八種典型巖石力學(xué)流變模型的教學(xué)研究

1、八種典型巖石力學(xué)流變組合模型的教學(xué)研究朱卓慧1,2,趙延林1 ,徐燕飛孫小康1（1.湖南科技大學(xué) 能源與安全工程學(xué)院，湘潭411201;2湖南科技大學(xué)煤礦安全開采技術(shù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湘潭411201）摘要：巖石流變模型的學(xué)習(xí)和研究不僅在教學(xué)研究中具有重要意義，而且在工程應(yīng)用中也具有指導(dǎo)意義.文章通過(guò)對(duì)巖石流變模型進(jìn)行討論，介紹了巖石流變模型本構(gòu)方程和蠕變方程的推導(dǎo)過(guò)程以及八種典型的巖 石力學(xué)模型、本構(gòu)方程、蠕變曲線、松弛曲線及其特性，了解各個(gè)流變模型所適用的范圍，并通過(guò)對(duì)八種 巖石流變模型比較，加深對(duì)巖石流變模型的認(rèn)識(shí)和了解。關(guān)鍵詞：巖石；流變模型；蠕變；流變性質(zhì)中圖分類號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼

2、：A文章編號(hào)：巖石是一種具有流變特性的地質(zhì)體1，其流變特性是指巖石礦物結(jié)構(gòu)（骨架）隨時(shí)間增長(zhǎng)而不斷調(diào)整重組，導(dǎo)致其應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)亦隨時(shí)間而持續(xù)地增長(zhǎng)變化2。其主要包括蠕變、松弛和彈性后效。巖石的流變是一個(gè)十分復(fù)雜的物理力學(xué)過(guò)程，為了較直觀地將其表示出 來(lái)，往往采用簡(jiǎn)單的機(jī)械元件及其不同組合，模擬巖石的流變行為， 這種機(jī)械元件的組合就是巖石的流變模型 。一研究流變模型的意義流變模型概念清楚， 有助于認(rèn)識(shí)巖石的彈性及塑性等各種分量。此外，流變模型不但可以探討巖石模型數(shù)學(xué)表達(dá)式中各參數(shù)的物理意義，而且還有利于認(rèn)識(shí)巖石流變的本質(zhì)規(guī)律 4。在工程應(yīng)用中，巖石流變模型的研究也具有重要作用。巖石流變是巖土工

3、程圍巖變形失 穩(wěn)的重要原因之一。因此，開展巖石流變性研究，深入了解巖石流變破壞過(guò)程的規(guī)律，在礦 山、道路交通、水利水電、民用建筑、核能工程等領(lǐng)域的巖土工程建設(shè)中具有十分重大的經(jīng) 濟(jì)現(xiàn)實(shí)意義5。二八種典型的巖石流變模型及其性質(zhì)在流變學(xué)中，所有的流變模型均可由三個(gè)基本元件組合而成，它們分別是彈性元件（H ）、粘性元件（N、和塑性元件（Y）。在工程實(shí)際中，客觀存在的巖石性質(zhì)都不是單一的，通常 表現(xiàn)出復(fù)雜的特性，為此，必須對(duì)三種元件進(jìn)行組合，才能準(zhǔn)確地描述巖石的特性。三種元 件的組合可形成粘彈性、粘彈塑性、粘性和粘塑性4種與時(shí)間有關(guān)的模型，稱之為基本流變 力學(xué)模型，對(duì)應(yīng)于巖石的 4種基本流變力學(xué)性態(tài)（

4、對(duì)不隨時(shí)間變化的瞬時(shí)變形部分不作分析）6。取四種基本流變力學(xué)模型中的1至4個(gè)串聯(lián)可得到15個(gè)流變力學(xué)模型（包括4個(gè)基本流變力學(xué)模型和11個(gè)復(fù)合流變力學(xué)模型），即理論流變力學(xué)模型所能描述的15種流變性態(tài)6。本文對(duì)八種常用的典型的流變模型進(jìn)行討論，介紹其力學(xué)模型、本構(gòu)方程、蠕變曲線、松弛 曲線及其簡(jiǎn)單的性質(zhì)，了解各個(gè)流變模型所適用的范圍，并通過(guò)對(duì)八種巖石流變模型比較， 加深對(duì)巖石流變模型的認(rèn)識(shí)和了解。收稿日期：2011-4-20基金項(xiàng)目：湖南省優(yōu)秀教學(xué)團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目資助；湖南省大學(xué)生研究性學(xué)習(xí)和創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)計(jì)劃項(xiàng)目資助（KDSC1001 ）作者簡(jiǎn)介：朱卓慧（1982.07），男，湖南岳陽(yáng)人，講師，中南大學(xué)

5、博士研究生。主要研究方向?yàn)閹r石力學(xué)和軟巖巷道支護(hù)等。Tel:Email: 3687281(一) 粘性模型馬克斯威爾(Maxwell )體其力學(xué)模型如圖1馬克斯威爾體的力學(xué)模型由一個(gè)彈性元件和一個(gè)粘性元件串聯(lián)而成, 所示。(Tk, & 1 n ， 2(T圖1馬克斯威爾體力學(xué)模巖石本構(gòu)關(guān)系是指巖石的應(yīng)力或應(yīng)力速率與其應(yīng)變或應(yīng)變速率的關(guān)系,反映巖石本構(gòu)關(guān)系的方程即為巖石的本構(gòu)方程。通過(guò)巖石的本構(gòu)關(guān)系可以反映巖石的性質(zhì)，對(duì)理論研究和工程實(shí)踐都具有重要意義。不同的巖石，其性質(zhì)不同，本構(gòu)方程也不同，但巖石的本構(gòu)方程 可根據(jù)其力學(xué)模型推導(dǎo)，下面以馬克斯威爾體本構(gòu)方程的推導(dǎo)為例，來(lái)說(shuō)

6、明本構(gòu)方程的推導(dǎo)過(guò)程。根據(jù)馬克斯威爾體的力學(xué)模型有丁 -= :2式中，二為模型所受應(yīng)力；G、二2分別為彈性元件和粘性元件所受應(yīng)力由串聯(lián)可得二(2)1 2式中，；為模型的總應(yīng)變；、；2分別為彈性元件和粘性元件的應(yīng)變1 *對(duì)彈性元件 1(3)k式中，；：為模型總應(yīng)變對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)；匸為模型應(yīng)力對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)1對(duì)粘性元件“(4)式中，為粘性元件的粘性系數(shù)i 1所以本構(gòu)方程為一.一；(5)k n馬克斯威爾體在恒定載荷 二的條件下，-；0,變形以常速率不斷發(fā)展?？傻民R克斯威 爾體的蠕變方程為(6)在恒定變形的條件下,-0，隨著時(shí)間的增加，C逐漸減少，即松弛現(xiàn)象。馬克斯威 爾體的蠕變曲線和松弛曲線分別如圖2和

7、圖3所示。(Tt 0=b 0t圖3松弛曲線(T 0t圖2蠕變曲線馬克斯威爾體具有瞬時(shí)變形、定常蠕變、和松弛等性質(zhì)，無(wú)彈性后效現(xiàn)象，屬于不穩(wěn)定 蠕變。適用于具有以上性質(zhì)的深部的粘性巖石。（二）粘彈性模型1開爾文（Kelvin ）體4所示。(X(X圖4這種模型由彈性單元和粘性單元并聯(lián)而成，如圖k, b in , b 2開爾文體力學(xué)模型開爾文體的本構(gòu)方程為(7)開爾文體在恒定載荷匚的條件下,應(yīng)變隨著時(shí)間逐漸遞減，在t增長(zhǎng)到一定值時(shí)剪應(yīng)變就趨于零。在t=t1時(shí)卸載，卞-0，此時(shí)；=1，但隨著時(shí)間增長(zhǎng)，應(yīng)變；逐漸減小，當(dāng)T時(shí)，應(yīng)變；=0。所以開爾文體的蠕變方程為(8)0（i-e 占）k匕5所示。開爾文體

8、的蠕變曲線和彈性后效曲線如圖蠕變曲線彈性后效曲線t圖5開爾文體蠕變曲線和彈性后效曲線開爾文體具有衰減蠕變、彈性后效等性質(zhì)，無(wú)松弛，無(wú)瞬時(shí)變形性質(zhì)，屬于穩(wěn)定蠕變模 型。它適用于具有衰減蠕變和彈性后效的一般的粘彈性巖石。2廣義開爾文(modified Kelvin )體廣義開爾文體由一個(gè)開爾文元件和一個(gè)彈性元件串聯(lián)組成，其力學(xué)模型如圖6所示。k2, 2(Tk1, 1需/ / aCTn , 2 圖6廣義開爾文體力學(xué)模型 廣義開爾文體的本構(gòu)方程為一;(1 電)；- _； k2 ；kiki(9)廣義開爾文體在恒定載荷 c的條件下，其變形由彈性元件和開爾文體兩部分組成，彈性元件的瞬時(shí)變形為 二0，之后開爾

9、文體的應(yīng)變隨著時(shí)間逐漸遞減，在kit增長(zhǎng)到一定值時(shí)剪應(yīng)變就趨于零。所以，廣義開爾文體的蠕變方程為(10)在t=t1時(shí)卸載，丁 -0 ,廣義開爾文體有一瞬時(shí)回彈，之后變形隨著時(shí)間增長(zhǎng)逐漸恢復(fù)到零。故廣義開爾文體的蠕變曲線如圖7所示。T 0k4T 0k1-彈,性后效1T 0k2蠕變曲線0 t1圖7廣義開爾文體蠕變曲線廣義開爾文體具有瞬時(shí)變形、 衰減蠕變和彈性后效等性質(zhì)， 無(wú)松弛性質(zhì)，屬于穩(wěn)定蠕變。 它適用于具有衰減蠕變、瞬時(shí)變形、彈性后效性質(zhì)的粘彈性巖石。3 飽依丁一湯姆遜(Poyting-Thomson )體這種模型由一個(gè)馬克斯威爾體和一個(gè)彈性元件并聯(lián)組成，其力學(xué)模型如圖T飽依丁一湯姆遜體的本構(gòu)

10、方程為c 乞；丁 =(k, k2) k(k2n（11）飽依丁一湯姆遜體在恒定載荷C的條件下，首先產(chǎn)生瞬時(shí)彈性變形；0，隨著K + k2時(shí)間的增加，變形不斷增加，當(dāng) t）時(shí)，：.“ 0，故其蠕變方程為k20（1 勺（12）k2k1 k2 e在t=t1時(shí)卸載，二=0 ,飽依丁一湯姆遜體有一瞬時(shí)回彈，之后變形隨著時(shí)間增長(zhǎng)逐 漸恢復(fù)到零。飽依丁一湯姆遜體的蠕變曲線如圖9所示。(T 0k2/ 0k1+k20t圖9飽依丁 -湯姆遜體蠕變曲線飽依丁一湯姆遜體具有瞬時(shí)變形、衰減蠕變、彈性后效和松弛等性質(zhì)，屬于穩(wěn)定蠕變。 它適用于具有瞬時(shí)變形性質(zhì)，衰減蠕變、彈性后效和松弛等性質(zhì)的粘彈性巖石，例如砂巖、 頁(yè)巖、砂

11、質(zhì)頁(yè)巖、噴出巖、粘土質(zhì)板巖等。（三）粘塑性模型 1理想粘塑性體 這種模型是由一個(gè)塑性元件和粘性元件并聯(lián)組成的，其力學(xué)模型如圖a 1, a s(T(Ta 2, n圖10理想粘塑性體力學(xué)模型 理想粘塑性體的本構(gòu)方程為；：；S, ； = 0(13)理想粘塑性體在恒定載荷二的條件下，變形隨著時(shí)間的增加均勻增長(zhǎng),在t=t1時(shí)卸載,變形不恢復(fù)。其蠕變方程為(14)理想粘彈性圖的應(yīng)力-應(yīng)變速率關(guān)系曲線和蠕變曲線分別如圖11和圖12所示。(T(T so圖11應(yīng)力-應(yīng)變速率關(guān)系曲線0圖12蠕變曲線理想粘塑性體具有松弛、定常蠕變等性質(zhì)，無(wú)瞬時(shí)變形性質(zhì)，無(wú)彈性后效現(xiàn)象，屬于不穩(wěn)定蠕變。理想粘塑性體適用于有松弛、等速

12、蠕變性質(zhì)，但沒(méi)有瞬時(shí)變形和彈性后效的粘塑性巖石。2賓漢姆（Bingham ）體這種模型由一個(gè)彈性元件和一個(gè)理想粘塑性體串聯(lián)組而成，其力學(xué)模型如圖13所示。a s, a 2, & 2& 1(/ akLn 2, a 2, 2賓漢姆體的本構(gòu)方程為當(dāng)廠:;s時(shí), 當(dāng);；s時(shí)，kCT + kk賓漢姆體在恒定載荷 二條件下，當(dāng)：:；s時(shí)，只有彈性變形；當(dāng)二_；s時(shí)，賓漢姆體 具有一瞬時(shí)應(yīng)變，之后隨著時(shí)間的增加，應(yīng)變不斷增加。所以賓漢姆體的蠕變方程為(16)賓漢姆體的蠕變曲線和松弛曲線分別如圖14和圖15所示。t圖14賓漢姆體蠕變曲線(T 0(T s圖15 賓漢姆體松弛曲線賓漢姆體在- :; -s時(shí)，不發(fā)生

13、蠕變，沒(méi)有松弛性質(zhì)；當(dāng) 二-；s時(shí)，若; 0，應(yīng)力隨 著時(shí)間增加而逐漸減小，若 廠-0，應(yīng)變隨時(shí)間穩(wěn)定增長(zhǎng)。當(dāng)c : cs，賓漢姆體只有瞬時(shí)變形性質(zhì)，當(dāng)匚一匚s時(shí)，賓漢姆體具有松弛、定常蠕變等性質(zhì)，無(wú)彈性后效現(xiàn)象，屬于不 穩(wěn)定蠕變。賓漢姆體適用于低應(yīng)力時(shí)沒(méi)有蠕變，具高應(yīng)力時(shí)具有定常蠕變、松弛等性質(zhì)的粘 塑性巖石。（四）粘彈性-粘塑形模型1西原體這種模型由一個(gè)彈性元件、開爾文體和理想粘塑性體串聯(lián)而成，最能全面反映巖石的粘彈性-粘塑性特征，如圖2-4-1所示。(TCT sk1(T圖16西原體力學(xué)模型n 1其本構(gòu)方程為當(dāng)匚：:：jk*-(1 y - r ； k2 ； k1k1k1(17)當(dāng)匚一匚s*

14、 z k.k.kd*.丘2 /亠(2. 2.亠 (：一 口 n n 7口 、1 2 1 1 2-Qrsk+k1k2 名1(18)應(yīng)力水平等于和超過(guò)巖石的某一臨界值（；s ）時(shí)，逐漸轉(zhuǎn)化為不穩(wěn)定蠕變。所以西原體的蠕變方程為oki2k2k2t當(dāng)廠- ；skic0?2t ；0 - ；s+r(1e + tk2 2西原體具有瞬時(shí)變形、衰減蠕變、定常蠕變彈性后效和松弛性質(zhì)。 這兩種狀態(tài)，特別適用于反映軟巖的流變特性。（五） 粘性-粘彈性-粘彈塑性模型1伯格斯（Burgers）體這種模型是由馬克斯威爾體與開爾文體串聯(lián)而成，其力學(xué)模型如圖ki（19）（20）它能反映許多巖石的17所示。k2n 2d / I -

15、nn 1圖17伯格斯體力學(xué)模型伯格斯體的本構(gòu)方程為k1k2 * =k21(21)CT 0k2k1(1-e 尸1d 0k2k1、卩卸載曲線伯格斯體在恒定載荷二的條件下，二=0，伯格斯體的變形由開爾文體和馬克斯威爾體 的變形組成，故伯格斯體的蠕變方程為(22)H日1飛亠) k22k1e在t=t1時(shí)卸載，廠-0，伯格斯體有一瞬時(shí)回彈，之后變形隨著時(shí)間增長(zhǎng)逐漸恢復(fù)，但 變形不會(huì)恢復(fù)到零。伯格斯體蠕變和卸載曲線如圖18所示。蠕變曲線0 (T0k1k2圖18伯格斯體蠕變和卸載曲線伯格斯體具有瞬時(shí)變形、減速蠕變、等速蠕變、松弛等性質(zhì)，有彈性后效現(xiàn)象，屬于不穩(wěn)定蠕變。伯格斯體適用于具有瞬時(shí)變形、減速蠕變、等速

16、蠕變、松弛、有彈性后效等性質(zhì) 的粘性-粘彈性-粘彈塑性巖石，例如石灰?guī)r、頁(yè)巖、砂頁(yè)巖、白云巖、大理巖等。三八種巖石流變模型性質(zhì)的比較八種巖石流變模型反映了粘性、粘彈性、粘塑性、粘彈性-粘塑性、粘性-粘彈性-粘彈塑性五種不同的流變性態(tài)， 但八種巖石流變模型都是由三種基本的流變?cè)M成，特別是一些流變模型由兩個(gè)簡(jiǎn)單的力學(xué)模型或一個(gè)力學(xué)模型與基本元件或串聯(lián)或并聯(lián)組成，它們相互之間存在著許多相似的性質(zhì)， 為了便于學(xué)習(xí)和研究， 文章將它們的力學(xué)模型、 簡(jiǎn)單性質(zhì)及其 使用范圍進(jìn)行了簡(jiǎn)單的總結(jié)見下表：表1八種巖石流變模型性質(zhì)模型名稱模型結(jié)構(gòu)模型具有典型性質(zhì)模型適用巖石性質(zhì)可查閱文獻(xiàn)馬克斯威爾體H-N瞬時(shí)變形

17、、定常蠕變、松弛粘性3、4、7、8開爾文體H| N彈性后效、衰減蠕變粘彈性3、4、7、8廣義開爾文體H-(H II N)瞬時(shí)變形、彈性后效、 衰減蠕變粘彈性3、7飽依丁一湯姆遜體H| (H-N)瞬時(shí)變形、彈性后效、 衰減蠕變粘彈性3、8理想粘塑性體Nil S松弛、定常蠕變粘塑性3、4瞬時(shí)變形、定常蠕變、賓漢姆體H-(N II S)粘塑性3、4匚一匚s時(shí)有松弛彈性后效、衰減蠕變、瞬時(shí)變形、定常蠕變、西原體H-(H II N)-(N II S)粘彈性-粘塑性3、4匚一匚s時(shí)有松弛瞬時(shí)變形、衰減蠕變、粘性-粘彈性-粘彈塑伯格斯體(H-N) II (H II N)定常蠕變、松弛、彈井3 、4 、7性性

18、后效八種巖石流變模型反映了五種不同的流變性態(tài)，其中馬克斯威爾體在低應(yīng)力和高應(yīng)力條件下均呈現(xiàn)出定常蠕變的性質(zhì)，屬于粘性流變性態(tài)；開爾文體、廣義開爾文體、飽依丁一湯 姆遜體在低應(yīng)力和高應(yīng)力條件下均呈現(xiàn)出衰減蠕變的性質(zhì)，屬于粘彈性流變性態(tài)；理想粘塑性體、賓漢姆體在低應(yīng)力條件下無(wú)蠕變性質(zhì)，在高應(yīng)力條件下具有定常蠕變的性質(zhì)，屬于粘塑性流變性態(tài)；西原體在低應(yīng)力條件下呈現(xiàn)衰減蠕變性質(zhì)，在高應(yīng)力條件下呈現(xiàn)衰減蠕變和定常蠕變并存的性質(zhì)，并且具有彈性后效現(xiàn)象，蠕變應(yīng)變等于滯后回彈應(yīng)變，屬于粘彈性-粘塑性流變性態(tài)；伯格斯體在低應(yīng)力和高應(yīng)力條件下都具有定常蠕變和衰減蠕變兩種性質(zhì)， 并且定常階段的應(yīng)變速率和模型所受的正應(yīng)力成正比，屬于粘性-粘彈性-粘彈塑性流變性態(tài)。四小結(jié)通過(guò)以上分析，我們可以了解如下內(nèi)容：（1）巖石流變模型本構(gòu)