第四章一階系統(tǒng)

1、第四章第四章 一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)4.1 概述概述 一個(gè)系統(tǒng)階數(shù)是由此系統(tǒng)包含多少狀態(tài)變量決定的。一個(gè)系統(tǒng)階數(shù)是由此系統(tǒng)包含多少狀態(tài)變量決定的。 一個(gè)復(fù)雜的高階的系統(tǒng)從結(jié)構(gòu)上可分解成若干的低階一個(gè)復(fù)雜的高階的系統(tǒng)從結(jié)構(gòu)上可分解成若干的低階子系統(tǒng)。子系統(tǒng)。 復(fù)雜系統(tǒng)的特性并不等于組成它的簡單子系統(tǒng)的特性之復(fù)雜系統(tǒng)的特性并不等于組成它的簡單子系統(tǒng)的特性之和。和。 一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)的行為往往是由某些主回路和某些主要一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)的行為往往是由某些主回路和某些主要的變量決定的的變量決定的 復(fù)雜系統(tǒng)中往往存在一些起主導(dǎo)作用的主回路或主要復(fù)雜系統(tǒng)中往往存在一些起主導(dǎo)作用的主回路或主要變量。變量。 4.2 一階系統(tǒng)的

2、重要參數(shù)一階系統(tǒng)的重要參數(shù) 4.2.1 指數(shù)增長及其參數(shù)指數(shù)增長及其參數(shù) （1）指數(shù)增長方程式）指數(shù)增長方程式 LEV 狀態(tài)RT 速率CONST 常數(shù)圖3。1 正反饋一階系統(tǒng)流圖L LEV.K=LEV.JDT*（RT.JK）由此式可以改寫為：由此式可以改寫為： （LEV.K-LEV.J）/DT=RT.JK脫去脫去DYNAMO的符號(hào)，并令的符號(hào)，并令DT趨于趨于0，則可得微分方程式：，則可得微分方程式： dLEV(t)/dt=RT(t) 假定假定 RT(t)=CONST*LEV(t) CONST為比例常數(shù)為比例常數(shù) 所以所以 dLEV(t)/dt=CONST*LEV(t) 可解的：可解的： 式中

3、：式中： LEV(t)狀態(tài)在狀態(tài)在t時(shí)刻的值；時(shí)刻的值； LEV(0)狀態(tài)的初始值；狀態(tài)的初始值； CONST比例常數(shù)；比例常數(shù)； e自然對(duì)數(shù)基。自然對(duì)數(shù)基。tCONSTeLEVLEV*)0() t (2)時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)T 時(shí)間常數(shù)定義為時(shí)間常數(shù)定義為CONST的倒數(shù)，即的倒數(shù)，即T=1/CONST，T具有時(shí)間的量綱。具有時(shí)間的量綱。 P91 時(shí)間常數(shù)的物理意義。時(shí)間常數(shù)的物理意義。 時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)T決定正反饋系統(tǒng)中的增長或減少的速?zèng)Q定正反饋系統(tǒng)中的增長或減少的速度。當(dāng)時(shí)間常數(shù)大時(shí)（或度。當(dāng)時(shí)間常數(shù)大時(shí)（或CONST?。?，相應(yīng)的小），相應(yīng)的LEV（t）為較平緩的增長曲線。反之，）為較平緩的

4、增長曲線。反之，LEV（t）為較陡峭的變化曲線。為較陡峭的變化曲線。（3）倍增時(shí)間）倍增時(shí)間Td 倍增時(shí)間定義為變量由初始值增至二倍的初始倍增時(shí)間定義為變量由初始值增至二倍的初始值所需要的時(shí)間。值所需要的時(shí)間。 Td=0.69*T 倍增時(shí)間約等于倍增時(shí)間約等于70的時(shí)間常數(shù)的時(shí)間常數(shù)T。即每經(jīng)過。即每經(jīng)過一段時(shí)間一段時(shí)間Td，LEV的值將較前增加一倍。的值將較前增加一倍。 P92的圖的圖5.2表示了倍增時(shí)間常數(shù)與時(shí)間常數(shù)的表示了倍增時(shí)間常數(shù)與時(shí)間常數(shù)的關(guān)系。關(guān)系。一階負(fù)反饋系統(tǒng)的重要參數(shù)一階負(fù)反饋系統(tǒng)的重要參數(shù)(1)方程式的基本形式方程式的基本形式LEV 狀態(tài)RT 速率CONST 常數(shù)圖3.

5、1 一階負(fù)反饋系統(tǒng)的典型流圖DISC 偏差GL 目標(biāo)值方程式：方程式： L LEV.K=LEV.J+DT*RT.JK R RT.KL=CONST*DISC.K A DISC.K=GL-LEV.K 同理解得：同理解得：tCONSTeLEVGLGLLEV*)0() t (（2）時(shí)間常數(shù)）時(shí)間常數(shù)T P93（3）減半時(shí)間常數(shù)（或半衰期）減半時(shí)間常數(shù)（或半衰期）Th Th=0.69T4.3 正反饋系統(tǒng)正反饋系統(tǒng) 工資工資-物價(jià)增長系統(tǒng)的應(yīng)關(guān)系圖物價(jià)增長系統(tǒng)的應(yīng)關(guān)系圖工資工資要求物價(jià)所受壓力物價(jià)+A 感到來自B國的威脅B國的武器A國的武器B國感到來自A國的威脅+軍備增長系統(tǒng)因果關(guān)系圖4.2.1 正反饋的

6、一般結(jié)構(gòu)正反饋的一般結(jié)構(gòu)LEV 狀態(tài)RT 速率CONST 常數(shù)圖3。1 正反饋一階系統(tǒng)流圖 L LEV.K-LEV.J+DT*RT.JK N LEV=1R RT.KL=CONST*LEV.KC CONST=0.2C DT=1計(jì)算步驟如計(jì)算步驟如P954.2.2 正反饋過程的特征正反饋過程的特征 （1） 指數(shù)增長指數(shù)增長 （2） 指數(shù)崩潰指數(shù)崩潰 （3）超指數(shù)增長）超指數(shù)增長 P98（4）指數(shù)增長的特點(diǎn)）指數(shù)增長的特點(diǎn)P97t15Td之后，狀態(tài)變量的值猛然暴漲。之后，狀態(tài)變量的值猛然暴漲。時(shí)間時(shí)間變量變量變量變量變量變量0指數(shù)增長和指數(shù)崩潰曲線指數(shù)增長和指數(shù)崩潰曲線4.4 負(fù)反饋系統(tǒng)負(fù)反饋系統(tǒng)室

7、溫冷卻器加熱器溫度繼電器期望室溫 負(fù)反饋系統(tǒng)是負(fù)反饋回路起主導(dǎo)作用的系統(tǒng)。它負(fù)反饋系統(tǒng)是負(fù)反饋回路起主導(dǎo)作用的系統(tǒng)。它具有跟隨目標(biāo)（尋的）的特性。具有跟隨目標(biāo)（尋的）的特性。貨物到達(dá)庫存發(fā)貨訂貨生產(chǎn)期望庫存4.4.1 負(fù)反饋結(jié)構(gòu)的因果與相互關(guān)系圖、流負(fù)反饋結(jié)構(gòu)的因果與相互關(guān)系圖、流圖與方程式圖與方程式 負(fù)反饋結(jié)構(gòu)的因果關(guān)系圖包含四個(gè)基本單元負(fù)反饋結(jié)構(gòu)的因果關(guān)系圖包含四個(gè)基本單元期望狀態(tài)（目標(biāo)）、偏差、校正量（速率）、期望狀態(tài)（目標(biāo)）、偏差、校正量（速率）、系統(tǒng)狀態(tài)（水平）。系統(tǒng)狀態(tài)（水平）。系統(tǒng)狀態(tài)和水平行動(dòng)或速率差別期望狀態(tài)或目標(biāo)+-+LEV 狀態(tài)RT 速率DISC偏差CONST比例常數(shù)GL

8、 目標(biāo)值方程式：方程式： L LEV.K=LEV.J+DT*RT.JK N LEV=0 R RT.KL=CONST*DISC.K C CONST=0.1 A DISC.K=GL-LEV.K C GL=100式中：式中： LEV狀態(tài)（單位）狀態(tài)（單位） RT速率（單位速率（單位/時(shí)間）時(shí)間） CONST常數(shù)（常數(shù)（1/時(shí)間）時(shí)間） DISC偏差（單位）偏差（單位） GL目標(biāo)值（單位）目標(biāo)值（單位）4.4.2 負(fù)反饋系統(tǒng)的特性負(fù)反饋系統(tǒng)的特性過渡區(qū)過渡區(qū)穩(wěn)定區(qū)穩(wěn)定區(qū)時(shí)間時(shí)間LEV 狀態(tài)狀態(tài) 狀態(tài)隨時(shí)間變化曲線包括兩個(gè)區(qū)段：瞬態(tài)狀態(tài)隨時(shí)間變化曲線包括兩個(gè)區(qū)段：瞬態(tài)（過渡區(qū)）和穩(wěn)態(tài)（穩(wěn)定區(qū)）兩個(gè)部分。

9、（過渡區(qū)）和穩(wěn)態(tài)（穩(wěn)定區(qū)）兩個(gè)部分。 在過渡區(qū)段，在過渡區(qū)段，LEV值與目標(biāo)值值與目標(biāo)值GL不相等。此不相等。此時(shí)時(shí)LEV具有尋的與瞬變的特點(diǎn)；在穩(wěn)定區(qū)，具有尋的與瞬變的特點(diǎn)；在穩(wěn)定區(qū)，LEV值接近或近似地達(dá)到目標(biāo)值，穩(wěn)定不變。值接近或近似地達(dá)到目標(biāo)值，穩(wěn)定不變。RT也最也最終近似地達(dá)到終近似地達(dá)到“0”。 4.4.3 尋的負(fù)反饋系統(tǒng)的行為的三種模式尋的負(fù)反饋系統(tǒng)的行為的三種模式（1）GL 0，LEV0，(LEV(0)-GL) 0，LEV0，(LEV(0)-GL) 0；（3）GL0，LEV 0。 模式模式3如教材如教材P105 圖圖5.25所示所示 模式模式3稱為零目標(biāo)結(jié)構(gòu)。目標(biāo)值稱為零目標(biāo)結(jié)

10、構(gòu)。目標(biāo)值GL為為“0”，狀態(tài)值由，狀態(tài)值由LEV（0）指數(shù)衰減至）指數(shù)衰減至“0”。時(shí)間時(shí)間GLLEV模式模式2模式模式14.5 負(fù)反饋系統(tǒng)的補(bǔ)償特性負(fù)反饋系統(tǒng)的補(bǔ)償特性 負(fù)反饋系統(tǒng)具有當(dāng)其狀態(tài)變量受外生輸入負(fù)反饋系統(tǒng)具有當(dāng)其狀態(tài)變量受外生輸入（或輸出）速率作用時(shí)仍力圖使?fàn)顟B(tài)變量趨于（或輸出）速率作用時(shí)仍力圖使?fàn)顟B(tài)變量趨于目標(biāo)值的特性，稱為目標(biāo)值的特性，稱為補(bǔ)償特性補(bǔ)償特性。LEV 狀態(tài)RT2 速率2RT1 速率1DISC偏差CRT 常數(shù)CONST比例系數(shù)GL 目標(biāo)圖 帶有不變的外生輸入速率的負(fù)反饋系統(tǒng)系統(tǒng)的方程式如下：系統(tǒng)的方程式如下： L LEV.K=LEV.J+DT*(RT2.JK-R

11、T1.JK) R RT1.KL=CONST*DISC.K A DISC.K=GL-LEV.K C GL=100 R RT2=CRT C CRT=8 NTRT純速率（單位純速率（單位/時(shí)間）時(shí)間） R NTRT.KL=RT1.JK+RT2.JK X = CONST*DISC.K+ CRT X = CONST*(GL-LEV.K) + CRT 根據(jù)根據(jù)RT1.KL 、RT2.KL和和NTRT.KL，可繪制，可繪制系統(tǒng)的速率系統(tǒng)的速率狀態(tài)曲線圖：狀態(tài)曲線圖：P107下面求新的目標(biāo)值：下面求新的目標(biāo)值：假定假定NTRT=0，則可得：，則可得： CRT=-CONST(GL-LEV) =-CONST*GL

12、+LEV*CONST LEV=CRT/CONST+GL LEV=NGL=CRT/CONST+GL NGL=T*CRT+GL=1/0.1*8+100=180 由此可見，系統(tǒng)新的平衡值較期望的目標(biāo)值由此可見，系統(tǒng)新的平衡值較期望的目標(biāo)值GL增加了增加了T*CRT，即為時(shí)間常數(shù)，即為時(shí)間常數(shù)T與不變的輸入與不變的輸入速率速率CRT（或（或RT2）的乘積。）的乘積。 綜上所述，負(fù)反饋系統(tǒng)的補(bǔ)償功能，當(dāng)系統(tǒng)綜上所述，負(fù)反饋系統(tǒng)的補(bǔ)償功能，當(dāng)系統(tǒng)在附加輸入或輸出速率的情況下，可自動(dòng)建立起在附加輸入或輸出速率的情況下，可自動(dòng)建立起新的平衡，新的平衡值與原期望的目標(biāo)值不同。新的平衡，新的平衡值與原期望的目標(biāo)值

13、不同。其差值與與系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)及外生速率有關(guān)。其差值與與系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)及外生速率有關(guān)。 例如：庫存控制系統(tǒng)的負(fù)反饋補(bǔ)償特性。例如：庫存控制系統(tǒng)的負(fù)反饋補(bǔ)償特性。P108INV 庫存OR 訂貨率SR 銷售率CONST每周訂貨比率DISC偏差DINV期望庫存STEP階躍函數(shù)圖 簡單的庫存控制系統(tǒng)流圖方程式：方程式： L INV.K=INV.J+DT*(OR.KLSR.KL) N INV=DINV R OR.KL=CONST*DISC.K C CONST=0.5 A DISC.K=DINV-INV.K C DINV=200 R SR.K=STEP(20，4)如如P108 如如5.29所示。所示。求新的目標(biāo)值求新的目標(biāo)值NGL： 方法方法1： 2002040 GL=DINV=200 NGL=200-40=160方法方法2： NGL=GL+T*SR=200-1/0.5*20=200-40=1604.5 S形增長的反饋結(jié)構(gòu)形增長的反饋結(jié)構(gòu)如如P 110 圖圖5.30所示。所示。S增長的反饋結(jié)構(gòu)，包含指數(shù)和漸