同濟大學(xué) 第五版 線性代數(shù)課后習(xí)題解析0001

1、習(xí)題解答1+利帛對角線法則計算卞列三階行列式:0一 4I81 11-1 1 (2)-11(4)3(3)bb(1) 原式= 2x( - 4)X3 + 0x(-l)x( 一 1) -FlxixS-lx(-4)x(-l)-2X()X80xix3=-4；(2) 原式=acb + bac + cba - J 一 J 一 滬3abc _ a* ft* c* |(3) 原式=1&+=be1 + ca1 + ab1 ba2 cb2 acz=c2(b - a) a/(b - a - c(b2 -= (a - b)(b - c)(c - a)=y)y+ y) + (j: + y)yx - (x + y)3 - y

2、3=-2(x3 + ).2.按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，求下列各排列的逆序數(shù)：(1) 12S4；(2) 4132i(3) 342I；(4) 2413；(5) 13八(2n )2 4(2ji);(6) 13*(2n - 1)(2n)(2n - 2)2.解(1)此排列為自然排列其逆序數(shù)為S(2) 此排列的首位元素的逆序數(shù)為0;第2位元素1的逆序數(shù)為1 ;第3位元 累3的逆序數(shù)為1 :末位元素2的逆序數(shù)為2,故它的逆序數(shù)為0+ 1 +1 + 2 = 4；(3) 此排列的前兩位元素的逆序數(shù)均為如第3位元素2的逆序數(shù)為2.末 位元素1的逆序數(shù)為3,故它的逆序數(shù)為0 + 0 + 2 + 3 = 5;(4)

3、 類似于上面*此排列的從首位元素到末位元素的逆序數(shù)依次為0TOt2t 1*故它的逆序數(shù)為0 + 0 + 2+1 = 3;(5) 注意到這2齊個數(shù)的排列中，前“位元素之間沒有逆序?qū)Φ趯? 1位 元素2與它前面的瑋-I個數(shù)構(gòu)成逆序?qū)?，故它的逆序?shù)為W R同理，第 +2 倍元素4的逆序數(shù)為-2：-;末位元索2丼的逆序數(shù)為(L故此排列的逆序數(shù)為( 1) + (n * 2) + * + 0 = y w (- 1);(6) 與(5)相仿*此排列的前n + 1位元素沒有逆序?qū)Γ旱趲? 2位元素 (2n - 2)的逆序數(shù)為2;第牯十3位元素2牯-4與它前面的2n - 3t2h lr2n t 2n-2構(gòu)成逆序?qū)?/p>

4、,故它的逆序為4；-；末位元素2的逆序數(shù)為2(-1),故此 排列的逆序數(shù)為2 + 4 + -+2(m-1) = h(-O，3寫出四階行列式中含有因子gm的項.解 由行列式定義知這項必還含有分別位于第3行和第4行的某兩元累. 而它們又分別位于第2列和第4列，即a繪和“別或。脣和盤心注意到排列1324 與1342的逆序數(shù)分別為1與2,故此行列式中含有引心袒的項為-5222344412 4214112 0 23-121; (2)10 5 2 012 3 20 1175C 6 2(1)a與 U日為總羽a42 4.計算下列各行列式:ah1acaebd cddebfcf-ef00b-10-1001d831

5、24 口 -4r0-72 -41052010r,-152200117:-，Q114171202|I1202心1口01.* -1心 + Sr20117Q152一20!001785o-72-4；009452202120D=0 (因第3.4行成比例)*46362515102I0=0 (因有兩行相同”abcdif7L11-1111-1abcdef-110002o i +皿-1 bo -1o o1 卄 tib a-1 c0 -112；000 1注adcd0 iiI(1 + fl/?a 0按口 KJFi* 1 (_ (_ 1)-1c 1440ld Aabcdefi1 + a/j-1ad1 + cd=(1

6、+ a6)(l + cd) + ad5.求解下列方程：1=0i互不相等”1=0,其中 a,btc解左式V沽6 + 3門-(t +3)巾巧/、-(x + 3)= (x + 3)=(+ 3)&2 - 3)*于是方程的解為：巧二-3,帀=再皿嚴(yán)厲;(2)注意到方程左式為4階范德蒙徳行列式，由例12的結(jié)果得 (X *- a )(x - 6) (x - c)(a - b)(a - c)(b 一忙)=0.因a互不相等，故方程的解為= ax2 = Zjr3 = c.6.證明:a2abb22aq+ b2b (e Z)3 ；1L1ax by ay + ay + bz az az + bx ax +bz az +

7、 bx bx ax 十 by by ay + bzx=(a1 + A3) y(4)(5)a2(a+ 1)2(a + 2):(a + 3)2b2(6+ 1)2Q + 2 尸(6 + 3)2c2(c+ I)1(c + 2)2(PFd2(d+ 1)2( + 2 尸( + 3)21 1c dc2 d1bbb= (a-6)(a-c)(a-ti)(6-c)(6-J)(c-rf)(a + Z? + ： + d);=uBx +J*- + -* + at r + aa.證(1)左式=a1 - f,2(a - b)0ab ba b0臚2b1(a fr)2 ab b100b2261=右式;(2)將左式按第1列拆開得

8、a 文 ay + bz az + bxIby ay + bz az + bx左式二ay az bx ax + by+bz az + bx ax + by=aD| + bD2、a z clt + by ay + bzbx ax + by ay + bz其中.Tay + bzaz + bTJ?ay 十 6zZ iyaz bxa j* + byG -如iayaz + bxXcj azOJT 十 byay 十 bzzax + byyy 石y ay + bz az bxy z az + bx5 -曲1z az 十 bx ax + by ibz x aj： byCibx ax by uy + bzx y

9、ay + bzy z jc z x y z y jc y zWy2.X巾i門z X yy$fi -叫 r =, b于是D = aD. + bD產(chǎn)(J + 滬)二右式2a + 1(3左式4)左式工n -叭ri - arib1 2b 4- I;2c2 2d2a + 126 + 12c + 12J + 11o ab(b a)2a+32X3玄+ 32J + 32 +526+52c + 52M + 5=0 園有兩列相同”d - ati(d a)護(護- a1)1X葩卿伽畀f FS)Fl, 6 + a ) rg- 二(b - a)(c - a )(/ _ a)=(b - a)(c - a)(d a)(J

10、- J)1b b2b + a) c2 (c + 1) d!(+ a)I 110 c b d b0yc b d lij y其中：x = c1(r + Ha)-(Ar)(f + a)-b(i + aid1-i/j) = c(i + 6 + y = d2(d a) bd(b + a) = d(a d(d - b).1 1c(a + i + c) d(a + b + d)故df =r-)u-nT y=()( A)(J - c)(a + i + c + r/)=右式.(5)證一 遞推法按第1列展開，以彈立謹(jǐn)惟公式，-1x -10DjM=xDb + (-1)-#1.*. *ax - 1=xDu + (-l

11、)1 + i = xD- + a0.又，歸納基礎(chǔ)為：D,二忑(注癒不是工人于是De =工0, +叫=x(疋口卄)+ a| + a0=t2 0_1 + avx +二= xD + a,-!+ + arr + a0=tty + 61)x + fljx2 + + fiNjr.證二按最后一行展開得lx - 1S =(- 1w擔(dān)?- -* * a-* a * a* * * HfS - *=：a# =+ a(jr + a2i2 4- “ + aH_i al +-7.設(shè)階行列武D = ki(%),把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時針旋轉(zhuǎn)90S或依副 對儒線翻轉(zhuǎn)、依次得irrruni證明 D, = D3 = ( - I) 3

12、 DQj = D*證(1)先計算.為此通過交換行將口變換戰(zhàn)D.從而找出D與口的關(guān)系.D的熾后一行是D的第【行，把它依次與前面的行交換，直至換到第1 行，共逬行-1次交換卡這時最厲一行是。的第2行，把它依次與旋面的行交 換，直至換到第2行，共進行 -2次交換 “，直至最后一行是D的第n-1 行,再通過一次交換將它換到第h I行，這樣就把D,變換感D,共進行p 1( - 1 + ( - 2)+ 1 = /! ( H - 1 )次交換故D嚴(yán)(7)4F.注r上述交換行列式的行(列)的方法，在解題時，經(jīng)當(dāng)用到，它的特點是 在把最垢一行換到某一行的同時#歸持其余卅-1個行之間原有的先后次序(但 行的序號可

13、能改變).2*同理把D左右翻轉(zhuǎn)所得行列式為(-14(一口.(2計算注意到D2的第1,2,行恰好依次是D的第1列,故若把巧上下翻轉(zhuǎn)得厲“則D.的第1,2,行依次是D的第1, 2*列，即Dz = Dr.于是由(1)Dj = ( -D t = ( -= - l)4*1 1 fliaib 110砒 = 2S- tn22嚴(yán):匕! *Pi0孔卜1其中b = 1 + 十叭，右=叭（1十S 于是52120-5，D杓（譏門元的代數(shù)余子式記柞A*,求-1-3A3I + 3Aj； 2Au + 2Am .解 與例13相仿心昭+3*-2* +2A”等于用13.-2.2替換D的第 3行對應(yīng)元素所得行列式即ID.(131-

14、123L-11-513-4c + Cj-5I3-1I3-2213=201-53-31-530A弭+彳人耳-2Ajj +2A#1r： + r(31-11-222013-20按創(chuàng)展幵J1-53011100= 24*用克拉默法則解下列方程組; J| + Jj + Tj + J?4 51 xI + 2x2 -蠱1 + 4工* = -2; 2x 3zj jt3 - 5xq = _2,00-1-1=0.=0,十眄+ 21+ 1Lt4 =C8” r+ 5jt11111112-141-232-3-1 -50-5-3-7 一 3fl3I2 11|0亠2-18+2=1 +1.3 H |-2-13-51 1|-13

15、80 1II 514二85)115111-22-143 3 05亠 27- J -5fj + rt3-20-4012 L1-L0 - I 090014335-27D、=按巾碰開-42332_ 22-10-10-272332-22=-U2；151(15111-2- 14C rj0-7-232 -2 - 1 -50-12-3-730211r - 3i0-15- I8-7-12-1523-23-3-18-15=-284；2333-1-13-3133-13-311J51115112-2401-732 3 2 5rj-2r(0*5-12-7310110-2-15R6 =1-7-47I 1-47 S0 1

16、*2914= -4261-29141115卩11512101:1-72 -3*1-2rt - i0*5-3-12312o|口 廠 2f|Io*1-15111*5n01-213-*47= 142.r* + 2r200-13-47-5 -2Q00-529由克拉默法則得工胡70D-5 6 0 05 6 06 0 015 6 0悄q展開51 5 61 5 60 15 60 1 501 50 0 15=當(dāng)=2 = = 3,x4=5= 65j(* )-114,于是 0 = 325 - 114 = 211；16 0 05 6 06 0 00 5 6 0按門展開1 5 65 6 0015 60151 5 61

17、0 155100巧=1060按n展開00560115=-19 + 180=161；116 05 0 00 5 6+1 6 00150 5 6Dj =150560按引厲開0161500C50160000615-109?0由（* 式-1 + 65 = 64.5656015十J56001015由克拉默法則*得1092TT1X|=TF= 第阿=*口辭工汙労11-問；1“取何值時，齊次線性方程組Xi） + j2 += 0,S J| + ftX2 + Xj 0 J“I +2/tr3十工廠0 有非零解？X 11A 111聲11嚴(yán)11 2(1 10 M 0解 由定理5此時方程組的系數(shù)行列式必須為山D二=-產(chǎn)。

18、-1),故只宿當(dāng)產(chǎn)=0或U 1時.方程組才可能有非零解. 當(dāng)護=0,原方程組磁為J Aj| + X）+ jj 0, 1工+ Xj 0*顯然工I = 1、X當(dāng)A-1.原方程組成為4外土-1是它的一牛非零解;J）十工g +眄” 0,=嚴(yán)* + fjuci + xj 0xj +2tca x = or蠱然i = - l,jj =0FXi= 1是它的一亍非零解-因此，當(dāng)貼=0或A = 1時方程組有非零解.注 定理疔（或宦理?。﹥x表明齊氏線性方程組要有非事解，它的系數(shù)行列式必為零、至于這條件是否充分將在第三章中予以解決目前還是應(yīng)驗證它有非 零解下題也是同樣情形.12問A取何值時，齊次線性方程組f (1 A

19、 I -2不2 +4x3 = 0,*2j：i + (3-A)i1+j:5 = 0,+X： + (1 - AJt3 =0有非零解？40 0-3+ A 4 1 - A)1 - A 一 223-A1 1解 若方程組有非零解，由定理5S它的系數(shù)行列式D = 0.13 - A=-A(a -2)(A - 3) +-21.-A2-1C1+ f|1 - AA-3 +A 4-(1-A)1A *3 3A I-A Il 1故D = 0=A = 0或人=2或A = 3t并且不難驗證;當(dāng)人=0時工產(chǎn)-2,z2 = ltj：3 = 1；當(dāng)；I = 2時嚴(yán)-2口產(chǎn)3*巧=1：當(dāng) 人=3時口嚴(yán)-1,=5, = 2均是該方程組

20、的非零解*所以當(dāng)A =0t2F3時 方程組有非零解.習(xí)題解答140-2JI.計算下列乘積:(1)413 J-2 372；(2) (1,2J)2;(3).2157 0.n丄3ri 3 it43r7351-232=6570JJ Il49,解1VlZ =陣形式為在這些記號下+從到me列的線性變換的矩2 0 1-31 (T其中沖=-2 3 2tB =2 0 1分別為對應(yīng)的系數(shù)矩陣；X =115.0-13JjX = AY=A(BZ)(AB)ZCZ 這里矩陣2 0 11-31 0f13AE 土-2 3 22 0 1=12-49,4150-13.-10 - 1 16即有Xi = 6zt + 3tj* jj

21、= L2z( - 4磯 + 9?jLij - 10| 一 十.5； )(： J 冋(1) 嗎？(2) (A + B)l = 42 +2AB + B:n?(3) (A + B)(A - B) = A2(3 )故心以(2) (4 + B)J = A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + i?-T 但由(1), ABBA，故 AB + BA 72 AB,從而(A + B)24Z +2AB + B2；(3) (A + B)(A - B) = A2 + B4 - AB - 由(l), ABH BA ,故 HA - ABO,從而(A + 0)(4 - B1.乳舉反例說明下列命題是錯誤的

22、；(1) 若 A2=Of則 4 = 0;(2) 若 = 則 A = 0 或4 = E;(3) 若 AX= AY,且 AOt則 X= Y.解取A = L J.有d = 0 但心6取盤叫 罪有A1-A,但AHO且AHE*s(：片(；：)彳:帥皿小且市6 但 XY.6,設(shè)心=（；:卜求;)(:;卜的(:K :H畀)(：m)(2.3)一般可禍?zhǔn)氯袭?dāng)A = 1時，（2.3）式顯然成立;設(shè)當(dāng)k = n時江2. 3）式成立，那么當(dāng)k = n十1時,(JMl由歸納法，知2二）武成立一A107+設(shè) A=0A1.求 A.00A.解 把A寫成兩個矩陣之和A001()I 0A =0A0+00 =A + B (0A0

23、 DjQi010 01其中三階矩陣001満足fi- =0 00tB = O (i3).衛(wèi)00e o于是 AK =(AE + B)- =+ ClX1 B + - + C：Bn= Oe + cb +A- C”10廠十0nAA1rt(n-l)2冰lo 0r J.00X1 .8,設(shè)A,強為卑階矩陣，且A為對稱陣，證明BtAB也是對稱陣. 證根據(jù)矩陣乘積的轉(zhuǎn)證規(guī)則有=因 A 為對稱陣）故由定義，知fiTAB為對稱陣-9設(shè)都是甘階對稱陣證明AB是對稱陣的充要條杵是 證因AT =故AB為對稱陣AJ8）T= 4B5|4 C = - 16.注先化簡矩陣，再取行列式往往使計算變得簡單，0 3 315. 設(shè)1 1

24、0= A + 2B ,求 B.12 3解 由 AB = A +2B=(A -2E)B = A.-23 3，IS A-2E=1-1 0 ,它的行列式det (A -2E)20r故它是可逆陣.-12 L用(A -2E)“左乘上式兩邊得I _ I03 3I10JT23.3101j3 -L0 6 60 3 3-2 46=-12 3220j、I 1 0B.解 由方程AB + E = AJ +JS,合并含有未知矩陣B的項，得4-E)B = Ai-E=i(A-E)(A+),00 llj又tA-E= 010 ,其行列式det(A -E)- - 10,故A - E可逆，用I 0 0(A-E)-1左乘上式兩邊，即

25、得2 0 1|B = A E = 0 3 0 .| 1 0 217. 設(shè) A = diag( 11 2*1), A * BA =2BA - 8E ,jR B.解 由于所給矩陣方程中含有A及其伴隨陣A,因此仍從公式A/C = |A|E看手.為此，用A左乘所給方程兩邊得AA BA =2ABA -8A ,又JA| = -20,故A是可逆矩陣，用右乘上式兩邊，得I A I B-2AB - 8En(2A + 2E)B = 8E=(A + E)B =4E.注就到 A + E = diag(l(-24) + diag(Ll J) = diag(2.-1.2)S可逆矩陣，且(片十E)=擊驅(qū)(寺，一匚+) * 于是B = 4( A 十 E7 =dimg(2* - 4*2).18. 已知矩陣 A 的伴隨陣=dia&(iatl,8)t且 AEA =BA_l +3 B.解 先由A*來確定|A|.由題慰知A 7存在，有A* = | A I A-1,得 |A- l = |A riyrIRA巴而|AJ=8,故I A I =2.再化簡所給矩陣方程 ABA1 =BA +3E=(A - E)BAi=3E- E)B3A=(E-=由 |Al=2tft A-yJjA =ydiag(l,ia,8)=diag|y,y.yt4)t于是解于是19.設(shè) P AP = At其中 P =K