平面向量數(shù)量級(jí)在解析幾何中的應(yīng)用

1、優(yōu)質(zhì)資料歡迎下載 平面向量的數(shù)量積在解析幾何中的應(yīng)用 尹建堂 在解析幾何中涉及到長(zhǎng)度、角度、垂直等的諸多問題中，如能適當(dāng)?shù)貥?gòu)造向量， 利用向量的數(shù)量積的幾何意義和運(yùn)算法則， 將其轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，往往使問題 簡(jiǎn)捷獲解。 、與長(zhǎng)度有關(guān)的問題 通過向量的數(shù)量積可以計(jì)算向量的長(zhǎng)度， 這給解決線段長(zhǎng)度問題拓寬了思路，提 T T I 供了方便。這里常用的公式有： -* ；若 ，L，則丨；若 - ，則A、B兩點(diǎn)的距離 公式為川_I -.二.廣。 3 Tg _c 例1.在厶OFQ中，-二八丄， 丁 = 1，該三角形面積 。以0 為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)Q求：（I）用c 表示 ；（II ） 的最 小值及此

2、時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（III ） 廠最小時(shí)的橢圓方程。 分析：本題重點(diǎn)是對(duì)（I ）的求解。取圖1的坐標(biāo)系后設(shè)m ,則可用上： 表示。如何消去 -，將其轉(zhuǎn)化為?_|_ 1，則是解題的關(guān)鍵。根據(jù)面 S 積條件易求1 ；再由條件及可求得上，從而可消去 31, 1，得到的關(guān)于C的表達(dá)式0 解: （I）取坐標(biāo)系如圖 Vi = 所以 又 OF * FQ= 1，得（G 0） （M - G ”）= 1 即-1、-二一 11 次 兀=（7 + Q + y ） 所以，故知 - 于是，得宀 101 、 （II ）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（-） （III ）設(shè)橢圓方程為 點(diǎn)Q在橢圓上，得 ，由（II ）知Q

3、 二十=10, b=6 匚十乙二1 所以所求橢圓方程為 、與角度有關(guān)的問題 如MX *弓_號(hào) 設(shè)向量都是非零向量，夾角為，則f ;若 T _一 葦普 2 ” 宀- ，貝卩 。以上是解決有關(guān)夾 角問題的重要公式，稱為夾角公式。禾U用上述公式，就能比較方便、容易地解決 涉及角的諸多問題。 例2.給定拋物線亠 丄，f是C的焦點(diǎn)，過F的直線I與C相交于A、B 兩點(diǎn)，設(shè)I的斜充為1,求 與丁夾角的大小。 分析：設(shè)出后，不難用韋達(dá)定理求出-，于是 容易求出1 * 丁及、廣，再用夾角公式即可獲解。 解：由焦點(diǎn)F （1, 0）, 1， 則r 1， 代入廠-，整理，得 X1 - 6x+ 1=0 設(shè)啟g yi）、

4、啟（并”乃），則 X 4-x3 = 63= 1 于是有 =可花+ii =X花 +心一1）（吃-1 2卞1孟2 （X + X? ） + 1 -3 |OA|OP|二 J卅 + 貝店;+ 拆 二 Jr也4（町+乃）+16 0A * 0B 二 f T OB OJOB 341 4F 3741 tarccos- 所以與夾角的大小為- 3* s_ 鼻 例3.已知兩點(diǎn)(1,0)、1,0),且點(diǎn)P使八 二，二* 成公差小于零的等差數(shù)列。 (I )點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？ (II )若點(diǎn)P的坐標(biāo)為11 ,記為與宀的夾角，求丨.丿。 分析：(I)設(shè)P (x, y)，求出各有關(guān)向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式，將題設(shè) 條件轉(zhuǎn)

5、化為即所求軌跡方程；(II )求夾角公式，結(jié)合(I)知: =0,先求出1 ;,進(jìn)而求出工川。 解：(I )設(shè) P (x, y),貝U M ( 1, 0)、N (1, 0),得 .二，.二-:,y 刖一卿二(1 -心-y) _ = (2, 0) 所以；1； * I PM W = x2 + ya - 1 NP = 2(1- x) 于是，2二二工-卅 是公差小于零的等差數(shù)列，等價(jià)于 L3+y-i = l2ci+x）+2（i-x） 2（1-忑）-2（1 + 入）0 fx3+/ = 3 0 所以點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，廠為半徑的右半圓（除去兩端點(diǎn)） （II ）因?yàn)辄c(diǎn)廣1:在右半圓廣上, 所以斯；: P

6、MPN 二（I + M +憂 J（1 一斑F +； 二 J（4 + 2心）（4-2為） 所以 T T PM * PN 1 cos書一= f PMPN M-掃 因?yàn)榧? 1況 cos U 0 芋 八（心 E，貝U卅丄b O心帀+畑 =0。這是體現(xiàn)“垂直”內(nèi)涵的等式， 借此可把解析幾何復(fù)雜的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為純粹的向量運(yùn)算。所以解析幾何中涉及 到垂直問題（垂直的判斷或應(yīng)用），利用這些向量關(guān)系式求解是非常方便的。 例4.已知直線和圓 亠，問是否存在實(shí)數(shù)b,使從點(diǎn)A（ 3, Q -） 3）發(fā)出的光線被直線I反射后與圓0相切于點(diǎn)？若存在，求出b的 值；若不存在，說明理由。 分析：假設(shè)存在這樣的b,則0B垂直

7、于反射線所在直線A” B （A”為A關(guān)于I 的對(duì)稱點(diǎn)），利用- -1汕的條件便可獲解。 解：假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù) b,易得點(diǎn)A （3, 3）關(guān)于直線的對(duì)稱 點(diǎn)A”（3-b, 3+ b）,則反射光線所在的直線為 A” B,如圖2 T 24 OB 1 AB T OB 則 - 3+)+ = 0 25 252525 因?yàn)?-241 AB = (-3+/J, -3-A) 二：?_ 所以符合所給條件的實(shí)數(shù)b存在，其值為4。 評(píng)注：本題解法雖多，但利用向量知識(shí)求解顯得簡(jiǎn)捷明快。 例5.如圖3,過拋物線一的對(duì)稱軸上任一點(diǎn)P（ 0，m）-，作直線交 拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)P分有向線

8、段丄;所成 的比為，試證:匸匚工 分析：欲證得結(jié)論，需要分別求出 匸廠J 人的坐標(biāo)，為此設(shè) - - 1，AB:，將其代入拋物線方程后求出+ -：， ，且易求出各有關(guān)向量坐標(biāo)及1的坐標(biāo)表示，然后通過向量運(yùn)算和向量垂直 的充要條件使結(jié)論獲證。 證明：依題意設(shè)顯 ，代入-，得 ! -I （ *） 設(shè)血和X）茂月伽，乃），則由（*），得 X 4-x3 = 4匕= -Atn 由點(diǎn)p（0，m分有向線段丄所成的比為，得 1+2 ，從而得 心 因點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則Q（0, m，從而得: 2m） QA =（X!,并 + 毎） QB （衍比 + 初 T*A QA- A QB -（托i,斗琬）,九 + 權(quán)） =（孟-力2，廠一也十（】_兒）陀） =勿-和2 + （1 -