第4章-2(非線性方程迭代解法)

1、4.2 4.2 非線性方程的迭代解法非線性方程的迭代解法 工程實(shí)際與科學(xué)計(jì)算中都遇到大量求解非線性工程實(shí)際與科學(xué)計(jì)算中都遇到大量求解非線性若數(shù)若數(shù) 0)(xf(4-17)(4-17)，()0f，為方程（為方程（4-174-17）的的零點(diǎn)零點(diǎn)。 的的根根， )(xf使使則稱則稱或稱函數(shù)或稱函數(shù)常見的非線性方程有代數(shù)方程（二次、三次等）、常見的非線性方程有代數(shù)方程（二次、三次等）、超越方程（三角方程，指數(shù)、對(duì)數(shù)方程等）。超越方程（三角方程，指數(shù)、對(duì)數(shù)方程等）。方程的問題。方程的問題。 對(duì)于非線性方程對(duì)于非線性方程 困難困難 即使是最基本的代數(shù)方程，當(dāng)次數(shù)超過即使是最基本的代數(shù)方程，當(dāng)次數(shù)超過4 4

2、時(shí)，時(shí)，在一般情況下沒有根式解公式，即難以用解析法求出在一般情況下沒有根式解公式，即難以用解析法求出方程的根，對(duì)于超越方程就更難了。方程的根，對(duì)于超越方程就更難了。 因此，研究用數(shù)值方法計(jì)算非線性方程的根就顯因此，研究用數(shù)值方法計(jì)算非線性方程的根就顯得非常必要。得非常必要。在求根時(shí)通常在求根時(shí)通常假設(shè)非線性方程假設(shè)非線性方程中的函數(shù)中的函數(shù)是關(guān)于是關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)。的連續(xù)函數(shù)。若令若令)(xfy 則它在平面直角坐標(biāo)系則它在平面直角坐標(biāo)系 xyO 下的圖像為連續(xù)曲線，下的圖像為連續(xù)曲線， f x f x0可見可見, ,求求 的根，的根， 0)(xf如果如果0)(xf在區(qū)間在區(qū)間 ,ba上僅有一個(gè)

3、根，則稱上僅有一個(gè)根，則稱 ,ba為方程的為方程的單根區(qū)間單根區(qū)間；,ba為方程的為方程的多根區(qū)間多根區(qū)間。 ,ba上有多個(gè)根，則稱上有多個(gè)根，則稱 若方程在若方程在與與 )(xfy x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn) 就是求就是求yxo)(xfy 方程的單根區(qū)間和多根區(qū)間統(tǒng)稱為方程方程的單根區(qū)間和多根區(qū)間統(tǒng)稱為方程的的有根區(qū)間有根區(qū)間。 為了研究方便，我們主要研究方程在為了研究方便，我們主要研究方程在單根區(qū)間上的求解方法單根區(qū)間上的求解方法。 （4-184-18） 4.2.1 4.2.1 簡(jiǎn)單迭代法簡(jiǎn)單迭代法 首先將方程首先將方程0)(xf化為一個(gè)與它同解的方程化為一個(gè)與它同解的方程 )(xx)(x為為 其

4、中其中x的連續(xù)函數(shù)。的連續(xù)函數(shù)。 即如果數(shù)即如果數(shù)使使()0f反之，反之， ()0f，。則也有則也有 ( ) ，( ) 則也有則也有 ， 若若稱稱迭代法迭代法或或迭代過程迭代過程或或迭代格式迭代格式，通常稱（通常稱（4-194-19）為求解非線性方程的）為求解非線性方程的簡(jiǎn)單迭代法簡(jiǎn)單迭代法， 代入（代入（4-184-18）的右端，得到）的右端，得到，再將，再將)(01xx代入（代入（4-184-18）右端得）右端得 1x)(12xx，繼為之，得到一個(gè)數(shù)列，繼為之，得到一個(gè)數(shù)列， )(1kkxx（4-194-19）)(x稱為稱為迭代函數(shù)迭代函數(shù)， kx稱第稱第 k步的步的迭代值迭代值或或簡(jiǎn)稱迭

5、代值簡(jiǎn)稱迭代值。其一般表示形式為其一般表示形式為 也也 0 x，任取一個(gè)初始值任取一個(gè)初始值), 2, 1, 0( k則稱則稱迭代法收斂迭代法收斂，如果由迭代格式產(chǎn)生的數(shù)列收斂，即如果由迭代格式產(chǎn)生的數(shù)列收斂，即kkxlim否則稱否則稱迭代法發(fā)散迭代法發(fā)散。 若迭代法收斂于若迭代法收斂于 ,則則 所以所以()0f。1limlim ()kkkkxx( ). 即即 幾何直觀：幾何直觀：在曲線在曲線 )(xy上得到點(diǎn)列上得到點(diǎn)列 ,21PP，其橫坐標(biāo)分別其橫坐標(biāo)分別為由公式為由公式 )(1kkxx所確定的迭代值所確定的迭代值 ,21xx，若迭代法收斂若迭代法收斂 kkxlim，則點(diǎn)列則點(diǎn)列 ,21P

6、P將越來越逼近所求的交點(diǎn)將越來越逼近所求的交點(diǎn) *P。p1p2p*yxo2x1x0 xp0)(xyy=x), 2, 1, 0( k（1 1）化方程為等價(jià)方程化方程為等價(jià)方程則迭代值為則迭代值為 取初始值取初始值 用迭代法求用迭代法求 的根。的根。，012)(3xxxf31( )2xxx00 x3121x，32279. 01x，332964. 01x，顯然顯然, , 當(dāng)當(dāng) k時(shí)，時(shí)， 1kx(1)0f, ,即迭代法收斂于即迭代法收斂于1. 1. 1x就是方程就是方程 0)(xf的根。的根。例例1 1解解35 . 079. 03895. 0964. 0994. 03112kkxx則迭代格式為則迭代

7、格式為 , ,所以所以 （2 2） 為等價(jià)方程為等價(jià)方程 化化0)(xf)(123xxx，同樣取初始值同樣取初始值00 x，其迭代格式為其迭代格式為 11021x，31) 1(232x，551)3(233x，顯然顯然, , 當(dāng)當(dāng) ,時(shí)k, ,故迭代法發(fā)散。故迭代法發(fā)散。 上述例子表明，迭代法的收斂與發(fā)散，依賴于迭上述例子表明，迭代法的收斂與發(fā)散，依賴于迭代函數(shù)的構(gòu)造，迭代函數(shù)構(gòu)造的方法很多。代函數(shù)的構(gòu)造，迭代函數(shù)構(gòu)造的方法很多。 kx1231kkxx 對(duì)于同一個(gè)方程，由于構(gòu)造出來的迭代函對(duì)于同一個(gè)方程，由于構(gòu)造出來的迭代函數(shù)不同，有的迭代函數(shù)所構(gòu)成的迭代法收斂，有數(shù)不同，有的迭代函數(shù)所構(gòu)成的迭

8、代法收斂，有的迭代函數(shù)所構(gòu)成的迭代法卻發(fā)散。的迭代函數(shù)所構(gòu)成的迭代法卻發(fā)散。 迭代函數(shù)滿足什么條件時(shí)，迭代法收斂？迭代函數(shù)滿足什么條件時(shí)，迭代法收斂？xyoxy xy0 x1x2xxyoxy xy0 x1x2x3x 10 x 01x從而從而, ,迭代函數(shù)滿足條件：迭代函數(shù)滿足條件： 1 x時(shí)時(shí), ,迭代法收斂。迭代法收斂。xyoxy xy0 x1x2xxyoxy xy0 x1x2x3x x1 1 x從而從而, ,當(dāng)當(dāng) 或或 1 x時(shí)時(shí), ,迭代法發(fā)散。迭代法發(fā)散。 x1定理定理4.54.5 設(shè)迭代函數(shù)設(shè)迭代函數(shù) )(x滿足滿足（1 1） （2 2） ，存在正數(shù)存在正數(shù) 10 L對(duì)任意對(duì)任意,b

9、ax均有均有Lx | )(|則則)(xx在在,ba內(nèi)存在唯一根內(nèi)存在唯一根, ,且對(duì)任意初始值且對(duì)任意初始值,0bax , , 迭代法迭代法), 2 , 1 , 0( )(1kxxkk收斂于收斂于, , 且且1 1 2 2 |1|1kkkxxLLx10|()11kkkLLxxxbaLL（4-204-20）（4-214-21）當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，,baxbxa)(滿足條件（滿足條件（1 1）、（）、（2 2）時(shí)，）時(shí)， 易證方程易證方程)(xx在在 a, ,b 內(nèi)存在唯一根內(nèi)存在唯一根 。 因?yàn)橐驗(yàn)?(1kkxx，且且)(，根據(jù)微分中值定理可得根據(jù)微分中值定理可得其中其中,21ba。由條件（。由條件（

10、2 2）得）得（4-22）證證1kx)()(kx)(1kxkkxx1)()(1kkxx21()()kkxx |1kx|)(|1kx|kxL|1kkxx|)(|12kkxx|1kkxxL又因?yàn)橛忠驗(yàn)閨1kkkxxx|1kkxxL將上式移項(xiàng)整理后，將上式移項(xiàng)整理后，得得從而從而即即（4-20）成立。成立。再反復(fù)使用再反復(fù)使用（4-22）的第的第2 2式，得式，得 112|kkkkxxL xx將上式代入將上式代入（4-20）即得即得（4-21）成立。成立。 110|kLxx|1kx|kxLL()|kx1L1|kkxx|kxL1|kkxx1L又因?yàn)橛忠驗(yàn)長(zhǎng)1 1，所以根據(jù)所以根據(jù)（4-21）得得 0|

11、limkkx故故迭代法收斂迭代法收斂。kkxlim 即當(dāng)?shù)瘮?shù)滿足定理當(dāng)?shù)瘮?shù)滿足定理4.54.5的條件且的條件且 L較小時(shí)，較小時(shí)，根據(jù)根據(jù)（4-204-20）式可知，）式可知， 只要相鄰兩次計(jì)算值的偏差只要相鄰兩次計(jì)算值的偏差 |1kkxx達(dá)到事先給定的精度要求達(dá)到事先給定的精度要求（即（即 |1kkxx）時(shí)，）時(shí)，過程就可以終止，過程就可以終止，迭代迭代kx就可作為就可作為的近似值。的近似值。因此，因此，（4-204-20）式也是判斷迭代是否可終止的依據(jù)。）式也是判斷迭代是否可終止的依據(jù)。如果對(duì)如果對(duì) 的大小可作出估計(jì)時(shí)，的大小可作出估計(jì)時(shí)， 由（由（4-214-21）式就可以大概估

12、計(jì)）式就可以大概估計(jì)L出迭代過程所需要的迭代次數(shù)出迭代過程所需要的迭代次數(shù)， 即即|kx時(shí)，時(shí)，k的的 大小范圍。大小范圍。由于定理由于定理4.54.5的條件一般難于驗(yàn)證，的條件一般難于驗(yàn)證， 而且在大區(qū)間而且在大區(qū)間,ba上，上，這些條件也不一定都成立，這些條件也不一定都成立， 所以在使用迭代法所以在使用迭代法時(shí)往往在根時(shí)往往在根的附近進(jìn)行。的附近進(jìn)行。只要假定只要假定)(x在在的附近的附近連續(xù)，連續(xù)，且滿足且滿足1)(則根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)則根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，一定存在一定存在的某個(gè)鄰域的某個(gè)鄰域|:| xS，)(x在在S上滿足定理上滿足定理4.54.5的條件。的條件。故在故在S S中任取初

13、始值中任取初始值0 x, ,迭代格式迭代格式)(1kkxx收斂于方程的根收斂于方程的根, ,即即( )0f, ,稱這種收斂為稱這種收斂為局部收斂。局部收斂。求方程求方程xex在在5 . 0 x附近的一個(gè)根，附近的一個(gè)根， 要求要求精度精度310。解解由于由于xxeex)()(, , 故當(dāng)故當(dāng)7 . 0 , 5 . 0 x時(shí)，時(shí)，61. 0| )(|xxeex1因此，因此，迭代格式迭代格式kxkex1, ,對(duì)于初始值對(duì)于初始值0 x=0.5=0.5是收斂的。是收斂的。例例2 2 10 xfxxe 原方程 kkxkxe|1kkxx015 . 0061292. 00.606531545239. 05

14、79703. 0545239. 0579703. 0560065. 0560065. 0571172. 0564863. 0571172. 0564863. 0568439. 0568439. 0566409. 0566409. 0567560. 0567560. 0566907. 0566907. 0567277. 0034464. 0019638. 0011107. 0006309. 0003576. 0002030. 0001151. 0000653. 0000370. 023450.606531678910迭代的數(shù)值結(jié)果表迭代的數(shù)值結(jié)果表從定理從定理4.54.5的（的（4-214-21

15、）式可以看出，）式可以看出， 當(dāng)當(dāng)L L或或| )(|x在在,ba上的值越小，上的值越小，迭代過程的收斂速度就越快。迭代過程的收斂速度就越快。但當(dāng)?shù)?dāng)1L且接近于且接近于1 1時(shí)，時(shí)， 迭代法雖然收斂迭代法雖然收斂, ,但是收斂速度很慢。但是收斂速度很慢。為了使收斂速度有定量的判斷，為了使收斂速度有定量的判斷，概念，概念，作為判斷迭代法收斂速度的重要標(biāo)準(zhǔn)。作為判斷迭代法收斂速度的重要標(biāo)準(zhǔn)。設(shè)迭代格式設(shè)迭代格式)(1kkxx，當(dāng)當(dāng)k時(shí)，時(shí)，1kx，并記并記kkxe。特介紹收斂速度的階特介紹收斂速度的階的的定義定義4.24.2 若存在實(shí)數(shù)若存在實(shí)數(shù)1p和和0c滿足滿足ceepkkk|lim1（4-

16、234-23）則稱則稱迭代法是迭代法是p階收斂階收斂。當(dāng)當(dāng)1p時(shí)，時(shí)， 稱線性收斂，稱線性收斂， 當(dāng)當(dāng)1p時(shí)稱超線性收斂，時(shí)稱超線性收斂，當(dāng)當(dāng)2p時(shí)稱平方收斂。時(shí)稱平方收斂。p越大迭代法的收斂速度也越快越大迭代法的收斂速度也越快。但是在實(shí)際使用但是在實(shí)際使用中中p很難直接確定很難直接確定，常常采用一些其他的方法來確定收常常采用一些其他的方法來確定收斂斂的階。的階。 使用使用Taylor展開式是一種常用的方法。展開式是一種常用的方法。如果如果)(x在根在根處充分光滑（各階導(dǎo)數(shù)存在）處充分光滑（各階導(dǎo)數(shù)存在），則可對(duì)則可對(duì))(x在在處進(jìn)行處進(jìn)行Taylor展開，展開， 得得如果如果0)()()()

17、1( p，但是但是0)()(p，則則 21112!1 !kkkkppkxxxxxp !ppkkxp 11kkxx 即即!| )(|)(1pxxkppkk從而從而pkkkxx|lim1上式說明迭代法具有上式說明迭代法具有p階收斂。階收斂。定理定理4.64.6 如果如果)(x在根在根中的迭代函數(shù)中的迭代函數(shù))(xx附近滿足滿足：附近滿足滿足：（1 1）)(x存在存在p階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；階連續(xù)導(dǎo)數(shù)；（2 2）0)(, 0)()()()()1( pp則迭代法則迭代法)(1kkxx是是p階收斂。階收斂。，pkkkee|lim1!| )(|lim)(pkpk!| )(|)(pp 25xxx要使迭代法收斂到要使迭

18、代法收斂到,5*x例例 取迭代函數(shù)取迭代函數(shù)解解： 12,xx51251,令令1 1251 105且其收斂階是多少？且其收斂階是多少？051,此時(shí)為線性收斂，此時(shí)為線性收斂，p=1=1。即有即有當(dāng)當(dāng)12 5時(shí)，時(shí)，50,此時(shí)為平方收斂，此時(shí)為平方收斂，p=2=2。當(dāng)當(dāng)12 5時(shí)，時(shí)，則則 應(yīng)取何值？應(yīng)取何值？4.2.2 4.2.2 Newton迭代法及其變形迭代法及其變形 用迭代法解非線性方程時(shí)，用迭代法解非線性方程時(shí)，如何構(gòu)造迭代函數(shù)是非如何構(gòu)造迭代函數(shù)是非常重要的，常重要的，那么怎樣構(gòu)造的迭代函數(shù)才能保證迭代法收那么怎樣構(gòu)造的迭代函數(shù)才能保證迭代法收斂呢？斂呢？不管非線性方程不管非線性方程

19、0)(xf的形式如何，的形式如何， 總可以構(gòu)總可以構(gòu)造造)0)( )()()(xkxfxkxxx（4-254-25）作為方程（作為方程（4-174-17）求解的迭代函數(shù)。）求解的迭代函數(shù)。因?yàn)橐驗(yàn)?()()()(1)(xfxkxfxkx而且而且| )(|x在根在根附近越小，附近越小，其局部收斂速度越快，其局部收斂速度越快，故可令故可令0)()(1)()()()(1)(fkfkfk若若0)(f（不是重根），（不是重根）， 則則)(1)(fk故可取故可取)(1)(xfxk代入（代入（4-254-25）式，）式，得得)()(xfxfxx例例3 3證明由證明由)()()(xxfxfxx（4-244-2

20、4）建立的迭代格式至少是平方收斂。建立的迭代格式至少是平方收斂。證證根據(jù)定理根據(jù)定理4.64.6，只需證明只需證明0)(。因?yàn)橐驗(yàn)?()()(xxfxfx0)()()(2 xxfxfxf故該迭代法至少是平方收斂。故該迭代法至少是平方收斂。由（由（4-244-24）式建立的迭代法就是有名的）式建立的迭代法就是有名的Newton法法。設(shè)設(shè)( )0,( )0ff 0 xf且且 xxfxfxfxf22)()()()(1定理定理4.74.7 設(shè)方程設(shè)方程f（x）=0=0的根為的根為, , 且且0)(f則則Newton迭代法迭代法), 2 , 1 , 0( )()(1kxfxfxxkkkk（4-264-2

21、6）至少是平方收斂。至少是平方收斂。xy xfy o0 x1x3x2xNewton Newton 迭代法的幾何意義迭代法的幾何意義-切線法切線法Newton迭代法迭代法), 2 , 1 , 0( )()(1kxfxfxxkkkk由于由于Newton迭代法帶有迭代法帶有)(xf的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù))(xf , ,使用使用起來不太方便。起來不太方便。為了不求導(dǎo)數(shù)，為了不求導(dǎo)數(shù)， 可用導(dǎo)數(shù)的近似式替代可用導(dǎo)數(shù)的近似式替代：11)()()(kkkkkxxxfxfxf將它代入（將它代入（4-264-26）代替）代替)(kxf , ,得得)(xf 則則（4-274-27）（4-274-27）就是弦截法。）就是弦截

22、法。 由于弦截法采用了導(dǎo)數(shù)的近由于弦截法采用了導(dǎo)數(shù)的近似值，似值，故在故在Newton法和弦截法都收斂的情況下，法和弦截法都收斂的情況下， 弦截法弦截法的收斂階為的收斂階為618.1251p, , 低于低于Newton法，法， 為超線為超線性收斂。性收斂。 11kkkkkkf xxxxf xf x1kx11kkkkkkf xxxxf xf x111kkkkkkkf xxxf xf xxxxy xfy o0 x1x3x2x 弦截法弦截法的幾何意義的幾何意義例例4 4用用Newton法和弦截法分別計(jì)算方程法和弦截法分別計(jì)算方程 013xxxf在在5 . 1x附近的根附近的根。解解（1 1）使用使用

23、Newton法，法，并取并取5 .10 x131)()(231kkkkkkkkxxxxxfxfxx（4-284-28）34783. 11)5 . 1 (315 . 1)5 . 1 (5 . 1131232003001xxxxx32520. 11312113112xxxxx32472. 11312223223xxxxx32472. 11312333334xxxxx迭代迭代3 3次就得到具有次就得到具有6 6位有效數(shù)字的結(jié)果。位有效數(shù)字的結(jié)果。312131kkkkkxxxxx（2 2）使用弦截法，使用弦截法， 并取并取 4 . 1, 5 . 110 xx11)()()()(21123111kkkk

24、kkkkkkkkkkxxxxxxxxxxfxfxfxx33522. 11)5 . 1 (5 . 14 . 1)4 . 1 (14 . 1)4 . 1 (4 . 12232x32541. 11)4 . 1 (4 . 133522. 1)33522. 1 (133522. 1)33522. 1 (33522. 12233x（3 3）取取 00 x, , 使用使用Newton法計(jì)算方程的根。法計(jì)算方程的根。使用公式（使用公式（4-284-28）進(jìn)行迭代計(jì)算后得）進(jìn)行迭代計(jì)算后得 44. 1,33. 0, 5 . 0, 14321xxxx這個(gè)結(jié)果不但偏離所求的根，這個(gè)結(jié)果不但偏離所求的根， 而且還看不

25、出它的收斂而且還看不出它的收斂從中可知，從中可知， 初始值的選取對(duì)初始值的選取對(duì)Newton法是否收斂的法是否收斂的 性。性。重要性。重要性。4.2.3 4.2.3 多根區(qū)間上的逐次逼近法多根區(qū)間上的逐次逼近法方程方程 0)(xf在多根區(qū)間在多根區(qū)間 ,ba上，上， 根的情況主要根的情況主要 有兩種：有兩種： 其一，均為單根；其一，均為單根； 其二，有重根。其二，有重根。 討論如下：討論如下： 一、一、 ,ba是是 0)(xf僅有單根的多根區(qū)間僅有單根的多根區(qū)間 1 1）求單根區(qū)間）求單根區(qū)間設(shè)設(shè) 0)(xf在在 ,ba上有上有 m個(gè)根。個(gè)根。將將 ,ba分成分成 n個(gè)小區(qū)間：個(gè)小區(qū)間： ,

26、,12110nnbbbbbb， （其中（其中 bbabn ,0）現(xiàn)在分別現(xiàn)在分別然后計(jì)算然后計(jì)算 ), 2 , 1)(nibfi的值，的值， 由圖由圖3-13-1可知，可知， 當(dāng)當(dāng) 0)()(1iibfbf時(shí)，時(shí)， 0)(xf在在 ,1iibb上至少有一個(gè)根。上至少有一個(gè)根。如果有根區(qū)間的個(gè)數(shù)卻為如果有根區(qū)間的個(gè)數(shù)卻為 m，則所得到的有根區(qū)間就則所得到的有根區(qū)間就 都是單根區(qū)間。都是單根區(qū)間。 如果有根區(qū)間的個(gè)數(shù)小于如果有根區(qū)間的個(gè)數(shù)小于 m時(shí)，時(shí)， 再將再將 有些小區(qū)間對(duì)分，有些小區(qū)間對(duì)分， 設(shè)對(duì)分點(diǎn)為設(shè)對(duì)分點(diǎn)為 21ib， 然后計(jì)算然后計(jì)算 )(21ibf再搜索有根區(qū)間，再搜索有根區(qū)間，

27、直到有根區(qū)間的個(gè)數(shù)是直到有根區(qū)間的個(gè)數(shù)是 m為止。為止。2 2）在單根區(qū)間）在單根區(qū)間 ,dc上求根上求根 單根區(qū)間上求根的方法在前面已作介紹。單根區(qū)間上求根的方法在前面已作介紹。 在此介在此介 紹一種根的搜索法，紹一種根的搜索法， 它可用于求迭代法的初始值，它可用于求迭代法的初始值，也也 可用于求可用于求 0)(xf的近似根。的近似根。 將區(qū)間將區(qū)間 ,dc對(duì)分，對(duì)分， 設(shè)對(duì)分點(diǎn)（即區(qū)間中點(diǎn)）為設(shè)對(duì)分點(diǎn)（即區(qū)間中點(diǎn)）為 )(210dcx， 計(jì)算計(jì)算 ， 如果如果 0)(xf0)(xf與與 )(cf同號(hào)，同號(hào)， 說明方程的根說明方程的根 在在 0 x的右側(cè)，的右側(cè)， 此時(shí)令此時(shí)令 110,dd

28、cx否則令否則令 101,dxcc。不管是那種情況，不管是那種情況， 新的有根區(qū)間為新的有根區(qū)間為 ,11dc， 其長(zhǎng)度為原來區(qū)間其長(zhǎng)度為原來區(qū)間 ,dc的一半。的一半。 可將含根區(qū)間的長(zhǎng)度再壓縮一半?？蓪⒑鶇^(qū)間的長(zhǎng)度再壓縮一半。 如此繼續(xù)如此繼續(xù) 可使有根區(qū)間為可使有根區(qū)間為 ,nndc，其長(zhǎng)度為其長(zhǎng)度為 )(21cdcdnnn只要只要 n足夠大，足夠大， 有根區(qū)間有根區(qū)間 ,nndc的長(zhǎng)度就足夠小，的長(zhǎng)度就足夠小， 當(dāng)當(dāng) nncd 達(dá)到根的精度要求時(shí)，達(dá)到根的精度要求時(shí)， 取取 )(21nnncdx就可作為根就可作為根 的近似值。的近似值。 這種搜索根的方法稱這種搜索根的方法稱二分法二分

29、法。 用同樣方法用同樣方法 下去，下去， cd2dcttc 1dd 1 0tfcf 0tfdfnndcdcdc,11122nnnndcdcx如果發(fā)現(xiàn)用二分法求根的過程中，如果發(fā)現(xiàn)用二分法求根的過程中， 有根區(qū)間趨于有根區(qū)間趨于 零的速度較慢，零的速度較慢， 此時(shí)，此時(shí)， 可以從某個(gè)區(qū)間可以從某個(gè)區(qū)間 ,iidc開始使開始使 用其他迭代法求解，用其他迭代法求解， 將將 ic或或 id作為迭代法的初始值。作為迭代法的初始值。 例例6 6求求 0769.4179.381 .11)(23xxxxf在在00，88中中的三個(gè)根。的三個(gè)根。 解解首先將有根區(qū)間首先將有根區(qū)間00，33三等分，三等分， 得得

30、0, 2.7 2.7, 5.4 5.4, 80, 2.7 2.7, 5.4 5.4, 8搜索單根區(qū)間：搜索單根區(qū)間：0)728. 1 ()768.41()7 . 2()0( 7 . 2, 0 ff 0)485. 1 ()728. 1 ()4 . 5()7 . 2( 4 . 5, 7 . 2 ff0)151.70()485. 1 ()8()4 . 5( 8, 4 . 5 ff0)209. 0()7 . 1 ()4()7 . 2( 4, 7 . 2 ff0)4 . 1 ()2 . 0()4 . 5()4( 4 . 5, 4 ff故故 0)(xf的三個(gè)根分別在區(qū)間的三個(gè)根分別在區(qū)間 ,7 . 2, 0,4, 7 . 24 . 5, 4中。中。 用計(jì)算單根的方法，用計(jì)算單根的