空間直線及其方程PPT學習教案

1、會計學1空間直線及其方程空間直線及其方程pzznyymxx000 , 000tpzznyymxx 令令則有則有直線的方向數(shù)-直線的參數(shù)方程.-直線的對稱式方程(點向式) ptzzntyymtxx000第1頁/共26頁例1 求過點A(1,2,-3)和B（2,-1,5）的直線方程.解 因為直線過點A和B, 所以:ABs 可取直線的方向向量可取直線的方向向量),8 , 3, 1( :直線的對稱式方程為直線的對稱式方程為 11x 32y.83 z例2 求過點A（2,3,-5）和B（-1,4,-5）的直線方程.解 因為直線過點A和B, 所以:ABs 可取直線的方向向量可取直線的方向向量),0 , 1 ,

2、 3( 32x 13y.05 z:直線的對稱式方程為直線的對稱式方程為第2頁/共26頁練習 求過點A(1,1,2),且平行于z軸的直線的 對稱式方程、參數(shù)方程、一般方程.解 因為直線平行于z軸,所以: s 可取直線的方向向量可取直線的方向向量k),1 , 0 , 0( 又因為直線過點A(1,1,2),所以: 01x 01y;12 z直線的參數(shù)方程為直線的參數(shù)方程為,211 tzyx一般方程為一般方程為.11 yx:直線的對稱式方程為直線的對稱式方程為第3頁/共26頁例3.,043201程程的對稱式方程及參數(shù)方的對稱式方程及參數(shù)方求求的一般方程為的一般方程為已知直線已知直線LzyxzyxL 解,

3、 0 x令令,04301 zyzy則有則有解得 ,45,41 zy所以直線過點),45,41, 0( 又因為直線與兩平面的法向量都垂直，故 s 可取直線的方向向量可取直線的方向向量21nn )3 , 1, 2()1 , 1 , 1( 第4頁/共26頁312111 kji故直線的對稱式方程為 40 x參數(shù)方程為.345414tztytx 141y,345 z), , , ( 又因為直線與兩平面的法向量都垂直，故21 nns 可取直線的方向向量可取直線的方向向量)3 , 1, 2()1 , 1 , 1( )45,41, 0( 直線上一點直線上一點41 3 第5頁/共26頁解),1 , 3, 1(

4、的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為直線直線1L例4.22:13202:113121:21的交點的交點分別與平面分別與平面和和求直線求直線 zyxzxzyxLzyxL 得得聯(lián)立聯(lián)立,2213202 zyxzxzyx的交點為的交點為與與 2L,13121tztytx :,得得代入平面方程代入平面方程,32 t的交點為的交點為與與 1L). (,31 , 3 31第6頁/共26頁解 易知過點M且與已知直線垂直的平面方程為： , 0)3()1(2)2(3 zyx設已知直線與該平面的交點為 N（x, y, z）,12131tzyx 令令, 1213 tztytx則有則有例5.12131)3 , 1 , 2(垂直相

5、交的直線方程垂直相交的直線方程且與直線且與直線求過點求過點 zyxM代入平面方程得,73 t),73,713,72( N交點交點, 523 : zyx即即第7頁/共26頁取所求直線的方向向量:代入平面方程得,73 t),73,713,72( N交點交點)3 , 1 , 2(MMNs ),724,76,712( 所求直線方程為：,7/2437/617/122 zyx.431122 : zyx即即)373, 1713, 272( 第8頁/共26頁解 易知過點M0且與已知直線垂直的平面方程為： , 0)3(3)1()1(2 zyx例6.31112:)3 , 1 , 1(0的距離的距離到直線到直線求求

6、 zyxLM,1032 zyx即即),(zyxML與該平面的交點為與該平面的交點為設直線設直線,31112 tzyx 令令 t ,得得代入平面方程代入平面方程, 1),2 , 0 , 2( 的坐標為的坐標為MMMd0 .3 第9頁/共26頁證14(p336).|:, ,000ssMMdLMsLMLM 的距離的距離到直線到直線點點試證試證且直線的方向向量為且直線的方向向量為上任意一點上任意一點是直線是直線外一點外一點是直線是直線設設|,|2100sMMSMNM ,|210dsSMNM .|0ssMMd ,sMNLN 且且上一點上一點是直線是直線設設第10頁/共26頁定義直線:1L,111111p

7、zznyymxx 直線:2L,222222pzznyymxx 兩直線的方向向量的夾角稱為兩直線的夾角,稱為兩直線的夾角（通常指的是銳角）.-兩直線的夾角 余弦公式.三、兩直線的夾角222222212121212121|pnmpnmppnnmm 2121ssss ),cos(21ss),(1111pnms ),(2222pnms cos第11頁/共26頁定義直線和它在平面上的投影直線的夾角 ,稱為直線與平面的夾角（通常指的是銳角） ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx),(pnms ),(CBAn 2),(ns,2),( ns四、直線與平面的夾角snn第12頁/共26頁|ns

8、ns -直線與平面的夾角公式. sin 2),(ns,2),( ns222222|pnmCBACpBnAm 2),(sin ns ),(2sinns ),cos( ns),cos( ns| ),cos(| ns第13頁/共26頁設設直直線線:L 21121 zyx，平平面面: 32 zyx，求求直直線線與與平平面面的的夾夾角角. 解),2, 1, 1( n),2, 1, 2( s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角練習第14頁/共26頁.|sinnsns :直線與平面直線與平面 .|cos2121nnnn :平面與

9、平面平面與平面 :直線與直線直線與直線 .|cos2121ssss 關于夾角的說明:第15頁/共26頁五、平面束*:定義:過一定直線的所有平面的全體稱作該直線的平面束., 01111 DzCyBxA, 02222 DzCyBxA,是一個任意常數(shù)是一個任意常數(shù)設設 :作如下形式的方程作如下形式的方程, 0)(2222 DzCyBxA )(1111DzCyBxA, 0)()()()( 21212121 DDzCCyBBxAA 即即),( :212121CCBBAAn 易知易知,是以下兩平面的交線是以下兩平面的交線設直線設直線L, 0 ). (一個方程一個方程不含不含的平面束的方程的平面束的方程上述

10、方程稱為直線上述方程稱為直線 L后后第16頁/共26頁設直線L的方程為：)1(0022221111 DzCyBxADzCyBxA則稱 ：0)(22221111 DzCyBxADzCyBxA 為通過直線L的平面束的方程（不含后一個方程）.)(R 參參數(shù)數(shù)(2)五、平面束*:定義:過一定直線的所有平面的全體稱作該直線的平面束.第17頁/共26頁.0134:01:),1 , 0 , 0(21交交線線的的平平面面方方程程且且通通過過兩兩平平面面求求過過點點 zyxzyxM解: 1 / 2：必相交成一直線必相交成一直線與與L21 013401zyxzyx21, MM又又21 ，一定不是一定不是所求平面所

11、求平面練習第18頁/共26頁L通通過過直直線線所所求求平平面面 .中中的平面束的平面束一定在過直線一定在過直線 L0)1()134(: zyxzyx 0)1()3() 1(4( zyx）即即,)1 , 0 , 0(上上在在 M的的坐坐標標代代入入上上式式，將將點點M0)1(1)3( 得得2 解得解得0132 zyx：所求平面所求平面第19頁/共26頁解.1.*例7.1221投影直線的方程投影直線的方程上的上的在平面在平面求直線求直線 zyxzyxzyx, 0)2( zyx )1(zyx過已知直線的平面束方程為:,21)1()1()1( zyx即即, 0)1, 2, 1()1 ,1 ,1( 令令

12、, 1 得得:可得投影平面方程為可得投影平面方程為, 322 zx:所求投影直線方程為所求投影直線方程為, 322 zx. 12 zyx第20頁/共26頁解.2.例7.1221投影直線的方程投影直線的方程上的上的在平面在平面求直線求直線 zyxzyxzyx:為為取投影平面的法線向量取投影平面的法線向量),21,21, 1( 在已知直線上任取一點:)1, 2, 1()1 , 1, 1()1 , 1 , 1( n)1 , 2, 1(111111 kji)1, 2, 1()2, 0 , 2( 121202 kji),4, 0 , 4( :投影平面方程為投影平面方程為, 0)21(4)1(4 zx,

13、322: zx即即第21頁/共26頁解.2.:為為取投影平面的法線向量取投影平面的法線向量),21,21, 1( 在已知直線上任取一點:)1, 2, 1()1 , 1, 1()1 , 1 , 1( n)1 , 2, 1(111111 kji)1, 2, 1()2, 0 , 2( ),4, 0 , 4( :投影平面方程為投影平面方程為, 0)21(4)1(4 zx, 322: zx即即:所求投影直線方程為所求投影直線方程為, 322 zx. 12 zyx第22頁/共26頁解直線也過直線與y軸的交點), , , (PPAs 取直線的方向向量取直線的方向向量), , , ( 所求直線方程為: 22x.,),4 , 3, 2(求其方程求其方程軸垂直相交軸垂直