第四章 立體投影

1、4-1立體及其表面的點與線立體及其表面的點與線4-2 平面與平面立體表面相交平面與平面立體表面相交4-3 平面與回轉體表面相交平面與回轉體表面相交第四章第四章 立體的投影立體的投影4-4 兩回轉體表面相交兩回轉體表面相交4-5 綜合相貫綜合相貫頂點棱面母線軸線棱線圖圖4-1 4-1 基本體與幾何要素基本體與幾何要素底面 復雜形體或機件都可看作由柱、錐、球等基本體復雜形體或機件都可看作由柱、錐、球等基本體經過一定方式的組合后形成，同時基本體又由點、經過一定方式的組合后形成，同時基本體又由點、線、面等幾何要素所構成。線、面等幾何要素所構成。4-1 立體及其表面的點與線立體及其表面的點與線按立體表面

2、的性質不同，將立體分為平面立體和曲面立體。按立體表面的性質不同，將立體分為平面立體和曲面立體。平面立體平面立體表面是由平面圍成的立體。表面是由平面圍成的立體。曲面立體曲面立體表面由曲面或曲面和平面圍成的立體。表面由曲面或曲面和平面圍成的立體。一、一、平面立體的投影平面立體的投影 棱柱具有這樣的棱柱具有這樣的投影特點：投影特點：一個投影反映底面實形，而一個投影反映底面實形，而其余兩投影則為矩形或復合矩形。其余兩投影則為矩形或復合矩形。平面立體的特征和表示方式平面立體的特征和表示方式 平面立體的投影實質是關于其表面上點、線、面投影的平面立體的投影實質是關于其表面上點、線、面投影的集合，且以棱邊的投

3、影為主要特征，對于集合，且以棱邊的投影為主要特征，對于可見可見的棱邊，其投的棱邊，其投影以影以粗實線粗實線表示，反之，則以表示，反之，則以虛線虛線示之。在投影圖中，當多示之。在投影圖中，當多種圖線發(fā)生重疊時，應以粗實線、細線、虛線、點畫線等順種圖線發(fā)生重疊時，應以粗實線、細線、虛線、點畫線等順序進行繪制。序進行繪制。1.棱柱的投影棱柱的投影VH（a a） 投影特點投影特點（b b） 繪圖過程繪圖過程繪圖步驟繪圖步驟：. .畫投影圖的對稱線和中心線。畫投影圖的對稱線和中心線。 . .畫底面的各投影。畫底面的各投影。 . .添加棱線的各投影。添加棱線的各投影。圖圖4-2 4-2 棱柱的投影圖棱柱的

4、投影圖abpqabpqb”a”p”q”qabpAQPBa”b”p”q”qabpW（a a） 投影特點投影特點（b b） 繪圖過程繪圖過程圖圖4-3 4-3 棱錐的投影圖棱錐的投影圖2. 棱錐的投影棱錐的投影棱錐具有這樣的棱錐具有這樣的投影特點：投影特點：一個投影為一個投影為復合多邊形，而其余兩投影則為三角形復合多邊形，而其余兩投影則為三角形或復合三角形或復合三角形.繪圖步驟：繪圖步驟： . .畫投影圖的對稱線及中心線。畫投影圖的對稱線及中心線。. .畫錐底的各投影。畫錐底的各投影。. .作錐頂的各投影。作錐頂的各投影。. .添加各棱線的投影。添加各棱線的投影。bb”a”Wss”ssccc”cB

5、baaAVHb”abcabca”c”sss”SabcScbad(e)ffde例例4-1：已知三棱錐表面上的點：已知三棱錐表面上的點D和和E的水平投影的水平投影d(e),求作它們的正面投影。求作它們的正面投影。分析分析由于由于D點和點和E點的水平點的水平投影重合，且投影重合，且E點不可點不可見，見，D點可見。根據點可見。根據水平投影對照正面投水平投影對照正面投影可判斷：影可判斷：D點在錐面點在錐面SAB上上E點在底面點在底面ABC上上圖圖4-4 4-4 平面立體表面定點平面立體表面定點作圖作圖二、曲面立體的投影二、曲面立體的投影回轉體的形成回轉體的形成圖圖4-5 4-5 回轉面的術語回轉面的術語

6、有關述語有關述語OO赤道圓赤道圓喉圓喉圓緯圓緯圓底圓底圓( b )( b )( a )( a )母線母線軸線軸線頂圓頂圓素線素線(一一)圓柱的投影圓柱的投影1.圓柱的形成圓柱的形成2.圓柱投影分析圓柱投影分析 一個投影為圓，其一個投影為圓，其余二投影均為矩形。余二投影均為矩形。圖圖4-6 4-6 圓柱的投影分析圓柱的投影分析VWHaba1b1a1”b1”a”b”baa1b112121”2”ABA1B1規(guī)定：規(guī)定：回轉體對某投回轉體對某投影面的影面的轉向輪廓線轉向輪廓線，只能在該投影面上畫只能在該投影面上畫出，而在其它投影面出，而在其它投影面上則不再畫出。上則不再畫出。3.投影繪制投影繪制 一般

7、應先畫出相一般應先畫出相關的對稱軸線及圓的關的對稱軸線及圓的中心線中心線，然后繪制圓，然后繪制圓投影，最后再繪制其投影，最后再繪制其它投影它投影.圖圖4-7 4-7 圓柱的投影繪制圓柱的投影繪制aba1b1a1” b1”a” b”baa1b112121”2”圖4-8 在圓柱表面上定點例4-2 已知圓柱表面上的點M及N正面投影m和n，求它們的其余兩投影。4.表面上定點表面上定點(m”)n”(n)mnm(二二)圓錐的投影圓錐的投影1.圓錐的形成圓錐的形成2.圓錐投影分析圓錐投影分析一個投影為圓，其余二投影均為等腰三角形。一個投影為圓，其余二投影均為等腰三角形。圖4-9圓錐的投影分析VWHABaba

8、”b”absSs”1”2”12s123.投影繪制投影繪制 一般應先一般應先畫出相關的對畫出相關的對稱軸線及圓的稱軸線及圓的中心線，然后中心線，然后繪制圓投影，繪制圓投影，最后再繪制其最后再繪制其它投影。它投影。圖4-10 圓錐的投影繪制ab12sab12ss”1”2”a”b”mmmnn()n()例例4-3 4-3 已知圓錐表面上點已知圓錐表面上點M M及及N N的正面投影的正面投影mm和和nn，求它們的其余兩投影。求它們的其余兩投影。圖4-11 在圓錐表面上定點4.表面上的定點表面上的定點求解方法求解方法: 1).緯圓法緯圓法 2).素線法素線法(a)(b)(三三)、圓球的投影、圓球的投影1.

9、圓球的形成圓球的形成231123圖圖4-12 4-12 圓球的投影分析圓球的投影分析VWH1232.圓球的投影分析圓球的投影分析 球體三投影均為球體三投影均為圓，且直徑等于球圓，且直徑等于球的直徑。的直徑。3. 圓球的投影繪制圓球的投影繪制圖4-13 圓球的投影繪制1”2 23 31 12”3”321(a)a”a圖4-14 在圓球表面上定點例4-4 已知圓球表面上點A的正面投影a，求它的其余兩投影。 求解方求解方法：緯法：緯圓法圓法4.表面上定點表面上定點截平面截平面(斷面斷面)交線（棱線）交線（棱線）平面與平面相交平面與平面相交-求截交線求截交線4-2 平面與平面立體表面相交平面與平面立體表

10、面相交一、平面立體的截交線和斷面一、平面立體的截交線和斷面平面與立體表面的平面與立體表面的交線稱為截交線交線稱為截交線, ,它它是一個是一個多邊形多邊形. .繪圖過程繪圖過程例例4-5 截頭六棱柱三視圖截頭六棱柱三視圖例例4-6 穿方孔四棱錐三視圖穿方孔四棱錐三視圖二、平面立體的切割與穿孔二、平面立體的切割與穿孔4-3 4-3 平面與回轉體表面相交平面與回轉體表面相交截交線截交線截平面截平面平面與回轉體相交平面與回轉體相交求截交線求截交線截平面截平面截交線截交線平面與常見回轉面的截交線形狀及投影平面與常見回轉面的截交線形狀及投影 截平面垂直于圓截平面垂直于圓柱軸線，截交線為柱軸線，截交線為垂直

11、于軸線的垂直于軸線的圓圓。 截平面平行于圓柱截平面平行于圓柱軸線，截交線為平行于軸線，截交線為平行于軸線的軸線的兩條直線。兩條直線。 截平面傾斜于圓柱截平面傾斜于圓柱軸線，截交線為軸線，截交線為橢圓橢圓。平面截圓柱平面截圓柱 平面與平面與常見回轉面常見回轉面的截交線形的截交線形狀及投影狀及投影截平面垂直于圓錐軸線，截平面垂直于圓錐軸線，截交線為截交線為垂直于軸線的圓垂直于軸線的圓。截平面傾斜于圓錐軸線且截平面傾斜于圓錐軸線且過錐頂，截交線過錐頂，截交線為相交直相交直線線。( (三角型三角型) )平面截圓錐（一）平面截圓錐（一） 平面與平面與常見回轉面常見回轉面的截交線形的截交線形狀及投影狀及投

12、影截平面傾斜于圓錐軸截平面傾斜于圓錐軸線，且線，且= = ，截交，截交線為線為拋物線拋物線截平面傾斜于圓錐軸截平面傾斜于圓錐軸線，且線，且 ，截截交線為交線為橢圓橢圓截平面平行于圓錐截平面平行于圓錐軸線，或截平面傾軸線，或截平面傾斜于圓錐軸線，且斜于圓錐軸線，且 ，截交線截交線為為雙曲線雙曲線。平面截圓錐（二）平面截圓錐（二）截平面截圓截平面截圓球，截交線球，截交線為為圓圓。平面與常見回轉面的截交線形狀及投影平面與常見回轉面的截交線形狀及投影平面截圓球平面截圓球例例 4-7 :求圓錐被截切后的水平投影和側面投影求圓錐被截切后的水平投影和側面投影分析分析: 截平面過錐頂截平面過錐頂,截截交線為三

13、角形交線為三角形.三視圖中截交線的畫法三視圖中截交線的畫法例例4-8:求圓錐被截切后的正面投影求圓錐被截切后的正面投影.分析分析:截交線的正面投影為雙曲線截交線的正面投影為雙曲線.作圖作圖:1 求特殊點。求特殊點。最高點最高點最低點最低點2 求一般點。求一般點。3 連線。連線。三視圖中截交線的畫法三視圖中截交線的畫法例例4-9:求圓柱被截切后的側面投影求圓柱被截切后的側面投影.分析分析: 截平面與圓柱軸線斜交截平面與圓柱軸線斜交,截交線為橢圓截交線為橢圓.作圖方法作圖方法:1.求特殊點求特殊點2.適當求一般點適當求一般點3.連線連線4.處理輪廓線處理輪廓線11” 122”23”4”3434三視

14、圖中截交線的畫法三視圖中截交線的畫法注意注意: :當截平面與圓柱軸線交角為當截平面與圓柱軸線交角為4545時時, ,截交線投截交線投影為圓影為圓. .45例例4-10：補出連桿頭主視圖中的截交線。補出連桿頭主視圖中的截交線。平面與組合回轉體相交平面與組合回轉體相交作圖分析：作圖分析：該連桿頭由球體、圓臺和圓柱該連桿頭由球體、圓臺和圓柱三部分組成。從俯視圖可看出三部分組成。從俯視圖可看出截平面只切到了球體和圓臺。截平面只切到了球體和圓臺。截平面切球體部分截交線為一截平面切球體部分截交線為一圓弧。圓弧。在圓臺表面上切出一雙曲線。在圓臺表面上切出一雙曲線。由于截平面與由于截平面與V V面平行故兩截交

15、面平行故兩截交線在線在V V面上的投影均反映實形。面上的投影均反映實形。作圖步驟作圖步驟：132437例例 4-11 分析曲面立體的截交線，并補分析曲面立體的截交線，并補全曲面立體的三面投影。全曲面立體的三面投影。機械制圖集題集機械制圖集題集P16-34-4 4-4 兩回轉體表面相交兩回轉體表面相交1.兩回轉體相交兩回轉體相交,交線為相貫線交線為相貫線.圓柱與圓柱相交圓柱與圓柱相交2.相貫線為二立體表面的公共線相貫線為二立體表面的公共線.3.相貫線一般為封閉的空間曲線相貫線一般為封閉的空間曲線.圓柱與圓錐相交圓柱與圓錐相交封閉的空間曲線封閉的空間曲線相貫線相貫線相貫線相貫線相貫線相貫線性質和形

16、狀性質和形狀:特殊情況下特殊情況下,相貫線為平面曲線或直線相貫線為平面曲線或直線.相貫線為圓相貫線為圓相貫線為直線相貫線為直線例例4-12:求二圓柱的相貫線求二圓柱的相貫線.分析分析:相貫線水平投影不用求相貫線水平投影不用求相貫線側面投影不用求相貫線側面投影不用求作圖作圖:最前點最前點 1最后點最后點 2最低點最低點最左點最左點 3最右點最右點 4最高點最高點2.適當求一般點適當求一般點3.連線連線341.求特殊點求特殊點相貫線的畫法相貫線的畫法341 2212”1”3” 4”特殊位置和形狀的相貫線特殊位置和形狀的相貫線等徑正交等徑正交兩圓柱的相貫線兩圓柱的相貫線相相貫貫線線的的畫畫法法特殊位

17、置和形狀的相貫線特殊位置和形狀的相貫線軸線平行兩圓柱的相貫線軸線平行兩圓柱的相貫線相相貫貫線線的的畫畫法法特殊位置和形狀的相貫線特殊位置和形狀的相貫線兩同軸回轉體的相貫線兩同軸回轉體的相貫線相貫線為相貫線為水平圓水平圓相貫線為相貫線為水平圓水平圓相貫線為相貫線為側平圓側平圓相貫線的畫法相貫線的畫法圖圖A圖圖C圖圖B圓柱相貫線圓柱相貫線簡化畫法簡化畫法三點定圓弧作圖垂直平分線垂直平分線三個表面共有的點兩表面交兩表面交線線兩表面交兩表面交線線4-54-5綜合相貫綜合相貫若干立體相交構成一形體的情況即為綜合相貫若干立體相交構成一形體的情況即為綜合相貫組合相貫線組合相貫線作多個相交立體的相貫線應注意的問題：作多個相交立體的相貫線應注意的問題： 1.分析各相交立體的形狀和位置分析各相交立體的形狀和位置 2.確定每兩個相交立體之間的相貫線的形狀確定每兩個相交立體之間的相貫線的形狀 3.根據上述分析確定求作相貫線的方法根據上述分析確定求作相貫線的方法例例4-13：完成相貫體的正面投影和側面投影。完成相貫體的正面投影和側面投影。作圖分析：作圖分析： 該立體由半球、小圓柱、大圓柱以該立體由半球、小圓柱、大圓柱以及長圓形凸臺組成及長圓形凸臺組成。 長圓形凸臺與半球和小圓柱左邊部長圓形凸