自考04184線性代數(shù)(經(jīng)管類)講義

1、自考高數(shù)線性代數(shù)課堂筆記第一章 行列式線性代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容是：研究線性方程組的解的存在條件、解的結(jié)構(gòu)以及解的求法。所用的基本工 具是矩陣，而行列式是研究矩陣的很有效的工具之一。行列式作為一種數(shù)學(xué)工具不但在本課程中極其重要,而且在其他數(shù)學(xué)學(xué)科、乃至在其他許多學(xué)科（例如計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)等）都是必不可少的。1.1行列式的定義（一）一階、二階、三階行列式的定義注意：在線性代數(shù)中，符號(hào) ”不是絕對(duì)值例如|5| = 5,且卜5|二5；q =a b*1ab1-ad be（2）定義：符號(hào)c d叫二階行列式，它也是一個(gè)數(shù)，其大小規(guī)定為：Cd所以二階行列式的值等于兩個(gè)對(duì)角線上的數(shù)的積之差。（主對(duì)角線減次

2、對(duì)角線的乘積）（3）符號(hào)幻 b 勺 函%巾 込銚5叫三階行列式，它也是一個(gè)數(shù)，其大小規(guī)定為勺% F碼爲(wèi)u 砧a +兩鳥6 +盤少悅一住曲C_ 響5 一砌外勺：1 2 315 6例如1= Ix5x9+4x8x3+7x26-7x5x3-4x2k9-1x6x8=o三階行列式的計(jì)算比較復(fù)雜，為了幫助大家掌握三階行列式的計(jì)算公式，我們可以采用下面的對(duì)角線法記憶G1 b( C|注/v卜d陽(yáng)6 +他+旳妬“ 一&少刈-僧島切一&矗創(chuàng)方法是：在已給行列式右邊添加已給行列式的第一列、第二列。我們把行列式左上角到右下角的對(duì)角線叫主對(duì)角線，把右上角到左下角的對(duì)角線叫次對(duì)角線，這時(shí)，三階行列式的值等于主對(duì)角線的三個(gè)數(shù)

3、的積與和主對(duì)角線平行的線上的三個(gè)數(shù)的積之和減去次對(duì)角線三個(gè)數(shù)的積與次對(duì)角線的平行線上數(shù)的積之 和。例如:（1）1 i If & M i z4 t斗宀右Gz yaJk 7 a ?7 s it? a=1X5X9+2X6X7+3X4X8-3 X5X7-1 6X8-2 X4X9=0(2)Rf h 口& tk0肛Q 00 fl( 00心0h 0MqWkt/. A5j bS耳i 勺=dtLx +0x0x3； + Oxa2 x鳥-0xti3xO -Ox2 xc-口5（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2） （3） 可見，在三階行列式中， 三角形行列式的值為主

4、對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之積，其余五項(xiàng)都是0,例如2 130 310 0 = 2x3xt-2) = -123001 -2 Q2 34= 3(-2)x4 = -242 0 00 30 =2x3x(-l) = -0 0 -1歡迎下載#a為何值時(shí),答疑編號(hào)10010101 :針對(duì)該題提問(wèn)2 a= 8-3（i解因?yàn)楣?=c =所以8-3a=0,.時(shí)T-1 42-2 xX04 21當(dāng)x取何值時(shí),答疑編號(hào)10010102 :針對(duì)該題提問(wèn)解：=01加 1+4 蓋V+2(-2)-2-2-4(龍1) X- 2 4 (_2) 1= x +16jf2?P + 2猶+遇=H十9兀=x(?-z) 0=(x-1)x-1+4-4-f

5、2-(-2)-2-2-4-(x-l)-x1二F_工十18 Sz- 27十十塔=_工亍+9芹=雙9 x) A 0解得 0x9所以當(dāng)0x9時(shí)，所給行列式大于 0。(二) n階行列式乩住- /a11 氐口%口 21如a2t2= 一符號(hào)：口ml 厲心 它由n行、n列元素（共”個(gè)元素）組成，稱之為n階行列式。其中，每一個(gè)數(shù)一；稱為行列式的一個(gè) 元素，它的前一個(gè) 下標(biāo)i稱為行標(biāo)，它表示這個(gè)數(shù)一弋在第i行上；后一個(gè)下標(biāo)j稱為列標(biāo)，它表示這個(gè)數(shù)一1 在第j列上。所以吋在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。為敘述方便起見，我們用（i,j）表示這個(gè)位置。n階行列式：通常也簡(jiǎn)記作D = d-n階行列式Q 門強(qiáng)也是一

6、個(gè)數(shù)，至于它的值的計(jì)算方法需要引入下面兩個(gè)概念。（1 ）在n階行列式匚沖，戈卩去它的第i行和第j列，余下的數(shù)按照原來(lái)相對(duì)順序組成的一個(gè)（n-1）階行列式叫元素1的余子式，記作例如，在三階行列式丐占口 總區(qū)他1 也中，說(shuō)二的余子式表示將三階行列式 J劃去第1行和第1列后，余下的數(shù)按照相對(duì)位置組成的二階 行列式，所以歡迎下載5解（1）(2)(3)4 77訂相似地，i乜:的余子式二.：表示將三階行列式八!劃去第二行和第三列后，余下的數(shù)組成的二階行列式 所以広121322 二478例1若569,求：（1）I口答疑編號(hào)10010103 :針對(duì)該題提問(wèn) 兒-答疑編號(hào)10010104 :針對(duì)該題提問(wèn)（3）:

7、答疑編號(hào)10010105 :針對(duì)該題提問(wèn)（4）答疑編號(hào)10010106 :針對(duì)該題提問(wèn)0-36-40-492-27-12-159（2）符號(hào)I叫元素-打的代數(shù)余子式定義：?jiǎn)?（7叫（系數(shù)其實(shí)是個(gè)正負(fù)符號(hào)）例2求例1中丄.的代數(shù)余子式（1）.j答疑編號(hào)10010107 :針對(duì)該題提問(wèn)（2）答疑編號(hào)10010108 :針對(duì)該題提問(wèn)（3）答疑編號(hào)10010109 :針對(duì)該題提問(wèn)（4）仁答疑編號(hào)10010110:針對(duì)該題提問(wèn)解：（1）=-= （-1 嚴(yán)=0廳城（2）地廣嚴(yán)倫嚴(yán)凱=75（3）.（- l）l+-=-11（4 /-1 -念產(chǎn)勢(shì)三-陸廠I（如果符號(hào)是奇數(shù)，等于相反數(shù)；如果是偶數(shù)，等于原數(shù)）2 二

8、%】au例3若a31計(jì)算1. I. i；. L.（以上兩組數(shù)相等）答疑編號(hào)10010111:針對(duì)該題提問(wèn)解：anAi + 切為 1 十=九（7嚴(yán)n十心1嚴(yán)陸】+砌產(chǎn)陸1=旳座訂-叫務(wù)+如S 4耳: 、輸%* G則=如住22的2 +免“2遇1 +釦應(yīng)皿立 巧 113辿與2 直1滬21刊?與例3的結(jié)果比較，發(fā)現(xiàn)幻先知Q 二 a2i 他療答=anAi + 32lAi +asiAi陌132 &營(yíng)歡迎下載45這一結(jié)果說(shuō)明：三階行列式.:等于它的第一列的元素與對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的積的和 廣到n階行列式作為定義。即規(guī)定n階行列式的值為它的第一列的元素與相應(yīng)代數(shù)余子式的積的和，上面結(jié)果中因?yàn)?，這一結(jié)果可以推4i

9、 = ir4i = -bk=-4L =(-DM所以有2 =碼1昭1 -旳1城1 4電1颯1h(-1嚴(yán)務(wù)1叫1特別情形2 =如購(gòu)- 2121 +&31M3LD* =如Mi】 -的l購(gòu)1 +劭-砌應(yīng)電 例4計(jì)算下列行列式j(luò)T)0旳2%m茁f -00血如4000(1)答疑編號(hào)10010112:針對(duì)該題提問(wèn)0說(shuō)2213a230033000=an4i+f血 +旳41 +iAi=如41十0洛血i + 0x呂+。兀呂1二 anMn勺2應(yīng)忑%=ano也碼40 0盤44-口1*22也弓口 口由本例可見四階上三角形行列式的值也等于它的主對(duì)角線各數(shù)之積Ki先%0如円42 =00Q空務(wù)000曲4%(2)0000答疑編

10、號(hào)10010113:針對(duì)該題提問(wèn)兔10血%”23%q =00%碼芍000%0000二uAi十色十口汛均1 +iAi十陽(yáng)i4jl=%i_4 + C1+ 0 + 0+ 0=口口腸I 十 0+0+ 0 + 0%0龜工00%叫000如|-al22a3Zaa5-5可見五階上三角形行列式的值仍等于它的主對(duì)角線各數(shù)之積一般地可推得即任意n階上三角形行列式的值等于它的主對(duì)角線各數(shù)之積-立譏同理有0) 02200喩1a星m.*1.2行列式按行（列）展開在1.1節(jié)講n階行列式的展開時(shí)，是把.：按其第一列展開而逐步把行列式的階數(shù)降低以后，再求出其 值。實(shí)際上，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來(lái)求岀它的值?，F(xiàn)

11、在給出下面的重要定理，其證明從略。定理1.2.1 （行列式展開定理）n階行列式.1 等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即 D=aiA（i=1,2,n（ 1.8）或一 L- . ，;. 1（j=1,2,n）（1.9）其中，匕是元素在D中的代數(shù)余子式。定理1.2.1 （行列式展開定理）n階行列式：等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù) 余子式的乘積之和，即（i=1,2，,n （1.8）或（j=1,2,n（1.9）其中，亡是元素在D中的代數(shù)余子式。（1.8 ）式稱為D按第i行的展開式，（1.9）式稱為D按第j列的展開式，這里i,j=1,2, 上述展開定理也可以表示成

12、匸1二-滬匕禺1+（-1嚴(yán)剛見+- +-）初牡胚 （i=1,2,n（j=1,2，,n這兩個(gè)展開式中的每一項(xiàng)都由三部分組成：元素和它前面的符號(hào) I-1）呷 以及它后面的余子式，三者缺一不可！特別容易忘掉的是把元素仁（特別是_ ）抄寫下來(lái)。根據(jù)定理1.2.1知道，凡是含零行（行中元素全為零）或零列（列中元素全為零）的行列式，其值必為零。特別情形(1)D = )4i+iAi+i4i=LJS +勺/as斗盤彗生=11-41 十 先時(shí)厘 +3二2141 +沈過(guò)&2 +漁営4呂 -aiiAi十如禺十如玉(2)少二=1 Ai +i4i+i4i +iAi=口口/u 十 2222 +%2馮2 +檢占42 二口1

13、3占孑十牛鼻百+礙/孑*433=進(jìn)14W +吆血+知電斗+知/電=11A1亠宀12血+ 1313亠知占4故可按第一行展開（解題技巧）=禺1舄十勺2九2 +菇&3 +說(shuō)驚川計(jì) 二aSlAl十迪念十皿對(duì)玉+區(qū)如念 -%企嚴(yán)兔2十知比十如坷斗flu000D=l，21a22000例5計(jì)算答疑編號(hào)10010201 :針對(duì)該題提問(wèn)解：由于第一行或第四列所含零最多，D= iiAi +如血卜珂祖蚪丁 12 = fl13 =我14 = 0 .D位iiM! + 0-F0 + CJF flLLdC22a3Jfl44可見四階下三角形行列式的值也等于它的主對(duì)角線各數(shù)之積=心;“二七戶例5的結(jié)果可推廣為k=*勺*呻（=也

14、龜我們稱這種行列式為下三角行列式（可任意取值的元素在主對(duì)角線的下面）121-1dk =00302003例6計(jì)算1121答疑編號(hào)10010202 :針對(duì)該題提問(wèn)解：由于第2行含0最多，所以應(yīng)按第二行展開D* =曲1-21 +如月22 +他413十的4紐:的1 =曲加=如4 = .= 0 + 0 +世防+ 0 =如皿空12-1-3203111=3 （屯+ 2222 +%3&3 =+ 0-21/35答疑編號(hào)10010203 :針對(duì)該題提問(wèn)解：將按第6行展開得2 盹141十他血*C3j4h +伽軸+務(wù)念+%奇人點(diǎn)1000002000=6003000004000005-2x 3x4x5-5!例8計(jì)算%D

15、 =*坊000(1)000答疑編號(hào)10010204 :針對(duì)該題提問(wèn)解：按第4行展開D &軌+0 + 0 + 0-一些網(wǎng)1%=-2X32 斗(-1) X一2兀 _4 T + (7) X0 -7 -5A -1= 26-7 -52141q =3-1215232例8計(jì)算行列式7025答疑編號(hào)10010304:針對(duì)該題提問(wèn)（把最簡(jiǎn)單的調(diào)到第一列或是第一旬）-1+ IX+ (-2) X5 31 21 0 00+5 X 7 3750按弟二行展開在本例中，記號(hào)表示將行列式的第一列乘以 5后加到第二列。1 -5按第一別展開37 5=81+5X寫在等號(hào)下面,3 11113111131例9計(jì)算行列式：1113（例子

16、很特殊）寫在等號(hào)下面，表示交換行列式的第一列和第二列，答疑編號(hào)10010305 :針對(duì)該題提問(wèn)解 這個(gè)行列式有特殊的形狀，其特點(diǎn)是它的每一行元素之和為6,我們可以采用簡(jiǎn)易方法求其值,先把后三列都加到第一列上去，提岀第一列的公因數(shù)6，再將后三行都減去第一行:31111 13 11 31 1例10計(jì)算行列式:11111 13 11 31 111 =613a3 (a+l)J (a+S)3 (込十卯 b3 (b+1)2 3卯(b+3)2 ca (cH-1)3 (u 十纖 (c+3)a$ (d+1)1 (d+2)1 紂答疑編號(hào)10010306 :針對(duì)該題提問(wèn)10001 1 12 0 0 =480 2 0

17、0 0 2a2-b2=(a+b)(a-b)(32)?6時(shí)96b-b9dA-9（W2a+33 (2a+3)M尸2tr+33 (2b+3)(汁 1)2c+33(2c+3)（曲廳2d433(2d+3)baJ護(hù)ia由十 1)(a+2)3(a+3)3 Ila3(日十2a+3；b+l)ae+2)，(b+3)ab2(b+iy2b+3:弟)：(皿：=?申；沁(如(甘2尸 申糾 +(fxO)舊 1) 2d+3例11計(jì)算n階行列式（n1):a.b0 -0 Clab0 02 二 d000a bb000 a|N-1 )等例12計(jì)算范德蒙德VanderMonde )行列式:答疑編號(hào)10010307 :針對(duì)該題提問(wèn)解將行

18、列式按第一列展開，得a b 。0b 0 - 0 00 a(I 0a b - 00=盤E * -:二 !:Q0直b00t 0000由00- a b(-D胃二円i4i+十十十止（簡(jiǎn)化的過(guò)程就是消階，次方也應(yīng)減少，為（* 嚴(yán)+（_ 1）乩曠& +（-1嚴(yán)1護(hù)1 1 111i呵叼 電o 死-珂電可=可F馬W二JJX1X2V0 虧（勺巧）工3 （虧叫（叼秀務(wù)巧）答疑編號(hào)10010308:針對(duì)該題提問(wèn)（第一行乘（-X1 ）加到第二行上；第二行乘（上）-X1 ）加到第三行=（可卞）（可巧）二（72 _A1 X例14計(jì)算:aAaaaa.aa生X3aaXaaaK（解題規(guī)律：每行或是每列中的和是一樣的，故每行或是

19、每b b2 c F例13計(jì)算答疑編號(hào)10010309 :針對(duì)該題提問(wèn)2 !4 自a1 a ab b2 b323=abc1 b b2=c cc1 c c?abc（b-（c-d）（c-b）（這是個(gè)定律）1”的行列列都乘“1”加到第一行或是第一列上去，再把這個(gè)數(shù)當(dāng)公因數(shù)提取，形成有一行或是列全為k a a a a.兀十4 口i z a a a1H乩亂m逵n個(gè)ffa. a aa確a. a a a x8式，然后再化簡(jiǎn)）答疑編號(hào)10010310 :針對(duì)該題提問(wèn)11111JT + 4l2K十也x+4（?Xa&aQxaaaaxaaaax1 1 1 11aa.a4 （亠日丿 層十 斗-a）00x-a 00000

20、 x-a0000 0r-i0 0akaa.=（h 十 4口）aaxaaaaxaaaa=（x+4a） （ x-a） 41.4克拉默法則由定理1.2.1和定理1.3.1合并有i 二k;jiAi+引* 知 A =仁A , j二匕口切血+%血+十喝去=|0弄血一或（一）二元一次方程組 （方程1、2左右同乘以一個(gè)數(shù)，上下對(duì)減）嚴(yán)迅+%二耳 知屮寺忍二d由a22*-a12*得（聽角2 滬21）珂=%2勾円曲由an-購(gòu)得令叫1 叱衍】=Dbl ai2t)且玉=D1ail Saai 6=D2則有Q叼二A是常數(shù)項(xiàng)當(dāng) 0時(shí)，二元一次方程組有唯一解= , =D D（二）三元一次方程組冋曲+為丹+屯*廣3包1%+豈頭

21、也切 鬥1%亠叫X扌 b aia 電au b叱胡aai %=D25a316%令也嗨叫系數(shù)行列式由D中的A11+A21+A31得引】aia5aaiS%二 Ra3ia32十切血十畋4】）兩=AiAi十為珂1 +鳥41由D中的A12+A22+A32得（口112十仃虧堆厘十勺/衛(wèi)）“2二對(duì)4a十包堆7十鳥Ad由D中的A13+A23+A33得（如金十知血十如堆；J） =如比j +Aj十鳥念Dx = D-當(dāng) ”0時(shí)，三元一次方程組有唯一解一般地，有下面結(jié)果定理（克拉默法則）在n個(gè)方程的n元一次方程組時(shí)毘+6兇+細(xì)氐二h 口2再十丹+如盅嗎5b(1)中，若它的系數(shù)行列式D=則n元一次方程組有唯一解。推論：在

22、n個(gè)方程的n元一次齊次方程組/曲+屯忍+%忑二0軸也十5匚+碼莊占o(jì)角同中耳二0(2)（1）若系數(shù)行列式D0,方程組只有零解兀二0（2）若系數(shù)行列式D=0廠則方程組（2）除有零解外，還有非零解（不證）例在三元一次齊次方程組E+的十勾二0氣十2升一3舟二02kl+*3xz +axa=O中，a為何值時(shí)只有零解，a為何值時(shí)有非0解答疑編號(hào)10010401 :針對(duì)該題提問(wèn)解：=2a-6+3-4- (-9) -a=a+2( 1) a乂2時(shí)，0,只有零解(2) a=-2時(shí),D=0，有非零解。本章考核內(nèi)容小結(jié)（一）知道一階，二階，三階，n階行列式的定義知道余子式，代數(shù)余子式的定義（二）知道行列式按一行（列）

23、的展開公式優(yōu)二尙始十知血十十弼/拆2二十口打4I-厲福比j（三）熟記行列式的性質(zhì)，會(huì)用展開公式或?qū)⑿辛惺交癁槿切蔚姆椒ㄓ?jì)算行列式 重點(diǎn)是三階行列式的計(jì)算和各行（列）元素之和相同的行列式的計(jì)算（四）知道克拉默法則的條件和結(jié)論第二章 矩陣矩陣是線性代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基本概念和數(shù)學(xué)工具，是研究和求解線性方程組的一個(gè)十分有效的工 具；矩陣在數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)、工程技術(shù)中，以及經(jīng)濟(jì)研究和經(jīng)濟(jì)工作中處理線性經(jīng)濟(jì)模型時(shí)，也都是 一個(gè)十分重要的工具。本章討論矩陣的加、減法，數(shù)乘，乘法，矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算，矩陣的求逆，矩陣的初 等變換，矩陣的秩和矩陣的分塊運(yùn)算等問(wèn)題。最后初步討論矩陣與線性方程組的問(wèn)題。2.1矩陣

24、的概念定義2.1.1由rrKn個(gè)數(shù)a （i=1，2，m； j=1，2，n）排成一個(gè) m行n列的數(shù)表旳112- %F 口用大小括號(hào)表示稱為一個(gè)m行n列矩陣。矩陣的含義是，這mKn個(gè)數(shù)排成一個(gè)矩形陣列。 其中aj稱為矩陣的第i行第 j列元素（i=1，2，m； j=1，2，n），而i稱為行標(biāo)，j稱為列標(biāo)。第i行與第j列的變叉位置記為（i，j）通常用大寫字母 A，B，C等表示矩陣。有時(shí)為了標(biāo)明矩陣的行數(shù)m和列數(shù)n,也可記為A= （aj） mKn 或（ aj） nKn 或A nXn當(dāng)m=n時(shí)，稱A= （a） nxi為n階矩陣，或者稱為n階方陣。n階方陣是由n2個(gè)數(shù)排成一個(gè)正方形 表, 它不是一個(gè)數(shù)（行列

25、式是一個(gè)數(shù)），它與n階行列式是兩個(gè)完全不同的概念。只有一階方陣才是一個(gè)數(shù) 。一個(gè)n階方陣A中從左上角到右下角的這條對(duì)角線稱為A的主對(duì)角線。n階方陣的主對(duì)角線上的元素an,322,，ann,稱為此方陣的對(duì)角元。在本課程中，對(duì)于不是方陣的矩陣，我們不定義對(duì)角元。元素全為零的矩陣稱為零矩陣。用Omn或者o （大寫字）表示。特別，當(dāng)m=1時(shí)，稱a = （ai，a2，an）為n維行向量。它是1xn矩陣。當(dāng)n=1時(shí)，稱I工丿為m維列向量。它是rrK1矩陣。向量是特殊的矩陣，而且它們是非常重要的特殊矩陣。b例如，（a，b，c）是3維行向量，1心丿是3維列向量。幾種常用的特殊矩陣:A =0U-0 -QA 二形

26、如0或簡(jiǎn)寫為口糊丿1.n階對(duì)角矩陣（那不是對(duì)角矩陣必須是方陣。A，念“尖”）q0 303例如，s -d是一個(gè)三階對(duì)角矩陣，也可簡(jiǎn)寫為的矩陣，稱為對(duì)角矩陣，2.數(shù)量矩陣在不會(huì)引起混淆時(shí)，也可以用E或I表示單位矩陣。n階數(shù)量矩陣常用aEn或aln表示。其含義見2.2節(jié)中的數(shù)乘矩陣運(yùn)算。3.n階上三角矩陣與n階下三角矩陣形如的矩陣分別稱為上三角矩陣和下三角矩陣對(duì)角矩陣必須是方陣。4.零矩陣一個(gè)方陣是對(duì)角矩陣當(dāng)且僅當(dāng)它既是上三角矩陣，又是下三角矩陣巾0Ip0 0 - 09F10 0 6(可以是方陣也可以不是方陣)22矩陣運(yùn)算本節(jié)介紹矩陣的加法、減法、數(shù)乘、乘法和轉(zhuǎn)置等基本運(yùn)算。只有在對(duì)矩陣定義了一些有

27、理論意義和 實(shí)際意義的運(yùn)算后，才能使它成為進(jìn)行理論研究和解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具。2.2.1矩陣的相等(同)定乂 2.2.1 設(shè) A= (aij) rmn, B= (bij) kxi,右 m=k, n=l 且 aj=bj, i=1 , 2,，m； j=1 ,2,，n,則稱矩陣A與矩陣B相等，記為A=B。由矩陣相等的定義可知，兩個(gè)矩陣相等指的是，它們的行數(shù)相同，列數(shù)也相同，而且兩個(gè)矩陣中處于相同位置(i, j)上的一對(duì)數(shù)都必須對(duì)應(yīng)相等 。特別，A= (aij) mxn=O=aj=0, i=1 , 2,，m； j=1 , 2,，n。 注意行列式相等與矩陣相等有本質(zhì)區(qū)別，例如rl “1，a為一個(gè)數(shù)，則

28、 A+a無(wú)意義！但是n階方陣A= （ aj） mxn與數(shù)量矩陣 aEn可以相加：A-aEn =荷2旳1如禺4（把數(shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)量矩陣aEn就可以想加了）由定義222知矩陣的加法滿足下列運(yùn)算律：設(shè)A，B，C都是論n矩陣，0是論n零矩陣，則（1）交換律A+B=B+A.（乘法沒有交換律）（2）結(jié)合律（A+B ） +C=A+ （ B+C）.（3）A+O=O+A=A.（4）消去律 A+C=B+C =A=B.2.2.3數(shù)乘運(yùn)算（矩陣與數(shù)不能相加，但是可能想乘）定義2.2.3對(duì)于任意一個(gè)矩陣 A= （aj） mn和任意一個(gè)數(shù)k，規(guī)定k與A的乘積為kA= （kaij） m0=5例4設(shè)矩陣 0 -Pfl iTA =2 1 0i B =3 11Q 3 -1卩（列行）1 0 -Prlyl40x? +(-1)x0 IxOOxl+xAB =2 1 03 1-2 xl + 1 x3 4-ClxO2 xO +1 xl-i-0 x2解：J 2 JJxl十2x3十UU汕 3xO+2xl + (-L)x2;10020104針對(duì)該題提問(wèn)求AB。答疑編號(hào):BA沒有意義。珂2%4 =出2例5靭求(1) A3E3(2) E3A3121 00 4A 二0 10解: (1)P 01丿這里矩陣A是3X3矩陣，而