必修2空間角與空間距離(理科)

1、空間角和空間距離空間角(1) 兩條異面直線所成的角： 兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O作直線ca，db，我們把直線c和d所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角。 注意：兩條異面直線a，b所成的角的范圍是（0，90兩條異面直線所成的角與點(diǎn)O的選擇位置無關(guān)，這可由前面所講過的“等角定理”直接得出由兩條異面直線所成的角的定義可得出異面直線所成角的一般方法：(i)在空間任取一點(diǎn)，這個點(diǎn)通常是線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)(ii)分別作兩條異面直線的平行線，這個過程通常采用平移的方法來實(shí)現(xiàn)(iii)指出哪一個角為兩條異面直線所成的角(銳角或直角)，這時我們要注意兩條異面直線所成的角的范圍（2）直線與平面

2、所成的角1)直線與平面斜交時，直線與平面所成的角是指這條直線和它在平面上的射影所成的銳角2)直線與平面垂直時，直線與平面所成的角為3)直線與平面平行或在平面內(nèi)時，直線與平面所成的角為 顯然，直線與平面所成的角的范圍為 4）求一條斜線和平面所成的角：做出這條斜線在平面內(nèi)的射影，再確定斜線和射影所成角的大小即可。斜線在平面內(nèi)的射影：從斜線上除斜足外的任意一點(diǎn)向平面引垂線，過斜足和垂足的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影，斜線上任意一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影一定在斜線的射影上。（3）二面角(1)二面角的定義 一條直線出發(fā)的二個半平面所形成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的棱，二個半平面稱為二面角的面(2)二

3、面角的平面角的定義：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角，叫做二面角的平面角注意：二面角的平面角兩邊必須都與棱垂直二面角的平面角的大小是由二面角的兩個面的位置關(guān)系所確定的，與定義中棱上任一點(diǎn)的選擇無關(guān)，也就是二面角的平面角不只一個，但這些平面角的大小是相等的二面角的平面角的范圍是，當(dāng)兩個半平面重合時，；相交時；共面時平面角是直角的二面角叫做直二面角(3)二面角的平面角的確定與求法直接法：這種方法的思路是：先作出二面角的平面角，然后通過解三角形，求出平面角的大小，即為所求的二面角的大小公式法：射影面積公式，如果平面多邊形的面積為S，它在平面內(nèi)的射影

4、面積為，平面多邊形與平面所夾的銳二面角為，那么空間距離（1）兩條異面直線間的距離：兩條異面直線a、b，設(shè)A是a上面某點(diǎn)、B是b上面某點(diǎn)，連接AB，使得aAB，bAB，則直線AB叫做異面直線a和b的公垂線，公垂線段AB的長度叫做異面直線a與b之間的距離。注意：和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線。兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，才是兩條異面直線間的距離，它是確定的值。任意兩條異面直線的公垂線都是存在且唯一的。求兩條異面直線間的距離：先找到公垂線，再確定公垂線短的長度即可。（2）點(diǎn)到平面的距離：平面外一點(diǎn)到平面的距離是從這一點(diǎn)向平面引垂線，這個點(diǎn)和垂足間的距離

5、，叫做這個點(diǎn)到這個平面的距離。 點(diǎn)到平面的距離的確定和求法：直接法：通過做垂線找到這個距離，再算出或確定它的大小即可。等體積法：在某個具體圖形中將這個點(diǎn)到平面的距離視作某個幾何圖形的高，再通過體積變換求出這個幾何圖形的體積，從而算出高確定距離。（3） 與平面平行的直線到平面的距離：一條直線和一個平面平行時，這條直線上任意一點(diǎn)到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離。 求法：轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離。（4）兩平行平面間的距離：如果兩個平面平行，那么其中一個平面上任意一點(diǎn)到另一個平面的距離，叫做這兩個平行平面間的距離。 求法：轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離。典型例題剖析例1已知：a、b是兩條異面直線，直線

6、a上的兩點(diǎn)A、B的距離為6，直線b上的兩點(diǎn)C、D的距離為8，AC、BD的中點(diǎn)分別為M、N，且MN=5求異面直線a、b所成的角例2正方體中，求與平面所成的角.例3.在正四棱柱ABCDABCD中，底面邊長為2，側(cè)棱長為4，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)D到平面BEF的距離例4如圖，已知中，平面ABC，PB與平面ABC成角，求二面角APBC的正弦值例5（2016年新課標(biāo)1）平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，,，則m，n所成角的正弦值為（A） （B） （C） （D）例6.在正方體中，與對角面所成角的大小是（）AB CD例7.在中，AB=AC=5，BC=6，平面ABC，PA=8，則P到

7、BC的距離是（）AB CD在線測試1.如圖，長方體中，分別是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角余弦值是（ ）A. B C D02.平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為 （A） （B）4 （C）4 （D）63.已知正四棱柱中 ，為的中點(diǎn)，則直線與平面的距離為（A） （B） （C） （D）4（2017年新課標(biāo)3）已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為ABC D5. (2015高考新課標(biāo)2)已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB=90,C為該球面上的動點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為( )A36 B.64

8、C.144 D.2566.P是邊長為的正三角ABC所在平面外一點(diǎn)，PAPBPC， E、F是AB和PC的中點(diǎn)，則異面直線PA與EF所成的角為（ ） A B C D 第7題圖7如圖，平面平面，與兩平面、所成的角分別為和。過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為、，則（A） （B） （C） （D）8 已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為（A） （B） （C） （D）9已知球O半徑為1，A、B、C三點(diǎn)都在球面上，A、B兩點(diǎn)和A、C兩點(diǎn)的球面距離都是，B、C兩點(diǎn)的球面距離是，則二面角的大小是（A） （B） （C） （D）10. 【2014大綱高考理第11題】已知二面角為， ，A為垂足，則異面直

9、線與所成角的余弦值為（ ）A B C D11已知正四棱椎的體積為12，底面的對角線為，則側(cè)面與底面所成的二面角為_.12.在正方體ABCD-ABCD中，AC和AB成角為 13. 在正三棱柱中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則與側(cè)面所成的角是_.14.已知點(diǎn)P，A，B，C，D是球O表面上的點(diǎn)，PA平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2正方形,若PA=2,則OAB的面積為_.15.已知正方體中，、分別為的中點(diǎn)，那么異面直線與所成角的余弦值為_.16(2013課標(biāo)全國)已知H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AHHB12，AB平面，H為垂足，截球O所得截面的面積為，則球O的表面積為_17在正方體中，和平面A

10、BCD所成的角的度數(shù)是_和平面所成的角的度數(shù)是_ 18.（2017年新課標(biāo)1）已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直 徑。若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面 積為_. 19.已知單位正方體ABCDA1B1C1D1，點(diǎn)A到面BDC1的距離為_20.(2014年湖南)如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的大小是_, 21如圖，多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個頂點(diǎn)到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個頂點(diǎn)中

11、的一個，則P到平面的距離可能是：3； 4； 5； 6； 7以上結(jié)論正確的為_。（寫出所有正確結(jié)論的編號）22如圖，平行四邊形的一個頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，已知其中有兩個頂點(diǎn)到的距離分別為1和2 ，那么剩下的一個頂點(diǎn)到平面的距離可能是：1； 2； 3； 4； 以上結(jié)論正確的為_。（寫出所有正確結(jié)論的編號）23如圖，在正三棱柱中，所有棱長均為1，則點(diǎn)到平面 的距離為。ABCDA1 21題圖 22題圖 23題圖 24正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，則平面A1BD與平面B1CD1間的距離為 _ 25.在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4， AB2，

12、以AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M，交PC于點(diǎn)N，則點(diǎn)N到平面ACM 的距離為_ 26如圖264，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心， 則O到平面ABC1D1的距離是_27在直四棱柱中，AA12，底面ABCD是直角梯形，DAB為直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，則異面直線BC1與DC夾角的余弦值是_28已知二面角為，點(diǎn)棱a，則的取值范圍是_29已知二面角為，a，b是異面直線，且，則異面直線a與b所成的角等于_30正方體中，(1)求與平面AC所成的角；(2)設(shè)BD與AC交點(diǎn)為O，求與平面ABCD所成角的正弦值 31.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， 底面

13、，且，分別為、的中點(diǎn)。（）求證：；（）求與平面所成的角。32.(2017年天津)如圖，在四棱錐中，平面，.（I）求異面直線與所成角的余弦值；（II）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值.33.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.（I）求異面直線PA與BC所成角的正切值；（II）證明平面PDC平面ABCD；（III）求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值。 34. 如圖，在三棱錐中，在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線和平面所成的角的正弦值.35. 如圖，正三棱錐SABC中，底面的邊長是3，棱錐的

14、側(cè)面積等于底面積的2倍，M是BC的中點(diǎn).求：（）的值；（）二面角SBCA的大??；（）正三棱錐SABC的體積 36如圖310，長方體ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形圖310(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求直線AF與平面所成角的正弦值37如圖311，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn)圖311(1)證明：MN平面PAB；(2)求直線AN與平面PMN所成角的正

15、弦值38如圖312，四邊形ABCD為菱形，ABC120，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.圖312(1)證明：平面AEC平面AFC；(2)求直線AE與直線CF所成角的余弦值39.2016全國卷 如圖14，已知正三棱錐P ABC的側(cè)面是直角三角形，PA6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長交AB于點(diǎn)G.(1)證明：G是AB的中點(diǎn)；(2)作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由)，并求四面體PDEF的體積圖1440.如圖，四棱錐中，底面為菱形，底面，是上的一點(diǎn)，。（）證明：平面；（）設(shè)二面角為，求與平面所成角的大小。41.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在上。 （）求直線