傅里葉變換及拉普拉斯變換的比較研究

1、學(xué)號1109141006 論 文課 題 ： 拉氏變換和傅里葉變換的關(guān)系 學(xué)生姓名 ：陳興宇 院 系 ： 電氣工程學(xué)院 專業(yè)班級 ： 2011級電氣工程及其自動化（1）班 指導(dǎo)教師 ： 董德智 二0一三年六月1 傅里葉變換與拉普拉斯變換簡介21.1 傅里葉變換21.1.1 傅里葉變換的歷史由來21.1.2 傅里葉變換的定義21.1.3 傅里葉變換與逆變換的性質(zhì)31.2 拉普拉斯變換41.2.1 拉普拉斯變換的歷史由來51.2.2 拉普拉斯變換的定義51.2.3 拉普拉斯變換與逆變換的性質(zhì)61.3 小結(jié)72 傅氏變換與拉氏變換的比較研究72.1 兩種積分變換在求解廣義積分中的應(yīng)用72.2 兩種積分

2、變換在求解積分、微分方程中的應(yīng)用102.3 兩種積分變換在求解偏微分方程中的應(yīng)用122.4 兩種積分變換在電路理論中的應(yīng)用163 總結(jié)20參考文獻(xiàn)231 傅里葉變換與拉普拉斯變換簡介人們在處理與分析工程實(shí)際中的一些問題時(shí)，常常采取某種手段將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從另一個角度進(jìn)行處理與分析，這就是所謂的變換。在數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)等領(lǐng)域中應(yīng)用最多的是傅里葉變換與拉普拉斯變換。下面對傅氏變換與拉氏變換進(jìn)行簡單的介紹。1.1 傅里葉變換1.1.1 傅里葉變換的歷史由來17世紀(jì)和18世紀(jì)，在牛頓和萊布尼茨等科學(xué)巨人的推動下，數(shù)學(xué)獲得了飛速的發(fā)展。隨著函數(shù)、極限、微積分和級數(shù)理論的創(chuàng)立，法國數(shù)學(xué)家傅里葉在研究熱

3、傳導(dǎo)問題時(shí)發(fā)表了熱的解析理論的論文，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉變換的理論基礎(chǔ)。其后，泊松、高斯等人最早把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去。時(shí)至今日，傅里葉分析法不僅廣泛應(yīng)用與電力工程、通信和控制領(lǐng)域中，而且在力學(xué)、光學(xué)、量子物理和各種線性系統(tǒng)分析等許多有關(guān)數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域中都得到了廣泛而普遍的應(yīng)用。1.1.2 傅里葉變換的定義由數(shù)學(xué)物理方法課程的知識可知，對于上的非周期函數(shù)有如下的傅里葉積分定理：設(shè)在上有定義，且在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件（即連續(xù)或有有限個第一類間斷點(diǎn)，并且只有有限個極值點(diǎn)）；在無限區(qū)間上絕對可積，即則有傅里葉積分公式 (1-1)在的連續(xù)點(diǎn)處成

4、立，而在的第一類間斷點(diǎn)處，右邊的積分應(yīng)以代替。在傅里葉積分公式(1-1)中，若令 (1-2)則 (1-3)從(1-2)、(1-3)兩式可以看出和可以通過積分運(yùn)算相互表達(dá)。(1-2)式叫做的傅里葉變換式，可記為：叫做的像函數(shù)。(1-3)式叫做的傅里葉逆變換式，可記為叫做的像原函數(shù)。1.1.3 傅里葉變換與逆變換的性質(zhì)下面來介紹傅里葉變換的幾個基本性質(zhì)(假定在這些性質(zhì)中，凡是需要求傅里葉變換的函數(shù)都滿足傅里葉積分定理中的條件)：1) 線性性質(zhì)：設(shè)，是常數(shù)，則同樣，對傅里葉逆變換也有類似的線性性質(zhì)，即2) 位移性質(zhì)設(shè)為任意常數(shù)，則同樣，傅里葉逆變換也具有類似的位移性質(zhì)，即3) 延遲性質(zhì)設(shè)為任意常數(shù)，

5、則4) 微分性質(zhì)若則一般地，若 ，則同樣，像函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為，一般地，有5) 積分性質(zhì)設(shè)，若時(shí)，則6) 卷積定理已知函數(shù)和，則定義積分為函數(shù)和的卷積，記為，即假定，都滿足傅里葉積分定理中的條件，且，則有上式稱之為卷積定理。1.2 拉普拉斯變換1.2.1 拉普拉斯變換的歷史由來19世紀(jì)末，英國工程師赫維賽德發(fā)明了“運(yùn)算法”（算子法）解決電工程計(jì)算中遇到的一些基本問題。他所進(jìn)行的工作成為拉普拉斯變換方法的先驅(qū)。赫維賽德的方法很快地被許多人采用，但是缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)驗(yàn)證，曾經(jīng)受到某些數(shù)學(xué)家的譴責(zé)。而赫維賽德以及另一些追隨他的學(xué)者（例如卡爾遜、布羅姆維奇等人）堅(jiān)信這一方法的正確性，繼續(xù)堅(jiān)持不懈地深入研究

6、。后來，人們終于在法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯的著作中為赫維賽德運(yùn)算法找到了可靠的數(shù)學(xué)依據(jù)，重新給予嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定義，為之取名拉普拉斯變換（簡稱拉氏變換）方法。1.2.2 拉普拉斯變換的定義從數(shù)學(xué)物理方法課程中我們知道，任意函數(shù)（在時(shí)），的拉普拉斯變換為： （1-4)其逆變換為： （1-5）函數(shù)稱為的像函數(shù)，稱為的像原函數(shù)。函數(shù)的拉普拉斯變換實(shí)際上是一種特殊的傅里葉變換。拉氏變換的存在條件，要滿足下述拉普拉斯變換的存在定理：若函數(shù)滿足下列條件：1) 當(dāng)時(shí)，；2) 當(dāng)時(shí)，及除去有限個第一類間斷點(diǎn)以外，處處連續(xù)；3) 當(dāng)時(shí)， 的增長速度不超過某一個指數(shù)函數(shù)，亦即存在常數(shù)及，使得其中，稱為的增長指數(shù)。則的拉氏變

7、換在半平面上存在、解析，且當(dāng) （是任意小的正數(shù)）時(shí)，有1.2.3 拉普拉斯變換與逆變換的性質(zhì)1) 線性性質(zhì)設(shè)，若、是常數(shù)，則有2) 位移性質(zhì)若，則3) 延遲性質(zhì)若，則有4) 微分性質(zhì)若，則有5) 積分性質(zhì)若，則有此外，由拉普拉斯變換存在定理，還可以得到像函數(shù)的積分性質(zhì)： 若，則有6) 卷積定理拉氏變換中的卷積還存在著如下的卷積定理：假定、滿足拉普拉斯變換存在定理中的條件，且，則的拉氏變換一定存在，且一般地，有1.3 小結(jié)由以上可以看出，傅氏變換與拉氏變換有許多相似之處。但從（1.2）中我們也可以看出，用傅里葉變換在求解問題時(shí)，要求所出現(xiàn)的函數(shù)必須在內(nèi)滿足絕對可積（）這個條件。該條件的限制是非常

8、強(qiáng)的，以致于常見的函數(shù)，如常數(shù)、多項(xiàng)式以及三角函數(shù)等，都不能滿足這個條件。另一方面，從（2.2）的拉氏變換存在定理可以看出，拉氏變換所要求的條件是很弱的，常見的函數(shù)都能進(jìn)行拉氏變換，這使得拉氏變換在許多領(lǐng)域中的應(yīng)用極其廣泛。下文我們將對兩種變換的應(yīng)用做一介紹。2 傅氏變換與拉氏變換的比較研究傅立葉變換與拉普拉斯變換在數(shù)學(xué)、物理以及工程技術(shù)等領(lǐng)域中有著極其廣泛的應(yīng)用。由（一）可知兩種變換的性質(zhì)有很多相似之處，故兩者在求解問題時(shí)也會有許多類似。另外，由于傅氏變換的積分區(qū)間為，拉氏變換的積分區(qū)間為，兩者又會在不同的領(lǐng)域中有著各自的應(yīng)用。下面我們通過一些具體的例子對兩種變換的應(yīng)用做一些比較研究。2.1

9、 兩種積分變換在求解廣義積分中的應(yīng)用傅氏變換與拉氏變換都可以用來求解一些用普通方法難以求解的廣義積分，下面舉例說明：例1 求函數(shù)的傅里葉積分表達(dá)式。解：由（1-1）式有當(dāng)時(shí)，傅里葉積分收斂于，根據(jù)以上的結(jié)果可以寫成即由此可以看出，用傅里葉積分表達(dá)式可以推證一些廣義積分的結(jié)果。本題中，取則有，這個就是著名的狄利克雷積分。同樣，拉普拉斯變換也可以用來求解狄利克雷積分。例2 求狄利克雷積分解：引進(jìn)參變量，設(shè)，對其求拉普拉斯變換并交換積分次序，得由積分表可知，則即，取，則有這與（例1）中的結(jié)果是完全相同的。例3 求歐拉-泊松積分分析：該積分的積分區(qū)間是，用拉普拉斯積分變換求解會更加便利解：由達(dá)朗貝爾判

10、別法可知?dú)W拉-泊松積分收斂。引進(jìn)參變量，使其成為的函數(shù)，設(shè)。對取拉氏變換并交換積分次序的，得因?yàn)椋匀。瑒t有由以上幾個例子可以看出，兩種變換都可以用來求解廣義積分，和普通方法相比該方法簡單明了，具有很大的優(yōu)越性。2.2 兩種積分變換在求解積分、微分方程中的應(yīng)用例4 求解積分方程其中都是已知的函數(shù)，且、和的傅里葉變換都存在。分析：該積分方程中的積分區(qū)間是，故首先應(yīng)考慮用傅里葉積分變換法求解。積分項(xiàng)內(nèi)是函數(shù)與的卷積，對方程兩邊取傅氏變換，利用卷積性質(zhì)便可以很方便的求解該問題。解：設(shè)由卷積定義可知。因此對原積分方程兩邊取傅里葉變換，可得因此有由傅里葉逆變換求得原積分方程的解為同樣，應(yīng)用拉普拉斯變換

11、的卷積性質(zhì)也可以用來求解積分方程。例5 求積分方程的解。分析：該積分方程中的積分區(qū)間是，考慮到拉氏變換卷積性質(zhì)中函數(shù)的積分區(qū)間是，故對原方程兩邊取拉普拉斯變換，應(yīng)用相應(yīng)的卷積性質(zhì)便可求出該積分方程的解。解：設(shè)，則有，。對原方程兩邊取拉普拉斯變換，由卷積定理得整理得取其逆變換可得，此即原積分方程的解。例6 求解線性方程組分析：利用傅氏變換與拉氏變換性質(zhì)中的微分性質(zhì)，可以將微分方程轉(zhuǎn)換為像函數(shù)的代數(shù)方程，使得問題得以解決。但是用傅里葉變換求解問題時(shí)，要求所出現(xiàn)的函數(shù)必須在內(nèi)滿足絕對可積（）這個條件。但是本題中的、都不滿足這個條件，故不能用傅氏變換進(jìn)行求解。我們采用拉氏變換對該方程組進(jìn)行求解。解：設(shè)

12、，對方程組進(jìn)行拉氏變換得到解得，拉氏逆變換，故即為原方程組的解。2.3 兩種積分變換在求解偏微分方程中的應(yīng)用利用傅里葉變換和拉普拉斯變換可以用來求解偏微分方程，下面以數(shù)學(xué)物理方法課程中常常碰到的幾種方程進(jìn)行舉例說明。例7 求解無界弦的自由振動分析：對于無界區(qū)域的定解問題，傅里葉變換是一種普遍使用的求解方法。本題中由于弦的區(qū)域是，可以用分離變量發(fā)進(jìn)行求解，也可以用傅里葉變換發(fā)進(jìn)行求解。解：對于將時(shí)間t看作參數(shù)，對進(jìn)行積分，求其傅氏變換并應(yīng)用傅里葉變換的性質(zhì)得到另設(shè)，對原定解問題作傅里葉變換得到方程的通解為，將初始條件代入可求得即再對作傅里葉逆變換，應(yīng)用傅里葉變換的性質(zhì)可得方程的解為這正是數(shù)學(xué)物理

13、方法課程用行波法求解無界弦運(yùn)動的達(dá)朗貝爾公式。對于半無界弦的振動，一般來說用拉普拉斯變換法求解往往比較方便，下面舉例說明：例8 求解半無界弦的振動問題：解：對方程兩邊關(guān)于變量作拉氏變換， 記，利用拉普拉斯變換的微分性質(zhì)及初始條件可得這樣，原定解問題轉(zhuǎn)化為求解含有參數(shù)的常微分方程的邊值問題這里，方程是關(guān)于的一個二階常系數(shù)齊次線性微分方程，該微分方程的通解為，由其邊界條件可得故對上式去拉普拉斯逆變換，利用拉氏變換的延遲性質(zhì)，得到原定解問題的解為例9 利用傅里葉變換求解上半平面無源靜電場內(nèi)電勢的定解問題分析：本題中的偏微分方程稱為二維拉普拉斯方程，它是用來描述穩(wěn)恒過程的，函數(shù)與時(shí)間無關(guān)。由于的變化范

14、圍是，故應(yīng)該考慮用傅氏變換進(jìn)行求解。解：對方程和邊界條件關(guān)于取傅氏變換，記這樣就把求解原定解問題轉(zhuǎn)化為求解含有參數(shù)的常微分方程的邊值問題此二階常系數(shù)線性齊次微分方程通解為代入邊界條件有，由得，因此。故邊值問題的解為再對上式兩端取傅里葉逆變換，借助于傅里葉積分公式，可知。再利用傅里葉變換的卷積性質(zhì)，可得原定解問題的解為由以上幾個例題可以看出，傅里葉變換與拉普拉斯變換都可以用來求解偏微分方程，由于在求解偏微分方程時(shí)兩者都可以將方程化為某個變量的代數(shù)方程，使得問題得以簡化，故兩種積分變換法在求解偏微分方程時(shí)有著重大的意義。2.4 兩種積分變換在電路理論中的應(yīng)用例10 如圖所示的RL電路中，求開關(guān)S閉

15、合后回路中的電流。圖1解：由基爾霍夫電壓定律可得回路方程為代入數(shù)值，化簡為1 該方程是一階非齊次線性微分方程，用高等數(shù)學(xué)的知識進(jìn)行求解的話，要先求出與之對應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解。求解步驟比較繁瑣，這里我們先采用傅里葉變換法進(jìn)行求解。設(shè)，由傅氏變換的微分性質(zhì)可得。又（在時(shí)電壓為0），代入上述方程中得整理得對上式取傅氏逆變換得此即電路中的電流。2 該方程也可以用拉氏變換法進(jìn)行求解。設(shè)，同理由拉氏變換的微分性質(zhì)可得（時(shí)電流）。對化簡后的方程兩邊去拉氏變換，得到整理得再對上式取拉氏逆變換，得到電路中的電流為可以看出用傅氏變換與拉氏變換兩種方法求解的結(jié)果是完全相同的。信號與系統(tǒng)、電路分

16、析等課程中常常會碰到各種信號的問題，一般來說傅里葉變換法適用于對連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析，這種方法也被稱為頻域分析法；而拉普拉斯變換法被稱為系統(tǒng)的復(fù)頻域分析，這種方法的適用范圍更加廣泛，以致于在相當(dāng)長的時(shí)期內(nèi)，人們幾乎無法把電路理論與拉普拉斯變換分開來討論。下面我們再舉兩個用拉氏變換法解決電路問題的例子：例11 如圖所示，電路為完全耦合互感電路，互感量，電阻,電壓，開關(guān)S閉合前。求開關(guān)閉合后電路中的電流。圖2解：由基爾霍夫電壓定律可列出電路的微分方程如下：代入數(shù)據(jù)，得此方程組為二元一階微分方程組，采用高等數(shù)學(xué)的知識很難得出結(jié)果來，這里采用拉氏變換法求解。令，對上述微分方程組兩邊取拉氏變換，考慮到初始

17、條件，可得解得對其取拉氏逆變換，得到電路中的電流為例12 求如圖所示的電路的零狀態(tài)響應(yīng)（即,）的電流。其中，。圖3解：由基爾霍夫電壓定律可得到回路方程為代入數(shù)據(jù)，整理后得到此方程組中既有積分項(xiàng)又有微分項(xiàng)，若用一般的方法進(jìn)行求解會很難得出結(jié)果，此處采用拉氏變換法進(jìn)行求解。設(shè)，。對上述方程組兩邊取拉氏變換，整理得解得對取拉氏逆變換可得到電路的零狀態(tài)響應(yīng)電流為由以上兩個例題可看出，用拉普拉斯變換法解決電路問題簡潔、明了，和一般方法相比顯得十分便捷。3 總結(jié)本文以上內(nèi)容舉例分析了傅里葉變換與拉普拉斯變換在解決問題中的應(yīng)用，兩種變換存在許多相似的地方，也存在一些不同的地方。從（1.2）中我們可以看出，用

18、傅里葉變換在求解問題時(shí)，要求所出現(xiàn)的函數(shù)必須在內(nèi)滿足絕對可積（）這個條件。該條件的限制是非常強(qiáng)的，以致于常見的函數(shù)，如常數(shù)、多項(xiàng)式以及三角函數(shù)等，都不能滿足這個條件。我們按如下方式對傅氏變換進(jìn)行改造：對于任何函數(shù)，我們假定在時(shí)，聯(lián)想到指數(shù)衰減函數(shù)所具有的特點(diǎn)，那么，只要足夠的大，函數(shù)的傅氏變換就有可能存在，即根據(jù)傅氏逆變換得到記 并注意到 于是便可得到以上兩式便是（2.2）中的拉普拉斯變換及其逆變換。由此可以看出，拉氏變換可以看成是一種特殊的傅里葉變換。傅氏變換與拉氏變換存在許多類似之處，如文中所述，都能夠在解決廣義積分、微分積分方程、偏微分方程、電路理論等問題中得到應(yīng)用。但是兩者之間也存在著

19、差異。 從另一個角度講，傅氏變換與拉氏變換相對于兩種不同的積分變換。所謂積分變換，就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)，乘上一個確定的二元函數(shù)，然后計(jì)算積分，即這樣，便變成了另一個函數(shù)類B中的函數(shù)，其中的積分域是確定的。稱為的像函數(shù)，稱為的像原函數(shù)；是和的已知函數(shù)，稱為積分變換的核，的不同形式?jīng)Q定著變換的不同名稱。下面我們列表說明兩者的不同：積分變換名稱積分域積分核定義公式逆變換公式傅里葉變換拉普拉斯變換兩者之間的差異首先表現(xiàn)在積分域上，積分域的不同限制了拉氏變換在某些問題中的應(yīng)用，在處理問題時(shí)首先應(yīng)考慮到這一點(diǎn)。兩者之間的差異在信號處理中的表現(xiàn)得尤為顯著：傅里葉變換將時(shí)域函數(shù)變換為頻域函數(shù)，時(shí)域中的變量

20、和頻域中的變量都是實(shí)數(shù)且有明確的物理意義；而拉普拉斯變換則是將時(shí)域函數(shù)變換為復(fù)頻域函數(shù)。這時(shí)，時(shí)域變量雖是實(shí)數(shù)，但卻是復(fù)數(shù)；與相比較，變量雖稱為“復(fù)頻率”，但其物理意義就不如明確。但是由于常見函數(shù)（例如常數(shù)、三角函數(shù)、多項(xiàng)式等）大多不滿足絕對可積的條件，數(shù)學(xué)上進(jìn)行處理時(shí)要涉及到抽象的廣義函數(shù)函數(shù)，故在電路理論中傅氏變換的應(yīng)用遠(yuǎn)不如拉氏變換的應(yīng)用廣泛。參考文獻(xiàn)1 冷建華.傅里葉變換M.北京:清華大學(xué)出版社,2004：1-2.2 姚端正,梁家寶,數(shù)學(xué)物理方法M.武漢:武漢大學(xué)出版社,1997:213.3 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)M.北京:高等教育出版社,2007:306.4 張?jiān)?工程數(shù)學(xué):積分變換M.北京:高等教育出版社,2003:42-43.5 鄭君里,應(yīng)啟珩,楊為理.信號與系統(tǒng)M.北京:高等教育出版社,2000:173-1746 李紅,謝松法.復(fù)變函數(shù)與積分變換(第三版