第三章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)頻域分析 (2)

1、 3-3 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)n1.1.周期信號的傅里葉級數(shù)分析周期信號的傅里葉級數(shù)分析n根據(jù)傅里葉級數(shù)理論，任何滿足滿足狄里克雷(Dirichlet)條件的周期連續(xù)信號 都可表示為無限多個、頻率為基頻倍數(shù)的復(fù)正弦信號的加權(quán)和，若 其中， 為任何整數(shù)， 為周期， 為基頻， 為相應(yīng)的角頻率，則 tf kTtftfkTTf11Tf2211 10101jntnntTjntntf tF eFf t edtT 3-3 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析傅里葉級傅里葉級數(shù)數(shù)n1.1.周期信號的傅里葉級數(shù)分析周期信號的傅里葉級數(shù)分析n 用FS分析是對周期信號進(jìn)行諧波分解

2、，即用諧波加權(quán)和來合成信號，因此，F(xiàn)S分析又稱為諧波分析諧波分析。 nFS分析是一個正交級數(shù)展開分析正交級數(shù)展開分析。 1jntnnf tF e 3-3 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)n2.周期信號傅里葉變換的物理意義離散譜離散譜n（1）采樣序列 的FS和FT nTnTttTdtemTtTFTtttjnmn11001 111111nntjnnTneTnTtt（1）采樣序列的FS和FT 3-3 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)n2.周期信號傅里葉變換的物理意義離散譜離散譜n（2）周期信號的FT離散譜 00100,0,f ttttTfttttT 1

3、111nnTnf tftnTfttnTfttnTftt 3-3 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)n2.周期信號傅里葉變換的物理意義離散譜離散譜n（2）周期信號的FT離散譜n周期信號的頻譜是離散離散的，并且在 的譜線強(qiáng)度為 n給出了利用利用FTFT計算計算FSFS系數(shù)的方法系數(shù)的方法 1111111nnf tFnF nn 12nnf tFn 111nFTFn1n1112nFFn 3-3 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)n2.周期信號傅里葉變換的物理意義離散譜離散譜n（2）周期信號的FT離散譜n對實周期信號實周期信號有 ，于是有正余弦分量正余弦分量形

4、式形式的FS展開式 11001110111coscossinjntjntnnnnnnnnnf tFF eF eccntaantbntnnFF 3-3 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)n2.周期信號傅里葉變換的物理意義離散譜離散譜n（2）周期信號的FT離散譜n兩種展開形式的系數(shù)之間的關(guān)系是n通過諧波分析，周期信號可表示為無限多個、頻無限多個、頻率為基頻倍數(shù)、幅度為率為基頻倍數(shù)、幅度為 、相位為、相位為 的余弦的余弦信號之和信號之和。 000Im,2,arctanRennnnnnnnnnnFacF cFFaFFbj FF，2nFn 3-3 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分

5、析傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)n3.典型周期信號的FS分析n（1）周期信號的FS分析步驟n步步1.1. 截取與周期信號 相應(yīng)的非周期信號 ，并計算其FT表示式 ；n步步2.2. 計算周期信號 的 后，得其指數(shù)形式的FS展開式，并計算其離散譜，畫出其離散幅度譜和離散相位譜；n步步3.3. 計算周期信號 的諧波形式或正余弦形式的FS展開式。 tf tf1 1F tfnF tf 3-3 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)n3.典型周期信號的FS分析n（2）典型周期信號的FS分析n例3-17：周期矩形脈沖信號n以幅度為E的窗函數(shù) 為基周期、占空比 的周期矩形脈沖信號 EGt1T 12FE

6、 Sa12nnEEnFSaSaTTT 1111 2cosjn tnnEnEnftSaeSan tTTTT矩形周期矩形脈沖信號的FS和FT 3-3 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)n3.典型周期信號的FS分析n（2）典型周期信號的FS分析n例3-17：周期矩形脈沖信號n特殊的，當(dāng)占空比 時， 為方波信號n方波信號只有直流分量和奇次余弦分量只有直流分量和奇次余弦分量，并且諧波幅度呈倒數(shù)衰減規(guī)律波幅度呈倒數(shù)衰減規(guī)律12T 11111,2121220,212cos21221mnmmEnmEnFSamnmEEftmtm方波 tf 3-3 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析傅里葉

7、級數(shù)傅里葉級數(shù)n3.典型周期信號的FS分析n（2）典型周期信號的FS分析n例3-18：三角脈沖信號n以三角窗函數(shù) 為基周期的周期三角脈沖信號 1TEBt 211124ETTFSa211112221242,2121220,2nETnTFSaTEnmEnmSanm例3-18：三角脈沖信號n三角脈沖信號只有直流分量直流分量和奇奇次余弦分量次余弦分量n諧波幅度呈平方倒數(shù)衰減規(guī)律平方倒數(shù)衰減規(guī)律，即比方波的衰減規(guī)律要快比方波的衰減規(guī)律要快 212141cos21221nEEftmtm三角 3-3 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)n3.典型周期信號的FS分析n（2）典型周期信號的F

8、S分析n例3-19：鋸齒脈沖信號n以鋸齒波窗函數(shù) 為基周期的周期鋸齒脈沖信號 11TEtGtT 1111111222cos22TTTEEftGtttTTTESaE111cos22TTEFSaj例3-19：鋸齒脈沖信號n鋸齒脈沖信號只有正弦分量正弦分量n諧波幅度呈倒數(shù)衰減規(guī)律倒數(shù)衰減規(guī)律，與方波的衰減規(guī)律相同 1111sinnnEftntn鋸齒1110,01cos1,02nnnEFSa nnETjnnj n 3-3 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)n3.典型周期信號的FS分析n（2）典型周期信號的FS分析n例3-20：半波余弦脈沖信號n以半波余弦窗函數(shù) 為基周期的周期半波

9、余弦脈沖信號 112cosTEt Gt 1cosftt ft半波方波例3-20：半波余弦脈沖信號n半波余弦脈沖信號只有直流分量、基直流分量、基波余弦分量和偶次余弦分量波余弦分量和偶次余弦分量n諧波幅度呈倒數(shù)平方衰減規(guī)律倒數(shù)平方衰減規(guī)律 11111111211coscos 21cos 222112coscos 2241mmmmEEfttmtmtmEEEtmtm半波 3-3 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)n3.典型周期信號的FS分析n（2）典型周期信號的FS分析n例3-21：全波余弦脈沖信號n以全波余弦窗函數(shù) 為基周期的周期全波余弦脈沖信號 112cosTEt Gt 12

10、cosftftEt全波半波例3-21：全波余弦脈沖信號n全波余弦脈沖信號只有直流分量和偶直流分量和偶次余弦分量次余弦分量，這些分量的幅度都是半幅度都是半波的兩倍波的兩倍，并且半波中存在的基波分半波中存在的基波分量已不復(fù)存在量已不復(fù)存在。這是因為全波信號的全波信號的實際周期已減為半波的一半實際周期已減為半波的一半。 1121cos 221141mmm tEftm全波 3-3 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)n3.典型周期信號的FS分析n（2）典型周期信號的FS分析n例3-22：導(dǎo)通角 的余弦脈沖波 n幅度為E、導(dǎo)通角為 的余弦窗函數(shù)是： 其中， ，即 以它為基周期的周期脈

11、沖波是高頻丙類功率放大以它為基周期的周期脈沖波是高頻丙類功率放大電路中使用的輸出電流波形電路中使用的輸出電流波形 1coscosEtGt 1coscosfttft矩形22cos2cos1T例3-22：導(dǎo)通角2余弦脈沖波 1111121coscos12cossincossincoscoscos sinsincos2cos1mmftEtSa mmttEmmmmtm m 3-3 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)n4.對稱性與FS系數(shù)的關(guān)系n當(dāng)實信號實信號 滿足某對稱性時，其FS展開式中的有些項就不會出現(xiàn)，致使展開式相對簡單。信號對稱性分為對整周期而言的偶函數(shù)偶函數(shù)和奇函數(shù)奇函

12、數(shù)，以及對半周期而言的奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)和偶諧函數(shù)偶諧函數(shù)。n當(dāng)周期信號 為實偶函數(shù)實偶函數(shù)時，其頻譜為實偶函頻譜為實偶函數(shù)數(shù)，因此 ，使得 ，因此FS展開式中無正弦項無正弦項。這是很容易理解的，因為實偶信號中不可能含有具有奇對稱性的正弦分量不可能含有具有奇對稱性的正弦分量。 tf tfnnFF實數(shù)0nb 3-3 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)n4.對稱性與FS系數(shù)的關(guān)系n周期信號 為實奇函數(shù)實奇函數(shù)時，其頻譜為虛奇函數(shù)虛奇函數(shù)，因此 ，使得 ，因此FS展開式中無直流項無直流項，也無余弦項無余弦項。因為實奇信號中不可能不可能含有具有偶對稱性的直流和余弦分量含有具有偶對稱

13、性的直流和余弦分量。n例如，周期矩形波、周期三角脈沖信號、半波余弦脈沖信號、全波余弦脈沖信號和導(dǎo)通角為 的余弦脈沖波都是偶對稱，它們都只含有直流分量和余弦分量，而鋸齒脈沖信號奇對稱，它只含有正弦分量。 tfnnFF 虛數(shù)0na 2 3-3 周期信號的頻域分析周期信號的頻域分析傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)n4.對稱性與FS系數(shù)的關(guān)系n周期信號 滿足 時， 使得 ，這樣 ，從而有 ，這意味著，周期信號 無直流分量無直流分量和偶次諧波分量，僅含有奇次諧波分量和偶次諧波分量，僅含有奇次諧波分量。因此，把它稱為奇諧信號奇諧信號。n周期信號 滿足 時， 使得 ，這樣 ，從而有 ，這意味著，周期信號 無奇次諧波無奇次諧波分量，僅含有偶次諧波分量分量，僅含有偶次諧波分量。因此，我們把它稱為偶諧信號偶諧信號。 tf 2Tf tft 112Tftft 211TjFFe jnnnFF e 20mF tf tf 2Tf tft 112Tftft 211TjFFejnnnFF e