2.3.1-1直線與平面垂直的概念與判定

1、 第一課時第一課時直線與平面垂直的概念和判定直線與平面垂直的概念和判定 2.3.1 2.3.1 直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定2.3.1 直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定（1 1）書脊）書脊ABAB與桌面上經(jīng)過與桌面上經(jīng)過B B點(diǎn)的直線有什么關(guān)系？點(diǎn)的直線有什么關(guān)系？（2 2）書脊）書脊ABAB與桌面上的任意直線有什么關(guān)系？與桌面上的任意直線有什么關(guān)系？AB思考思考2 2：如圖，在陽光下觀察直立于地面的旗如圖，在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子，隨著時間的變化，影桿及它在地面的影子，隨著時間的變化，影子子BCBC的位置在移動，在各時刻旗桿的位置在移動，在各時刻旗桿A

2、BAB所在直所在直線與影子線與影子BCBC所在直線的位置關(guān)系如何？所在直線的位置關(guān)系如何？ ABABABABABCC1B1AB 旗桿旗桿ABAB所在直線所在直線與地面內(nèi)任意一條過點(diǎn)與地面內(nèi)任意一條過點(diǎn)B B的直線垂直的直線垂直 與地面內(nèi)任意一條不過點(diǎn)與地面內(nèi)任意一條不過點(diǎn)B B的直線的直線B B1 1C C1 1也垂直也垂直 直線垂直于平面內(nèi)的直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線任意一條直線lP 如果直線如果直線 l 與平面與平面 內(nèi)的任意一條直線都垂內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們說直，我們說直線直線 l 與平面與平面 互相垂直互相垂直，記作記作 l的垂面直線l的垂線平面垂足證明線線垂直證明線線垂直作

3、用：作用：判定線面垂直判定線面垂直內(nèi)的任意一條直線lllAl直線與平面的直線與平面的一條邊垂直一條邊垂直垂足垂足直線與平面垂直的畫法直線與平面垂直的畫法1.如果一條直線如果一條直線 l 和一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線都和一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則直線垂直，則直線 l和平面和平面 互相垂直互相垂直 （ ）判斷：2. , ( )abab直線直線 l 垂直于平面垂直于平面 ，則直線，則直線 l 垂直于平面垂直于平面中中的任意一條直線的任意一條直線 過空間一點(diǎn)過空間一點(diǎn)P作直線作直線l的垂面只有一個的垂面只有一個過空間一點(diǎn)過空間一點(diǎn)P作作 的垂線只有一條的垂線只有一條 過一點(diǎn)可作多少條已知平面過一點(diǎn)可

4、作多少條已知平面的垂線？的垂線？過一點(diǎn)可作多少個已知直線過一點(diǎn)可作多少個已知直線l的垂面？的垂面？知識探究（二）：知識探究（二）：直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定 思考思考1 1：對于一條直線和一個平面，如果對于一條直線和一個平面，如果根據(jù)定義來判斷它們是否垂直，需要解根據(jù)定義來判斷它們是否垂直，需要解決什么問題？如何操作？決什么問題？如何操作？思考思考2 2：我們需要尋求一個簡單可行的辦法來判定我們需要尋求一個簡單可行的辦法來判定直線與平面垂直直線與平面垂直. .如果直線如果直線l與平面與平面內(nèi)的兩條直線垂直，能保證內(nèi)的兩條直線垂直，能保證l嗎？嗎？如果直線如果直線l與平面與平面內(nèi)的

5、一條直線垂直，能保證內(nèi)的一條直線垂直，能保證l嗎？嗎？如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個平面垂直嗎？那么這條直線與這個平面垂直嗎？探究探究提出問題：有沒有比較方便可行的方法來判斷直提出問題：有沒有比較方便可行的方法來判斷直線和平面垂直呢？線和平面垂直呢？師生活動：請同學(xué)們準(zhǔn)備師生活動：請同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片，我們一塊三角形的紙片，我們一起來做如圖所示的試驗(yàn)：一起來做如圖所示的試驗(yàn)：過過ABCABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)A A翻折紙片，翻折紙片，得到折痕得到折痕ADAD，將翻折后的，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上紙片豎起放置在桌面上

6、（BDBD、DCDC與桌面接觸），與桌面接觸），問問: :折痕折痕AD與桌面垂直嗎？與桌面垂直嗎？如何翻折才能保證折痕如何翻折才能保證折痕ADAD與桌面所在平面垂直？與桌面所在平面垂直？ DBACBDCAABCDABCD 當(dāng)且僅當(dāng)折痕當(dāng)且僅當(dāng)折痕 AD 是是 BC 邊上的高時，邊上的高時，AD所在直所在直線與桌面所在平面線與桌面所在平面 垂直垂直如何翻折才能保證折痕如何翻折才能保證折痕AD與桌面所在平與桌面所在平面垂直？面垂直？定理：定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交相交直直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面. .alP

7、b a b a a bplllb直線和平面垂直的判定定理直線和平面垂直的判定定理 線不貴多線不貴多 貴在相交貴在相交作用：作用：判定直線與平面垂直判定直線與平面垂直記憶：線線垂直，線面垂直記憶：線線垂直，線面垂直A.A.平行平行 B. B.相交相交 C. C.平行或相交平行或相交CB理論遷移理論遷移例例1 1 已知已知 . .求證：求證：/ / ,ab a.babcd首先思考解決問題（線面垂直）的首先思考解決問題（線面垂直）的方法有哪些？再根據(jù)條件選擇方法方法有哪些？再根據(jù)條件選擇方法證明：在平面內(nèi)作兩條相交直線c，da,ac ad/ /ab,bc bd,cdcd與 相交b即：如果兩條平行直線

8、中的一條垂直于一個平面，即：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面那么另一條也垂直于同一個平面CABDOPABCDPOOBDAC平面平面又IBDPOBDOPDPB的中點(diǎn)的中點(diǎn)是是點(diǎn)點(diǎn)又,ACPOACOPCPA的中點(diǎn)的中點(diǎn)是是點(diǎn)點(diǎn)證明證明,PABCO例例3.如圖，圓如圖，圓O所在一平面為所在一平面為 ，AB是圓是圓O 的直徑，的直徑，C 在圓周上在圓周上, 且且PA AC, PA AB,求證：（求證：（1）PA BC （2）BC 平面平面PAC ,解：（1）且又ABACABACAPAAC PAABPABCPABC PACBCAACPAPABCACBC，ABOC面又得

9、由為直徑上一點(diǎn)為圓I,1)2(PABCDPAABCBCABC面，面PABC,ABBC PAABAIBCPAB面,PAAB DPB為的中點(diǎn)ADPBPBBCBIADPAB面BCADADPBC 面PCPBC面ADPC例例4 4 在三棱錐在三棱錐P-ABCP-ABC中，中，PAPA平面平面ABC,ABBCABC,ABBC，PA=ABPA=AB，D D為為PBPB的中點(diǎn)，求證：的中點(diǎn)，求證：ADPC.ADPC.證明：基礎(chǔ)測評1,A. ./ /.A. ./ / /A. ./ /./ /lm mlB llDllB llD lababaBabbababaDbba、若則（ ） 和 不垂直 C. 以上都不對2、如

10、果 和 內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，那么（ ） 和 相交 C. 和 的關(guān)系不確定3、下列命題中正確的是（ ） C. 4A. .lmlm B lmlmD lm、若，則（ ） 可能和 平行 C. 和 相交 和 不相交小小 測測 試：試：DADA5、如圖，空間中直線、如圖，空間中直線L和三角形的兩邊和三角形的兩邊AC,BC同時垂直，則這條直線和三角形同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊的第三邊AB的位置關(guān)系是（的位置關(guān)系是（ ）A 平行平行B 垂直垂直C 相交相交D 不確定不確定ABCBL. AB CD : . EB , EACD,=:. 1 求證已知EAEA EBEB 證明證明: : EAEA CDCDE

11、BEB CDCDE EA A E EB B = =E E CD平面平面EABAB平面平面 EABABCD ACVBBCABVCVAABCV求證中在三棱錐如圖,. 2VABC.DVAVCVDACABBCBDACVDBDDACVBDVBVBDVBACI面面ACDVDBD取的中點(diǎn) ，連接，證明：首先思考解決問題（線線垂直）的方法有哪些？首先思考解決問題（線線垂直）的方法有哪些？3.如圖，已知如圖，已知AP O所在平面，所在平面，AB為為 O的直徑，的直徑，C是圓周上的任意一點(diǎn)，過是圓周上的任意一點(diǎn)，過A作作AEPC于點(diǎn)于點(diǎn)E. 求證：求證： AE平面平面PBC.CPABOE垂直于同一個平面的兩條直線

12、平行垂直于同一個平面的兩條直線平行 該定理有什么功能作用？該定理有什么功能作用？直線與平面垂直的性質(zhì)定理直線與平面垂直的性質(zhì)定理符號語言符號語言ab/aabbab/aabb/abab例例1 1 如圖，已知如圖，已知 于于點(diǎn)點(diǎn)A A， 于點(diǎn)于點(diǎn)B B， 求證：求證： . ., l CAICB,aaAB/ /alA AB BC Cla例例2 2 如圖如圖, ,已知已知 求證：求證：,.ab ba/ / .aaA AB Bb bl n m mnBllmln(1),abab（2）a bba 如果直線如果直線l l與平面與平面的任意一條直線都的任意一條直線都垂直垂直，我們就說直線，我們就說直線l l與平

13、面與平面互相垂互相垂直，記作直，記作l.l.baab/如圖如圖,點(diǎn)點(diǎn)Q是是是點(diǎn)是點(diǎn)P到平面的垂線段到平面的垂線段 pQ過一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做過一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫做 這點(diǎn)與垂足間的線段叫做這點(diǎn)與垂足間的線段叫做。 . .垂線、斜線、射影垂線、斜線、射影( () )垂線垂線點(diǎn)點(diǎn)P在平面在平面 內(nèi)的射影內(nèi)的射影 線段線段PQ二、直線和平面所成的角二、直線和平面所成的角（2 2）斜線）斜線 一條直線和一個平面相交，但不和一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的的斜線和平面的交點(diǎn)斜線和平面的交點(diǎn)叫做叫做。從平面外一點(diǎn)向平從平面外一點(diǎn)

14、向平面引斜線，這點(diǎn)與斜面引斜線，這點(diǎn)與斜足間的線段叫做這點(diǎn)足間的線段叫做這點(diǎn)到這個平面的到這個平面的斜線段斜線段PR 斜線斜線斜足斜足ACB過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做垂線，過垂足和斜足的直線叫做 垂足與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到平垂足與斜足間的線段叫做這點(diǎn)到平面的面的 ( () )射影射影射影 平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角角，叫做，叫做。2.2.直線和平面所成角的定義直線和平面所成角的定義斜線斜線斜足斜足射影射影垂足垂足垂線垂線 一條直線垂直于平面一條直線垂直于平面, ,我們說它所成

15、的角是直我們說它所成的角是直角；一條直線和平面平角；一條直線和平面平行行, ,或在平面內(nèi)或在平面內(nèi), ,我們說我們說它所成的角是它所成的角是0 00 0的角。的角。規(guī)定規(guī)定:直線與平面所成角的范圍：直線與平面所成角的范圍：2, 0斜線與平面所成角的范圍：斜線與平面所成角的范圍：2, 0練習(xí)：在正方體練習(xí)：在正方體ABCD-ABCD中，中，(1) 直線直線AB與平面與平面ABCD所成的角所成的角(2)直線直線AB與平面與平面BCCB所成的角所成的角(3)求直線求直線BD和平面和平面AADD所成的角的正切值所成的角的正切值例例1、在正方體、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線中，求直線A1

16、B和平面和平面A1B1CD所成的角所成的角O線面角的計算：線面角的計算：1、找到或作出直線與平面、找到或作出直線與平面所成的角所成的角2、證明、證明 圖中的角就是所求圖中的角就是所求的角的角3、計算出此角的大小計算出此角的大小一一“作作”二二“證證”三三“計算計算”O(jiān)練習(xí)：在正方體練習(xí)：在正方體ABCD-ABCD中，求直線中，求直線AB和平面和平面ABCD所成的角所成的角3.如圖：正方體如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，求中，求:（1）A1C1與面與面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1與面與面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1與面與面BB1C1C所成的角所成的角（4）A

17、1C1與面與面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB0o鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)90o45o30oO練習(xí)例例2：如圖，已知：如圖，已知RtABC的斜邊的斜邊BC在平面在平面內(nèi)，內(nèi)，兩直角邊兩直角邊AB、AC和平面和平面所成的角分別為所成的角分別為450和和300，求斜邊上的高，求斜邊上的高AD和平面和平面所成的角的正弦值。所成的角的正弦值。ABCOD例例3.如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是正是正方形，側(cè)棱方形，側(cè)棱PD底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的的中點(diǎn)。證明：中點(diǎn)。證明：PA/面面EDBPDCABECBAS3 3（1 1）找）找（2 2）求

18、）求SBA即為直線即為直線SA和平面和平面ABC的夾角的夾角ABCSA平面AB為為SB在平面在平面ABC內(nèi)的射影內(nèi)的射影AOaa平面PAOPAa PAaPO 平面PAOaPOA1D1C1B1ADCBABCDABCDACBDADBC例2 如圖，已知在四面體中，求證：ABCDEFGO: AOBCDOBOCDEBOCOABACBCDABCDBECDCFBDOBCDDOBCGDGBCAD證明 作底面， 為垂足，連結(jié)并延長交于 ，則、分別為、在底面上的射影。，（三垂線定理的逆定理）同理可證：為的垂心，連并延長交于 ，則由三垂線定理知，BC O OA AB BC C例例2.2.如圖，如圖，BOCBOC在平

19、面在平面內(nèi)，內(nèi)，OAOA是是的斜線，若的斜線，若AOB=AOC=60AOB=AOC=600 0,AO=BO=CO=a,AO=BO=CO=a，BC= BC= ，求，求OAOA和和平面平面所成的角所成的角. .2aO OA AB BC C射影定理射影定理 從平面外從平面外向這個平面所引的垂線段和斜向這個平面所引的垂線段和斜線段中：線段中：（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；也較長；（2）垂線段比任何一條斜線段都短）垂線段比任何一條斜線段都短. AOBC（1） OB=OCAB=AC OBOCABAC（2 ）AB=ACOB=OC ABAC

20、OBOC（3）AO AB，AO AC三角形的 四心:內(nèi)心,外心,垂心，重心 重心: 三邊上中線的交點(diǎn); 垂心 :三條高的交點(diǎn); 內(nèi)心: 內(nèi)接圓圓心 ,三個角角平分線交點(diǎn); 外心 :外接圓圓心 ,三條邊的垂直平分線交點(diǎn) .正三角形才有中心:重心,內(nèi)心.外心,垂心,四心合一. 已知三棱錐已知三棱錐P-ABCP-ABC的三條側(cè)棱的三條側(cè)棱PA=PB=PCPA=PB=PC試判斷點(diǎn)試判斷點(diǎn)P P在底面在底面ABCABC的射影的位置？的射影的位置？PABCOOA=OB=OCO為三角形為三角形ABC的的外心外心已知三棱錐已知三棱錐P-ABCP-ABC的三條的三條側(cè)棱側(cè)棱PA,PB,PCPA,PB,PC兩兩垂

21、直兩兩垂直, ,試判斷點(diǎn)試判斷點(diǎn)P P在底面在底面ABCABC的射影的射影的位置？的位置？PABCO O為三角形為三角形ABCABC的的垂心垂心DO已知三棱錐已知三棱錐P-ABCP-ABC的的頂點(diǎn)頂點(diǎn)P P到底面三角形到底面三角形ABCABC的三條邊的距離相等的三條邊的距離相等, ,試判斷點(diǎn)試判斷點(diǎn)P P在在底面底面ABCABC的射影的位置？的射影的位置？PABCO O為三角形為三角形ABCABC的的內(nèi)心內(nèi)心OEF已知三棱錐已知三棱錐P-ABCP-ABC的三條側(cè)棱的三條側(cè)棱PA=PB=PCPA=PB=PC試判斷點(diǎn)試判斷點(diǎn)P P在底面在底面ABCABC的射影的位置？的射影的位置？已知三棱錐已知三

22、棱錐P-ABCP-ABC的三條的三條側(cè)棱側(cè)棱PA,PB,PCPA,PB,PC兩兩垂直兩兩垂直, ,試判斷點(diǎn)試判斷點(diǎn)P P在底面在底面ABCABC的射影的位置？的射影的位置？已知三棱錐已知三棱錐P-ABCP-ABC的的頂點(diǎn)頂點(diǎn)P P到底面三角形到底面三角形ABCABC的三的三條邊的距離相等條邊的距離相等, ,試判斷試判斷點(diǎn)點(diǎn)P P在底面在底面ABCABC的射影的的射影的位置？位置？PABCO外心外心垂心垂心內(nèi)心內(nèi)心2.過點(diǎn)為連則則邊點(diǎn)則0 0ABC所ABC所在在平平面面外外一一P,作P,作PO PO ,垂,垂足足O,接O,接PA,PB,PC.PA,PB,PC.1).若1).若PA = PB = PC,O是PA = PB = PC,O是ABC的ABC的_心_心. .2).若2).若PA = PB = PC,PA = PB =