.24+42D.12+43、如圖，邊長(zhǎng)為（m+3）的正方形紙片剪出一個(gè)邊長(zhǎng)為m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一個(gè)矩形 （不重疊無縫隙），若拼成的矩形一邊長(zhǎng)為 3,則另一邊長(zhǎng)是A . 2m+3B . 2m+6C. m+3( )D. m+64、+ m+3 +（第3題）如

10、圖，矩形 ABCD中，AB AD , AB=a, AN平分/DAB , DM 丄 AN 于占八、M , CN丄AN于點(diǎn)N .貝U DM+CN的值為（用含a的代數(shù)式表示）（C5、如圖，已知矩形紙片C.厶2BABCD，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G是BC上的一點(diǎn),BEG 60 ,現(xiàn)沿直線EG將紙片折疊，使點(diǎn) B落在紙片上的點(diǎn) H處，連接AH，則與 BEG相等的角的個(gè)數(shù)為（A.4B. 3C.26、矩形紙片 ABCD 中,AB= 3, AD = 4,將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊CD上的B處，折痕為 AE 在折痕AE上存在一點(diǎn)P到邊CD的距離與到點(diǎn)B的距離相等，則此相等距離為 7小明嘗試著將矩形紙片 ABCD （如

11、圖，ADCD）沿過A點(diǎn)的直線折疊，使得 B點(diǎn)落在AD邊上的點(diǎn)F 處，折痕為AE （如圖）；再沿過D點(diǎn)的直線折疊，使得 C點(diǎn)落在DA邊上的點(diǎn)N處，E點(diǎn)落在AE邊上 的點(diǎn)M處，折痕為DG （如圖）.如果第二次折疊后， M點(diǎn)正好在/ NDG的平分線上，那么矩形 ABCD 長(zhǎng)與寬的比值為.8如右上圖，將矩形ABCD紙片沿EF折疊，使D點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)D重合，若BC=8 , CD=6，則CF= 0) 過點(diǎn)D作DF丄BC于點(diǎn)F，連接DE、EF.(1) 求證：AE=DF ;(2) 四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的 t值；如果不能，說明理由(3) 當(dāng)t為何值時(shí)， DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由

12、正方形練習(xí)題1、 正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，它的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn) 0,則厶ABO的周長(zhǎng)為，面積為2、 如圖，E是正方形 ABCD 邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， EC=AC , AE交CD于F,則/ AFC=ADDCCFMBECBAB2題圖3題圖6題圖34AE=若正三角形AEF=AEDDCDEFABBBECCBC方形重疊部分的面積是BACDNB13、如圖，在正方形A如圖，在正方形 ABCD中ABC D，則旋轉(zhuǎn)后兩個(gè)正A P8題圖中，P是AD上任一點(diǎn)12、如圖，將邊長(zhǎng)為 1的正方形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60。，至正方形11、在厶ABC 中，AB=AC , D 是 BC 中點(diǎn)，DE丄AB,DF丄

13、AC,垂足 分別為 E,F,只添加一個(gè)條件,使四邊形AEDF為正方形（寫出一個(gè)條件即可）在正方形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，AE把正方形分成兩部分，且 S紳已：S梯形AECD =1：5 , AB=6,則AB=8 , AE=2, EF= 2 5 點(diǎn) E 在 AB 上，點(diǎn) F 在 AD 上，貝U CF=F7題圖8、如圖，在正方形 ABCDPE+PF=9、 正方形 ABCD邊長(zhǎng)為8, M在DC上，且DM=2,N是 AC上的一動(dòng)點(diǎn)，貝U DN+MN勺最小值為10題圖PE丄AC,PF丄BD,點(diǎn)E、F分別是垂足，BD+AC=14則M CABCD中，M為BC上任一點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，且AM=DC+CM D

14、求證：AN平分/ DAM10、如圖，已知邊長(zhǎng)為 1的正方形ABCD E為AD中點(diǎn)，P為CE的中點(diǎn)，貝U S存PDD F15、若正方形面積縮小為原來的 -，則它的邊長(zhǎng)是原來邊長(zhǎng)的 36、 如圖，ABCD是正方形，M是BC中點(diǎn)，將正方形折起，使點(diǎn) A與點(diǎn)M重合，設(shè)折痕為 EF,若正方形面積為64,那么 AEM的面積是7、 如圖，以正方形 ABCD的對(duì)角線 BD為邊作正三角形 BDE,過E作EF丄AD,交DA的延長(zhǎng)線于 F,則/BDE的周長(zhǎng)是12； 2，正方形面積為A E14、已知正方形 ABCD中, M是AB的中點(diǎn)，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， MNL DM且交/ CBE的平分線于 N.求證: MD=M

15、N.若M是AB上任意一點(diǎn)，MD=MNE成立嗎？若成立，請(qǐng)證明之；若不成立，請(qǐng)說明理由。D.C15、如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線分別交 CD、AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F、BG.求證：BE=BG+CF16、如圖，在正方形 ABCD中, PAQ是正三角形，設(shè)AB=10,求PB的長(zhǎng)ABCD中，F(xiàn)是對(duì)角線 AC上任一點(diǎn),BF丄 EF,求證：BF=EF17、如圖，在正方形18、如圖，正方形 ABCD邊長(zhǎng)為1 , E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC邊上移動(dòng)試判斷當(dāng)點(diǎn)F移到什么位置時(shí), AE是/ DAF的平分線？19、如圖，在正方形 ABCD中, E是DB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且/ ECB=15

16、.求證：EC=BD四邊形綜合培優(yōu)題1、以厶ABC的邊AB、AC、BC為邊作等邊 ABD、等邊 ACE和等邊 BCF。(1) 求證四邊形 ADFE是平行四邊形.E60*(2) 當(dāng)厶ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形 ADFE是矩形；(3) 當(dāng)厶ABC滿足什么條件時(shí)，平行四邊形ADFE不存在；(4) 當(dāng)厶ABC分別滿足什么條件時(shí)，平行四邊形是菱形、正方形.2、如圖：正方形ABCD的對(duì)角線 AC、BD相交于點(diǎn) O, E是AC上的一點(diǎn)，連接EB，過點(diǎn)A作AM丄BE , 垂足M , AM交BD于點(diǎn)F. 求證OE=OF 如圖2所示，若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AM丄EB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) M，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,其他條

17、件 都不變，則結(jié)論 OE=O”還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由.3、如圖，在梯形 ABCD 中，/ A+ / B=90 , AB/CD,M,N 分別是 AB,CD1 的中點(diǎn)，求證：MN= (AB-CD).24、已知：如圖，在 ABC中，AB=AC, AD丄BC ,垂足為點(diǎn) D, AN是厶ABC外角/ CAM的平分線，CE丄AN,垂足為點(diǎn) E,(1) 求證：四邊形 ADCE為矩形；(2) 當(dāng) ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形 ADCE是一個(gè)正方形？并給出證明.DC5、在口ABCDK/ BAD的平分線交直線 BC于點(diǎn)E,交直線DC于點(diǎn)F.1中證明CE= CF；(1)在圖(2)若/

18、AB& 90 , G是EF的中點(diǎn)(如圖2),求/ BDG勺度數(shù)(3)若/ABC= 120, FG/ CE F*CE 分別連結(jié) DB DG(如圖 3),求/圖3BDE6、已知正方形 ABCD點(diǎn)P是對(duì)角線AC所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) E在DC邊所在直線上，且始終保持 PE= PD(1) 如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線AC上時(shí)，觀察、猜想 PE與PB有怎樣的關(guān)？并證明你的結(jié)論。(2) 如圖2,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中猜想的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果 不成立，請(qǐng)說明理由；(3) 如圖3,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你利用圖3畫出滿足條件的圖形,并判斷此時(shí)PE與PB有怎樣的關(guān)系？

19、并證明你的結(jié)論。7、如圖，梯形 ABCDK AD/ BC / DCB= 45, CD= 2, BD丄 CD 過點(diǎn) C作 CEL AB于 E,交對(duì)角線 BD于 F,點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，連結(jié) EG AF.(1 )求EG的長(zhǎng)；(2)求證：CF= AB+ AF.(用兩種方法證明)nan8以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH .(1) 如圖1,當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為 矩形時(shí)，請(qǐng)判斷：四邊形 EFGH的形狀并說明理由；(2) 如圖3,當(dāng)四邊形

20、ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)/ ADC (0 ： V 90), 試用含:-的代數(shù)式表示/ HAE : 求證：HE=HG : 四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由.FFF9、如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC, E、F分別是 AB、DC邊的中點(diǎn)，AB=4，/ B=60 (1) 求點(diǎn)E到BC邊的距離；(2) 點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過 P作PM丄BC,垂足為M，過點(diǎn)M作MN / AB交線段AD于點(diǎn)N , 連接PN、探究：當(dāng)點(diǎn) P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí)， PMN的形狀是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出厶 PMN的面 積和周長(zhǎng)；若變化，請(qǐng)說明理由.10、將一副三角尺如圖拼接：含 30角的三角尺(

21、ABC的長(zhǎng)直角邊與含 45角的三角尺( ACD的 斜邊恰好重合.已知 AB= 2 3 , P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1) 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到/ ABC的平分線上時(shí)，連接 DP求DP的長(zhǎng)；(2) 當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn) PD= BC時(shí)，求此時(shí)/ PDA勺度數(shù)；(3) 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以 D, P, B, Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的頂點(diǎn) Q恰好在邊BC上？求出此時(shí) 口 DPBQ勺面積.D（第10題）（備用圖）AE AC和 BE相交11、如圖 1，在 ABC中, AB= BC= 5, AC=6. ABC沿 BC方向平移得到的，連接于點(diǎn)Q（1）判斷四邊形 ABCE1怎樣的四邊形，說明理由；（第 11題圖1）（第 11題圖2）（2）如圖2, P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（圖2）,（不與點(diǎn)B