數(shù)學探究性教學的基本類型及其教學實踐

1、數(shù)學探究性教學的基本類型及其教學實踐吳國建(浙江省東陽中學 322100)內容摘要 探究性教學是當前中學教育教學改革中的熱門話題。數(shù)學作為一門科學，區(qū)別于以實驗為基礎的物理化學等學科，數(shù)學的探究性教學應當更為重視數(shù)學知識的形成過程、數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)過程以及數(shù)學知識與規(guī)律的應用過程。本文在教學實踐的基礎上提出了數(shù)學探究性教學的四種基本類型。關鍵詞 數(shù)學 探究性教學 基本類型 教學實踐 科學的本質是探索未知，科學的發(fā)現(xiàn)來自于探究過程。數(shù)學教學作為科學發(fā)現(xiàn)在教學上的一種特殊形式正越來越多地被提倡運用探究性教學。所謂探究性教學是指教師在課堂中巧妙地組織教學，引導學生自主地參與教學、獲取知識，促使學生加深

2、對知識的體驗，幫助學生逐步形成研究科學的積極態(tài)度，掌握研究科學的基本方法，提高研究科學所必須的探究能力。Westbook. S. L. &Rogers. L. N. (1994)等人通過對探究學習的作用以及如何進行探究性教學等進行深入的研究，發(fā)現(xiàn)進行探究性教學不僅可以提高學生的認知水平，而且有助于學生理解和掌握科學的方法，培養(yǎng)科學的態(tài)度。 數(shù)學，從本質上講，是整個現(xiàn)代科學的一種文化的精神或理性的基礎構成成分。雖然被稱之為科學，但其含義與一般理解的探索客觀世界物質運動機理的科學（如物理化學等)是迥然不同的，數(shù)學科學從本質而言，不能理解為與眾多科學中并列的一門學科。因此，數(shù)學探究性教學也應當區(qū)別于

3、物理化學等的實驗探究為主而更為重視數(shù)學知識的形成過程、規(guī)律及其應用的探究。 本文擬結合筆者的教學實踐從教學內容的組織與選擇闡述數(shù)學探究性教學的幾種基本類型。類型一：對知識形成過程的探究 建構主義教學理論指出，數(shù)學學習并非是一個被動的接受過程，而是一個主動的建構過程。數(shù)學知識不能從一個人遷移到另外一個人，一個人的數(shù)學知識必須基于個人對經驗的操作、交流通過反省來主動建構。這就是說教師所教的數(shù)學，必須經過學生的主體感知、消化、改造，使之適合他們自己的數(shù)學結構，才能被理解掌握。這就意味著，作為數(shù)學探究性教學必須在課堂中充分暴露教師的思維過程，充分展現(xiàn)知識的形成過程，讓學生在兩種過程的認同與體驗中建構知

4、識。例1：點到直線的距離公式探究。解析幾何教材40頁“點到直線的距離”一節(jié)內容是該章的一個重點，也是難點之一。教材開門見山地提出了已知點P(x0, y0)和直線l：Ax + By + C = 0怎樣求點P到直線l的距離的問題，然后進行分析和求證。雖然所要傳授的知識與方法直接了當，一目了然，但是這樣的編排并不符合學生建構知識的心理順序。在課堂教學中，我們可以通過如下處理，將教材內容重組成探究問題系列：問題1. 已知l1 / l2且l1：y = kx + b1，l2：y = kx + b2，求l1l2的距離d.(利用圖形，求得 d = | RQ | | cosa | = d = | RQ | |

5、cosq | =d = | RQ | | cos(p-a) | = 問題2：如何將兩平行線之間的距離公式轉化為點到直線的距離公式。(根據(jù)平行線之間的距離處處相等，在l1任取一點P(x0, y0)，y0 = kx0 + b1 b1 = y0 - kx0 代入公式 得 d = )問題3：已知點P(x0, y0) 直線y = kx + b，求點P到l的距離。 ( d = ，將 b2改為b即可)問題4：已知點P(x0, y0)，直線l：Ax + By + C = 0，求點P到l的距離。 (令k = - 、b = - 代入公式整理即得 d = 最后補充說明以上結論當B=0時公式同樣成立) 類型二：對學生

6、未知數(shù)學規(guī)律的探究 規(guī)律的探索過程起到將知識之間建立聯(lián)系，打通思維通道的作用。數(shù)學探究性教學選擇組織的內容，雖然早已被科學家們所論證和應用，但是對學生而言，應當是新的內容，尤其是一些一般性數(shù)學規(guī)律的探究，可以使原來一些知識點串聯(lián)成線狀網狀，從而優(yōu)化學生當前已有的知識結構。在一般性規(guī)律的探究中，教師一定要啟發(fā)學生通過對比、歸納、分析等方法獨立完成，探究的過程既進行了思維訓練又進行了辯論唯物主義普遍聯(lián)系觀的教育，真正實現(xiàn)了數(shù)學作為文化的育人功能。例2：對稱問題的探究。 對稱問題是數(shù)學中最能體現(xiàn)其美育功能的內容之一，對稱問題的研究不僅有助于提高學生分析問題解決問題的能力，而且有助于更好地培養(yǎng)學生形成

7、健康的審美觀，樹立正確的世界觀，這樣的內容我們在平時教學中應予以足夠重視。但是，教材中對稱問題的敘述是極其零碎、離散的，這就要求我們在教學中引導學生在不同類型對稱問題解決的經驗之上，從教材點點滴滴的分布中探究歸納出一般性的對稱規(guī)律，并能運用規(guī)律性的結論解決相關問題。具體而言，對稱問題的教學可以通過探究以下一系列問題而完成。問題1 試結合圖象求出點P(x0, y0)關于原點、x軸、y軸、直線y=x、直線y= -x的對稱點的坐標。歸納：對稱問題分為二類：一是關于點的對稱，稱為中心對稱；二是關于直線的對稱，稱為軸對稱。問題2 求點P(x0, y0)關于A(a, b)的對稱點P(x, y)的坐標。歸納

8、：點關于點的對稱問題可以通過中點坐標公式求得：問題3 已知曲線C：f(x, y) = 0，求曲線C關于點A(a, b)的對稱曲線C的方程。分析：設P(x0, y0)為曲線C上任意一點，它關于點A(a, b)的對稱點為P(x, y)則有，而P(x0, y0)在曲線C上，故有f(x0, y0) = 0 即 f(2a-x, 2b-y)= 0 即為C的方程。特殊地，當a=b=0時 f(x, y) = 0 關于原點的對稱曲線為f(-x, -y) = 0。歸納：曲線關于點的對稱問題可以轉化為曲線上的任意一點關于點的對稱問題來解決。解題流程圖如下：曲 線C 曲線CP點在曲線C上 任取一點P(x0, y0)

9、P(x, y)問題4 已知點P(x0, y0)，直線l：Ax + By + C = 0，求點P關于l的對稱點P(x, y)的坐標。分析：P、P關于直線l對稱滿足下列條件(1) 直線PP與l垂直(2) P、P的中點在l上即P(x, y)坐標滿足 由此可解出 x，y歸納：點與點關于直線的對稱問題的求解可抓住“中、垂”二字來列式求解：(1) 中(中點)，指中點坐標公式代入；(2) 垂(垂直)，指斜率之積為-1。問題5 已知曲線C：f(x, y) = 0，直線Ax + By + C = 0，求曲線C關于l的對稱曲線C的方程。分析：設P(x, y)為C上任意一點，P關于直線l的對稱點為P(x0, y0)

10、由上述(4)的方法解出x0, y0，而P(x0, y0)在曲線C上，故f(x0, y0) = 0 即得到曲線C的方程。歸納：曲線關于直線的對稱問題和曲線關于點的對稱問題類似，可以轉化為曲線上任意一點關于直線的對稱問題來解決，解題流程圖如下：曲 線C 曲線CP點在曲線C上 任取一點P(x0, y0) P(x, y)類型三：已知數(shù)學知識與規(guī)律的應用探究 作為數(shù)學的首要功能之一，應用既是知識的溫習和鞏固過程，又是知識的創(chuàng)新過程和認識的飛躍過程，是思維中的最積極活躍的過程。因此，這一過程的探究應當作為數(shù)學探究性教學的重點。在教學中，一定要改變過去從教師那里學習如何應用的被動方式，變?yōu)榻處熢O計問題或學生

11、在實踐中歸納出主題，并從實踐中提出自己的觀點，總結出新方法的主要學習過程。教師典型引路，指出研究方向，學生通過查閱文獻、討論、思考和歸納，寫出研究小論文并采用多種形式公開交流，互相借鑒。例3：分比l在數(shù)學解題中的應用探究點P分所成的比l的有關內容的教學是在解析幾何第一章完成的，解幾教材中涉及到的有關l的應用篇幅非常有限，但是分比l的用途十分廣泛，如何巧妙利用l來解題是一個值得深入探究的問題。在高三的復習教學中，筆者曾要求任教班級學生去查閱有關文獻，探究歸納l在數(shù)學學科內的解題應用，允許學生相互合作，共同完成。結果，在全班學生的努力下，挖掘出了l的許多巧妙應用。以下是利用l來解代數(shù)題的幾個應用舉

12、例。應用一、求函數(shù)的值域例 求函數(shù)y= 的值域.解：設-1、sinx、2分別是P1、P、P2在數(shù)軸上的坐標，則y= = =l 因 -1sinx1結合數(shù)軸可知 當| P1P | 在13變化時 | PP2 |相應的在31變化。 l，3 即y, 3應用二、解不等式例：解不等式 log0.5(x2 -2x-15) log0.5(x+13)解：原不等式等價于0 x2 -2x 15 0 而l= = = - 0畫根軸得，原不等式的解集為 x | 4 x -3或5 x 7 應用三、證明不等式例：關于x的二次方程x2 + ax + b = 0 有兩個實根a、b，其中a、bR，證明(1) 如果| a | 2、|

13、b | 2，求證：2| a | 4 + b 且 | b | 4(2) 如果 2 | a | 4 + b、| b | 4，求證：| a | 2，| b | 2證明：由韋達定理a+b= -a，ab=b設數(shù)-4-b、2a、4+b分別是P1、P、P2在數(shù)軸上的坐標(1)要證2| a | 4 + b 只需證 -4-a 2a 0 ( | a | 2，| b | 2 ) 顯然 | b | = | a | | b | 4(2)當|2a| 4+b時 即-4-b 2a 0 仿(1)可知 0即(2-a)(2-b)(2+a)(2+b)0 (4-a2)(4-b2)0因此有a24，b24，b2 4 則與|ab|=| b

14、| 4矛盾)即| a | 2，| b | 2)類型四：跨學科的綜合應用探究 華羅庚先生曾經說過：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各個方面無不有數(shù)學的貢獻。21世紀是交叉學科邊緣學科興起并蓬勃發(fā)展、學科相互滲透、互相結合的整體發(fā)展時代，培養(yǎng)學生的融合意識和知識的整合能力，是中學數(shù)學教學的重要使命。在數(shù)學探究性教學過程中，教師必須放手讓學生利用自己的知識儲備和各種信息，自己悟出數(shù)學與其他學科的聯(lián)系，從而達到促進智育發(fā)展，提高學習研究能力的目的。例4：函數(shù)與方程思想在物理學中的應用探究。函數(shù)是數(shù)學最基本的概念，函數(shù)與方程思想貫穿著整個中學數(shù)學教育教學的全過程，函

15、數(shù)與方程思想在其他科學領域的應用十分具體而廣泛。加強函數(shù)與方程思想在其他科學領域的教學，將大大拓寬學生對函數(shù)與方程思想認識的視野，不斷加深學生對函數(shù)與方程思想的體驗，從而更有利于對數(shù)學知識的主動建構。以下是兩個函數(shù)與方程思想在物理學中的應用范例：應用一、氣態(tài)方程問題一定質量的理想氣體，從狀態(tài)A沿直線AB變化到B狀態(tài)，如圖所示，已知在狀態(tài)A時氣體溫度為27，試求此變化過程中氣體溫度的最高值為多少？解法一：用一次函數(shù)求解設氣體在某一狀態(tài)C時的溫度、壓強和體積分別為T、P和V，則圖中直線AB為一次函數(shù)P= -V+4的圖象，故得PV=(4-V)V= -(V-2)2 +4 即當V=2時 乘積PV有最大值

16、4.以此代入氣態(tài)方程= 可解得此過程中氣體最高溫度為Tmax=400K 即t=127解法二、用二次函數(shù)配方法求解依據(jù)氣態(tài)方程得 = 代入數(shù)值有T= 100V2 + 400V = 400-(10V-20)2可知當10V-20=0 即V=2時氣體的最高溫度 Tmax=400K解法三、用二次方程判別式求解考慮T= -100V2 + 400VD=b2 - 4ac = 4002 - 400T0T400 故 Tmax=400K .應用二、電路問題電阻連結成圖示的電路，放在一個箱子中(虛框所示)箱面上有三個接線柱A、B、C的測量，確定各個電阻的阻值。要求寫出實驗步驟并用所測值表示電阻R1、R2、R3。解：實

17、驗步驟如下：(1)測出A、B兩點間的電阻值X (2)測出B、C兩點間的電阻值Y (3)測出A、C兩點間的電阻值Z則有= + (1) = + (2) = + (3)令：=D1，=D2，=D3 可得 =D1 + 即：D2 + D3 = (D1D2 + D2D3 + D3D1)x(4) = D3 + 即：D1 + D2 = (D1D2 + D2D3 + D3D1)y(5) = D2 + 即：D1 + D2 = (D1D2 + D2D3 + D3D1)z(6)將(4) (5) (6)三式相加得：D1 + D2 + D3 = (x + y + z)(D1D2 + D2D3 + D3D1)(7)用(7)式將減去(4) (5) (6)三式得：D1 = (y + z - x)(D1D2 + D2D3 + D3D1)(8)D2 = (z + x - y)(D1D2 + D2D3 + D3D1)(9)D3 = (x + y - z)(D1D2 + D2D3 + D3D1)(10)聯(lián)立(8) (9) (10)三式求解得：R1 = = + 2(xy + yz + zx) - x2 - y2 - z2 R2，R3相類似可得。說明：以上兩題充分運用了函數(shù)與