第三章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述及及仿真算法

1、第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與仿真算法 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中有著相當(dāng)重要的地位，也是系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中有著相當(dāng)重要的地位，也是計(jì)算機(jī)仿真的基礎(chǔ)。計(jì)算機(jī)仿真的基礎(chǔ)。2.12.1.12.1.1、系統(tǒng)的分類、系統(tǒng)的分類n連續(xù)系統(tǒng)：連續(xù)系統(tǒng)：系統(tǒng)中的變量（物理量）隨時(shí)間系統(tǒng)中的變量（物理量）隨時(shí)間連續(xù)變化連續(xù)變化。n離散系統(tǒng)：離散系統(tǒng)：系統(tǒng)中的系統(tǒng)中的變量（物理量）隨時(shí)間變量（物理量）隨時(shí)間斷續(xù)變化斷續(xù)變化。如計(jì)。如計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。算機(jī)控制系統(tǒng)。 我們所討論的系統(tǒng)主要以我們所討論的系統(tǒng)主要以線性定常連續(xù)系統(tǒng)線性定常連續(xù)系統(tǒng)為為主。主。 線性系統(tǒng)滿足線性系統(tǒng)滿足疊加性疊加性和和齊次性。齊次性。n

2、1. 微分方程建立的一般步驟微分方程建立的一般步驟n采用解析法來(lái)建立系統(tǒng)或元部件的微分方程所遵循的一般步驟是：n（1）確定系統(tǒng)或元部件的輸入、輸出變量。n（2）根據(jù)物理和化學(xué)定律（比如：牛頓運(yùn)動(dòng)定律、能量守恒定律、克?；舴蚨傻龋┝谐鱿到y(tǒng)或元部件的原始方程式，按照工作條件忽略一些次要因素。n（3）找出原始方程式中間變量與其它因素的關(guān)系式。n（4）消去原始方程式的中間變量，得到一個(gè)關(guān)于輸入、輸出的微分方程式。n（5）進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，將輸出各項(xiàng)放在等號(hào)左端，輸入各項(xiàng)放在等號(hào)右端，并且按照微分方程的階次降冪排列，同時(shí)將各系數(shù)化為具有一定物理意義的形式。 2.1.22.1.2 描述控制系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模

3、型描述控制系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型1 1、微分方程形式、微分方程形式ububububyayayayammmmnnnn)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(0.2 2、傳遞函數(shù)形式、傳遞函數(shù)形式nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsYsG11101110.)()()(3 3、狀態(tài)空間表達(dá)式狀態(tài)空間表達(dá)式DUCXYBUAXX一階微分方程組一階微分方程組2.1.22.1.2 描述控制系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型描述控制系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型4 4、零極點(diǎn)增益形式、零極點(diǎn)增益形式).()().()()(2121nmpspspszszszsKsG模型轉(zhuǎn)換：模型轉(zhuǎn)換：掌握：掌握：1、傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為、傳遞函

4、數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型 2 2、結(jié)構(gòu)圖形式轉(zhuǎn)換為、結(jié)構(gòu)圖形式轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型例如：例如：2.1.22.1.2 描述控制系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型描述控制系統(tǒng)常用的數(shù)學(xué)模型s1us1-y2x 2x1x1x 21212110011100:xxyuxxxx表達(dá)式得連續(xù)部分的狀態(tài)空間例：i(t)ur(t)uc(t)CRLuuRidtdiLidtduCcc:列方程rcccuudtduRCdtudLC2)( : 時(shí)域二階的微分方程得到關(guān)于輸入和輸出的rccrccuLiuLRLCiuuLiLRuLiiCu10110:111:)(寫(xiě)成矩陣形式時(shí)域狀態(tài)空間表達(dá)式11)()(: )(2RCsL

5、CssUsUrc復(fù)域拉氏變換后得傳遞函數(shù)uuRidtdiLidtduCcc:由方程數(shù)學(xué)模型的相互轉(zhuǎn)換在實(shí)際工程中，由于要解決自動(dòng)控制問(wèn)題所需要的數(shù)學(xué)模型與該問(wèn)題所給定的已知數(shù)學(xué)模型往往是不一致的，也可能是要解決問(wèn)題最簡(jiǎn)單而又最方便的方法所用到的數(shù)學(xué)模型與該問(wèn)題所給定的已知數(shù)學(xué)模型不同，此時(shí)，就需要對(duì)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 另外，在不同的應(yīng)用場(chǎng)合，由于實(shí)際系統(tǒng)所給定的數(shù)學(xué)模型形式各異，在仿真時(shí)要進(jìn)行模型的轉(zhuǎn)換，即將給定模型轉(zhuǎn)換為仿真程序能夠處理的模型形式。 通常，系統(tǒng)的微分方程作為描述動(dòng)態(tài)性能的基本形式，當(dāng)作為共性的內(nèi)容進(jìn)行分析時(shí)，又常常將其轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式，而在計(jì)算機(jī)中，利用系統(tǒng)的狀態(tài)

6、空間描述最方便。所以，討論系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換具有實(shí)際的指導(dǎo)意義。 2.1.3控制系統(tǒng)建模的基本方法n機(jī)理模型法n統(tǒng)計(jì)模型法n混合模型法2.2 實(shí)現(xiàn)問(wèn)題n2.2.1單變量系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)n2.2.2控制系統(tǒng)的數(shù)字仿真實(shí)現(xiàn)2-3 常微分方程的數(shù)值解法2.3.1 2.3.1 數(shù)值積分法數(shù)值積分法1),()()(2),(1nnttnndttxftxtxxttxfx 把求微分變?yōu)榍蠓e分，然后用近似的方法求上把求微分變?yōu)榍蠓e分，然后用近似的方法求上式中的積分，得到規(guī)定區(qū)間內(nèi)若干離散點(diǎn)式中的積分，得到規(guī)定區(qū)間內(nèi)若干離散點(diǎn)t1、t2、t3、tn處的近似值處的近似值x1、x2、x3、xn。這就這就是數(shù)值

7、積分法的基本思想。是數(shù)值積分法的基本思想。2-3-2 歐拉法（Euler method） 歐拉法簡(jiǎn)單，精度低，但為其它算法奠定了歐拉法簡(jiǎn)單，精度低，但為其它算法奠定了基礎(chǔ)。基礎(chǔ)。一、設(shè)一、設(shè)tn+1-tn=h,若若h足夠小，在足夠小，在tn , tn+1上，上，f(x,t)近近似看成常數(shù)似看成常數(shù)f(xn,tn),用矩形面積代替曲邊梯形面積。用矩形面積代替曲邊梯形面積。htxftxdttxftxtxnnnttnnnn*),()(),()()(11 f(x,t)ttntn+1誤差誤差2-3-2 歐拉法（Euler method）由以上推導(dǎo)得歐拉遞推公式：),(*1nnnntxfhxx h為步長(zhǎng)為

8、步長(zhǎng)二、泰勒展開(kāi)二、泰勒展開(kāi)x(t)!)(!2)(*)(*)()(0)(0)2(2000ktxhtxhtxhtxhtxkk取前兩項(xiàng)，舍去高次項(xiàng)，寫(xiě)成差分方程得歐拉遞推取前兩項(xiàng)，舍去高次項(xiàng)，寫(xiě)成差分方程得歐拉遞推公式：公式：),(*1nnnntxfhxx2-3-2 歐拉法（Euler method）三、截?cái)嗾`差三、截?cái)嗾`差 歐拉法是由泰勒級(jí)數(shù)截?cái)鄅2以上的高階項(xiàng)而得到的，把截?cái)囗?xiàng)稱為截?cái)嗾`差。 歐拉法的截?cái)嗾`差與h2同為一個(gè)數(shù)量級(jí)，具有一階精度。當(dāng)h減小時(shí),截?cái)嗾`差會(huì)減少。 （注：截?cái)嗾`差為o（hp+1)時(shí)，稱為具有p階精度）例：用歐拉法求解下面微分方程，取h=0.22.101)0(2txxtd

9、tdx歐拉法數(shù)值解：歐拉法數(shù)值解： 精確解：精確解：1.00000000000000 1.000000000000001.00000000000000 0.960789439152320.92000000000000 0.852143788966210.77280000000000 0.697676326071030.58732800000000 0.527292424043050.39938304000000 0.367879441171440.23962982400000 0.236927758682122-3-3 梯形法（RK2） 用梯形面積代替曲邊梯形的面積。 f(x,t)ttntn+

10、1誤差誤差),*(),(2/)(*121211hthkxfktxfkkkhxxnnnnnn其中其中k2是有歐拉法估計(jì)得到。是有歐拉法估計(jì)得到。2-3-4 四階龍格庫(kù)塔法 （ the fourth-order Runge-Kutta Method) K1, K2, K3,K4,稱為四階龍格庫(kù)塔系數(shù)。 四階龍格庫(kù)塔法取了泰勒級(jí)數(shù)的前五項(xiàng)之和得到，截?cái)嗾`差O（h5),具有四階精度),*()2/,2/*()2/,2/*(),(6/)22(*342312143211hthkxfkhthkxfkhthkxfktxfkkkkkhxxnnnnnnnnnn 多取幾個(gè)點(diǎn)，然后將其斜率加權(quán)平均得一多取幾個(gè)點(diǎn)，然后將

11、其斜率加權(quán)平均得一等效斜率等效斜率，就得到四階龍格庫(kù)塔法。就得到四階龍格庫(kù)塔法。2-3-5 幾種數(shù)值積分法的分析1、xn+1=xn+步長(zhǎng)*各點(diǎn)斜率的加權(quán)平均2、精度取決于步長(zhǎng)h及階次p。3、本次計(jì)算只用到前一次的計(jì)算結(jié)果，屬單步法。n單步法優(yōu)點(diǎn)：占用存貯空間少，少能自啟動(dòng)自啟動(dòng)（從初值），可變步長(zhǎng)。6/ )22(*:42/ )(*:2),(*:432112111kkkkhxxRKkkhxxRKtxfhxxEulernnnnnnnn法2-3 數(shù)值積分法的穩(wěn)定性一、起源 數(shù)值積分法是一種近似的求解微分方程的方法。在反復(fù)的遞推運(yùn)算中將引入誤差，若誤差的積累越來(lái)越大，將使一個(gè)原本穩(wěn)定的系統(tǒng)，得到的仿真

12、結(jié)果卻不穩(wěn)定。 例如：有一個(gè)微分方程5.103/1)0(30txxdtdx其解析解：其解析解：tex3031歐拉法的遞推公式為：歐拉法的遞推公式為：011)301()301()30(xhxhxhxxnnnnn2-3 數(shù)值積分法的穩(wěn)定性可見(jiàn)：當(dāng)|1-30h|1時(shí)，遞推結(jié)果將是發(fā)散的。 當(dāng)0h2/30時(shí)，遞推結(jié)果是穩(wěn)定的（收斂的）011)301(xhxnn二、穩(wěn)定性的測(cè)試方程 詳細(xì)討論數(shù)值積分穩(wěn)定性問(wèn)題是非常復(fù)雜的，本節(jié)介紹一種判定算法穩(wěn)定性的常用方法。 通常用一個(gè)簡(jiǎn)單的一階常系數(shù)微分方程來(lái)考察算法的穩(wěn)定性。如果一個(gè)算法連這樣簡(jiǎn)單的方程都不能適應(yīng)，則不能保證其絕對(duì)穩(wěn)定性。0)0(xxxdtdx其中

13、，其中， 為一復(fù)數(shù)，為一復(fù)數(shù)， = +j 0,（即原系統(tǒng)穩(wěn)定）（即原系統(tǒng)穩(wěn)定）2-3 數(shù)值積分法的穩(wěn)定性三、用測(cè)試方程考察歐拉法的穩(wěn)定性011)1()1() 1.xhxhxhxxnnnnn當(dāng)當(dāng)|1+h |=1時(shí)，計(jì)算穩(wěn)定。時(shí)，計(jì)算穩(wěn)定。2、求其穩(wěn)定邊界、求其穩(wěn)定邊界設(shè)設(shè)h =x+jy, 由由|1+h |=1 得得:|1+x+jy|=1穩(wěn)定邊界為：穩(wěn)定邊界為：(1+x)2+y2=1當(dāng)當(dāng) 為負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，步長(zhǎng)的為負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，步長(zhǎng)的穩(wěn)定區(qū)間為：穩(wěn)定區(qū)間為：0h|2/ |-20ReIm2-3 數(shù)值積分法的穩(wěn)定性四、龍格庫(kù)塔法的計(jì)算穩(wěn)定性1、RK2121)21(22221hhxhhxnn穩(wěn)定條件為2、RK41

14、24621:)24621(4433224433221hhhhxhhhhxnn穩(wěn)定條件為2-4 數(shù)值積分法的選擇原則從精度、速度、穩(wěn)定性三個(gè)角度考慮一、計(jì)算精度數(shù)值積分存在兩種誤差。1、截?cái)嗾`差：舍去泰勒級(jí)數(shù)的高階項(xiàng)形成的。p 截?cái)嗾`差h 截?cái)嗾`差2、舍入誤差由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有限引起的，會(huì)隨著計(jì)算次數(shù)的增加而積累。p 計(jì)算量 舍入誤差h 計(jì)算量 舍入誤差2-4 數(shù)值積分法的選擇原則如右圖示，兩種誤差對(duì)步長(zhǎng)的要求是矛盾的，最好選擇在h0附近。一般情況下選：Tmin/20=h=Tmin/5系統(tǒng)響應(yīng)快的，步長(zhǎng)要小。heh0截?cái)嗌崛攵?、?jì)算速度二、計(jì)算速度h 計(jì)算速度加快。計(jì)算速度加快。高階算法，計(jì)算速度慢。高