數(shù)學(xué)中的類(lèi)比法論文資料

1、編號(hào) 學(xué)校名稱(chēng)畢 業(yè) 論 文論文題目 數(shù)學(xué)中的類(lèi)比法系 （部） 專(zhuān) 業(yè) 班 級(jí) 學(xué) 號(hào) 學(xué)生姓名 指導(dǎo)教師 職 稱(chēng) 2011 年 4 月10日目 錄摘要（3）英文摘要（4）第一章 類(lèi)比分類(lèi)（5）1.1 數(shù)學(xué)思想的類(lèi)比（5）1.2 結(jié)構(gòu)形式的類(lèi)比（5）1.3 概念類(lèi)比（5）1.4 方法類(lèi)比（6）1.5 升降維類(lèi)比（6）1.6 特殊與一般的類(lèi)比（7）第二章 類(lèi)比的運(yùn)用（7）第三章 類(lèi)比的作用（9）3.1創(chuàng)設(shè)類(lèi)比情景,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣（9）3.2類(lèi)比思想方法,溫故知新（9）3.3通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想,啟發(fā)解題思路（10）3.4利用類(lèi)比方法,發(fā)展創(chuàng)新思維（10）第四章 運(yùn)用類(lèi)比推理應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題（10）第五章

2、總結(jié)與展望（11）參考文獻(xiàn)（12）致謝（13）淺論數(shù)學(xué)中的類(lèi)比法摘要波利亞說(shuō):“類(lèi)比是一個(gè)偉大的引路人.”可以說(shuō),類(lèi)比是探索問(wèn)題、解決問(wèn)題與發(fā)現(xiàn)新結(jié)果的一種卓有成效的思維方法.在數(shù)學(xué)中,類(lèi)比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理和公式的重要手段,也是開(kāi)拓新領(lǐng)域和創(chuàng)造數(shù)學(xué)新分支的重要途徑.類(lèi)比法是在兩個(gè)或兩類(lèi)事物間進(jìn)行對(duì)比，找出一些相同或相似點(diǎn)后,猜測(cè)在其他方面也可能存在相同或相似之處，并做出某種判斷的推理方法，類(lèi)比法（method of analogy） 也叫“比較類(lèi)推法”。隨著課程改革的深入展開(kāi),培養(yǎng)學(xué)生的綜合解題能力越來(lái)越重要,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透和培養(yǎng)。類(lèi)比思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。類(lèi)

3、比可以使學(xué)生經(jīng)歷探究的學(xué)習(xí)過(guò)程,改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式;類(lèi)比能培養(yǎng)學(xué)生直覺(jué)思維能力,是一種很重要的思維方法;類(lèi)比可以增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),提高解決問(wèn)題的能力。類(lèi)比法的一般模式為： 類(lèi)事物具有性質(zhì) 類(lèi)事物具有性質(zhì) 所以，類(lèi)事物可能具有性質(zhì)在教學(xué)中，適當(dāng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比法的訓(xùn)練，這也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的一種方法。不過(guò)，對(duì)類(lèi)比法得到的結(jié)論，要提醒學(xué)生養(yǎng)成想想是否正確的習(xí)慣，學(xué)會(huì)用實(shí)例進(jìn)行檢驗(yàn)，以提高學(xué)生判斷問(wèn)題的能力。關(guān)鍵詞：推理；解題法；類(lèi)比法；思維；創(chuàng)造性；檢驗(yàn)shallow the analogy method teaching of mathematicsabstractboliya said

4、: analogy is a great guide. say that analogy is to explore the problems and solutions to the problems and discover new results of a fruitful thinking methods. in mathematics, analogy is found concept, methods, theorem and the important method, also is formula explore new fields and creating new math

5、ematics branch of important ways. anology is in two or two things, find some comparison between the same or similar points, guess in other respects may also exists identical or similar, and make a judgment reasoning method, the method of analogy (of analogy) also called of comparative analogy. with

6、the deepening of the reform of course on problem solving, to cultivate students the comprehensive ability more and more important, learning mathematics mathematical way of thinking more should attach importance to the penetration and develop. analogical thought is an important mathematical thinking

7、methods. analogy so that students can experience exploring learning process, change students study way; analogy can train students intuition thinking ability, is a kind of very important thinking methods; analogy can enhance students mathematics application consciousness and improve the ability to s

8、olve problems. the general mode of analogy method for: things with properties with properties things such things might have, therefore, in the teaching, proper nature of the training students analogy method, this also is to cultivate students creative thinking of a kind of method. but, for the analo

9、gy method, the conclusions to remind students form the habit of right think whether, learn to use the example for inspection, to improve the students judgment question ability. keywords: reasoning; problem-solving method; the analogy method; thinking; creative; inspection 淺談數(shù)學(xué)中的類(lèi)比法類(lèi)比法（method of anal

10、ogy） 也叫“比較類(lèi)推法”，它作為一種推理的方法,指的是根據(jù)兩種事物在某些特征上的“相似”,作出它們?cè)谄渌卣魃弦部赡堋跋嗨啤钡呐袛?。?lèi)比法在初中數(shù)學(xué)范圍內(nèi)應(yīng)用極其廣泛, 是發(fā)現(xiàn)概念、方法、公式和定理的重要手段并能以此開(kāi)創(chuàng)新領(lǐng)域、新分支。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)起到事半功倍的效果。類(lèi)比法是初中重要的教學(xué)方法,數(shù)學(xué)中的許多定理、公式和法則是通過(guò)類(lèi)比得到的,在解題中尋找問(wèn)題的線索,往往也借助于類(lèi)比方法,從而達(dá)到啟發(fā)思路的目的。,以類(lèi)比法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用為主題進(jìn)行探討。下面就數(shù)學(xué)教學(xué)中的類(lèi)比法問(wèn)題談點(diǎn)粗淺的看法。第一章 類(lèi)比分類(lèi)1.1數(shù)學(xué)思想的類(lèi)比 類(lèi)比和對(duì)比這兩種方法是相輔相成的，都是通過(guò)新舊知識(shí)的

11、相互聯(lián)系，利用已有的舊知識(shí)，揭示新知識(shí)的本質(zhì)。1.2結(jié)構(gòu)形式的類(lèi)比結(jié)構(gòu)關(guān)系相同或相似的兩類(lèi)事物，可以并列或平行的類(lèi)比。例如：加法運(yùn)算律與乘法運(yùn)算律，向量與復(fù)數(shù)，圓與橢圓等，因它們的性質(zhì)結(jié)構(gòu)相近，可以從結(jié)構(gòu)方面類(lèi)比。類(lèi)比時(shí)，要抓住兩者平行的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并要注意兩者的不同對(duì)類(lèi)比結(jié)果的影響。例如：等差、等比數(shù)列類(lèi)比：等差數(shù)列：用減法定義，用加法表述性質(zhì)；等比數(shù)列：用除法定義，用乘法表述性質(zhì)。由等差數(shù)列中，若 ，有等式成立，可以類(lèi)比出，等比數(shù)列中，若 （其中不等于0），則 成立。該類(lèi)比是從等差等比數(shù)列并列的結(jié)構(gòu)點(diǎn)進(jìn)行類(lèi)比的。橢圓與雙曲線、向量與坐標(biāo)常也可以進(jìn)行這種類(lèi)比。如在講解平行四邊形的判定及性質(zhì)時(shí),

12、我們引導(dǎo)學(xué)生把一般的平行四邊形與矩形,菱形,正方形的性質(zhì)列成表格進(jìn)行知識(shí)結(jié)構(gòu)類(lèi)比,進(jìn)一步明確它們之間的關(guān)系. 邊 平行四邊形 矩形 菱形 正方形 對(duì)邊平行且相等 對(duì)邊平行且相等 四邊都相等 四邊都相等 角 對(duì)角相等 四個(gè)角都是直角 對(duì)角相等 四個(gè)角都是直角 對(duì)角線 互相平分 互相平分且相等 互相平分且垂直 互相平分,相等且垂直 通過(guò)上面的表格,對(duì)平行四邊形,矩形,菱形,正方形從邊,角,對(duì)角線三個(gè)方 面進(jìn)行類(lèi)比,指出它們之間的相同之處,同時(shí)也理解它們之間的不同之處,從知識(shí) 結(jié)構(gòu)的角度來(lái)把握特殊四邊形的性質(zhì),構(gòu)建知識(shí)的體系與網(wǎng)絡(luò). 數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著緊密的聯(lián)系,類(lèi)比成為知識(shí)聯(lián)系的紐帶.通過(guò)橫向類(lèi)比

13、既加強(qiáng)了知識(shí)間的對(duì)比,同時(shí)又鮮明地展示了知識(shí)的獲取過(guò)程,形成清晰的 知識(shí)脈絡(luò)。1.3概念類(lèi)比理解本質(zhì)辨異同。概念類(lèi)比, 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的細(xì)胞, 是形成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的要素, 是基礎(chǔ)知識(shí)的核心內(nèi)容。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是重要的一環(huán),對(duì)于概念本質(zhì)的理解是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),如何有效的進(jìn)行突破呢?進(jìn)行概念的類(lèi)比教學(xué)不失為一種有效的途徑與方法。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有大量的概念,如果孤立地去理解與記憶這些概念,會(huì)成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)負(fù)擔(dān),但從概念的定義形式上看,有一部分概念的定義形式是相似的,通過(guò)這些概念之間的類(lèi)比,進(jìn)一步理解概念的本質(zhì).例如: 三角形,四邊形,多邊形概念分別為: 由不在同一

14、條直線上的三條線段首尾順次連接所組成的圖形叫做三角形。由在同一平面且不在同一條直線上的四條線段首尾順次連接所組成的圖形叫做四邊形. 由在同一平面且不在同一直線上的多條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做多邊形. 從概念的定義形式上來(lái)看,是對(duì)一類(lèi)圖形條件的限制,形式上是一致的,不同之處,一是三角形定義中沒(méi)有在同一平面,二是組成線段條數(shù),其他都是相一致 的.通過(guò)這樣的類(lèi)比,學(xué)生能從一個(gè)新的角度與高度對(duì)這三個(gè)概念進(jìn)行認(rèn)識(shí)與理解, 進(jìn)一步理解概念的本質(zhì)。在回顧與拓展中設(shè)置了一個(gè)學(xué)生跳一跳能解決的問(wèn)題:4 a 的含義,a 的取值, 讀法分別是什么呢? 生 1:四次方根,生 2:算術(shù)四次方根 學(xué)生對(duì) 4 a

15、的讀法,寫(xiě)法,含義,a 的取值都能進(jìn)行明確的回答與分析,這樣的 知識(shí)拓展,顯然是教師采用概念形成類(lèi)比的結(jié)果,開(kāi)啟了學(xué)生思維的大門(mén),找到了 學(xué)習(xí)新知的有效方法與途徑. 數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ).學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程,同化過(guò)程,就決定 了對(duì)數(shù)學(xué)概念掌握的程度.只有理解數(shù)學(xué)概念,剖析概念,抓住概念的本質(zhì),才能 舉一反三,觸類(lèi)旁通。在幾何教學(xué)中，在講解相似三角形判定定理可類(lèi)比全等三角形得到，全等形與相似形的關(guān)系：全等三角形是相似三角形，當(dāng)相似比值kl時(shí)的特例，全等與相似條件的比較：(1)兩角相等兩三角形相似兩角相等，夾邊相等兩三角形全等；(2)兩邊成比例、夾角相等兩三角形相似兩邊相等，夾角相等兩三

16、角形全等；(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例兩三角形相似三邊對(duì)應(yīng)相等兩三角形全等。此外，在多項(xiàng)式除法與多位數(shù)除法，因式分解與質(zhì)因數(shù)分解：開(kāi)立方與開(kāi)平方，中心對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)；分比定理與合并定理；扇形面積公式與三角形面積公式等等，都可以通過(guò)類(lèi)比和對(duì)比進(jìn)行教學(xué)，這種數(shù)學(xué)方法的教學(xué)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中能較輕松地接受新知識(shí)，在實(shí)踐中也證明，這種類(lèi)比和對(duì)比的數(shù)學(xué)方法，學(xué)生掌握的知識(shí)扎實(shí)，理解也較好。當(dāng)然，類(lèi)比和對(duì)比只能用來(lái)幫助我們建立猜想，作為研究問(wèn)題的線索。1.4方法類(lèi)比在教學(xué)中心對(duì)稱(chēng)和中心對(duì)稱(chēng)圖形時(shí),可以將它和軸對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)圖形放在一起進(jìn)行類(lèi)比教學(xué)。為了弄清“中心對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)圖形的區(qū)別和聯(lián)系”也可以先提問(wèn)題“軸對(duì)稱(chēng)與

17、軸對(duì)稱(chēng)圖形的區(qū)別和聯(lián)系”讓學(xué)生在橫向上有一個(gè)類(lèi)比。甚至在教學(xué)“中心對(duì)稱(chēng)作圖”時(shí)也可類(lèi)比“軸對(duì)稱(chēng)作圖”,只要將“垂直、延長(zhǎng)、相等”改成“連接、延長(zhǎng)、相等”。這樣,通過(guò)對(duì)兩個(gè)類(lèi)比對(duì)象各個(gè)方面的比較,學(xué)生就很容易接受新知識(shí),真正是“溫故而知新”,起到了一箭雙雕的效果。再例如:初一數(shù)學(xué)合并同類(lèi)項(xiàng)的教學(xué)，計(jì)算:1+2=3；-1+(-2)=-3；1+(-2)=-1；a+2a=3a；-a+(-2a)=-3a； a+(-2a)=-a；a2b+2a2b=3a2b；-a2b+(-2a2b)=-3a2b ；a2b+(-2a2b)=-a2b這樣可以通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算方法類(lèi)比出合并同類(lèi)項(xiàng)的方法(只把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加,字母部

18、分不變)。1.5升降維類(lèi)比將平面（二維）中的對(duì)象升級(jí)到空間（三維）中的對(duì)象，這種類(lèi)比方法稱(chēng)之為升維類(lèi)比。從平面到立體是典型的升維類(lèi)比,立體幾何中不少定理結(jié)論也可以溯源于平面幾何的某些定理結(jié)論。將三維空間的對(duì)象降到二維（或一維）空間中的對(duì)象，此種類(lèi)比方法即為降維類(lèi)比。從構(gòu)成幾何體的元素?cái)?shù)目類(lèi)比看，三角形由3條線圍成，它是平面內(nèi)最少的基本元素圍成的封閉圖形，空間中最少4個(gè)面圍成四面體，即四面體是最少空間基本元素（平面）圍成的封閉幾何體，平面中兩三角形的面積之比，根據(jù)類(lèi)比的理念，在空間應(yīng)是體積之比。平面角類(lèi)比二面角。降維類(lèi)比常表現(xiàn)為特殊化。平面圖形與立體圖形只是維度不同的幾何圖形，它們存在有許多對(duì)應(yīng)

19、關(guān)系的圖形，也就是說(shuō)，空間問(wèn)題與平面問(wèn)題的升降維類(lèi)比，?？勺プ缀我氐娜缦聦?duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)比：線-面，面-邊 ，體 積-面 積，二面角-平面角，面 積-線段長(zhǎng)等。1.6特殊與一般的類(lèi)比所謂類(lèi)比推理,是指通過(guò)兩個(gè)(或兩類(lèi))對(duì)象的一些相同(或相似)屬性的比較,從而推出它們的某些其他屬性也相同(或相似)的一種邏輯方法。類(lèi)比對(duì)象 類(lèi)比屬性甲abcd乙abc所以,乙對(duì)象可能具有屬性d.這是從特殊到特殊的一種推理形式,以?xún)蓚€(gè)對(duì)象之間的類(lèi)似為基礎(chǔ)的,但所推出的結(jié)論未必可靠,僅是一種“似真”的結(jié)果,帶有猜測(cè)的性質(zhì).例如學(xué)生在學(xué)習(xí)不等式的加減移項(xiàng)法則時(shí),應(yīng)用等式的加減移項(xiàng)法則作為類(lèi)比就比較容易理解這些問(wèn)題。但這種類(lèi)

20、比卻又容易造成以后乘除移項(xiàng)的失誤,有些學(xué)生根據(jù)“同向不等式可以相加”、“正數(shù)的同向不等式可以相乘”,根據(jù)類(lèi)比推理得出“同向不等式可以相減”、“正數(shù)的同向不等式可以相除”這樣的錯(cuò)誤結(jié)論來(lái).盡管類(lèi)比的結(jié)果不一定正確,還必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明,但是通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想可以發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)知識(shí),可以找到解決問(wèn)題的方法和途徑,可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,創(chuàng)造性思維及合情推理能力.所以,類(lèi)比推理在數(shù)學(xué)中雖然不是證明方法,但卻是一種重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)法,是提出假設(shè)進(jìn)行猜想的基礎(chǔ),是各種創(chuàng)造性思維形式的基本要素.第二章 類(lèi)比的運(yùn)用類(lèi)比是一種從個(gè)別到個(gè)別，或從一般到一般的推理，運(yùn)用類(lèi)比法的關(guān)鍵是找合適的類(lèi)比對(duì)象，并確定它們之間的相似屬

21、性。因此有人說(shuō)，類(lèi)比就是在兩個(gè)或兩類(lèi)事物間“求同存異”的過(guò)程。故從某種意義上講，類(lèi)比是一種相似或相同，相似或相同的屬性越多，運(yùn)用類(lèi)比法就越可靠。在我們中學(xué)教學(xué)過(guò)程中，經(jīng)常在數(shù)與形式之間，平面與立體之間，低次與高次之間，相等與不相等之間進(jìn)行種種類(lèi)比，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，并從簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決中得到解決復(fù)雜問(wèn)題的方法。下面我就平面與立體間類(lèi)比為例探討一下類(lèi)比法。例如：空間的四面體與平面上的三角形，有一致之處；四面體是空間中最少的平面圍成的幾何體，而三角形是由平面上最少的直線圍成的圖形，是相似的，它們具有類(lèi)比關(guān)系。因此我們可以根據(jù)三角形的有關(guān)概念、性質(zhì)類(lèi)比推出四面體的相應(yīng)概念、性質(zhì)。如：正三角形 等四面體

22、三角形內(nèi)切圓 四面體內(nèi)切球三角形外接圓 四面體外接球三角形三心重合 等四面體三心重合 類(lèi)比的基礎(chǔ)是事物之間的相似性或是一致性.只有兩個(gè)對(duì)象有某個(gè)方面的相似性,就可以類(lèi)比,它包括形式上的相似,結(jié)構(gòu)上的相似,內(nèi)容上的相似等等.解決立體幾何通常有兩種思路: (1)轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題;(2)尋找一個(gè)與平面幾何相似的對(duì)象,通過(guò)類(lèi)比法求解.通過(guò)分析此題轉(zhuǎn)成平面幾何顯然不容易,于是,設(shè)法尋找平面幾何中的類(lèi)比對(duì)象.由平面幾何與立體幾何的類(lèi)比知識(shí)知道,與四面體相似的平面幾何對(duì)象是三角形。例如：在學(xué)習(xí)分式這章時(shí)，關(guān)鍵是要用與分?jǐn)?shù)類(lèi)比的方法導(dǎo)出分式概念，分式基本性質(zhì)與分式的四則運(yùn)算法則，這樣新知識(shí)易為學(xué)生接受與掌握

23、，具體操作如下：首先，復(fù)習(xí)小學(xué)學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)概念：兩數(shù)相除，可以表示成分?jǐn)?shù)的形式.如34=,(-7)2= ,5(-9)= ， 一個(gè)分?jǐn)?shù)由分子、分母和分?jǐn)?shù)線構(gòu)成，分子、分母都是數(shù)，但分母不能是零，為什么分母不能為零呢?因?yàn)榱悴荒茏龀龜?shù)，分?jǐn)?shù)有正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)，如果分子等于零，只要分母不是零(不論是正數(shù)還是負(fù)數(shù))，這個(gè)分?jǐn)?shù)的值就是零。把分?jǐn)?shù)的概念引伸到代數(shù)式來(lái)，如 這兩個(gè)式子有什么特點(diǎn)?(1)分式由分子、分母與分?jǐn)?shù)線構(gòu)成；(2)分母中含有字母，這就是分式，這樣就很自然地引入了分式的概念，接著，指出分?jǐn)?shù)與分式的區(qū)別所在：分?jǐn)?shù)與分式形式相同，但分式中的分子、分母均為整式，且分母是含有字母的整式。其次，在講分

24、式的基本性質(zhì)時(shí)，先復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，推想分式的基本性質(zhì)，我們來(lái)看如何做不同分母的分?jǐn)?shù)的加法： ，這里先將異分母化為同分母，= ，這是根據(jù)什么呢?根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變，分式是一般化了的分?jǐn)?shù)，因此，分式應(yīng)該有，這里，a、b、c是整式，由分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)應(yīng)該想到化分母為相同,所以，分式的分母應(yīng)為ab,= 。因此，分式的基本性質(zhì)是分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變。 將分式知識(shí)點(diǎn)的講解與已學(xué)過(guò)的分?jǐn)?shù)進(jìn)行類(lèi)比教學(xué)，不僅讓學(xué)生復(fù)習(xí)了舊知，同時(shí)也更容易讓學(xué)生快速的接受新知，使教學(xué)起到事半功倍的效果。分式的四則運(yùn)算

25、順序也可以類(lèi)比分?jǐn)?shù)進(jìn)行，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，然后再進(jìn)行乘除運(yùn)算，最后進(jìn)行加減運(yùn)算，這個(gè)順序和步驟正是分式四則混合運(yùn)算的順序和步驟。概括地說(shuō)是：“先乘除，后加減、括號(hào)內(nèi)先進(jìn)行”。圓臺(tái),圓柱,圓錐這一知識(shí)點(diǎn)中有比較多的公式,是一個(gè)難點(diǎn).這三者之間的知識(shí)本質(zhì)。通過(guò)類(lèi)比,學(xué)生就產(chǎn)生了一種豁然開(kāi)朗的感覺(jué). 首先讓學(xué)生了解圓臺(tái),圓柱,圓錐之間的關(guān)系,以圓臺(tái)為基礎(chǔ),圓錐可以是看著圓臺(tái)的上底面縮小為一個(gè)點(diǎn)形成的,而圓柱就是上下兩個(gè)底面大小一樣的圓臺(tái).在 這個(gè)基礎(chǔ)之上,對(duì)于這三個(gè)幾何體的側(cè)面積公式就可以有一個(gè)重新的認(rèn)識(shí).這三個(gè)側(cè)面積公式分別為 s 圓臺(tái)側(cè)面積=(r+r)l, s 圓錐側(cè)面積=rl, s 圓柱側(cè)面積

26、=2rh,事實(shí)上通過(guò) 公式的類(lèi)比,我們可以發(fā)現(xiàn)這三個(gè)公式在本質(zhì)上是一樣的,圓錐,圓柱的側(cè)面積公式都是圓臺(tái)側(cè)面積的特殊情況,即當(dāng) r=0 時(shí)，就成了圓錐的側(cè)面積公式,當(dāng) r=r 時(shí)成 為了圓柱的側(cè)面積公式.通過(guò)公式中數(shù)學(xué)本質(zhì)的類(lèi)比,進(jìn)一步理清公式之間的關(guān)系, 使知識(shí)成為一個(gè)縱向的知識(shí)鏈條,構(gòu)建一個(gè)縱向的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),提高了學(xué)習(xí)的效率。在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，解題方法的類(lèi)比也十分實(shí)用。例如：設(shè)函數(shù) ，則 ；a.51 ; b.52 ; c.101 ; d.102 。【分析】本題是求函數(shù)值的和問(wèn)題，把它與數(shù)列求和進(jìn)行類(lèi)比，觀察各函數(shù)值中自變量的特點(diǎn)，聯(lián)想到等差數(shù)列求和的方法是：，對(duì)于本題，我們可以先將進(jìn)行恒等變

27、形。因?yàn)?，所以，而，因此，原式=1*51=51，選a。升降維類(lèi)比在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用也十分的廣泛，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化?？聪旅孢@個(gè)問(wèn)題：在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1:2，則它們的面積比為1:4.類(lèi)似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)之比為1:2，則它們的體積之比為?！痉治觥恳?yàn)閮蓚€(gè)正三角形是相似三角形，所以它們的面積之比是相似比的平方。同理，兩個(gè)正四面體是兩個(gè)相似的幾何體，體積之比為相似比的立方。所以它們的體積比為1:8.本題也可以從邊長(zhǎng)、面積、體積的單位入手，例如：邊長(zhǎng)單位為m，則體積單位為，體積單位為m，所以面積之比是邊長(zhǎng)之比的平方，體積之比是邊長(zhǎng)之比的立方。 一般與特殊的轉(zhuǎn)化當(dāng)面臨

28、的數(shù)學(xué)問(wèn)題由一般情況難以解決,可以從特殊情況來(lái)解決,反之亦然,這種方法在選擇, 填空題中非常適用. 例:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,前n項(xiàng)和為, 若成等差數(shù)列,則q=_. 【分析】由于該題為填空題,我們不防用特殊情況來(lái)求q的值.將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，不妨假設(shè)為: 成等差,求q的值。 這樣就避免了一般性的復(fù)雜運(yùn)算. (略解) 第三章 類(lèi)比法的作用隨著課程改革的深入展開(kāi),培養(yǎng)學(xué)生的綜合解題能力越來(lái)越重要,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透和培養(yǎng)。類(lèi)比思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。類(lèi)比可以使學(xué)生經(jīng)歷探究的學(xué)習(xí)過(guò)程,改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式;類(lèi)比能培養(yǎng)學(xué)生直覺(jué)思維能力,是一種很重要的思維方法;類(lèi)比可以增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用

29、意識(shí),提高解決問(wèn)題的能力。類(lèi)比法的作用是“由此及彼”。如果把“此”看作是前提，“彼”看作是結(jié)論，那么類(lèi)比思維的過(guò)程就是一個(gè)推理過(guò)程。古典類(lèi)比法認(rèn)為，如果我們?cè)诒容^過(guò)程中發(fā)現(xiàn)被比較的對(duì)象有越來(lái)越多的共同點(diǎn)，并且知道其中一個(gè)對(duì)象有某種情況而另一個(gè)對(duì)象還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這個(gè)情況，這時(shí)候人們頭腦就有理由進(jìn)行類(lèi)推，由此認(rèn)定另一對(duì)象也應(yīng)有這個(gè)情況。現(xiàn)代類(lèi)比法認(rèn)為，類(lèi)比之所以能夠“由此及彼”，之間經(jīng)過(guò)了一個(gè)歸納和演繹程序即：從已知的某個(gè)或某些對(duì)象具有某情況，經(jīng)過(guò)歸納得出某類(lèi)所有對(duì)象都具有這情況，然后再經(jīng)過(guò)一個(gè)演繹得出另一個(gè)對(duì)象也具有這個(gè)情況?，F(xiàn)代類(lèi)比法是“類(lèi)推”。3.1創(chuàng)設(shè)類(lèi)比情景,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣由于類(lèi)比是從特殊到特

30、殊的一種猜測(cè)、推理,從一個(gè)已知的領(lǐng)域去探索另一個(gè)領(lǐng)域.這正符合學(xué)生的好奇、去了解陌生世界的心理,也可以極大地激發(fā)出學(xué)生的興趣,從而主動(dòng)地探索、研究新的知識(shí).3.2類(lèi)比思想方法,溫故知新類(lèi)比法在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著重要的作用，它是學(xué)習(xí)知識(shí)、系統(tǒng)掌握知識(shí)和鞏固知識(shí)的有效方法。當(dāng)我們學(xué)習(xí)新知識(shí)，掌握新知識(shí)時(shí)，通過(guò)類(lèi)比又可以將這些知識(shí)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)。如二次曲線學(xué)習(xí)中，將橢圓與雙曲線相應(yīng)的概念，性質(zhì)作類(lèi)比，可使之系統(tǒng)化。類(lèi)比法在解題中可以啟發(fā)我們的思維，正如偉大哲學(xué)家康德所說(shuō)：“每當(dāng)理智缺乏可靠理論的思路時(shí)，類(lèi)比這個(gè)方法往往可以指引我們前進(jìn)?！惫蚀耍?lèi)比法可以說(shuō)是我們中學(xué)數(shù)學(xué)解題的引路人。類(lèi)比是從舊知識(shí)推

31、出新知識(shí)的一種思考方法,也是人們聯(lián)想的思維工具.知識(shí)之間存在著思想方法等聯(lián)系,可以通過(guò)讓學(xué)生利用舊知的類(lèi)比,大膽猜測(cè),從而探索新知.例如在學(xué)習(xí)三棱錐的體積時(shí),教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生與三角形的面積進(jìn)行類(lèi)比:因?yàn)槿切蔚牡走呴L(zhǎng)對(duì)應(yīng)三棱錐的底面積s,三角形底邊上的高對(duì)應(yīng)三棱錐的底面s上的高h(yuǎn),而二維空間里的三角形的面積公式為s=12ah,所以由類(lèi)比方法推測(cè),三維空間里的三棱錐的體積應(yīng)為v=13hs;在證明三角形面積公式時(shí)可以把三角形補(bǔ)成一個(gè)平行四邊形,三角形的面積是平行四邊形的面積的一半,而類(lèi)似地,要求三棱錐的體積,應(yīng)把它補(bǔ)成一個(gè)三棱柱,然后再分割成三個(gè)等體積的三棱錐,這就是課本上的方法如果我們教師運(yùn)用類(lèi)比

32、的方法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考,那么他們對(duì)這種方法的理解就會(huì)毫無(wú)困難.3.3通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想,啟發(fā)解題思路教師教學(xué)生,不能是簡(jiǎn)單地講解知識(shí),不能僅滿(mǎn)足于讓學(xué)生模仿性地解題,更要讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想,分析問(wèn)題的能力、遷移解題的能力.采用類(lèi)比聯(lián)想,能使學(xué)生通過(guò)舉一反三、觸類(lèi)旁通,迅速地掌握數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和技能。例如面對(duì)思考題:“證明半球的體積為”.引導(dǎo)大家回憶起定積分中求曲邊梯形的面積,步驟為“無(wú)限分割-以直代曲-求和-取極限”,核心為“以直代曲”.通過(guò)類(lèi)比、探討后,得出了分割半球的多種方法:底面與圓面平行的若干圓柱;底面與圓面垂直的若干小半圓柱;圓錐.3.4利用類(lèi)比方法,發(fā)展創(chuàng)新思維在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程

33、中,雖然問(wèn)題情境發(fā)生了根本性的變化,兩個(gè)對(duì)象在表面上毫無(wú)共同之處,但通過(guò)以發(fā)散的思維來(lái)分析問(wèn)題形式,創(chuàng)造條件,使兩者存在共同點(diǎn),這種類(lèi)比不是一種簡(jiǎn)單的模仿,而是一種創(chuàng)造性,這對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)造性思維能力有著極其重要的作用.例如有這樣的一個(gè)問(wèn)題曾難倒了大部分學(xué)生:“求證:正四面體a-bcd內(nèi)的任意一點(diǎn)p到各個(gè)面的距離之和等于常數(shù)”.其實(shí)只要與平面幾何的問(wèn)題進(jìn)行類(lèi)比:“求證:等邊三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)p到三角形的三邊的距離之和等于常數(shù)”.由于平面幾何中該命題的證明采用的是“面積法”,類(lèi)似地,這個(gè)立體幾何問(wèn)題可采用“體積法”,于是問(wèn)題迎刃而解.其一類(lèi)比思維:是解答數(shù)學(xué)題的基本方法。類(lèi)比

34、思維包括兩方面的含義:(1)聯(lián)想,即由新信息引起的對(duì)已有知識(shí)的回憶;(2)類(lèi)比,在新、舊信息間找相似和相異的地方,即異中求同或同中求異。通過(guò)類(lèi)比思維,在類(lèi)比中聯(lián)想,從而升華思維,既有模仿又有創(chuàng)新。其二類(lèi)比聯(lián)想:是指對(duì)一件事物的認(rèn)識(shí)引起對(duì)和該事物在形態(tài)。事實(shí)上,當(dāng)我們遇到一個(gè)較為生疏的難題而又無(wú)從下手的時(shí)候,如果能構(gòu)造一個(gè)類(lèi)似的熟悉問(wèn)題,從這個(gè)熟悉問(wèn)題的解答過(guò)程中得到啟發(fā),那么就很有可能悟出原問(wèn)題的解法。第四章 運(yùn)用類(lèi)比推理應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題第一,要善于觀察事物的特點(diǎn)。注意從不同事物身上發(fā)現(xiàn)它們的共同或相似之處,并追究造成這種共同或相似的原因。要大膽放寬眼界,做到不受自己的研究對(duì)象和學(xué)科的限制。

35、第二,類(lèi)比通常與歸納、演繹綜合運(yùn)用,相互融合，協(xié)調(diào)發(fā)展。另外它也離不開(kāi)分析、觀察、猜想。探索性演繹法通常是靠猜想與聯(lián)想、直覺(jué)等心智運(yùn)動(dòng)串聯(lián)起來(lái)的,因此必須自覺(jué)掌握創(chuàng)造性思維等特征,并運(yùn)用到實(shí)際工作中去。第三,要善于聯(lián)想。從一種事物聯(lián)想到與它性質(zhì)相似的其他事物;從一種方式方法聯(lián)想到與其作用類(lèi)似的其他方式方法;從一個(gè)概念或定理聯(lián)想到與它關(guān)系比較密切的一串概念或定理. 第四,強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性。類(lèi)比法本質(zhì)是發(fā)現(xiàn)的方法,而非嚴(yán)格的推理,它在科學(xué)探索過(guò)程中走了捷徑。學(xué)生容易接受和喜歡這種方法,自覺(jué)和不自覺(jué)地進(jìn)行類(lèi)比,但其結(jié)論有時(shí)不一定可靠。因此，要對(duì)通過(guò)類(lèi)比推出的結(jié)論要給以證明。同時(shí)要對(duì)學(xué)生中不正確的類(lèi)比

36、及時(shí)給予糾正,防止知識(shí)的負(fù)遷移,形成正確的知識(shí)體系。第五,不能將兩個(gè)或兩類(lèi)本質(zhì)不同的事物,按其表面的相似來(lái)機(jī)械地加以比較而得出某種結(jié)論,否則就要犯機(jī)械類(lèi)比的錯(cuò)誤。只有我們意識(shí)到類(lèi)比的教育教學(xué)價(jià)值,通過(guò)類(lèi)比的教學(xué)方法去展示數(shù)學(xué)的知識(shí),才能讓學(xué)生拓展視野,以極大的熱情去研究、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)世界的和諧統(tǒng)一,才能真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生由“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”的轉(zhuǎn)化。在此，對(duì)作為教育工作中的指導(dǎo)者的教師就提出了要求，不僅要有扎實(shí)的基本知識(shí)體系，同時(shí)還要具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)思想和負(fù)責(zé)的態(tài)度。第五章 總結(jié)與展望在自然科學(xué)發(fā)展史上，無(wú)論古代、近代，還是現(xiàn)代，類(lèi)比在科學(xué)發(fā)現(xiàn)中是一種被普遍應(yīng)用的方法。類(lèi)比方法的應(yīng)用是隨著科學(xué)思維水平的提高而不斷發(fā)展的。這種發(fā)展具體表現(xiàn)在：從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，從定性到定量的發(fā)展。 近代的科學(xué)發(fā)展使人們認(rèn)識(shí)到，單靠某一事物與已知事物之間的簡(jiǎn)單的靜態(tài)的性質(zhì)類(lèi)比，那是很不充分的，還需要從事物性質(zhì)的量上進(jìn)行研究，這就需要把定性類(lèi)比和定量類(lèi)比結(jié)合起來(lái)，例如，歐姆把電流的傳導(dǎo)同傅利葉的熱傳導(dǎo)定理相類(lèi)比。在熱傳導(dǎo)中，溫差(t)，熱量(q)和物體的比熱(c) 有協(xié)變關(guān)系，它的數(shù)學(xué)模式為：qcm(t) 。歐姆把熱