任意項(xiàng)冪級(jí)數(shù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1任意項(xiàng)冪級(jí)數(shù)任意項(xiàng)冪級(jí)數(shù)證明證明nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的數(shù)列數(shù)列ns,2是有界的是有界的數(shù)列數(shù)列ns第1頁(yè)/共59頁(yè)3 20212021年年7 7月月1717日星期六日星期六 例 判別下列交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性：)0p(n1)1()1(1np1n 1n21n1nn)1()2(.0pn1)1(0n1lim),0p()1n(1n1)1(p1n1npnpp時(shí)收斂時(shí)收斂在在則則解解 1)1(1101)1()1(11)1(1

2、1)2(2222222 nnnnnnnnnnnn.1nn)1(1n21n收斂收斂 則則又又, 01lim2 nnn第2頁(yè)/共59頁(yè)解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1單調(diào)遞減單調(diào)遞減故函數(shù)故函數(shù) xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂.第3頁(yè)/共59頁(yè)定義定義: : 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù). .定理定理 若若 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu收斂收斂. .證明證明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv顯然顯然,nnuv 且且,1收斂收斂 nnv),2(11 n

3、nnnnuvu又又 1nnu收斂收斂.第4頁(yè)/共59頁(yè)上定理的作用：上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)定義定義: :若若 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 1nnu為絕對(duì)收斂為絕對(duì)收斂; ;若若 1nnu發(fā)散發(fā)散, ,而而 1nnu收斂收斂, , 則稱則稱 1nnu為條件收斂為條件收斂. .第5頁(yè)/共59頁(yè)7 20212021年年7 7月月1717日星期六日星期六 對(duì)一般的任意項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)一般的任意項(xiàng)級(jí)數(shù)(包括交錯(cuò)級(jí)數(shù)包括交錯(cuò)級(jí)數(shù))，其斂散性，其斂散性有三種可有三種可 能：絕對(duì)收斂、條件收斂或發(fā)散。具體判能：絕對(duì)收斂、條件收斂或發(fā)散。具體判別時(shí)，可按以下順別時(shí)，可按以下順 序進(jìn)行：序進(jìn)行： 總結(jié)總結(jié)

4、 nnulim00發(fā)散發(fā)散 1nnu收收斂斂發(fā)發(fā)散散絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散發(fā)散 1nnu條件收斂條件收斂 的斂散性判別順序：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu 當(dāng)然，這只是一個(gè)供參考的大致順序，不必嚴(yán)格按照這個(gè)順序。第6頁(yè)/共59頁(yè)8 20212021年年7 7月月1717日星期六日星期六,1發(fā)散nnu一定發(fā)散。則1nnu注: 如果根據(jù)比值判別法和根值判別法， 判定ruuu n1nn1nnlim 為為任任意意項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，且且設(shè)設(shè)定定理理絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂；則則若若 1nnu, 1r)1(發(fā)發(fā)散散；則則若若 1nnu, 1r)2(第7頁(yè)/共59頁(yè)11.1.20,02.nnnnnunnau先判斷的

5、斂散性( )含有 ！， ， 的一般先考慮比值或者根值判別法，收斂則絕對(duì)收斂，發(fā)散則原級(jí)數(shù)發(fā)散( )r=1或其他情形先判斷 極限是否為 不為 則發(fā)散，否則用比較判別法，若收斂則絕對(duì)收斂若用比較判別法判斷絕對(duì)值發(fā)散，一般再考慮交錯(cuò)級(jí)數(shù)的判別法，收斂則條件收斂，發(fā)散則原級(jí)數(shù)發(fā)散第8頁(yè)/共59頁(yè)1020212021年年7 7月月1717日星期六日星期六 ,例 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性 若收斂，說(shuō)明是絕對(duì)收斂還是 1n1n)1nln(1)1()1(1n21n3n)1()2(2)1n(n 條件收斂條件收斂21sin(3)(0)nnaann 1nn1n!n2)1()4(20)1nln(1lim1)1nln(1)

6、1nln(1,)1nln(1)1(n1n 而而發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)解解.)1nln(1)1(1n1n條件收斂條件收斂則則 第9頁(yè)/共59頁(yè)1120212021年年7 7月月1717日星期六日星期六, 1313n3)1n(uu)2(1n2n2nn1nnlimlim .3n)1(1n21n2)1n(n絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂則則 222n1nn1nnnasin)3( .nnnasin,1n2絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂所以所以 11n2!n2)!1n(2uu)4(1n2nn)1n(nn1nnlimlimlim22 .!n2)1(1nn1n2發(fā)散發(fā)散則則 第10頁(yè)/共59頁(yè)1220212021年年7 7月月1717日星期六

7、日星期六 練習(xí)練習(xí) 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂指出是絕對(duì)收斂還判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂指出是絕對(duì)收斂還 是條件收斂：是條件收斂：11( 1)(1)(2)( 1)2!(1)nnnnnnnnn n 21(3)( 1)( !)nnnnn=01(4)sin32nnn第11頁(yè)/共59頁(yè)1320212021年年7 7月月1717日星期六日星期六211.nnnnuun 若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂，證證明明級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂.nun1,u,n1u21nu 1nn1n21n2n22nn絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂收收斂斂，則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)因因?yàn)闉樽C證明明 .nu1nn收收斂斂所所以以 例第12頁(yè)/共59頁(yè)1420212021年年

8、7 7月月1717日星期六日星期六6.5 冪級(jí)數(shù)與函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式冪級(jí)數(shù)與函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式一、冪級(jí)數(shù)的概念一、冪級(jí)數(shù)的概念 定義定義1 設(shè)設(shè)un(x)在在I上有定義，上有定義，n=1,2, ,n, ，稱，稱為為I上的上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。)()()()(211xuxuxuxunnn 把函數(shù)引入到無(wú)窮級(jí)數(shù)中，討論無(wú)窮 多個(gè)函數(shù)的和，即得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。第13頁(yè)/共59頁(yè)收斂點(diǎn)與收斂域收斂點(diǎn)與收斂域: :如如果果Ix 0, ,數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 10)(nnxu收收斂斂, ,則則稱稱0 x為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))(1xunn 的的收收斂斂點(diǎn)點(diǎn), ,否否則則稱稱為為發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn). .所所有有發(fā)發(fā)散散點(diǎn)點(diǎn)的

9、的全全體體稱稱為為發(fā)發(fā)散散域域. .函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))(1xunn 的的所所有有收收斂斂點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱稱為為收收斂斂域域, ,第14頁(yè)/共59頁(yè)1620212021年年7 7月月1717日星期六日星期六項(xiàng)級(jí)數(shù)的項(xiàng)級(jí)數(shù)的和和的收斂域，則為若)(1xuDnn，對(duì)Dx)(1xunn收斂，收斂，即即有一個(gè)確定的數(shù)值有一個(gè)確定的數(shù)值 )(xS這樣就得到一個(gè)函數(shù)，稱為函數(shù)這樣就得到一個(gè)函數(shù)，稱為函數(shù)1)()(nnxuxS定義定義函數(shù)函數(shù)，記，記為為 第15頁(yè)/共59頁(yè)1720212021年年7 7月月1717日星期六日星期六的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)，并稱，并稱an為冪級(jí)數(shù)的為冪

10、級(jí)數(shù)的系數(shù)系數(shù)。nnnnnxxaxxaaxxa)()()(001000nnnnnxaxaaxa101 實(shí)際中常用到的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之一是冪級(jí)數(shù)。所謂冪級(jí)數(shù)是 指通項(xiàng)是冪函數(shù)形式的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。定義 形如或第16頁(yè)/共59頁(yè)收斂性收斂性: :,120 xxxnn例如級(jí)數(shù)例如級(jí)數(shù);,1收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;,1發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x);1 , 1( 收斂域收斂域);, 11,( 發(fā)散域發(fā)散域第17頁(yè)/共59頁(yè)定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) )證明證明, 0lim0 nnnxa,)1(00收斂收斂 nnnxa第18頁(yè)/共59頁(yè)), 2 , 1 , 0(0 nMxann使使得得,M nnn

11、nnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 ,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,00收收斂斂等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nnxxM ,0收收斂斂 nnnxa;0收收斂斂即即級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnxa第19頁(yè)/共59頁(yè),)2(0時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散假假設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)xx 而而有有一一點(diǎn)點(diǎn)1x適適合合01xx 使使級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂, ,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)時(shí)應(yīng)應(yīng)收收斂斂,這這與與所所設(shè)設(shè)矛矛盾盾.由由(1)結(jié)論結(jié)論xo R R幾何說(shuō)明幾何說(shuō)明收斂區(qū)域收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域第20頁(yè)/共59頁(yè)如如果果冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)軸軸上上都都

12、收收斂斂, ,則則必必有有一一個(gè)個(gè)完完全全確確定定的的正正數(shù)數(shù)R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性質(zhì)質(zhì): :當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí), ,冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂; ;當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí),冪級(jí)數(shù)發(fā)散冪級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng)RxRx 與與時(shí)時(shí), ,冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .推論推論第21頁(yè)/共59頁(yè)定義定義: : 正數(shù)正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑收斂半徑.收斂區(qū)間加上收斂區(qū)間加上 中收斂的點(diǎn)為中收斂的點(diǎn)為冪級(jí)數(shù)的收斂?jī)缂?jí)數(shù)的收斂域域., 0 R),RR ,(RR .,RR 規(guī)定規(guī)定, R收斂區(qū)間收斂區(qū)間0 x;收收斂斂區(qū)區(qū)間間),( .問(wèn)題問(wèn)題如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑如何求

13、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?),(RR (1) 冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)只只在在0 x處處收收斂斂,(, )R R稱為冪級(jí)數(shù)的稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間.xR 第22頁(yè)/共59頁(yè)定理定理 2 2 如果冪級(jí)數(shù)如果冪級(jí)數(shù) 0nnnxa的所有系數(shù)的所有系數(shù)0 na,(2) 當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí), R; 求冪級(jí)數(shù)的收斂域時(shí)，先求出其求冪級(jí)數(shù)的收斂域時(shí)，先求出其收斂半徑收斂半徑R，再，再判斷它判斷它 在在x=R與與x=-R處處的的斂散性。斂散性。第23頁(yè)/共59頁(yè)2520212021年年7 7月月1717日星期六日星期六 1nnn3nx)1(例例 求下面冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)求下面冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間。間。nnnx2021

14、)2( 第24頁(yè)/共59頁(yè)2620212021年年7 7月月1717日星期六日星期六 0nnnn3)3x()1( 1n21n31n)1x()2(.n3t, t3x)1(0nnn 則原級(jí)數(shù)化為則原級(jí)數(shù)化為設(shè)設(shè)解解3n31n3aaRn1nn1nnnlimlim .n33)1(,3t ,n33,3t0nnnn0nnn發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí) ).6 , 0(),3,3(n3t0nnn為為則原冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間則原冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間的收斂區(qū)間為的收斂區(qū)間為 例例 求下面冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域。求下面冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域。第25頁(yè)/共59頁(yè)2720212021年年7 7月月1717日星期六日星期六32

15、231|1|11)1(|1|)2(limlim xnnxuunnnn.1|1|,1|1|時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散在在時(shí)絕對(duì)收斂時(shí)絕對(duì)收斂在在 xx 1n21n31n)1x(則則.11,012收斂收斂時(shí)時(shí) nnx.0, 2 原冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間為原冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間為.11)1(,2121收斂收斂時(shí)時(shí) nnnx），），的收斂區(qū)間為（的收斂區(qū)間為（即級(jí)數(shù)即級(jí)數(shù)021)1(1213 nnnx第26頁(yè)/共59頁(yè)2820212021年年7 7月月1717日星期六日星期六練習(xí)練習(xí) 求下面冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域。求下面冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域。111(4)( 1)nnnxn1011(1)( 1)511(2)(1)2nnnnn

16、nnxnxn22121(3)2nnnnx第27頁(yè)/共59頁(yè)1.1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì): :(1) 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收斂半徑各為的收斂半徑各為和和設(shè)設(shè) 第28頁(yè)/共59頁(yè)(2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, 第29頁(yè)/共59頁(yè)2.2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì): :第30頁(yè)/共59頁(yè) xnnnxdxxadxxs000)()(即即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變)第3

17、1頁(yè)/共59頁(yè) 0)()(nnnxaxs即即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收斂半徑不變收斂半徑不變)第32頁(yè)/共59頁(yè)3420212021年年7 7月月1717日星期六日星期六01( 1,1)1nnxxx 備忘第33頁(yè)/共59頁(yè)20212021年年7 7月月1717日星期六日星期六35利用冪級(jí)數(shù)的這些性質(zhì)，可以求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)。利用冪級(jí)數(shù)的這些性質(zhì)，可以求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)。0nnnxa遞縮等比數(shù)列求導(dǎo)求導(dǎo)求和函求和函數(shù)數(shù))(xS積分積分)(xS思路思路例例1nnxn求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。第34頁(yè)/共59頁(yè)練習(xí)練習(xí) 11nnxn求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。第35頁(yè)/共59頁(yè)例例 求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù) 11)1(n

18、nnnx的和函數(shù)的和函數(shù). 解解,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s顯然顯然兩邊積分得兩邊積分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x第36頁(yè)/共59頁(yè),1時(shí)時(shí)又又 x.1)1(11收斂收斂 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即第37頁(yè)/共59頁(yè)3920212021年年7 7月月1717日星期六日星期六的和函數(shù)；的和函數(shù)；求求 11212(1) nnnx.21n2(1(2)1nn的和的和）求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù) ).1 , 1(1) 冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為解解).1 ,

19、1(x,1n2x)x(S1n1n2 設(shè)設(shè)21n1n2n21n21n1n2x11x1n2x1n2x)x(S )1 , 1(x,x1x1ln21x1dx)x(Sx02 )12ln(2/112/11ln21)21(S)2( )12ln(221n2(11nn ）例第38頁(yè)/共59頁(yè)20212021年年7 7月月1717日星期六日星期六40同樣也可先積分后求導(dǎo)。同樣也可先積分后求導(dǎo)。0nnnxa遞縮等比數(shù)列積分積分求和函求和函數(shù)數(shù)dxxS)(求導(dǎo)求導(dǎo))(xS思路思路第39頁(yè)/共59頁(yè)4120212021年年7 7月月1717日星期六日星期六例例 102(1)(1)3nnnnnnxn求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并求

20、的值。第40頁(yè)/共59頁(yè)練習(xí)練習(xí) 1nnnx求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。第41頁(yè)/共59頁(yè)4320212021年年7 7月月1717日星期六日星期六 總結(jié)總結(jié) 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的一般步驟：求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的一般步驟： 求出目標(biāo)冪級(jí)數(shù)的求出目標(biāo)冪級(jí)數(shù)的收斂域收斂域； 分析目標(biāo)冪級(jí)數(shù)的形式。如果需要，利用分析目標(biāo)冪級(jí)數(shù)的形式。如果需要，利用變量代換、變量代換、提提 出變量出變量等方法把它化為合適的形式；等方法把它化為合適的形式； 選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算選擇適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算(求導(dǎo)或積分求導(dǎo)或積分)把原級(jí)數(shù)化為已知冪級(jí)數(shù)把原級(jí)數(shù)化為已知冪級(jí)數(shù) (例如幾何級(jí)數(shù)例如幾何級(jí)數(shù))； 寫(xiě)出已知冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)；寫(xiě)出已知冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)；

21、通過(guò)逆運(yùn)算求出原冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。通過(guò)逆運(yùn)算求出原冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。 第42頁(yè)/共59頁(yè)4420212021年年7 7月月1717日星期六日星期六四、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)四、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù) 上面討論了冪級(jí)數(shù)的求和函數(shù)問(wèn)題。下面討論相反的問(wèn)上面討論了冪級(jí)數(shù)的求和函數(shù)問(wèn)題。下面討論相反的問(wèn) 題：對(duì)給定的函數(shù)，能否表示成一個(gè)冪級(jí)數(shù)的形式？若題：對(duì)給定的函數(shù)，能否表示成一個(gè)冪級(jí)數(shù)的形式？若 能，冪級(jí)數(shù)的系數(shù)如何求？將函數(shù)表示成冪級(jí)數(shù)，稱為能，冪級(jí)數(shù)的系數(shù)如何求？將函數(shù)表示成冪級(jí)數(shù)，稱為函數(shù)函數(shù) 的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)稱為函數(shù)的，對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)稱為函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。 1、Taylo

22、r公式公式 第43頁(yè)/共59頁(yè)定理定理(Taylor公式公式) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在在x=x0的某鄰域內(nèi)有的某鄰域內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)該鄰域內(nèi)該鄰域內(nèi) 的任意的任意x，有，有 200000)(! 21)()()(xxxfxxxfxfxf)()(!100)(xRxxxfnnnn之間與在其中余項(xiàng)010)1()()!1(1)(xxxxfnxRnnn第44頁(yè)/共59頁(yè)2021年年7月月17日星期六日星期六46當(dāng)當(dāng)x0=0時(shí)，泰勒公式為：時(shí)，泰勒公式為：nnxfnxfxffxf)0(!1)0(21)0()0()()(2 )0()()!1(11)1(xxfnnn稱為稱為Maclaurin公

23、式公式。例例 求求f(x)=ex的的n階階Maclaurin公式公式。答案答案)(!1! 31! 21132xRxnxxxennx。其中其中)0()!1()(1xxnexRnn第45頁(yè)/共59頁(yè)4720212021年年7 7月月1717日星期六日星期六2.Taylor級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)。 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在在x=x0處任意階可導(dǎo)，則稱冪級(jí)處任意階可導(dǎo)，則稱冪級(jí)數(shù)數(shù)nnnxxxfn)(!100)(1 200000)(! 21)()(xxxfxxxfxfnnxxxfn)(!100)(為為f(x)在在x=x0處的處的Taylor級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)。 注注 )()(1! 0)0(xfxf第46頁(yè)/共59頁(yè)

24、00( )lim( )0( )nnf xxnTaylorR xf xxTaylor若在 處的 階余項(xiàng)滿足，則在 處可展成級(jí)數(shù)定理定理( )000()( )=()!nnnfxf xxxn第47頁(yè)/共59頁(yè)4920212021年年7 7月月1717日星期六日星期六當(dāng)當(dāng)x0=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為時(shí)，對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 稱為稱為f(x)的的Maclaurin級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)。 nnnnnxfnxfxffxfn)0(!1)0(! 21)0()0()0(!1)(2)(0 x f(x)e例 求函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)。x)n(e)x(f)x(f)x( f 解解1)0(f)0(f)0( f)n( 的麥克勞林級(jí)數(shù)為的

25、麥克勞林級(jí)數(shù)為xexf )( nxxnxxe!1! 2112第48頁(yè)/共59頁(yè)5020212021年年7 7月月1717日星期六日星期六 這種利用這種利用Taylor級(jí)數(shù)把函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方級(jí)數(shù)把函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的方法稱為法稱為直接展開(kāi)法直接展開(kāi)法。一般來(lái)說(shuō)，利用直接展開(kāi)法把。一般來(lái)說(shuō)，利用直接展開(kāi)法把函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)是很繁瑣、甚至是不可能的。通函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)是很繁瑣、甚至是不可能的。通常大多是利用常大多是利用已知的展開(kāi)式結(jié)果已知的展開(kāi)式結(jié)果和和冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)進(jìn)行計(jì)算，這種方法稱為行計(jì)算，這種方法稱為間接展開(kāi)法間接展開(kāi)法。 因此，對(duì)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，可按這個(gè)順序進(jìn)行：因此，對(duì)函

26、數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，可按這個(gè)順序進(jìn)行：1.根據(jù)根據(jù)Taylor級(jí)數(shù)求系數(shù)；級(jí)數(shù)求系數(shù)；2.計(jì)算冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間；計(jì)算冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間；3.寫(xiě)出余項(xiàng)，然后判斷其極限是否為零。寫(xiě)出余項(xiàng)，然后判斷其極限是否為零。 第49頁(yè)/共59頁(yè)5120212021年年7 7月月1717日星期六日星期六Rxxnxxxenx!1! 31! 21132Rxxnxxxnn1213)!12(1) 1(! 31sin備忘備忘 常見(jiàn)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式常見(jiàn)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式(利用直接展開(kāi)法得利用直接展開(kāi)法得)： )1 , 1(1112 xxxxxnx11 )1 , 1(.)1(.12 xxxxnn第50頁(yè)/共59頁(yè)20212021年年7 7月月1717日星期六日星期六Rxxnxxnn22)!2(1) 1(! 2