專題：分式運(yùn)算中的常用技巧

1、初中數(shù)學(xué)專題：分式運(yùn)算中的常用技巧編稿老師徐文濤一校楊雪二校黃楠審核劉敏一、考點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)考綱要求命題角度備注分式的性質(zhì)掌握利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分分式的運(yùn)算綜合運(yùn)用1. 利用設(shè)k的方法進(jìn)行分式化簡與計(jì)算2. 利用公式進(jìn)行分式化簡與計(jì)算3. 利用整體通分的思想對(duì)分式進(jìn)行化簡與計(jì)算?？级?、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：1. 掌握設(shè)參數(shù)法進(jìn)行分式運(yùn)算；2. 利用公式變形進(jìn)行分式運(yùn)算；3. 掌握整體通分的思想方法。難點(diǎn)： 會(huì)選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q與分式有關(guān)的問題。微課程1：設(shè)k求值【考點(diǎn)精講】運(yùn)用已知條件，求代數(shù)式的值是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一。除了常規(guī)代入求值法，還要根據(jù)題目的特點(diǎn)，靈活運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ê图记桑?/p>

2、才能達(dá)到預(yù)期的目的。如果代數(shù)式字母較多，式子較繁，為了使求值簡便，有時(shí)可增設(shè)一些參數(shù)，以便溝通數(shù)量關(guān)系，設(shè)k求值，也叫做設(shè)參數(shù)法。通常是用含有字母的代數(shù)式來表示變量，這個(gè)代數(shù)式叫作參數(shù)式，其中的字母叫做參數(shù)。參數(shù)法，是許多解題技巧的源泉?！镜淅觥?例題1 已知，求的值。思路導(dǎo)航：首先設(shè)，則可得a3k，b4k，c5k，然后將其代入，即可求得答案。答案：解：設(shè)（k0），則a3k，b4k，c5k，所以點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用設(shè)k值的方法求分式的值，用“設(shè)k法”表示出a、b、c可以使運(yùn)算更加簡便。例題2 已知a，b，c均不為0，且，求的值。思路導(dǎo)航：仔細(xì)觀察，只要a、b、c用同一個(gè)未知數(shù)表示，就可以約

3、去分式中的未知數(shù)。所以，設(shè)k，用k來表示a、b、c，然后將其代入所求的分式即可。答案：解：設(shè)k，則a2b5k，3bc3k，2ca7k，由得，2b2c12k，bc6k，由，得4b9k，bk，分別代入、得，ak，ck，例題3 已知，計(jì)算。思路導(dǎo)航：設(shè)k，得bcak，acbk，abck；然后將三式相加即可求出k的值，代入即可求值。答案：解：設(shè)k，得bcak，acbk，abck；把這3個(gè)式子相加得2（abc）（abc）k若abc0，abc，則k1若abc0，則k2當(dāng)k1時(shí)，原式1，當(dāng)k2時(shí)，原式8。點(diǎn)評(píng)：用含k的代數(shù)式表示出a，b，c的值是解決本題的突破點(diǎn)?！究偨Y(jié)提升】設(shè)k求值解題的基本步驟（1）設(shè)參

4、數(shù)k，即選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)k（參數(shù)的個(gè)數(shù)可取一個(gè)或多個(gè)）；（2）建立含有參數(shù)的方程或代數(shù)式；（3）消去參數(shù)，即通過運(yùn)算消去參數(shù)，使問題得到解決。例：已知，求的值。解：設(shè)，于是有，所以0。微課程2：活用公式變形【考點(diǎn)精講】完全平方公式和平方差公式是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)重要的乘法公式，也是同學(xué)們解題時(shí)常出錯(cuò)的難點(diǎn)。在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，若能根據(jù)公式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ`活應(yīng)用公式，可使問題化繁為簡，收到事半功倍的效果，同時(shí)掌握其變形特點(diǎn)并靈活運(yùn)用，可以巧妙地解決很多問題。【典例精析】 例題1 已知a25a10，計(jì)算的值。思路導(dǎo)航：讓等式兩邊同時(shí)除以a，得到5，然后對(duì)進(jìn)行公式變形即可。答案：解：因?yàn)閍0，將a2

5、5a10兩邊都除以a整理得：5，所以2（522）22527點(diǎn)評(píng)：本題既考查了對(duì)完全平方公式的變形，又考查了代數(shù)式求值的方法，同時(shí)還隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運(yùn)算的能力。解答本題的關(guān)鍵是將看做一個(gè)整體代入。例題2 計(jì)算思路導(dǎo)航：將原式乘以代數(shù)式，同時(shí)再除以代數(shù)式，即可連續(xù)利用平方差公式。答案：解：原式點(diǎn)評(píng)：在本題中，原式乘以同一代數(shù)式，之后再除以同一代數(shù)式還原，就可連續(xù)使用平方差公式，分式運(yùn)算中若恰當(dāng)使用乘法公式，可使計(jì)算簡便。例題3 已知，求的值。思路導(dǎo)航：本題將的分子、分母顛倒過來，即變?yōu)榍蟮闹担倮霉阶冃吻笾稻秃唵味嗔?。答案：解：，即?3124。點(diǎn)評(píng)：利用x和互為倒數(shù)的關(guān)系，溝通已知

6、條件與所求未知式的關(guān)系，可以使一些分式求值問題的思路豁然開朗，使解題過程更加簡捷?！究偨Y(jié)提升】完全平方公式的常見變形：（1）a2b2（ab）22ab， （2）a2b2（ab）22ab， （3）（ab）2（ab）24ab，（4）a2b2c2（abc）22（abacbc）平方差公式的常見變形： （1）位置變化：（ab）（ba）（b2a2）； （2）符號(hào)變化：（ab）（ab）（a2b2）； （3）系數(shù)變化：（3a2b）（3a2b） 9a24b2； （4）指數(shù)變化：（a3b2）（a3b2）a6b4； （5）項(xiàng)數(shù)變化：（a2bc）（a2bc）a2（2bc）2； （6）連用變化：（ab）（ab）（a2b2

7、）（a2b2）（a2b2）a4b4。微課程3：整體通分【考點(diǎn)精講】分式的加減運(yùn)算過程中，一般要按照運(yùn)算法則同級(jí)運(yùn)算從左到右計(jì)算。異分母分式加減的運(yùn)算法則是“異分母的分式相加減，先通分變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p。”但對(duì)于一些較為特殊的異分母分式加減運(yùn)用此規(guī)則顯得麻煩。因而需根據(jù)題型，靈活運(yùn)用其法則及有關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答。在分式計(jì)算題中，如果出現(xiàn)了部分整式，我們可以把整式看成一個(gè)整體進(jìn)行通分，從而最終達(dá)到解決整個(gè)問題的目的?！镜淅觥坷}1 計(jì)算：思路導(dǎo)航：題目中既有分式又有整式，不相統(tǒng)一，我們可以尋求能作為整體的部分，那么計(jì)算起來可以簡便一些。對(duì)于本題可以將后面的部分看做一個(gè)整體進(jìn)行通分。答案：

8、解：原式。點(diǎn)評(píng)：本題是求一個(gè)分式與一個(gè)多項(xiàng)式的和，若把整個(gè)多項(xiàng)式看作分母為1的分式，再通分相加，可以使解法更簡便。例題2 計(jì)算：思路導(dǎo)航：將后三項(xiàng)看做分母是1，變?yōu)?，整理后，利用完全平方公式即可解答。答案：解：原式點(diǎn)評(píng)：本題考查分式的加減，在計(jì)算過程中要注意整體思想的運(yùn)用，運(yùn)用分式的通分必須注意整個(gè)分子和整個(gè)分母。注意到與之間的關(guān)系，利用換元法，可以將問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的形式?！究偨Y(jié)提升】若題目為整式和分式相加減運(yùn)算，可把整式看做一個(gè)整體進(jìn)行通分計(jì)算。解此類題可運(yùn)用整體思想，把整式看做分母是“1”的一個(gè)整體參與計(jì)算，可達(dá)到簡化目的，使計(jì)算簡便。例如：計(jì)算分式時(shí)，可將a2看做一個(gè)整體，將其分母看

9、做“1”進(jìn)行通分，可使運(yùn)算過程大大簡化。（答題時(shí)間：60分鐘）設(shè)k求值一、選擇題1. 已知x：2y：3z：0.5，則的值是（）a. b. 7 c. 3 d. 2. 若實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足，則的值是（ ）a. 1或0 b. 1或0 c. 1或2 d. 1或13. 若x是一個(gè)不等于0的數(shù)，且x23x10，則等于（）a. b. c. 10 d. 12二、填空題4. 若，則_。5. 若2a3b4c，且abc0，則的值是_。三、解答題6. 若，求的值。7. 已知滿足，求的值。8. 已知，求的值。活用公式變形一、選擇題1. 化簡（）的結(jié)果是（）a. 4 b. 4 c. 2a d. 2a2. 已知m3，那

10、么m的結(jié)果是（）a. b. c. d. 3. 設(shè)，則（ ）a. b. c. d. 二、填空題4. 已知x24x10，求的值_。5. 已知：（0a1），則_。三、解答題6. 先化簡，后求值：，其中。7. 計(jì)算：已知，求的值。整體通分一、選擇題1. 當(dāng)a3時(shí)，則a2的值為（ ）a. 3 b. 4 c. 5 d. 62. 已知，則的值是（）a. 3 b. c. 3 d. 3. 計(jì)算的結(jié)果為（）a. b. c. d. 二、填空題4. 若a，則_。5. 已知，則_。三、解答題6. 計(jì)算：（1）；（2）7. 計(jì)算：8. 先化簡，再求值：，其中x3，y2。設(shè)k求值一、選擇題1. b 解析：設(shè)x：2y：3z：

11、0.5a，則可以得出：x2a，y3a，z0.5a，代入中，得原式7。2. d 解析：設(shè)k，則b2ac，c2bd，d2acb2，a2bdc2，由k得，abk，由k得，dakbk2，由k得，cdkbk3，再由k得，k，即：k41，k1。當(dāng)k1時(shí)，原式1；當(dāng)k1時(shí)，原式1。.3. a 解析：解：設(shè)，則，。故選a。二、填空題4. 5 解析：由題意，設(shè)x3k，y5k，z7k，原式5。5. 2 解析：設(shè)2a3b4c12k（k0），則a6k，b4k，c3k，所以，原式2。三、解答題6. 解：設(shè)，則原式7. 解：設(shè)，則8. 解：設(shè)，則，。由有，所以，故有或。當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，。活用公式變形一、選擇題1. a 解析：原式（a2）（a2）4。2. d 解析：（m）2（m）24945，m。3. a 解析：解：，原式二、填空題4. 解析：解：，則。5. 2 解析：解：，且由，可得，。三、解答題6.