數(shù)學(xué)探究性教學(xué)的基本類型及其教學(xué)實(shí)踐

1、數(shù)學(xué)探究性教學(xué)的基本類型及其教學(xué)實(shí)踐吳國(guó)建(浙江省東陽中學(xué) 322100)內(nèi)容摘要 探究性教學(xué)是當(dāng)前中學(xué)教育教學(xué)改革中的熱門話題。數(shù)學(xué)作為一門科學(xué)，區(qū)別于以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的物理化學(xué)等學(xué)科，數(shù)學(xué)的探究性教學(xué)應(yīng)當(dāng)更為重視數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程、數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程以及數(shù)學(xué)知識(shí)與規(guī)律的應(yīng)用過程。本文在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了數(shù)學(xué)探究性教學(xué)的四種基本類型。關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué) 探究性教學(xué) 基本類型 教學(xué)實(shí)踐 科學(xué)的本質(zhì)是探索未知，科學(xué)的發(fā)現(xiàn)來自于探究過程。數(shù)學(xué)教學(xué)作為科學(xué)發(fā)現(xiàn)在教學(xué)上的一種特殊形式正越來越多地被提倡運(yùn)用探究性教學(xué)。所謂探究性教學(xué)是指教師在課堂中巧妙地組織教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自主地參與教學(xué)、獲取知識(shí)，促使學(xué)生加深

2、對(duì)知識(shí)的體驗(yàn)，幫助學(xué)生逐步形成研究科學(xué)的積極態(tài)度，掌握研究科學(xué)的基本方法，提高研究科學(xué)所必須的探究能力。Westbook. S. L. &Rogers. L. N. (1994)等人通過對(duì)探究學(xué)習(xí)的作用以及如何進(jìn)行探究性教學(xué)等進(jìn)行深入的研究，發(fā)現(xiàn)進(jìn)行探究性教學(xué)不僅可以提高學(xué)生的認(rèn)知水平，而且有助于學(xué)生理解和掌握科學(xué)的方法，培養(yǎng)科學(xué)的態(tài)度。 數(shù)學(xué)，從本質(zhì)上講，是整個(gè)現(xiàn)代科學(xué)的一種文化的精神或理性的基礎(chǔ)構(gòu)成成分。雖然被稱之為科學(xué)，但其含義與一般理解的探索客觀世界物質(zhì)運(yùn)動(dòng)機(jī)理的科學(xué)（如物理化學(xué)等)是迥然不同的，數(shù)學(xué)科學(xué)從本質(zhì)而言，不能理解為與眾多科學(xué)中并列的一門學(xué)科。因此，數(shù)學(xué)探究性教學(xué)也應(yīng)當(dāng)區(qū)別于

3、物理化學(xué)等的實(shí)驗(yàn)探究為主而更為重視數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程、規(guī)律及其應(yīng)用的探究。 本文擬結(jié)合筆者的教學(xué)實(shí)踐從教學(xué)內(nèi)容的組織與選擇闡述數(shù)學(xué)探究性教學(xué)的幾種基本類型。類型一：對(duì)知識(shí)形成過程的探究 建構(gòu)主義教學(xué)理論指出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非是一個(gè)被動(dòng)的接受過程，而是一個(gè)主動(dòng)的建構(gòu)過程。數(shù)學(xué)知識(shí)不能從一個(gè)人遷移到另外一個(gè)人，一個(gè)人的數(shù)學(xué)知識(shí)必須基于個(gè)人對(duì)經(jīng)驗(yàn)的操作、交流通過反省來主動(dòng)建構(gòu)。這就是說教師所教的數(shù)學(xué)，必須經(jīng)過學(xué)生的主體感知、消化、改造，使之適合他們自己的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，才能被理解掌握。這就意味著，作為數(shù)學(xué)探究性教學(xué)必須在課堂中充分暴露教師的思維過程，充分展現(xiàn)知識(shí)的形成過程，讓學(xué)生在兩種過程的認(rèn)同與體驗(yàn)中建構(gòu)知

4、識(shí)。例1：點(diǎn)到直線的距離公式探究。解析幾何教材40頁“點(diǎn)到直線的距離”一節(jié)內(nèi)容是該章的一個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn)之一。教材開門見山地提出了已知點(diǎn)P(x0, y0)和直線l：Ax + By + C = 0怎樣求點(diǎn)P到直線l的距離的問題，然后進(jìn)行分析和求證。雖然所要傳授的知識(shí)與方法直接了當(dāng)，一目了然，但是這樣的編排并不符合學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的心理順序。在課堂教學(xué)中，我們可以通過如下處理，將教材內(nèi)容重組成探究問題系列：?jiǎn)栴}1. 已知l1 / l2且l1：y = kx + b1，l2：y = kx + b2，求l1l2的距離d.(利用圖形，求得 d = | RQ | | cosa | = d = | RQ | |

5、cosq | =d = | RQ | | cos(p-a) | = 問題2：如何將兩平行線之間的距離公式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離公式。(根據(jù)平行線之間的距離處處相等，在l1任取一點(diǎn)P(x0, y0)，y0 = kx0 + b1 b1 = y0 - kx0 代入公式 得 d = )問題3：已知點(diǎn)P(x0, y0) 直線y = kx + b，求點(diǎn)P到l的距離。 ( d = ，將 b2改為b即可)問題4：已知點(diǎn)P(x0, y0)，直線l：Ax + By + C = 0，求點(diǎn)P到l的距離。 (令k = - 、b = - 代入公式整理即得 d = 最后補(bǔ)充說明以上結(jié)論當(dāng)B=0時(shí)公式同樣成立) 類型二：對(duì)學(xué)生

6、未知數(shù)學(xué)規(guī)律的探究 規(guī)律的探索過程起到將知識(shí)之間建立聯(lián)系，打通思維通道的作用。數(shù)學(xué)探究性教學(xué)選擇組織的內(nèi)容，雖然早已被科學(xué)家們所論證和應(yīng)用，但是對(duì)學(xué)生而言，應(yīng)當(dāng)是新的內(nèi)容，尤其是一些一般性數(shù)學(xué)規(guī)律的探究，可以使原來一些知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)成線狀網(wǎng)狀，從而優(yōu)化學(xué)生當(dāng)前已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)。在一般性規(guī)律的探究中，教師一定要啟發(fā)學(xué)生通過對(duì)比、歸納、分析等方法獨(dú)立完成，探究的過程既進(jìn)行了思維訓(xùn)練又進(jìn)行了辯論唯物主義普遍聯(lián)系觀的教育，真正實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)作為文化的育人功能。例2：對(duì)稱問題的探究。 對(duì)稱問題是數(shù)學(xué)中最能體現(xiàn)其美育功能的內(nèi)容之一，對(duì)稱問題的研究不僅有助于提高學(xué)生分析問題解決問題的能力，而且有助于更好地培養(yǎng)學(xué)生形成

7、健康的審美觀，樹立正確的世界觀，這樣的內(nèi)容我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中應(yīng)予以足夠重視。但是，教材中對(duì)稱問題的敘述是極其零碎、離散的，這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中引導(dǎo)學(xué)生在不同類型對(duì)稱問題解決的經(jīng)驗(yàn)之上，從教材點(diǎn)點(diǎn)滴滴的分布中探究歸納出一般性的對(duì)稱規(guī)律，并能運(yùn)用規(guī)律性的結(jié)論解決相關(guān)問題。具體而言，對(duì)稱問題的教學(xué)可以通過探究以下一系列問題而完成。問題1 試結(jié)合圖象求出點(diǎn)P(x0, y0)關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸、直線y=x、直線y= -x的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。歸納：對(duì)稱問題分為二類：一是關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，稱為中心對(duì)稱；二是關(guān)于直線的對(duì)稱，稱為軸對(duì)稱。問題2 求點(diǎn)P(x0, y0)關(guān)于A(a, b)的對(duì)稱點(diǎn)P(x, y)的坐標(biāo)。歸納

8、：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題可以通過中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得：?jiǎn)栴}3 已知曲線C：f(x, y) = 0，求曲線C關(guān)于點(diǎn)A(a, b)的對(duì)稱曲線C的方程。分析：設(shè)P(x0, y0)為曲線C上任意一點(diǎn)，它關(guān)于點(diǎn)A(a, b)的對(duì)稱點(diǎn)為P(x, y)則有，而P(x0, y0)在曲線C上，故有f(x0, y0) = 0 即 f(2a-x, 2b-y)= 0 即為C的方程。特殊地，當(dāng)a=b=0時(shí) f(x, y) = 0 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱曲線為f(-x, -y) = 0。歸納：曲線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題可以轉(zhuǎn)化為曲線上的任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題來解決。解題流程圖如下：曲 線C 曲線CP點(diǎn)在曲線C上 任取一點(diǎn)P(x0, y0)

9、P(x, y)問題4 已知點(diǎn)P(x0, y0)，直線l：Ax + By + C = 0，求點(diǎn)P關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)P(x, y)的坐標(biāo)。分析：P、P關(guān)于直線l對(duì)稱滿足下列條件(1) 直線PP與l垂直(2) P、P的中點(diǎn)在l上即P(x, y)坐標(biāo)滿足 由此可解出 x，y歸納：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題的求解可抓住“中、垂”二字來列式求解：(1) 中(中點(diǎn))，指中點(diǎn)坐標(biāo)公式代入；(2) 垂(垂直)，指斜率之積為-1。問題5 已知曲線C：f(x, y) = 0，直線Ax + By + C = 0，求曲線C關(guān)于l的對(duì)稱曲線C的方程。分析：設(shè)P(x, y)為C上任意一點(diǎn)，P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為P(x0, y0)

10、由上述(4)的方法解出x0, y0，而P(x0, y0)在曲線C上，故f(x0, y0) = 0 即得到曲線C的方程。歸納：曲線關(guān)于直線的對(duì)稱問題和曲線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題類似，可以轉(zhuǎn)化為曲線上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題來解決，解題流程圖如下：曲 線C 曲線CP點(diǎn)在曲線C上 任取一點(diǎn)P(x0, y0) P(x, y)類型三：已知數(shù)學(xué)知識(shí)與規(guī)律的應(yīng)用探究 作為數(shù)學(xué)的首要功能之一，應(yīng)用既是知識(shí)的溫習(xí)和鞏固過程，又是知識(shí)的創(chuàng)新過程和認(rèn)識(shí)的飛躍過程，是思維中的最積極活躍的過程。因此，這一過程的探究應(yīng)當(dāng)作為數(shù)學(xué)探究性教學(xué)的重點(diǎn)。在教學(xué)中，一定要改變過去從教師那里學(xué)習(xí)如何應(yīng)用的被動(dòng)方式，變?yōu)榻處熢O(shè)計(jì)問題或?qū)W生

11、在實(shí)踐中歸納出主題，并從實(shí)踐中提出自己的觀點(diǎn)，總結(jié)出新方法的主要學(xué)習(xí)過程。教師典型引路，指出研究方向，學(xué)生通過查閱文獻(xiàn)、討論、思考和歸納，寫出研究小論文并采用多種形式公開交流，互相借鑒。例3：分比l在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探究點(diǎn)P分所成的比l的有關(guān)內(nèi)容的教學(xué)是在解析幾何第一章完成的，解幾教材中涉及到的有關(guān)l的應(yīng)用篇幅非常有限，但是分比l的用途十分廣泛，如何巧妙利用l來解題是一個(gè)值得深入探究的問題。在高三的復(fù)習(xí)教學(xué)中，筆者曾要求任教班級(jí)學(xué)生去查閱有關(guān)文獻(xiàn)，探究歸納l在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)的解題應(yīng)用，允許學(xué)生相互合作，共同完成。結(jié)果，在全班學(xué)生的努力下，挖掘出了l的許多巧妙應(yīng)用。以下是利用l來解代數(shù)題的幾個(gè)應(yīng)用舉

12、例。應(yīng)用一、求函數(shù)的值域例 求函數(shù)y= 的值域.解：設(shè)-1、sinx、2分別是P1、P、P2在數(shù)軸上的坐標(biāo)，則y= = =l 因 -1sinx1結(jié)合數(shù)軸可知 當(dāng)| P1P | 在13變化時(shí) | PP2 |相應(yīng)的在31變化。 l，3 即y, 3應(yīng)用二、解不等式例：解不等式 log0.5(x2 -2x-15) log0.5(x+13)解：原不等式等價(jià)于0 x2 -2x 15 0 而l= = = - 0畫根軸得，原不等式的解集為 x | 4 x -3或5 x 7 應(yīng)用三、證明不等式例：關(guān)于x的二次方程x2 + ax + b = 0 有兩個(gè)實(shí)根a、b，其中a、bR，證明(1) 如果| a | 2、|

13、b | 2，求證：2| a | 4 + b 且 | b | 4(2) 如果 2 | a | 4 + b、| b | 4，求證：| a | 2，| b | 2證明：由韋達(dá)定理a+b= -a，ab=b設(shè)數(shù)-4-b、2a、4+b分別是P1、P、P2在數(shù)軸上的坐標(biāo)(1)要證2| a | 4 + b 只需證 -4-a 2a 0 ( | a | 2，| b | 2 ) 顯然 | b | = | a | | b | 4(2)當(dāng)|2a| 4+b時(shí) 即-4-b 2a 0 仿(1)可知 0即(2-a)(2-b)(2+a)(2+b)0 (4-a2)(4-b2)0因此有a24，b24，b2 4 則與|ab|=| b

14、| 4矛盾)即| a | 2，| b | 2)類型四：跨學(xué)科的綜合應(yīng)用探究 華羅庚先生曾經(jīng)說過：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各個(gè)方面無不有數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)。21世紀(jì)是交叉學(xué)科邊緣學(xué)科興起并蓬勃發(fā)展、學(xué)科相互滲透、互相結(jié)合的整體發(fā)展時(shí)代，培養(yǎng)學(xué)生的融合意識(shí)和知識(shí)的整合能力，是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要使命。在數(shù)學(xué)探究性教學(xué)過程中，教師必須放手讓學(xué)生利用自己的知識(shí)儲(chǔ)備和各種信息，自己悟出數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系，從而達(dá)到促進(jìn)智育發(fā)展，提高學(xué)習(xí)研究能力的目的。例4：函數(shù)與方程思想在物理學(xué)中的應(yīng)用探究。函數(shù)是數(shù)學(xué)最基本的概念，函數(shù)與方程思想貫穿著整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的全過程，函

15、數(shù)與方程思想在其他科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用十分具體而廣泛。加強(qiáng)函數(shù)與方程思想在其他科學(xué)領(lǐng)域的教學(xué)，將大大拓寬學(xué)生對(duì)函數(shù)與方程思想認(rèn)識(shí)的視野，不斷加深學(xué)生對(duì)函數(shù)與方程思想的體驗(yàn)，從而更有利于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu)。以下是兩個(gè)函數(shù)與方程思想在物理學(xué)中的應(yīng)用范例：應(yīng)用一、氣態(tài)方程問題一定質(zhì)量的理想氣體，從狀態(tài)A沿直線AB變化到B狀態(tài)，如圖所示，已知在狀態(tài)A時(shí)氣體溫度為27，試求此變化過程中氣體溫度的最高值為多少？解法一：用一次函數(shù)求解設(shè)氣體在某一狀態(tài)C時(shí)的溫度、壓強(qiáng)和體積分別為T、P和V，則圖中直線AB為一次函數(shù)P= -V+4的圖象，故得PV=(4-V)V= -(V-2)2 +4 即當(dāng)V=2時(shí) 乘積PV有最大值

16、4.以此代入氣態(tài)方程= 可解得此過程中氣體最高溫度為Tmax=400K 即t=127解法二、用二次函數(shù)配方法求解依據(jù)氣態(tài)方程得 = 代入數(shù)值有T= 100V2 + 400V = 400-(10V-20)2可知當(dāng)10V-20=0 即V=2時(shí)氣體的最高溫度 Tmax=400K解法三、用二次方程判別式求解考慮T= -100V2 + 400VD=b2 - 4ac = 4002 - 400T0T400 故 Tmax=400K .應(yīng)用二、電路問題電阻連結(jié)成圖示的電路，放在一個(gè)箱子中(虛框所示)箱面上有三個(gè)接線柱A、B、C的測(cè)量，確定各個(gè)電阻的阻值。要求寫出實(shí)驗(yàn)步驟并用所測(cè)值表示電阻R1、R2、R3。解：實(shí)

17、驗(yàn)步驟如下：(1)測(cè)出A、B兩點(diǎn)間的電阻值X (2)測(cè)出B、C兩點(diǎn)間的電阻值Y (3)測(cè)出A、C兩點(diǎn)間的電阻值Z則有= + (1) = + (2) = + (3)令：=D1，=D2，=D3 可得 =D1 + 即：D2 + D3 = (D1D2 + D2D3 + D3D1)x(4) = D3 + 即：D1 + D2 = (D1D2 + D2D3 + D3D1)y(5) = D2 + 即：D1 + D2 = (D1D2 + D2D3 + D3D1)z(6)將(4) (5) (6)三式相加得：D1 + D2 + D3 = (x + y + z)(D1D2 + D2D3 + D3D1)(7)用(7)式將減去(4) (5) (6)三式得：D1 = (y + z - x)(D1D2 + D2D3 + D3D1)(8)D2 = (z + x - y)(D1D2 + D2D3 + D3D1)(9)D3 = (x + y - z)(D1D2 + D2D3 + D3D1)(10)聯(lián)立(8) (9) (10)三式求解得：R1 = = + 2(xy + yz + zx) - x2 - y2 - z2 R2，R3相類似可得。說明：以上兩題充分運(yùn)用了函數(shù)與