導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

1、3.1 3.1 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算第三編第三編 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理1.1.函數(shù)函數(shù)y y= =f f( (x x) )從從x x1 1到到x x2 2的平均變化率的平均變化率 函數(shù)函數(shù)y y= =f f( (x x) )從從x x1 1到到x x2 2的平均變化率為的平均變化率為 ， 若若x x= =x x2 2- -x x1 1,y y= =f f（x x2 2）- -f f（x x1 1），則平均變化率可），則平均變化率可表示為表示為 . .1212)()(xxxfxfxy基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)2.2.函數(shù)函數(shù)y y= =f

2、f（x x）在）在x x= =x x0 0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) （1 1）定義）定義 稱函數(shù)稱函數(shù)y y= =f f（x x）在）在x x= =x x0 0處的瞬時(shí)變化率處的瞬時(shí)變化率 = = 為函數(shù)為函數(shù)y y= =f f（x x）在）在x x= =x x0 0處的導(dǎo)數(shù)，記作處的導(dǎo)數(shù)，記作f f（x x0 0）或）或y y|x x= =x x0 0， 即即f f(x x0 0)= =)= = . . （2 2）幾何意義）幾何意義 函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )在點(diǎn)在點(diǎn)x x0 0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)f f(x x0 0) )的幾何意義是在曲的幾何意義是在曲線線y y= =f f（x x）上點(diǎn)）上點(diǎn)

3、 處的處的 . .相應(yīng)相應(yīng)地，切線方程為地，切線方程為 . .xxfxxfx)()(00lim0 xyxlim0 xyxlim0 xxfxxfx)()(00lim0( (x x0 0, ,f f( (x x0 0)切線的斜率切線的斜率y y- -y y0 0= =f f(x x0 0)()(x x- -x x0 0) )3.3.函數(shù)函數(shù)f f( (x x) )的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 稱函數(shù)稱函數(shù)f f(x x)=)= 為為f f（x x）的導(dǎo)函）的導(dǎo)函 數(shù)，導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作數(shù)，導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y y.4.4.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 xxfxxfx)()(lim0原函數(shù)原函數(shù) 導(dǎo)

4、函數(shù)導(dǎo)函數(shù) f f（x x）= =c c f f(x x)=)=f f( (x x)=)=x xn n ( (n nQ Q* *) ) f f(x x)=)=f f( (x x)=sin )=sin x x f f(x x)=)=f f( (x x)=cos )=cos x x f f(x x)=)=f f( (x x)=)=a ax x f f(x x)=)=cos cos x x0 0-sin -sin x xa ax xln ln a a( (a a0)0)nxnxn n-1-1e ex x5.5.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則 （1 1）f f（x x）g g( (x x) )= = ; ;

5、 (2) (2)f f( (x x)g g( (x x) )= = ; ; (3) = ( (3) = (g g( (x x)0).)0).6.6.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)y y= =f f( (g g( (x x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y y= =f f( (u u),),u u= =g g( (x x) )的的 導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y y = = ，即，即y y對(duì)對(duì)x x的的 導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)等于 的導(dǎo)數(shù)與的導(dǎo)數(shù)與 的導(dǎo)數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)的乘積. . f f( (x x)=e)=ex x f f(x x)=)=f f( (x x)=log)=loga ax x f

6、f(x x)=)=f f( (x x)=ln )=ln x x f f(x x)=)=( (a a0,0,且且a a1)1)axln1x1f f(x x) )g g(x x) )f f(x x) )g g( (x x)+)+f f( (x x) )g g(x x) )()(xgxf2)()()()()(xgxgxfxgxfy yu uy y對(duì)對(duì)u uu u對(duì)對(duì)x xx xu ux x基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)1.1.在曲線在曲線y y= =x x2 2+1+1的圖象上取一點(diǎn)（的圖象上取一點(diǎn)（1 1，2 2）及附近一點(diǎn)）及附近一點(diǎn) （1+1+x x，2+2+y y），則），則 為為（） A.A.x x+

7、+2+ +2B.B.x x- -2- -2 C. C.x x+2+2D.2+D.2+x x- - 解析解析 y y= =（1+1+x x）2 2+1-1+1-12 2-1=(-1=(x x) )2 2+2+2x x, , = =x x+2.+2.Cxyx1x1x1xy2.2.設(shè)正弦函數(shù)設(shè)正弦函數(shù)y y=sin =sin x x在在x x=0=0和和x x= = 附近的平均變化率附近的平均變化率為為k k1 1, ,k k2 2, ,則則k k1 1, ,k k2 2的大小關(guān)系為的大小關(guān)系為（） A.A.k k1 1k k2 2B.B.k k1 1k k2 2 C. C.k k1 1= =k k

8、2 2D.D.不確定不確定 解析解析 y y=sin =sin x x,y y=(sin =(sin x x)=cos )=cos x x, , k k1 1=cos 0=1=cos 0=1，k k2 2=cos =0=cos =0，k k1 1k k2 2. .2A23.3.曲線曲線y y= =x x3 3-3-3x x2 2+1+1在點(diǎn)（在點(diǎn)（1 1，-1-1）處的切線方程為）處的切線方程為（） A.A.y y=3=3x x-4-4B.B.y y=-3=-3x x+2+2 C. C.y y=-4=-4x x+3+3D.D.y y=4=4x x-5-5 解析解析 由由y y=3=3x x2

9、2-6-6x x在點(diǎn)（在點(diǎn)（1 1，-1-1）的值為）的值為-3-3，故切，故切線方程為線方程為y y+1=-3(+1=-3(x x-1)-1)，即，即y y=-3=-3x x+2.+2.B4.4.若函數(shù)若函數(shù)y y= =f f( (x x) )在在R R上可導(dǎo)且滿足不等式上可導(dǎo)且滿足不等式xf xf(x x) )- -f f( (x x) )恒成立，且常數(shù)恒成立，且常數(shù)a a, ,b b滿足滿足a ab b, ,則下列不等式一定成則下列不等式一定成立的是立的是（） A.A.af af( (b b) )bf bf( (a a) )B.B.af af( (a a) )bf bf( (b b) )

10、 C. C.af af( (a a) )bf bf( (b b) )D.D.af af( (b b) )bf bf( (a a) ) 解析解析 令令g g( (x x)=)=xf xf( (x x),),g g(x x)=)=xf xf(x x)+)+f f( (x x) )0.0. g g( (x x) )在在R R上為增函數(shù)，上為增函數(shù)，a ab b, , g g（a a) )g g( (b b),),即即af af( (a a) )bf bf( (b b).).B5.5.設(shè)設(shè)P P為曲線為曲線C C：y y= =x x2 2+2+2x x+3+3上的點(diǎn)，且曲線上的點(diǎn)，且曲線C C在點(diǎn)在點(diǎn)

11、P P處處切線傾斜角的取值范圍是切線傾斜角的取值范圍是00， ，則點(diǎn)，則點(diǎn)P P橫坐標(biāo)的橫坐標(biāo)的取值范圍為取值范圍為（） A. A. B.B.-1-1，0 0 C.C.0 0，1 1D.D. 解析解析 y y= =x x2 2+2+2x x+3+3，y y=2=2x x+2.+2. 曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)P P( (x x0 0, ,y y0 0) )處切線傾斜角的取值范圍是處切線傾斜角的取值范圍是 0, ,0, , 曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)P P處的切線斜率處的切線斜率00k k1. 1. 02 02x x0 0+21,-1+21,-1x x0 0 . .A421, 11 ,21421題型一題型一 利用導(dǎo)

12、數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例例1 1】求函數(shù)求函數(shù)y y= = 在在x x0 0到到x x0 0+x x之間的平均變化之間的平均變化 率率. . 緊扣定義緊扣定義 進(jìn)行進(jìn)行 計(jì)算計(jì)算. . 解解xxfxxfxy)()(00思維啟迪思維啟迪11)(2020 xxxy.11)(211)()(211)(11)(2020020202020202020 xxxxxxyxxxxxxxxxxxx12x題型分類題型分類 深度剖析深度剖析探究提高探究提高 求函數(shù)求函數(shù) f f（x x）平均變化率的步驟：）平均變化率的步驟：求函數(shù)值的增量求函數(shù)值的增量f f = = f f（x x2 2）-

13、 - f f（x x1 1）；）；計(jì)算平均變化率計(jì)算平均變化率解這類題目?jī)H僅是簡(jiǎn)單套用公式，解答過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)解這類題目?jī)H僅是簡(jiǎn)單套用公式，解答過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，只要注意運(yùn)算過(guò)程就可以了單，只要注意運(yùn)算過(guò)程就可以了. .)()(1212xxxfxfxf知能遷移知能遷移1 1 利用導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù) 在在x x=1=1處處的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). . 解解 方法一方法一 （導(dǎo)數(shù)定義法）（導(dǎo)數(shù)定義法）.21,21111lim,11111, 1110 xyxxxxxyxyxxy方法二方法二 （導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法）（導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值法）.21.211lim,1,10 xyxxxxxxxxxxxxyxxxy

14、x題型二題型二 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例例2 2】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). . （1 1）y y=2=2x x3 3+ +x x-6-6； （2 2）y y= = ； （3 3）y y=(=(x x+1)(+1)(x x+2)(+2)(x x+3)+3)； （4 4）y y=-sin (1-2cos=-sin (1-2cos2 2 ）；）； （5 5） . . 如式子能化簡(jiǎn)的，可先化簡(jiǎn)，再利用導(dǎo)如式子能化簡(jiǎn)的，可先化簡(jiǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則求導(dǎo). .25sinxxxx2x4xxxy1111思維啟迪思維啟迪解解 （1 1）y y=6=6x x2 2+1.+1.c

15、ossin2323)sin()()(,sinsin)2(23225232323232521xxxxxxxxxxyxxxxxxxxy(3)(3)方法一方法一 y y=(=(x x2 2+3+3x x+2)(+2)(x x+3)+3)= =x x3 3+6+6x x2 2+11+11x x+6+6，y y=3=3x x2 2+12+12x x+11.+11.方法二方法二y y=( (x x+1)(+1)(x x+2)+2)(x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x x+2)(+2)(x x+3)+3)= =( (x x+1)(+1)(x x+2)+(+2)+(x x+1)(+1)(x x

16、+2)+2)( (x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x x+2)+2)=(=(x x+2+2+x x+1)(+1)(x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x x+2)+2)=(2=(2x x+3)(+3)(x x+3)+(+3)+(x x+1)(+1)(x x+2)+2)=3=3x x2 2+12+12x x+11.+11.)1 (2)1 ()1 (2)12(,12)1)(1 (111111)5(22xxxxyxxxxxxxy.cos21)(sin21)sin21(,sin21)2cos(2sin)4(xxxyxxxy 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要

17、準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運(yùn)算，再利用運(yùn)算法函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運(yùn)算，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)則求導(dǎo)數(shù). .在求導(dǎo)過(guò)程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的在求導(dǎo)過(guò)程中，要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)公式結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)公式. .對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要適當(dāng)恒等變形，如對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要適當(dāng)恒等變形，如（3 3）小題）小題; ;對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)，如果直接套用求導(dǎo)對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)，如果直接套用求導(dǎo)法則，會(huì)使求導(dǎo)過(guò)程繁瑣冗長(zhǎng)，且易出錯(cuò)，此時(shí)，可法則，會(huì)使求導(dǎo)過(guò)程繁瑣冗長(zhǎng)，且易出錯(cuò)，此時(shí)，可將解析式進(jìn)行合理

18、變形，轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形將解析式進(jìn)行合理變形，轉(zhuǎn)化為較易求導(dǎo)的結(jié)構(gòu)形式，再求導(dǎo)數(shù)，如（式，再求導(dǎo)數(shù)，如（2 2）、（）、（4 4）、（）、（5 5）都是如此）都是如此. .但但必須注意變形的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤必須注意變形的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤. .探究提高探究提高知能遷移知能遷移2 2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). . （1 1）y y=5=5x x2 2-4-4x x+1+1；(2)(2)y y=(2=(2x x2 2-1)(3-1)(3x x+1)+1)； （3 3）y y= .= . 解解 (1)(1)y y=(5=(5x x2 2-4-4x x+1)+1)

19、=(5 =(5x x2 2)-(4)-(4x x)+(1)=10)+(1)=10 x x-4.-4. (2) (2)y y=(2=(2x x2 2-1)(3-1)(3x x+1)=6+1)=6x x3 3+2+2x x2 2-3-3x x-1,-1, y y=(6=(6x x3 3+2+2x x2 2-3-3x x-1)-1) =(6 =(6x x3 3)+2()+2(x x2 2)-(3)-(3x x)-(1)-(1) =18 =18x x2 2+4+4x x-3.-3.xxxxsincos.)sin(1cossinsincos)sin()cos1)(cos()sin)(sin1 ()sin

20、()sin)(cos()sin()cos()3(222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxy【例例3 3】求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù). . (1) (1)y y=(2=(2x x-3)-3)5 5; ; (2) (2)y y= ;= ; (3) (3)y y=sin=sin2 2（2 2x x+ + ）; ; (4) (4)y y=ln(2=ln(2x x+5).+5).3x3思維啟迪思維啟迪 先正確地分析函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過(guò)先正確地分析函數(shù)是由哪些基本函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的順序復(fù)合而成怎樣的順序復(fù)合而成; ;求導(dǎo)時(shí)求導(dǎo)時(shí), ,可設(shè)出中間變量可設(shè)出中間變量, ,注意注

21、意要逐層求導(dǎo)不能遺漏要逐層求導(dǎo)不能遺漏, ,每一步對(duì)誰(shuí)求導(dǎo)每一步對(duì)誰(shuí)求導(dǎo), ,不能混淆不能混淆. .解解 (1)(1)設(shè)設(shè)u u=2=2x x-3,-3,則則y y=(2=(2x x-3)-3)5 5由由y y= =u u5 5與與u u=2=2x x-3-3復(fù)合而成復(fù)合而成, ,y y=f f(u u)u u(x x)=()=(u u5 5)(2)(2x x-3)=5-3)=5u u4 422=10=10u u4 4=10(2=10(2x x-3)-3)4 4. .（2 2）設(shè)）設(shè)u u=3-=3-x x, ,則則y y= = 由由y y= =u u 與與u u=3-=3-x x復(fù)合而成復(fù)合

22、而成. .x321.62332121) 1(21)3()()()(212121xxxuuxuxuufy 由復(fù)合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇由復(fù)合函數(shù)的定義可知，中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分析應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)，解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，一般是從最外層開(kāi)始，由外向內(nèi)，函數(shù)的復(fù)合層次，一般是從最外層開(kāi)始，由外向內(nèi)，一層一層地分析，把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見(jiàn)的基一層一層地分析，把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見(jiàn)的基本函數(shù)，逐步確定復(fù)合過(guò)程本函數(shù)，逐步確定復(fù)合過(guò)程. .探究提高探究提高(3)(3)設(shè)設(shè)y y= =u u2 2, ,u u=sin =sin v v

23、, ,v v=2=2x x+ ,+ ,（4 4）設(shè)）設(shè)y y=ln =ln u u, ,u u=2=2x x+5,+5,則則32cos2 vvvuuyyxux則).324sin(2)32cos()32sin(4xxxxuxuyy .522)52(521xxxy知能遷移知能遷移3 3 求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù). . (1) (1)y y= ;= ; (2) (2)y y= =x x ; ; (3) (3) 解解 (1)(1)y y=-3(1-3=-3(1-3x x) )-4-4(1-3(1-3x x)= .)= . 3)31 (1x12x).0()3cos(xy4)31 (9x)

24、0)(3sin(3) 3(.11212211)2(2222xyxxxxxxy題型三題型三 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義【例例4 4】 （1212分）已知曲線方程為分）已知曲線方程為y y= =x x2 2, , （1 1）求過(guò)）求過(guò)A A（2 2，4 4）點(diǎn)且與曲線相切的直線方程；）點(diǎn)且與曲線相切的直線方程； （2 2）求過(guò)）求過(guò)B B（3 3，5 5）點(diǎn)且與曲線相切的直線方程）點(diǎn)且與曲線相切的直線方程. . （1 1）A A在曲線上在曲線上, ,即求在即求在A A點(diǎn)的切線方程點(diǎn)的切線方程. . （2 2）B B不在曲線上，設(shè)出切點(diǎn)求切線方程不在曲線上，設(shè)出切點(diǎn)求切線方程. . 解解 （1 1

25、）A A在曲線在曲線y y= =x x2 2上上, , 過(guò)過(guò)A A與曲線與曲線y y= =x x2 2相切的直線只有一條，且相切的直線只有一條，且A A為切點(diǎn)為切點(diǎn). . 2 2分分 由由y y= =x x2 2, ,得得y y=2=2x x,y y|x x=2=2=4, 4=4, 4分分 因此所求直線的方程為因此所求直線的方程為y y-4=4(-4=4(x x-2),-2), 即即4 4x x- -y y-4=0.-4=0. 6 6分分 思維啟迪思維啟迪（2 2）方法一方法一 設(shè)過(guò)設(shè)過(guò)B B（3 3，5 5）與與曲線曲線y y= =x x2 2相切的直線相切的直線方程為方程為y y-5=-5

26、=k k( (x x-3),-3),即即y y= =kxkx+5-3+5-3k k, 8, 8分分 y y= =k kx x+5-3+5-3k k, , y y= =x x2 2得得x x2 2- -k kx x+3+3k k-5=0,=-5=0,=k k2 2-4(3-4(3k k-5)=0.-5)=0.整理得整理得:(:(k k-2)(-2)(k k-10)=0,-10)=0,k k=2=2或或k k=10.=10.1010分分所求的直線方程為所求的直線方程為2 2x x- -y y-1=0,10-1=0,10 x x- -y y-25=0.-25=0.1212分分方法二方法二 設(shè)切點(diǎn)設(shè)切

27、點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (x x0 0, ,y y0 0),),由由y y= =x x2 2得得y y=2=2x x, , x x= =x x0 0=2=2x x0 0, ,8 8分分由已知由已知k kPAPA=2=2x x0 0, ,即即 =2=2x x0 0. .又又y y0 0= = 代入上式整理得代入上式整理得: :x x0 0=1=1或或x x0 0=5,=5,1010分分切點(diǎn)坐標(biāo)為切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),(5,25),(1,1),(5,25),所求直線方程為所求直線方程為2 2x x- -y y-1=0,10-1=0,10 x x- -y y-25=0.-25=0.1212分分0

28、035xy20 x由由|y 探究提高探究提高 （1 1）解決此類問(wèn)題一定要分清）解決此類問(wèn)題一定要分清“在某點(diǎn)在某點(diǎn)處 的 切 線處 的 切 線” ， 還是， 還是 “過(guò)某點(diǎn)的切線過(guò)某點(diǎn)的切線 ” 的 問(wèn) 法的 問(wèn) 法 . .（2 2）解決）解決“過(guò)某點(diǎn)的切線過(guò)某點(diǎn)的切線”問(wèn)題，一般是設(shè)出切點(diǎn)問(wèn)題，一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)為P P（x x0 0，y y0 0），然后求其切線斜率），然后求其切線斜率k k= =f f(x x0 0),),寫(xiě)出其切線方程寫(xiě)出其切線方程. .而而“在某點(diǎn)處的切線在某點(diǎn)處的切線”就是指就是指“某某點(diǎn)點(diǎn)”為切點(diǎn)為切點(diǎn). .（3 3）曲線與直線相切并不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)，

29、當(dāng)）曲線與直線相切并不一定只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)曲線是二次曲線時(shí)，我們知道直線與曲線相切，有且曲線是二次曲線時(shí)，我們知道直線與曲線相切，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，這種觀點(diǎn)對(duì)一般曲線不一定正確只有一個(gè)公共點(diǎn)，這種觀點(diǎn)對(duì)一般曲線不一定正確. .知能遷移知能遷移4 4 已知曲線已知曲線 . .(1)(1)求曲線在求曲線在x x=2=2處的切線方程；處的切線方程；(2)(2)求曲線過(guò)點(diǎn)（求曲線過(guò)點(diǎn)（2 2，4 4）的切線方程）的切線方程. .解解 （1 1）y y=x x2 2, ,在點(diǎn)在點(diǎn)P P（2 2，4 4）處的切線的斜率）處的切線的斜率k k= =y y|x x=2=2=4.=4.曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)P P

30、（2 2，4 4）處的切線方程為）處的切線方程為y y-4=4(-4=4(x x-2),-2),即即4 4x x- -y y-4=0.-4=0.34313xy（2 2）設(shè)曲線）設(shè)曲線 與過(guò)點(diǎn)與過(guò)點(diǎn)P P（2 2，4 4）的切線）的切線相切于點(diǎn)相切于點(diǎn) ，則切線的斜率則切線的斜率k k= =y y|x x= =x x = .= .切線方程為切線方程為y y- -即即34313xy)3431,(300 xxA0 0),()3431(02030 xxxx.34323020 xxxy20 x點(diǎn)點(diǎn)P P（2 2，4 4）在切線上，）在切線上，4=4=即即( (x x0 0+1)(+1)(x x0 0-2

31、)-2)2 2=0,=0,解得解得x x0 0=-1=-1或或x x0 0=2,=2,故所求的切線方程為故所求的切線方程為4 4x x- -y y-4=0-4=0或或x x- -y y+2=0.+2=0.,343223020 xx, 0432030 xx. 0) 1)(1(4) 1(, 04400020202030 xxxxxxx方法與技巧方法與技巧1.1.在對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行理解時(shí)，特別要注意在對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行理解時(shí)，特別要注意f f( (x x0 0) )與與( (f f( (x x0 0)是是不一不一樣的，樣的，f f( (x x0 0) )代表函數(shù)代表函數(shù)f f( (x x) )在在x

32、x= =x x0 0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)值值，不一定不一定為為0 0；而；而( (f f( (x x0 0)是是函函數(shù)值數(shù)值f f( (x x0 0) )的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)值值f f( (x x0 0) )是是一一個(gè)常量，個(gè)常量，其其導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)一一定為定為0 0，即，即( (f f( (x x0 0)=0.=0.2.2.對(duì)對(duì)于于函數(shù)求導(dǎo)，函數(shù)求導(dǎo)，一一般般要遵要遵循先化簡(jiǎn)，循先化簡(jiǎn)，再再求導(dǎo)的基本求導(dǎo)的基本原則原則，求導(dǎo)，求導(dǎo)時(shí)時(shí)，不但，不但要重要重視視求導(dǎo)法求導(dǎo)法則則的的應(yīng)用應(yīng)用，而且，而且要要特特別別注意注意求導(dǎo)法求導(dǎo)法則則對(duì)求導(dǎo)的對(duì)求導(dǎo)的制約作制約作用用，在實(shí)在實(shí)施施化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)時(shí)時(shí)，首

33、首先必須先必須注意注意變換的等價(jià)性，避免不必變換的等價(jià)性，避免不必要要的的運(yùn)運(yùn)算失算失誤誤. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高3.3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般是運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般是運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 則，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解決則，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解決. . （1 1）分析清楚復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系是由哪些基本函）分析清楚復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系是由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成的，適當(dāng)選定中間變量；數(shù)復(fù)合而成的，適當(dāng)選定中間變量； （2 2）分步計(jì)算中的每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求）分步計(jì)算中的每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，而其

34、中特別要注意的是中間變量的關(guān)系；導(dǎo)，而其中特別要注意的是中間變量的關(guān)系； （3 3）根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，）根據(jù)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù)；函數(shù)； （4 4）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練以后，中間步驟可以省略，）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練以后，中間步驟可以省略，不必再寫(xiě)出函數(shù)的復(fù)合過(guò)程不必再寫(xiě)出函數(shù)的復(fù)合過(guò)程. .失誤與防范失誤與防范1.1.利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)時(shí)，要注意到利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)時(shí)，要注意到x x與與x x的區(qū)別，的區(qū)別，這里的這里的x x是常量，是常量，x x是變量是變量. .2.

35、2.利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆防止與乘法公式混淆. .3.3.求曲線切線時(shí)，要分清點(diǎn)求曲線切線時(shí)，要分清點(diǎn)P P處的切線與過(guò)處的切線與過(guò)P P點(diǎn)的切點(diǎn)的切 線的區(qū)別，前者只有一條，而后者包括了前者線的區(qū)別，前者只有一條，而后者包括了前者. .4.4.曲線的切線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，這曲線的切線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，這和研究直線與二次曲線相切時(shí)有差別和研究直線與二次曲線相切時(shí)有差別. .一、選擇題一、選擇題1.1.一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)t t秒后的

36、位秒后的位 移為移為 ，那么速度為零的時(shí)刻是，那么速度為零的時(shí)刻是 （） A.0A.0秒秒B.1B.1秒末秒末 C.2C.2秒末秒末D.1D.1秒末和秒末和2 2秒末秒末 解析解析 v v= =s s（t t）= =t t2 2-3-3t t+2+2， 令令v v=0=0，得，得t t1 1= =1 1,t ,t2 2= =2.2.ttts2233123D,2233123ttts定時(shí)檢測(cè)定時(shí)檢測(cè)2.2.若點(diǎn)若點(diǎn)P P是曲線是曲線y y= =x x2 2-ln -ln x x上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P P到直線到直線y y= =x x-2-2的最小距離為（的最小距離為（）A.1A.1B.

37、 B. C. C. D.D. 解析解析 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P P作作y y= =x x-2-2的平行直線的平行直線, ,且與曲線且與曲線y y= =x x2 2-ln-lnx x 相切，設(shè)相切，設(shè)P P（x x0 0, ,x x -ln -ln x x0 0）, ,則則k k= =y y|x x= =x x0 0=2=2x x0 0- - 2 2x x0 0- =1,- =1,x x0 0=1=1或或x x0 0= (= (舍去舍去).). P P(1,1),(1,1),222B20,10 x01x21. 211|211 |d33.3.若曲線若曲線y y= =x x4 4的一條切線的一條切線l l與直線

38、與直線x x+4+4y y-8=0-8=0垂直，則垂直，則l l的的 方程為方程為（） A.4A.4x x- -y y-3=0-3=0B.B.x x+4+4y y-5=0-5=0 C.4 C.4x x- -y y+3=0+3=0D.D.x x+4+4y y+3=0+3=0 解析解析 y y=4=4x x3 3=4,=4,得得x x=1,=1,即切點(diǎn)為（即切點(diǎn)為（1 1，1 1），所以），所以過(guò)該點(diǎn)的切線方程為過(guò)該點(diǎn)的切線方程為y y-1=4(-1=4(x x-1),-1),整理得整理得4 4x x- -y y-3=0.-3=0.A4.4.曲線曲線y y=e=ex x在點(diǎn)（在點(diǎn)（2 2，e e2

39、 2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角）處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角 形的面積為形的面積為 （ ） A. B.2eA. B.2e2 2 C.eC.e2 2 D.D. 解析解析 點(diǎn)（點(diǎn)（2 2，e e2 2）在曲線上，）在曲線上， 切線的斜率切線的斜率k k= =y y|x x=2=2=e=ex x| |x x=2=2=e=e2 2, , 切線的方程為切線的方程為y y-e-e2 2=e=e2 2( (x x-2).-2). 即即e e2 2x x- -y y-e-e2 2=0.=0. 與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0 0，-e-e2 2），（），（1 1，0 0），）， S S= =D2

40、e492e2.2ee121225.5.（20092009全國(guó)全國(guó)理，理，9 9）已知直線已知直線y y= =x x+1+1與曲線與曲線y y=ln(=ln(x x+ +a a) )相切，則相切，則a a的值為的值為（）A.1A.1B.2B.2C.-1C.-1D.-2D.-2 解析解析 設(shè)直線設(shè)直線y y= =x x+1+1與曲線與曲線y y=ln(=ln(x x+ +a a) )的切點(diǎn)為的切點(diǎn)為（x x0 0, ,y y0 0）, ,則則y y0 0=1+=1+x x0 0, ,y y0 0=ln(=ln(x x0 0+ +a a),),又又y y= 即即x x0 0+ +a a=1.=1.又

41、又y y0 0=ln(=ln(x x0 0+ +a a),), y y0 0=0,=0,x x0 0=-1,=-1,a a=2.=2.B,1ax, 11|00axyxx6.6.（20092009安徽文，安徽文，9 9）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 其中其中 ，則導(dǎo)數(shù)，則導(dǎo)數(shù)f f(1)(1)的取值范圍的取值范圍是是 （ ） A.A.-2-2，2 2B.B. ， C.C. ，2 2D.D. ，2 2 解析解析 由已知由已知f f(x x)=sin )=sin x x2 2+ cos + cos x x, ,D,tan232cos33sin)(xxxf125, 023323.2)1(2,1)3sin(22,433

42、3.125,03sin2cos3sin)1(f，f又二、填空題二、填空題7.7.如圖所示，函數(shù)如圖所示，函數(shù)f f( (x x) )的圖象是折線段的圖象是折線段ABCABC，其中，其中A A，B B, ,C C的坐標(biāo)分別為（的坐標(biāo)分別為（0 0，4 4）, ,（2 2，0 0）, ,（6 6， 4 4），），則則f f（f f（0 0）= = ； . .（用數(shù)字作答）（用數(shù)字作答）xfxfx) 1 ()1 (lim0解析解析 由由A A（0 0，4 4），），B B（2 2，0 0）可得線段）可得線段ABAB所在直所在直線的方程為線的方程為f f( (x x)=-2)=-2x x+4 (0+4

43、 (0 x x2).2).同理同理BCBC所在直線所在直線的方程為的方程為f f( (x x)=)=x x-2 (2-2 (2x x6).6). -2 -2x x+4(0+4(0 x x2),2), x x-2(2-2(2x x6),6),所以所以f f(0)=4,(0)=4,f f(4)=2.(4)=2. f f(1)=-2.(1)=-2.答案答案 2 -22 -2所以所以f f( (x x)=)=xfxfx) 1 ()1 (lim08.8.（20092009福建理，福建理，1414）若曲線若曲線f f( (x x)=)=axax5 5+ln +ln x x存在垂存在垂直于直于y y軸的切線

44、，則實(shí)數(shù)軸的切線，則實(shí)數(shù)a a的取值范圍是的取值范圍是 . . 解析解析 f f(x x)=5)=5axax4 4+ ,+ ,x x(0,+),(0,+), 由題知由題知5 5axax4 4+ =0+ =0在（在（0 0，+）上有解）上有解. . 即即a a=- =- 在（在（0 0，+）上有解）上有解. . x x(0,+), (-,0).(0,+), (-,0). a a(-,0).(-,0).(-,0)(-,0)x1x1551x551x9.9.（20092009江蘇，江蘇，9 9）在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系xOyxOy中，點(diǎn)中，點(diǎn)P P在曲線在曲線C C：y=xy=x3 3- -1

45、010 x+x+3 3上，且在第二象限內(nèi)，已知上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線曲線C C在點(diǎn)在點(diǎn)P P處的切線斜率為處的切線斜率為2 2，則點(diǎn)，則點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 . . 解析解析 設(shè)設(shè)P P（x x0 0, ,y y0 0）( (x x0 00),0),由題意知由題意知 =2,=2, =4.=4.x x0 0=-2,=-2,y y0 0=15.=15. P P點(diǎn)的坐標(biāo)為（點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2-2，1515）. .（-2-2，1515）103|200 xyxx20 x三、解答題三、解答題10.10.求曲線求曲線f f( (x x)=)=x x3 3-3-3x x2 2+2+2x x過(guò)原點(diǎn)的切線方程過(guò)原點(diǎn)的切線方程. . 解解 f f(x x)=3)=3x x2 2-6-6x x+2.+2.設(shè)切線的斜率為設(shè)切線的斜率為k k. . （1 1）當(dāng)切點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)）當(dāng)切點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)k k= =f f(0)=2,(0)=2, 所以所求曲線的