第02講運動學

1、第二講 運動學運動的分解：固定坐標，瞬時坐標 （1、2、3、4、5）速度和加速度的關(guān)聯(lián)性 （6、7、8、9）相對運動ACABBCvvv兩線交點的運動 （12、13）矢量投影法 （14、15）（10、11） 1.轟炸機在h高處以v0沿水平方向飛行，水平距離為L處有一目標。(1)飛機投彈要擊中目標，L應(yīng)為多大？(2)在目標左側(cè)有一高射炮，以初速v1發(fā)射炮彈。若炮離目標距離D，為要擊中炸彈，v1的最小值為多少？(投彈和開炮是同一時間)。 3(1)炸彈飛行時間2htg(2)在地面參照系中，炮彈和炸彈做的都是曲線運動，不易研究我們可以取炸彈為參照物，只要炮彈的合速度指向飛機即可在炸彈參照系中，不用考慮g

2、，炮彈有一水平向左的速度v0和v1，要v0和v1的合速度沿BA方向，而且又要v1最小，顯然要v1垂直于BA，此時由v0t=L可得02hLvgv1取這個最小值的條件是炸彈尚未落地，即炮彈的飛行時間要小于炸彈飛行時間將L代人，即： sin001022220v hv hvvhLD2hhvDgcos222200hLDhLD2htvvLDg220ghDv2hD(3)若*炸彈平拋炮彈斜拋可解得最后炮彈恰好擊中它，此時v1最小。在地面系中則只能在炸彈剛落地時，min222202200220gghDhDv2h2hDvv hghDv2hD2hhvDg(sin )/1t2h/g2vgsincos/21D2vg/(

3、)221vg2hhD/() ()/220vg2hhDD 2.燈掛在離地板高h、天花板下H-h處。燈泡爆破，所有碎片以同樣大小的初速度v0朝各個方向飛去，求碎片落到地面上的半徑R。(可認為碎片與天花板的碰撞是彈性的，與地面是完全非彈性的。) 若H =5m，v0=10m/s，g = 10m/s2,求h為多少時，R有最大值并求出該最大值。 3(1)假設(shè)碎片不會碰頂，應(yīng)有此時時，可見，當配方()22022 vghtg()()222222000222 vghv1gtv2ghR4gg()2 4222201g tvgh thR4(2)若h不滿足上述要求，則以角飛出的碎片將撞擊天花板，飛行軌跡發(fā)生變化此時，拋

4、得最遠的碎片應(yīng)該是未撞擊天花板而最高點恰好和天花板相切的碎片這時有由以上三式可解得： 即以上假設(shè)要求(3)因為 所以最后的結(jié)果是當h=375m時，R有最大值1299m求極值，可得當 h = 3.75m時R有極大值下面再考慮碎片碰頂?shù)那闆r此時所以在不碰頂時，h越大R越大h可取的最大值是 3.一質(zhì)量為的小球自離斜面上處高為的地方自由落下。若斜面光滑，小球在斜面上跳動時依次與斜面的碰撞都是完全彈性的，欲使小球恰能掉進斜面上距點為的處小孔中，則球下落高度應(yīng)滿足的條件是什么？（斜面傾角為已知）解：取如圖所示的x-y坐標，小球第一次彈起的速度為v0ax= g sin, ay = -gcosv0 x= v0

5、 sin,v0y= v0cos 相鄰兩次與斜面的碰撞之間的時間0022cos2t = cosoyyvvvagg小球在x方向上作勻加速運動，第一次彈起的距離220114sin2oxvxvta tg 以后每碰一次，都比前一次增加2204sinxvxatg 因此 n 次碰撞下行的總距離111111202.1112.1221sinSxxxxxxnxn nnxnxnxxn nvg 又20241 sinSvghhnNn n 4.速度v0與水平方向成角拋出石塊，石塊沿某一軌道飛行。如果蚊子以大小恒定的速率v0沿同一軌道飛行。問蚊子飛到最大高度一半處具有多大加速度？空氣阻力不計。解：蚊子作勻速率運動，因此只有

6、法向加速度a石子飛行高度220sinH2vg在 / 2 處的速度： vx=v0cos vy= gH飛行方向= 1tanyxvv可得 tantg= 2 g的法向分量 an = g cos 這就是石子此時的法向加速度，因此有coscos2222xy0vvvgHg可以得到蚊子的向心加速度20nva 5.快艇系在湖面很大的湖的岸邊（湖岸線可以認為是直線），突然快艇被風吹脫，風沿著快艇以恒定的速度沿與湖岸成 的角飄去。你若沿湖岸以速度行走或在水中以速度游去，（1）人能否趕上快艇？（2）要人能趕上快艇，快艇速度最多為多大？3（兩種解法）原解：設(shè)人先在岸上跑t1，再在水中游t3（如圖）,如果t30 ，故當

7、0.49t1t22.59t1 時能追上。 原解 ：用矢量圖解：從O點開始，過了t1秒，人到A點，艇到B點。將人在水中的速度沿OB和AB兩個方向分解，并使其沿OB方向的分量v2恰好等于v0，那么人和艇在OB方向上相對靜止，靠v2人就一定能追上艇。(關(guān)鍵是上述分解能否進行)OABAED在下圖中 故有120AEOAvvOBv 要求20vv 有 AE=v1(定值) 再看角，顯然，v0越大，越大，但太大了，v2就可能夠不到EC，因此，要求v2能夠上EC的最大的角。在直角 中，由于AEC1242vv，故max=30 0max222.8km/hcos45vv=60-15=45 2v故（即v0）的最大值為：v

8、1t1v2(t-t1)vmt利用費馬原理可知。最省時的追趕路線是sinsin012v90v可得=300。在位移中用正弦定律由()sinsin1 11100v t2 ttt= 3t4515可得sin/./m1 10mv tv t453 2v2 2m s2 83m s代入可得只要船速v0vm，總可以追上。又解： 6.已知：如圖所示裝置，v1，求v2OABCOABC因為O點圍繞A點做圓周運動，所以V的方向垂直于OA，于是由O、B兩點速度關(guān)聯(lián)有：cos()01v90v同樣，由O、C兩點速度關(guān)聯(lián)有：)2v cos(v由以上兩式可解得：cos()sin()21vv 7.如圖所示，合頁構(gòu)件由兩菱形組成，邊長

9、分別為L和L，若頂點以勻加速度水平向右運動，當BC垂直于OC時，A點速度恰為v，求此時節(jié)點和節(jié)點C的加速度各為多大?思考：如果是在OC和BC成一般角的時候呢？ 2233BAaaa 因為OB的長度總是OA長度的2/3，所以02233BAvvv0232Bcvvv2cvaCOC點的速度沿CB方向： C點的向心加速度: a/a3a/a222/939AcvaaaaaL C點的切向加速度 和向x方向投影之和等于 ，可求出。 8.一根長為l的薄板靠在豎直的墻上。某時刻受一擾動而倒下，試確定一平面曲線 f (x,y) = 0，要求該曲線每時每刻與板相切。(地面水平)。 設(shè)某一時刻，A、B兩端的速度分別為vA和

10、vB,那么有 因為要求曲線處處與桿相切，則桿上該切點C的速度方向一定是沿桿方向的設(shè)C點離A端的距離為a，x、y方向的分速度分別為vA和vy，那么應(yīng)該有 因此該曲線的參數(shù)方程為 曲線的直角坐標方程由有 9.一三角板兩直角邊分別長a、b。開始時斜面靠在y軸上，板面垂直于墻，然后A、B分別沿y軸和x軸運動。求斜邊完全與 x 軸重合時，C點所經(jīng)的路程。 BabCAyxO(1)任意時刻，A、B、C、O四點共圓，因此有是一個定值，即C點始終在 y=tanx 直線上運動 (2)由關(guān)聯(lián)速度可知，C點的速度vC和B點的速度vB沿BC的分量必須相等同理，vC和vA沿AC的分量也必須相等因此，當BC也垂直于x軸時，

11、vC=O這個位置就是C點由向上運動轉(zhuǎn)而向下運動的轉(zhuǎn)折點所以C點經(jīng)過的總路程 COBCAB ()()()2222S2abaab2 abab 10.一只船以4m/s的速度船頭向正東行駛，海水以3m/s的速度向正南流，雨點以10m/s的收尾速度豎直下落。求船中人看到雨點的速度1.列式水人地水雨地雨人VVVV水地地水VV,人水水人VV2。作圖：如右圖3。計算smBCDCBD/5432222smBDABAD/555102222smV/55雨人方向可用BDC和ADB來表示A 11。一滑塊p放在粗糙的水平面上，伸直的水平繩與軌道的夾角為，手拉繩的另一端以均勻速度v0沿軌道運動，求這時p的速度和加速度。 2s

12、in10vvntPaaaPQPQvvv地地cos0vv解：由于水平面很粗糙，不沿繩方向的速度很快就被摩擦力消耗，因此P的速度一定沿繩的方向那么P的速度在Q系中，P有一個垂直于PQ的速度 現(xiàn)取Q為參照系因為Q無加速度，所以P在Q系中的加速度等于P在地面系中的加速度sin22201nvvall因為很小，所以 cos=1，sin=，因此cossincos200lvtvat以上的at，對自學過高等數(shù)學的同學，很容易通過求導得出因此tvtvtvtvatsinsincoscossinsinsinsin0001sinsincossin1 2444222000p22vvvalll 12. 如下圖，v1、v2、

13、已知，求交點的v0.2解1：在AAO中算出OA在OBB中算出OB（=AO）在中算出解：速度疊加法令1不動，交點在1上的速度 v2A=v2/sin;令2不動，交點在2上的速度v1A=v1/sinAAvvv210220121 22cos/sinvvvv v 13兩個半徑為R的圓環(huán)，一個靜止，另一個以速度v0自左向右穿過。求如圖的角位置（兩圓交點的切線恰好過對方圓心）時，交點A的速度和加速度。 012xvv02sinAvv解：A沿圓環(huán)運動，其x方向分量又A在水平方向勻速運動ax = 0,可將a分解在切向at和法向an，有：22024 sinAnvvaRR20sin4 sinn3avaRcossinn

14、taa0( 也可用微元法求vA) 14.纏在軸上的線被繞過滑輪后，以恒定速度拉出。這時線軸沿水平平面無滑動滾動。求線軸中心點的速度隨線與水平方向的夾角的變化關(guān)系。線軸的內(nèi)、外半徑分別為和。解：軸上A點同時參與兩個運動：一個是O點的平動（速度為v），另一個是圍繞O點的轉(zhuǎn)動，速度為 r，因為輪和地面之間無滑動，所以有 Rv即 AvRr 將上式投影到AB線的方向上， 0vvcosr將 = v/R 代入，可求得 0cosRvvrR特殊地，當 RcosrR即 r)/R-(Rcos時， 0vv 有 15.一個半徑為R的半圓柱體沿水平方向向右做加速度為a的勻加速運動在半圓柱體上擱置一根豎直桿，此桿只能沿豎直方向運動(如圖)當半圓柱體的速度為v時，桿與半圓柱體接觸點P與柱心的連線與豎直方向的夾角為，求此時豎直桿運動的速度和加速度2(1)取半圓柱體作為參照系在此參照系中，P點做圓周運動，即V桿柱的方