空間曲面及其方程多元函數(shù)

1、返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 1 高等數(shù)學(xué)多媒體課件 華南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系 牛頓（牛頓（Newton） 萊布尼茲（萊布尼茲（Leibniz ） 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 2 第六章第六章 多元函數(shù)微積分多元函數(shù)微積分 第一部分 空間解析幾何 第二部分 多元函數(shù)微分學(xué) 第三部分 二重積分 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 3 主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容 第一節(jié) 空間曲面及其方程 多元函數(shù) 第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù) 全微分 第三節(jié) 復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 第四節(jié) 二元函數(shù)的極值 第五節(jié) 二重積分 第六節(jié) 二重積分的應(yīng)用 第七節(jié) 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用 返回 上

2、頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 4 第一節(jié) 空間曲面及其方程 多元函數(shù) 第六章 四、多元函數(shù) 一、空間直角坐標(biāo)系 二、空間曲面與方程的概念 三、常見的空間曲面及其方程 五、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 5 x y z 一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系 由三條互相垂直的數(shù)軸按 右手規(guī)則 組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系 . ? 坐標(biāo)原點(diǎn) ? 坐標(biāo)軸 x軸(橫軸) y軸(縱軸) z 軸(豎軸) 過(guò)空間一定點(diǎn) o , o ? 坐標(biāo)面 ? 卦限(八個(gè)) 面xoy 面yoz 1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六

3、6 x y z o 向徑 ? ? 11 坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R ; 坐標(biāo)面上的點(diǎn) A , B , C 點(diǎn)點(diǎn) M 特殊點(diǎn)的坐標(biāo) : 有序數(shù)組 ? ? 11 ) 0 ,(yxA ),(zoxC (稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo)) 原點(diǎn) O(0,0,0) ; r M 在直角坐標(biāo)系下 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 7 坐標(biāo)軸 : 坐標(biāo)面 : x y z o 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 8 2. 空間中兩點(diǎn)之間的距離空間中兩點(diǎn)之間的距離 設(shè) 11112222 ( ,),(,)M x y zMx y z為空間的兩點(diǎn)，記 12 ,M M的距離為 12 M M， 222

4、2 1212 dM MM NNM? 222 12 222 212121 ()()() . MPPNNM xxyyzz ? ? 于是空間兩點(diǎn)間的距離公式為： 222 212121 ()()()?dxxyyzz 特別地 222 ?dxyz 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 9 證: ? 21M M? 2 )47 ( ? 2 )3 1 ( ? ? 2 ) 12 ( ? ? 14? ? 32 MM 2 )75 ( ? 2 ) 12 ( ? ? 2 )23 ( ? ?6? ? 31M M 2 )45 ( ? 2 ) 32 ( ? ? 2 ) 13 ( ? ? 6? 3132 MMMM?

5、即 321 MMM? 為等腰三角形 . 的三角形是等腰三角形 . 為頂點(diǎn) 例1 求證以以 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 10 3 、向量及其運(yùn)算、向量及其運(yùn)算 表示法: 向量的模 : 向量的大小, 向量: (又稱矢量). 1 M 2 M 既有大小, 又有方向的量稱為向量 向徑 (矢徑): 自由向量: 與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量 . 起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量 . 單位向量: 模為 1 的向量, 零向量: 模為 0 的向量, 有向線段 M 1 M2 , 或 a , 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 11 規(guī)定: 零向量與任何向量平行 ; 若向量 a 與 b大小相等, 方向相同,

6、則稱 a 與 b 相等, 記作 ab ; 若向量 a 與 b 方向相同或相反, 則稱 a 與 b 平行, ab ; 與 a 的模相同, 但方向相反的向量稱為 a 的負(fù)向量, 記作 因平行向量可平移到同一直線上 , 故兩向量平行又稱 兩向量共線 . 若 k (3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上 , 則稱此 k 個(gè)向量共面 . 記作a ; 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 12 (1) 向量的加法向量的加法 三角形法則: 平行四邊形法則: 運(yùn)算規(guī)律 : 交換律 結(jié)合律 三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加 . abba? cba?)()(cba?cba? c b a ? c b? )(cb

7、a? b a ? b a ? 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 13 3 a 4 a 5 a 2 a 1 a 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 14 三角不等式 a (2) 向量的減法向量的減法 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 15 ? 是一個(gè)數(shù) , 規(guī)定 : ;1aa ? ? 可見 ;1aa ? ? ? 與 a 的乘積是一個(gè)新向量 , 記作 總之: 運(yùn)算律 : 結(jié)合律 )(a ? ?)(a ? ?a ? ? 分配律 )(ba ? ? ?ba ? ? ? ? ? ? a則有單位向量因此 (3) 數(shù)與向量的乘積數(shù)與向量的乘積 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目

8、錄 2019年3月9日星期六 16 設(shè) a 為非零向量 , 則 (? 為唯一實(shí)數(shù)) 證: “ ”. , 取 ? 且 再證數(shù) ? 的唯一性 . 則 ,0?故.?即 ab 設(shè) ab 取正號(hào), 反向時(shí)取負(fù)號(hào), , a , b 同向時(shí) 則 b 與 ? a 同向, 設(shè)又有 b? a , 0)(?a? ?b? .ab?故 定理定理1 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 17 “ ” 則 例例1 設(shè) M 為 M B A C D解解: ABCD 對(duì)角線的交點(diǎn), b a ACMA2 ? BDMB2? 已知 b? a , b0 a , b 同向 a , b 反向 ab .,MDMCMBMAba表示與

9、試用 ? ? b a ? ? a b )( 2 1 baMA?)( 2 1 abMB? )( 2 1 baMC?)( 2 1 abMD? 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 18 在空間直角坐標(biāo)系下 , 設(shè)點(diǎn) M 則 沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的 分向量. x o y z M N B C A ,軸上的單位向量分別表示以zyxkji ? 的坐標(biāo)為 此式稱為向量 r 的坐標(biāo)分解式 , r ? 任意向量 r 可用向徑 OM 表示. NMONOM?OCOBOA? (4) 向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 19 (5)利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算利用坐標(biāo)作向

10、量的線性運(yùn)算 設(shè) ),( zyx aaa a ? ? , ),( zyx bbb b ? ? 則 ? ? b a ? ? ),( zzyyxx bababa? ?a ? ? ),( zyx aaa? ,0 時(shí)當(dāng) ? ? ?axx ab? yy ab? zz ab? ? x x a b ? y y a b z z a b 平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例 : ，為實(shí)數(shù)? 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 20 在AB直線上求一點(diǎn) M , 使 解解: 設(shè) M 的坐標(biāo)為 如圖所示 A B M o ?1 1 M A B 及實(shí)數(shù) 得 ?1 1 ),( 212121 zzyyxx? 即 AMMB?

11、?AMOAOM ? ?MBOMOB? AOOM ?)(OMOB? ?OM?OBOA?( 例例3 已知兩點(diǎn) 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 21 得定比分點(diǎn)公式: , 1 21 ? ? ? ?xx , 1 21 ? ? ? ?yy ? ? ? ? 1 21 zz ,1時(shí)當(dāng)?點(diǎn) M 為 AB 的中點(diǎn) , 于是得 , 2 21 x x ? , 2 21 y y ? 2 21 z z ? A B M o M A B ?1 1 ),( 212121 zzyyxx? 中點(diǎn)公式: 說(shuō)明: 由 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 22 內(nèi)容小結(jié) 2. 向量的概念及其線性運(yùn)算 1

12、. 空間直角坐標(biāo)系 3. 利用坐標(biāo)變量作向量的線性運(yùn)算 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 23 二、空間曲面與方程的概念 求到兩定點(diǎn)A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的 222 )3()2() 1(?zyx 化簡(jiǎn)得 即 說(shuō)明說(shuō)明: 動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段 AB 的垂直平分面. 引例: 1:顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程, 2:不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程. 222 )4() 1()2(?zyx 解:設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為 , ),(zyxM,BMAM ?則 軌跡方程 . 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 24 0),(?zyxF S z y x o

13、如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系: (1) 曲面 S 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程 ; 則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程 方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形圖形. 兩個(gè)基本問(wèn)題兩個(gè)基本問(wèn)題 : (1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí) , (2) 不在曲面 S 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程 , 求曲面方程. (2) 已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何形狀 ( 必要時(shí)需作圖 ). 定義定義1 返回返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 25 故所求方程為 方程. 特別,當(dāng)M0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為 解解

14、: 設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為 即 依題意 距離為 R 的軌跡 x y z o M 0 M 表示上(下)球面 . Rzzyyxx? 2 0 2 0 2 0 )()()( 2222 000 ()()()xxyyzzR? 2222 xyzR? 例例1 求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn) 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 26 解: 配方得 此方程表示: 說(shuō)明: 如下形式的三元二次方程 ( A 0 ) 都可通過(guò)配方研究它的圖形 . 的曲面. 表示怎樣 半徑為 的球面. 球心為 例2 研究方程 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 27 例例 3 3 設(shè)有點(diǎn) 1( 1,0,1) M ? 與點(diǎn) 2 (0,1,

15、 2)M?，求到這 兩點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡方程 . 解解 設(shè)( , , )P x y z是所求軌跡上的任意一點(diǎn)，則由 12 | |PMPM?得 222222 (1)(0)(1)(0)(1)(2)xyzxyz? 整理得 22630 xyz? 該方程表示的是垂直平分線段 12 M M 的一 個(gè)平面，即線段 12 M M 的垂直平分面. 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 28 三、空間常見的空間曲面及其方程 常見的空間曲面有平面、柱面、錐面、 旋轉(zhuǎn)面和二次曲面等. 空間曲線，特別是直 線，在空間解析幾何中非常重要. 下面，我 們對(duì)這些圖形作簡(jiǎn)單介紹. 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 201

16、9年3月9日星期六 29 1. 平面及其方程 第六章 一、平面的點(diǎn)法式方程 二、平面的一般方程 三、兩平面的夾角 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 30 ? z y x o 0 M n 一、平面的點(diǎn)法式方程一、平面的點(diǎn)法式方程 設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn) 且垂直于非零向 M 稱式為平面? 的點(diǎn)法式方程, 求該平面? 的方程. ,),(?zyxM任取點(diǎn) 法向量. 量 nMM? 0 0 0 ? ?n MM 則有 故 的為平面稱?n 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 31 例 4 求過(guò)三點(diǎn)) 1 , 1 , 1 ( 1 M、) 1 , 2 , 3( 2 ?M及)2 , 3 ,

17、 4( 3 M的 平面方程. 解 由于過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)的平面的法向量n與向量 21M M、 31M M都 垂 直 ， 而?0 , 1 , 4 21 ?MM， ?1 , 2 , 3 31 ?MM，設(shè)n?, ,x y z?，則有： ? ? 12 , ,4,1,040? ? ?n M Mx y zxy ? ? 13 , ,3,2,1320?n M Mx y zxyz 解此方程組， 可得1,4,11xyz? ?,即所求平面的 法線向量n ? 1,4, 11?.根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，所 求平面的方程為： (1)4(1) 11(1)0?xyz 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 32 二、平面的

18、一般方程 設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點(diǎn)法式方程 此方程稱為平面的一般 任取一組滿足上述方程的數(shù) , 000 zyx則 0 000 ?DzCyBxA 顯然方程與此點(diǎn)法式方程等價(jià) , )0( 222 ?CBA ),(CBA n ? 的平面, 因此方程的圖形是 法向量為 方程. (General Equation of a Plane) 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 33 特殊情形特殊情形 ? 當(dāng) D = 0 時(shí), A x + B y + C z = 0 表示 通過(guò)原點(diǎn)通過(guò)原點(diǎn)的平面; ? 當(dāng) A = 0 時(shí), B y + C z + D = 0 的法向量 平面

19、平行于 x 軸; ? A x+C z+D = 0 表示 ? A x+B y+D = 0 表示 ? C z + D = 0 表示 ? A x + D =0 表示 ? B y + D =0 表示 平行于 y 軸的平面; 平行于 z 軸的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 34 解解: 因平面通過(guò) x 軸 , 0 ? ? D A故 設(shè)所求平面方程為 0ByCz? 代入已知點(diǎn) ) 1, 3,4(?得 化簡(jiǎn),得所求平面方程 例例2 求通過(guò) x 軸和點(diǎn)( 4, 3, 1) 的平面方程. 例 例3

20、 用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程 . 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 35 例 6 求過(guò)三點(diǎn))0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR的 平面的方程(其中cba、為不等于零的常數(shù)) 解 設(shè)所求的平面的方程為 0?DCzByAx 因?yàn)槠矫娼?jīng)過(guò)RQP、三點(diǎn)，故其坐標(biāo)都滿足 方程，則有 0 0. 0 aAD bBD cCD ? ? ? ? ? ? ? z x y o R P Q 得所求方程為 1.? xyz abc 平面的截距式方程 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 36 內(nèi)容小結(jié) 1. 平面基本方程: 一般式 點(diǎn)法式 截距式 0?D

21、CzByAx 1? c z b y a x )0(?abc 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 37 2. 直線 第六章 一、空間直線的一般方程 二、空間直線的對(duì)稱式方程 二、空間直線的參數(shù)方程 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 38 x y z o 0 1111 ?DzCyBxA 1 ? ? 2 ? ? L 因此其一般式方程 直線可視為兩平面交線， (不唯一 不唯一) 一、空間直線方程的一般方程 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 39 (Symmetric Expression) 1. 對(duì)稱式方程（點(diǎn)向式方程) ),( 0000 zyxM 故有

22、說(shuō)明: 某些分母為零時(shí), 其分子也理解為零 . m xx 0 ? 設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為 則 ),(zyxM n yy 0 ? ? p zz 0 ? ? 此式稱為直線的對(duì)稱式方程(也稱為點(diǎn)向式方程) 直線方程為 已知直線上一點(diǎn) ),( 0000 zyxM ),(zyxM 例如, 當(dāng) ,0, 0時(shí)?pnm 和它的方向向量 二、空間直線方程的對(duì)稱式方程和參數(shù)方程 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 40 設(shè) 得參數(shù)式方程 : t p zz n yy m xx ? ? ? ? ? ? 000 tmxx? 0 tnyy? 0 tpzz? 0 3. 參數(shù)式方程參數(shù)式方程 (Parametric

23、Form ) 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 41 例7 把直線L的一般方程 250 2310 xyz xyz ? ? ? ? 化為對(duì)稱式方程和參數(shù)方程 . 解 先求出直線上的一點(diǎn)),( 000 zyx.為此，任意選定 它的坐標(biāo)，例如令1 0 ?x，代入直線方程得 3 1 yz yz ? ? ? ? ? 解得2 0 ?y、 0 1 z ? ，所以， (1,2,1)是直線上的一點(diǎn) . 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 42 下面再求直線的方向向量，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?? 1 211 n ? ， ，和 ? 2 213n ?， ， 設(shè)直 線的 方 向向 量為 s ?

24、 , ,m n p?, 則有 12 0,0? ? ?nsns 即有 20 230 mnp mnp ? ? ? ? 解得：0 p ? ，且有 20 20 m n m n ? ? ? ? ，令1 m? ，則2n ? ?. 取s? ? 1, 2,0?為直線的方向向量。為直線的方向向量。 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 43 因此，直線因此，直線L的對(duì)稱式方程為：的對(duì)稱式方程為： 121 120 xyz? ? ? 令令 121 120 xyz t ? ? ? 則得直線的參數(shù)方程為則得直線的參數(shù)方程為 1 22 1 xt yt z ? ? ? ? ? ? ? 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2

25、019年3月9日星期六 44 1. 空間直線方程 一般式 對(duì)稱式 參數(shù)式 ? ? ? ? ? 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA ? ? ? ? ? ? ? ? tpzz tnyy tmxx 0 0 0 內(nèi)容小結(jié) 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 45 x y z 3 、柱面、柱面 引例 分析方程 表示怎樣 的坐標(biāo)也滿足方程 解:在 xoy 面上 表示圓C, 沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為 圓 故在空間 過(guò)此點(diǎn)作 柱面. 對(duì)任意 z , 平行 z 軸的直線 l , 表示圓柱面 o C 在圓C上任取一點(diǎn) l M 1 M ),(zyxM點(diǎn)

26、其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程 , 的曲面 ? 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 46 x y z x y z o 平行定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 l 形成 的軌跡叫做柱面. ? 表示拋物柱面, 母線平行于 z 軸; 準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面. 1 2 2 2 2 ? b y a x ? z 軸的平面. 0? ? y x ? 表示母線平行于 C (且 z 軸在平面上) 表示母線平行于 C 叫做準(zhǔn)線, l 叫做母線. x y z o o 定義 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 47 x z y 2 l 柱面, 柱面, 平行于 x 軸 ;

27、平行于 y 軸; 平行于 z 軸; 準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線 l3: H(z,x)=0. 母線 柱面, 準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l 1 : F(x,y)=0. 母線 準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l 2 : G(y,z)=0. 母線 ( , )0F x y ?1:方程表示 ( , )0G y z ?2:方程表示 ( , )0H z x ?3:方程表示 x y z 3 l x y z 1 l 一般地,在三維空間 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 48 定義 一條平面曲線 4 、旋轉(zhuǎn)曲面、旋轉(zhuǎn)曲面 繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn) 一周 所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面. 該定直線稱為旋轉(zhuǎn) 軸 ,旋

28、轉(zhuǎn)曲線叫做旋轉(zhuǎn)曲 面的母線. 例如 : 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 49 故旋轉(zhuǎn)曲面方程為 , ),(zyxM 當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí) , ,), 0( 111 CzyM?若點(diǎn) 給定 yoz 面上曲線 C: ), 0( 111 zyM 1 22 1, yyxzz? 則有 0),( 22 ?zyxf 則有 該點(diǎn)轉(zhuǎn)到 o z y x C 建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程 : 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 50 0),(:?zyfC o y x z 0),( 22 ?zxyf 求旋轉(zhuǎn)曲面方程時(shí) ,平面曲線繞某坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn) ,則該坐 標(biāo)軸對(duì)應(yīng)的變量

29、不變 ,而曲線方程中另一變量寫成 該變量與第三變量平方和的正負(fù)平方根 . 思考：當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？ 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 51 的圓錐面方程. 解解: 在yoz面上直線L 的方程為 繞z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為 x y z ? 兩邊平方 L ), 0(zyM 例例8 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn) , 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 52 x y 分別繞 x 軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程 . 解解:繞 x 軸旋轉(zhuǎn) 繞 z 軸旋轉(zhuǎn) 這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面. 所成曲面方程為 所成曲面方程為

30、 例9 求坐標(biāo)面 xoz 上的雙曲線 (旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面） (旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面） 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 53 5、二次曲面、二次曲面 三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程 , 下面僅 就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 . 研究二次曲面特性的基本方法 : 截痕法截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面 的圖形通常為二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx? 222 0?JIzHyGx (二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 ) 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 54 ),( 2 2 2 2 2 為正數(shù)baz b y a x ? 上的截痕為在平面t

31、 z ? 橢圓 在平面 x0 或 y0 上的截痕為過(guò)原點(diǎn)的兩直線 . z x y o 1 )()( 2 2 2 2 ? t b y ta x t z ? , (橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng) x 或 y 方向的伸縮變換 得到, 見書 P202) x y z (1) 橢圓錐面橢圓錐面 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 55 ),(1 2 2 2 2 2 2 為正數(shù)cba c z b y a x ? (1)范圍： (2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓 , 0 1 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? z b y a x , 0 1 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? x c z b y

32、 ? ? ? ? ? ? ? 0 1 2 2 2 2 y c z a x (2)橢球面橢球面 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 56 1 2 2 2 2 2 2 ? c z b y a x 與 )( 11 czzz?的交線為橢圓： 1 z z ? (4) 當(dāng) ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面; 同樣 )( 11 byyy?的截痕 及 也為橢圓. 當(dāng)abc 時(shí)為球面. (3) 截痕: 1 )()( 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ?zc y zc x c b c a cba,(為正數(shù)) z 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 57 (3) 拋物面拋物

33、面 22 22 xy z ab ? (1) 橢圓拋物面 (2) 雙曲拋物面（鞍形曲面） 22 22 xy z ab ? 特別,當(dāng)a = b 時(shí)為繞 z 軸的旋 轉(zhuǎn)拋物面. x y z x y z 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 58 (1)單葉雙曲面(Hyperboloid of One Sheet) by ? 1 ) 1 上的截痕為平面 1 z z ? 橢圓. 時(shí), 截痕為 2 2 1 2 2 2 2 1 b y c z a x ?(實(shí)軸平行于x 軸； 虛軸平行于z 軸） 1 y y ? ),(1 2 2 2 2 2 2 為正數(shù)cba c z b y a x ? 1 y y

34、 ? 平面 上的截痕情況: 雙曲線: (4) 雙曲面雙曲面 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 59 虛軸平行于x 軸） by ? 1 )2時(shí), 截痕為 0? c z a x )(bby?或 by ? 1 ) 3時(shí), 截痕為 2 2 1 2 2 2 2 1 b y c z a x ? (實(shí)軸平行于z 軸; 1 y y ? 相交直線: 雙曲線: z x y z x y 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 60 222 222 1 zxy cab ? ， 上的截痕為平面 1 y y? 雙曲線 上的截痕為平面 1 x x? 上的截痕為平面)( 11 czzz?橢圓 注意單

35、葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別 : 雙曲線 z x y o 單葉雙曲面: 系數(shù)二項(xiàng)正,一項(xiàng)為負(fù). 雙葉雙曲面: 系數(shù)一項(xiàng)正,二項(xiàng)負(fù). 圖形 (2) 雙葉雙曲面雙葉雙曲面(Hyperboloid of Two Sheets) （a、b、c 是正數(shù)） 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 61 內(nèi)容小結(jié) 1. 空間曲面空間曲面 三元方程 ? 球面 ? 旋轉(zhuǎn)曲面 如, 曲線 ? ? ? ? ? 0 0),( x zyf 繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面: ? 柱面 如,曲面 表示母線平行 z 軸的柱面. 又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 . 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 62

36、 三元二次方程 ? 橢球面 ? 拋物面: 橢圓拋物面 雙曲拋物面 z q y p x ? 22 22 ? 雙曲面: 單葉雙曲面 2 2 2 2 b y a x ?1 ? 雙葉雙曲面 222 222 1 zxy cab ? ? 橢圓錐面: 2 2 2 2 2 z b y a x ? 2. 二次曲面二次曲面 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 63 斜率為1的直線 平面解析幾何中 空間解析幾何中 方 程 平行于 y 軸的直線 平行于 yoz 面的平面 圓心在(0,0) 半徑為 3 的圓 以 z 軸為中心軸的 圓柱面 平行于 z 軸的平面 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1. 指出下列方程的圖形

37、 : 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 64 2. 填空題： （1） 與Z軸和點(diǎn))1,3,1(?A等距離的點(diǎn)的軌跡方 程是_ ； （2） 以點(diǎn))1,2,2(?O為球心，且通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的 球面方程是_ ； （3） 設(shè)曲面方程 2 2 a x + 2 2 b y + 2 2 c z =1，當(dāng)b a ? 時(shí)，曲面 可由xoz面上以曲線 _繞_ 軸旋轉(zhuǎn)面成，或由yoz面上以曲線_ 繞_軸旋轉(zhuǎn)面成 ; 2 262110zxyz? 222 4420 xyzxyz? 22 22 1 xz ac ?z 22 22 1 yz bc ? z 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 65

38、四、多元函數(shù) 第六章 一、區(qū)域 二、多元函數(shù)的定義 三、二元函數(shù)的幾何意義 四、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 66 0 0 ? PP 1. 區(qū)域區(qū)域 點(diǎn)集 稱為點(diǎn) P 0 的? ? 鄰域. 例如,在平面上, ? ),(),( 0 yxPU? (圓鄰域) 在空間中, ? ),(),( 0 zyxPU? (球鄰域) 說(shuō)明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 ? ,也可寫成 . )( 0 PU 點(diǎn) P 0 的去心鄰域記為 0 ?PP 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 67 ?0),(? ? y xyx ?41),( 22 ?yxyx ?0),(? ? y

39、 xyx ?41),( 22 ?yxyx 開區(qū)域 閉區(qū)域 ? ? ? ? x y o 21 x y o x y ox y o 21 例如，在平面上 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 68 ? 整個(gè)平面 ? 點(diǎn)集 ? ?1),(?xyx 是開集， 是最大的開域 , 也是最大的閉域； 但非區(qū)域 . 1?1o x y ? 對(duì)區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點(diǎn) P? D 與某定點(diǎn) A 的距離 ?AP? K , 則稱 D 為有界域有界域 , 界域 . 否則稱為無(wú)無(wú) 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 69 2 、多元函數(shù)的定義 引例引例: ? 圓柱體的體積 ? 定量

40、理想氣體的壓強(qiáng) ? 三角形面積的海倫公式 c b a h r 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 70 定義定義 1 1 設(shè)有三個(gè)變量, x y和z，D是平面上的一個(gè)點(diǎn) 集，對(duì)于任意一點(diǎn)DyxP?),(，變量z的值由這三個(gè)變 量之間的關(guān)系 f 以及, x y的值完全確定，稱這個(gè)關(guān)系 f 為定義在D上的一個(gè)二元函數(shù)關(guān)系，或稱z是變量x、y 的二元函數(shù),記作 ( , )zf x y?,(或)(Pf z ? ). 其中點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域 ,x、y稱為自變量,z 稱為因變量 . z的取值范圍稱為函數(shù)f 的值域 ,記作 )(Df,即 () |( , ) , ( , )f Dz zf

41、x yx yD?. 類似地可以定義三元函數(shù)),(zyxf u ? 以及三元以 上的函數(shù),二元和二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為 多元函數(shù)多元函數(shù). 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 71 3 、二元函數(shù)的幾何意義 設(shè)函數(shù)),(yxf z ? 的定 義域 為D, 對(duì) 于 任 意 取 定 的 點(diǎn) DyxP?),(, 對(duì) 應(yīng) 的 函 數(shù) 值 為 ),(yxf z ? ,也就是對(duì)于D中的點(diǎn) ),(yxP, 在 空 間 對(duì) 應(yīng) 一 點(diǎn) ),(,(yxfyxM,當(dāng)(yx,)取遍D 上的一切點(diǎn)時(shí) ,則得到一個(gè)空間 點(diǎn)集: ),( , ),(| ),(Dyxyxfzzyx? 圖626 這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)

42、),(yxf z ? 的圖形.一般地,二 元函數(shù)),(yxf z ? 的圖形是一張曲面。 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 72 x z y 22 1yxz? 定義域?yàn)??1),( 22 ? ? y xyx圓域 說(shuō)明說(shuō)明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) ? D 圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面 . , )sin(,yx z? 又如 的圖形一般為空間曲面 ? . 1 2 R),(?yx 三元函數(shù) )arcsin( 222 zyxu? 定義域?yàn)?圖形為 空間中的超曲面. 單位閉球 x y z o 例如, 二元函數(shù) 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 7

43、3 4 、二元函數(shù)的極限 定義 2 設(shè)二元函數(shù)),(yxf z ? 在點(diǎn)),( 000 yxP的某 一 鄰 域 內(nèi) 有 定 義 ( 點(diǎn) 0 P 可 以 除 外 ) ， 如 果 在 ),(),( 000 yxPyxP?的過(guò)程中 ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值),(yxf能 與某一確定的常數(shù) A無(wú)限接近,則稱 A是函數(shù)),(yxf當(dāng) ),(),( 00 yxyx?時(shí)的極限.記作 00 ( , )(,) lim( , ) x yxy f x yA ? ? 或 00 ( , ) , ( , )(,)f x yAx yx y?, 或記作 0 lim( ) PP f PA ? ?或 0 ( ),()f PA PP?. 二元函數(shù)的極限也叫做二重極限 . 返回 上頁(yè) 下頁(yè) 目錄 2019年3月9日星期六 74 ? 若當(dāng)點(diǎn) ),(yxP 趨于不同值或有的極限不存在， 解解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨