08全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽決賽試題（江西卷）

1、2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽決賽試題（江西卷）（2008年4月19日 上午9：0011:30）一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）本題共有6小題，每題均給出了代號(hào)為的四個(gè)答案，其中有且僅有一個(gè)是正確的.將你所選擇的答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi).每小題選對(duì)得7分；不選、選錯(cuò)或選出的代號(hào)字母超過一個(gè)（不論是否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得0分.1、從分?jǐn)?shù)組中刪去兩個(gè)分?jǐn)?shù)，使剩下的數(shù)之和為1，則刪去兩個(gè)數(shù)是（ ）（A） (B) (C) (D)2、化簡的結(jié)果是（ ）（A） (B) (C) (D)3、的末尾三位數(shù)字是（ ）（A）125 (B)375 (C)625 (D)8754、若實(shí)數(shù)滿足方程組：,則有（ ）（A

2、）x+2y+3z=0 (B) 7x+5y+2z=0 (C) 9x+6y+3z =0 (D)10x+7y+z=05、將正三角形每條邊四等份，然后過這些分點(diǎn)作平行于其它兩邊的直線，則以圖中線段為邊的菱形個(gè)數(shù)為（ ）（A）15 (B)18 (C)21 (D)246、某人將2008看成了一個(gè)填數(shù)游戲式：28，于是他在每個(gè)框中各填寫了一個(gè)兩位數(shù)，結(jié)果所得到的六位數(shù)恰是一個(gè)完全立方數(shù)，則=（）（A） (B) (C) (D)二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）7、設(shè) .8、一本書共有61頁，順次編號(hào)為1，2，61，某人在將這些數(shù)相加時(shí)，有兩個(gè)兩位數(shù)頁碼都錯(cuò)把個(gè)位數(shù)與十位數(shù)弄反了（即：形如的兩位數(shù)被當(dāng)成了

3、兩位數(shù)），結(jié)果得到的總和是2008，那么，書上這兩個(gè)兩位數(shù)頁碼之和的最大值是 .9、如圖，在邊長為1的正三角形ABC中，由兩條含圓心角的弓形弧，及邊BC所圍成的（火炬形）陰影部分的面積是 . 10、不超過的最大整數(shù)是 .三.解答題（共70分）11. （本題滿分20分）設(shè)a為整數(shù),使得關(guān)于x的方程a-(a+5)x+a+7=0至少有一個(gè)有理根，試求方程所有可能的有理根.12. （本題滿分25分）如圖，四邊形中ABCD中 ，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，P為對(duì)角線AC延長線上的任意一點(diǎn)，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K;求證：K是線段MN的中點(diǎn). 13. （本題滿分25分）120人參加

4、數(shù)學(xué)競賽，試題共有5道大題，已知第1、2、3、4、5題分別有96、83、74、66、35人做對(duì)，如果至少做對(duì)3題便可獲獎(jiǎng)，問：這次競賽至少有幾人獲獎(jiǎng)？參考答案、選擇題（每小題7分，共42分）1 、解：由，而故刪去后，可使剩下的數(shù)之和為1.故選C2、解： =.故選A .3、解：=5=5，因125被8除余l(xiāng)，所以被8除余l(xiāng)，故知被8除余5，而在125、375、625、875四數(shù)中，只有125被8除余5，故選A4 、解：由（1）、（3）得，,故x0，代人（2）解得，所以，54.檢驗(yàn)知此組解滿足原方程組.于是10X7yZ0故選D5、解：圖中只有邊長為1或2的兩種菱形，每個(gè)菱形恰有一條與其邊長相等的對(duì)角

5、線，原正三角形內(nèi)部每條長為1的線段，恰是一個(gè)邊長為1的菱形的對(duì)角線；這種線段有18條，對(duì)應(yīng)著18個(gè)邊長為1的菱形；原正三角形的每條中位線恰是一個(gè)邊長為2的菱形的對(duì)角線，三條中位線對(duì)應(yīng)著3個(gè)邊長為2的菱形；共得21個(gè)菱形. 故選C6、解：設(shè)=，則據(jù)末位數(shù)字特征得y2，進(jìn)而確定：因216000，343000，所以6070，故只有，=62，而238328，則38，32，=70. 故選D二填空題（每小題7分，共28分）7、解：據(jù)條件式令z，則（1）式化為：9，即有9-z+，平方得，81-18z (2),又由 =,代入（2）得，81-18z=4,所以.8、解：l2611891，20081891117，由

6、于形如的頁碼被當(dāng)成后，加得的和數(shù)將相差9，因?yàn)橹荒茉?，2，9中取值，8，得972，由于11772456354，設(shè)弄錯(cuò)的兩位數(shù)是和，若9=72，9=45，只有19，而可以取l6，27，38，49；這時(shí)+的最大值是68；若9=63，9=54，則可以取18，29，而可以取17，28，39，+的最大值也是689、解：如右圖，連OA，OB，OC，線段 OA將陰影的上方部分剖分成兩個(gè)弓形，將這兩個(gè)弓形分別按順時(shí)針及反時(shí)針繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后，陰影部分便合并成OBC，它的面積等于ABC面積的三分之，即等于.10、解：=，令 a，b，得 ab16，ab=4，a,b是方程的兩個(gè)根，故得16a4，16b4；164a，；

7、所以+16（+）-4（a+b）16（16（a+b）一8）4（a+b）=252（a+b）-128=3904.0b1，01，的最大整數(shù)值不超過3903.三.解答題（共70分）11、解：當(dāng)a0時(shí)，方程的有理根為； 5分 以下考慮a0的情況，此時(shí)原方程為一元二次方程，由判別式即318a250，得整數(shù)a只能在其中的非零整數(shù)1，1，2，3，4，5，6，7中取值， 10 分由方程得 （1）當(dāng)a1，由（1）得x2和4；當(dāng)a=1時(shí)，方程無有理根；當(dāng)a2，由（1）得x1和；當(dāng)a=3時(shí)，方程無有理根； 15分當(dāng)a4，由（1）得x1和；當(dāng)a=5時(shí)，方程無有理根；當(dāng)a6，由（1）得x和；當(dāng)a7時(shí)，由（1）得x和； 20

8、分 12、證明：EF截PMN，則5分 BC截 PAE，則，即有所以, 10分 AD截PCF，則即15分因APACCP，得2CP AC2APAC，由(3),(4)得， 即所以由(1)得 NKKM，即K是線段 AM的中點(diǎn) 25分13、解：將這120人分別編號(hào)為，并視為數(shù)軸上的120個(gè)點(diǎn)，用表示這120人之中未答對(duì)第k題的人所成的組,為該組人數(shù), k=l，2，3，4，5，則=24, 5分8546543724將以上五個(gè)組分別賦予五種顏色，如果某人未做對(duì)第k題，則將表示該人點(diǎn)染第k色，k=l，2，3，4，5，問題轉(zhuǎn)化為，求出至少染有三色的點(diǎn)最多有幾個(gè)？由于+246，故至少染有三色的點(diǎn)不多于=82個(gè)，10分右上圖是滿足條件的一個(gè)最佳染法，即點(diǎn)這85 個(gè)點(diǎn)染第五色；點(diǎn)