理想微分高通比例低通積分模型及實(shí)際系統(tǒng)對(duì)比

1、信號(hào)與系統(tǒng)綜合練習(xí)理想的微分、高通、比例、低通、積分系統(tǒng)模型與實(shí)際系統(tǒng)對(duì)實(shí)際信號(hào)進(jìn)行微分、高通、比例、低通、積分處理。天津大學(xué) 云澤霖 3013202089中文摘要：微分、高通、比例、低通、積分系統(tǒng)是常用的信號(hào)處理系統(tǒng)，也是信號(hào)處理的基礎(chǔ)系統(tǒng)，該類系統(tǒng)的性能影響著更高級(jí)別的信號(hào)處理，所以該類系統(tǒng)的重要性不言而喻。本課題對(duì)該類系統(tǒng)進(jìn)行研究，主要研究?jī)?nèi)容為理論系統(tǒng)分析研究和實(shí)際系統(tǒng)效果研究，并將理論結(jié)果與實(shí)際結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，分析實(shí)際系統(tǒng)的各項(xiàng)參數(shù)對(duì)實(shí)際系統(tǒng)的信號(hào)處理性能的影響。主要研究方式為理論計(jì)算、計(jì)算機(jī)模擬仿真和實(shí)際系統(tǒng)搭建。關(guān)鍵詞：理想系統(tǒng)模型、實(shí)際系統(tǒng)模型、微分、高通、比例、低通、積分引言

2、微分、高通、比例、低通、積分系統(tǒng)都屬于信號(hào)處理，以往的信號(hào)處理系統(tǒng)由RLC組成，屬于無源系統(tǒng)，是利用電感、電容和電阻的組合設(shè)計(jì)構(gòu)成的電路。之后隨著集成電路的發(fā)展，運(yùn)算放大器走進(jìn)了人們的視野，依靠運(yùn)算放大器的一些特性，人們又隨之開發(fā)出特性更好的信號(hào)處理系統(tǒng)。本文結(jié)構(gòu)分為橫向和縱向，橫向?yàn)槲⒎?、高通、比例、低通、積分系統(tǒng)，縱向?yàn)楦鱾€(gè)系統(tǒng)的理想系統(tǒng)模型與實(shí)際信號(hào)處理的特性差異以及不同系統(tǒng)構(gòu)成（有源無源）所帶來的特性差異。理論基礎(chǔ)（一）微分系統(tǒng)微分電路可把矩形波轉(zhuǎn)換為尖脈沖波，此電路的輸出波形只反映輸入波形的突變部分，即只有輸入波形發(fā)生突變的瞬間才有輸出。而對(duì)恒定部分則沒有輸出。 電路圖如圖1-1：圖

3、1-1由圖可得：所以，如RC的乘積，即時(shí)間常數(shù)很小，Uo項(xiàng)可忽略，在t=0+即方波跳變時(shí),電容器C 被迅速充電,其端電壓，輸出電壓與輸入電壓的時(shí)間導(dǎo)數(shù)成比例關(guān)系。所以理想的微分電路波形如圖1-2：圖1-2但是，在實(shí)際系統(tǒng)中，如果此時(shí)輸入信號(hào)為階躍函數(shù)，則可根據(jù)具體R、C數(shù)值求出Uo的方程，基本形式為e的指數(shù)函數(shù)，所以實(shí)際系統(tǒng)的理論信號(hào)輸出如圖1-3，在后面的試驗(yàn)中我們會(huì)進(jìn)一步驗(yàn)證這個(gè)觀點(diǎn)是否正確： 圖1-3上面的微分系統(tǒng)是由RC組成的無源信號(hào)處理系統(tǒng)，隨著集成電路的發(fā)展，運(yùn)算放大器的出現(xiàn)，使得基于運(yùn)算放大器的一系列信號(hào)處理系統(tǒng)隨之誕生，產(chǎn)生了基于運(yùn)算放大器的微分系統(tǒng)，如圖1-4： 圖1-4根據(jù)

4、運(yùn)算放大器的虛短虛斷的特性，我們可以得到Vn = 0，當(dāng)信號(hào)Ui接入之后便有：上式表明，輸出電壓Uo正比于輸入電壓Ui對(duì)時(shí)間的微分，負(fù)號(hào)表示相位相反。相比于無源微分電路，基于運(yùn)算放大器的有源微分電路性能更好，跟接近于理想情況，當(dāng)然這一切的前提都是建立在運(yùn)放為理想運(yùn)放的前提上。微分電路的特性使其主要用于脈沖電路、模擬計(jì)算機(jī)和測(cè)量?jī)x器中。（二）高通濾波器作為濾波器中的一種，高通濾波器又稱低截止濾波器、低阻濾波器，允許高于某一截頻的頻率通過，而大大衰減較低頻率的一種濾波器 。它去掉了信號(hào)中不必要的低頻成分或者說去掉了低頻干擾。按照所采用的器件不同分類有源高通濾波器、無源高通濾波器。無源高通濾波器：

5、僅由無源元件(R、L 和C)組成的濾波器，它是利用電容和電感元件的電抗隨頻率的變化而變化的原理構(gòu)成的。這類濾波器的優(yōu)點(diǎn)是：電路比較簡(jiǎn)單，不需要直流電源供電，可靠性高；缺點(diǎn)是：通帶內(nèi)的信號(hào)有能量損耗，負(fù)載效應(yīng)比較明顯，使用電感元件時(shí)容易引起電磁感應(yīng)，當(dāng)電感L較大時(shí)濾波器的體積和重量都比較大，在低頻域不適用。RC無源高通濾波器的電路如圖2-1所示：圖2-1據(jù)此我們可以列出方程：由導(dǎo)出式我們可以看到，輸出隨著時(shí)間常數(shù)變化而變化，時(shí)間常數(shù)越大的信號(hào)分量（頻率越低）經(jīng)過高通濾波器之后的幅度越低，相位超前越多，而時(shí)間常數(shù)越小的信號(hào)分量（頻率越高）經(jīng)過高通濾波器之后幅度越趨近于不變，相位超前越小。有源高通濾

6、波器：由無源元件(一般用R和C)和有源器件(如集成運(yùn)算放大器）組成。這類濾波器的優(yōu)點(diǎn)是：通帶內(nèi)的信號(hào)不僅沒有能量損耗，而且還可以放大，負(fù)載效應(yīng)不明顯，多級(jí)相聯(lián)時(shí)相互影響很小，利用級(jí)聯(lián)的簡(jiǎn)單方法很容易構(gòu)成高階濾波器，并且濾波器的體積小、重量輕、不需要磁屏蔽(由于不使用電感元件）；缺點(diǎn)是：通帶范圍受有源器件(如集成運(yùn)算放大器）的帶寬限制，需要直流電源供電，可靠性不如無源濾波器高，在高壓、高頻、大功率的場(chǎng)合不適用。電路如圖2-2：圖2-2此為一階有源高通濾波器，傳遞函數(shù)：為通帶增益， 為截止角頻率。頻率特性：幅頻特性：相頻特性：一階高通濾波器的缺點(diǎn)是：阻帶特性衰減太慢，為dB10oct，所以這種電路

7、只適用于對(duì)濾波特性要求不高的場(chǎng)合。為了克服一階高通濾波器的上述缺點(diǎn)，可采用二階高通濾波器，二階有源高通濾波器電路如圖2-3：圖2-3可得傳遞函數(shù)為：巴特沃斯高通濾波器傳遞函數(shù)：所以，隨著階數(shù)的增加，其幅頻特性更接近理想特性。（三）比例運(yùn)算電路比例運(yùn)算電路分為同相比例運(yùn)算電路和反向比例運(yùn)算電路。兩電路結(jié)構(gòu)相似，所以本文僅介紹同相比例放大電路。同相比例運(yùn)算電路電路圖如圖3-1： 圖2-4目前猜測(cè)放大效果與信號(hào)頻率有一定關(guān)系。（四）低通濾波器與高通濾波器類似，低通濾波器也分為無源和有源濾波器。最簡(jiǎn)單的無源一階低通濾波器如圖4-1：圖4-1可以看到隨著增大輸出信號(hào)幅度降低。除了無源的低通濾波器，還有基

8、于運(yùn)放的有源濾波器，如圖4-2：低通濾波器有很多種，比如巴特沃斯濾波器，特點(diǎn)是通頻帶的頻率響應(yīng)曲線最平滑，也就是說在通頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。 在振幅的對(duì)數(shù)對(duì)角頻率的波特圖上,從某一邊界角頻率開始,振幅隨著角頻率的增加而逐步減少,趨向負(fù)無窮大。巴特沃斯如圖4-4： 圖4-4巴特沃斯低通濾波器可用如下振幅的平方對(duì)頻率的公式表示： 其中,n=濾波器的階數(shù)c= 截止頻率 = 振幅下降為 -3分貝時(shí)的 頻率p= 通頻帶邊緣頻率為在通頻帶邊緣的數(shù)值巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是波形過渡平滑，如圖4-5：圖4-5上圖是巴特沃斯濾波器（左上）和同階第一類切比雪夫?yàn)V波器（

9、右上）、第二類切比雪夫?yàn)V波器（左下）、橢圓函數(shù)濾波器（右下）的頻率響應(yīng)圖。以上均為無源低通濾波器，而有源低通濾波器如圖4-6：圖4-6由原理圖可得：繼而可導(dǎo)出電路圖的傳遞函數(shù)：其中幅頻響應(yīng)：（五）積分電路積分電路也分為有源積分電路和無源積分電路。無源積分電路由電容電阻構(gòu)成，如圖5-1：圖5-1可得表達(dá)式為：圖5-2積分電路是使輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的時(shí)間積分值成比例的電路，如圖5-2所示可以看到無源RC積分電路工作波形。波形分為理想積分波形和失真波形部分。若時(shí)間常數(shù)RC足夠大，外加電壓時(shí)，電容C上的電壓只能慢慢上升。在tRC的時(shí)間范圍內(nèi)，電容C兩端電壓很小，輸入電壓主要降落在電阻R上，充電電流iV

10、i（t）/R，輸出電壓V0（t）為V0（t）=1/Cdt1/RCdt。即輸出電壓近似與輸入電壓的時(shí)間積分值成比例。如果輸入信號(hào)Vi（t）是一個(gè)階躍電壓，理想積分電路的輸出是一線性斜升電壓，如圖5-2虛線所示。簡(jiǎn)單的RC積分電路的實(shí)際輸出波形與理想情況不同，在tRC的時(shí)間范圍內(nèi)，輸出電壓比較接近于理想的線性斜升電壓，隨著時(shí)間延續(xù)，電容兩端的電壓增高，充電電流減小、輸出電壓就越來越偏離理想積分電路的輸出，如圖5-2中實(shí)線所示。積分電路也可以由運(yùn)算放大器和電阻電容組成，如圖5-3：圖5-3上式表明，輸出電壓vo為輸入電壓vi對(duì)時(shí)間的積分，負(fù)號(hào)表示他們?cè)谙辔簧鲜窍喾吹摹．?dāng)輸入的信號(hào)為階躍信號(hào)時(shí)，電容器

11、將以類似恒流的方式充電，可參看無源積分的圖示，兩者類似，在理想部分輸出電壓和時(shí)間t成近似線性關(guān)系，如圖5-4：圖5-4因此有： 其中RC為時(shí)間常數(shù)可以看到有源低通濾波器在拐點(diǎn)處處理的更好，相比較而言有緣的濾波器性能更好。實(shí)際模型效果與理論對(duì)比（一）微分電路實(shí)際效果與理論對(duì)比根據(jù)微分電路的理論部分推導(dǎo)我們可以得出如下關(guān)系式：Uo=1/RC Ui，試驗(yàn)中我們選擇1KHz，Vpp=5的方波信號(hào)，根據(jù)理論情況，得到的應(yīng)該是大小為1/RC的沖擊信號(hào)。實(shí)驗(yàn)使用的電容選擇電容為10103pf的無極性電容，電阻為20K，輸出波形如下：我們發(fā)現(xiàn)得到的輸出信號(hào)和理論差了很多，不過可以看到是一種指數(shù)形式的信號(hào)，此時(shí)

12、考慮到是否原因是時(shí)間常數(shù)RC過大的原因，我們更換一個(gè)更小的電容試一試，波形如下：可以看到波形發(fā)生了非常大的變化，變得非常趨近于理想波形，同時(shí)也驗(yàn)證了輸出信號(hào)為一指數(shù)形式的信號(hào)的想法。那么信號(hào)的頻率對(duì)信號(hào)處理的效果有沒有影響呢？我們將信號(hào)的頻率做一些改變，波形如下：頻率為4KHz的信號(hào)和頻率為100Hz的信號(hào)進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)信號(hào)頻率越低系統(tǒng)的信號(hào)處理效果越趨近于理想效果。而信號(hào)峰值為470mv,和理論上的峰值差了很多?？偨Y(jié)來說，無源微分電路的性能與信號(hào)頻率，時(shí)間常數(shù)有關(guān)，信號(hào)頻率越低，時(shí)間常數(shù)越短則系統(tǒng)的性能越趨近于理想效果。下面觀察有源微分電路的實(shí)際效果，同樣的我們先用和無源微分電路中相同的元件

13、，即電容為10103pf的無極性電容，電阻為20K。波形如下：可以看到除了沖擊響應(yīng)外還有很多震蕩信號(hào)，和理想的微分電路有很大差異，同樣的思路，我們更換一個(gè)102的電容重新實(shí)驗(yàn)，可以看到更理想的波形：但是帶來了峰值大幅度降低的問題，在更換更小的101的電容后，幾乎看不到波形了。接著我們?cè)囍鴾p小信號(hào)頻率，可以得到如下波形：可以看出微分效果比較明顯，更趨近于沖擊響應(yīng)波形所以我們可以得出一些結(jié)論：信號(hào)頻率比較低的用有源微分器效果好，信號(hào)頻率較高的用無源或者更高階的濾波器比較好。（二）高通電路實(shí)際效果與理論對(duì)比根據(jù)高通電路的理論部分推導(dǎo)我們可以得出如下關(guān)系式：當(dāng)電容為10103pf的無極性電容，電阻為2

14、0K時(shí)，輸出信號(hào)如圖：當(dāng)輸入信號(hào)為1kHz和30kHz時(shí)的信號(hào)，可以看到1kHz信號(hào)的失真程度很大，到了30kHz時(shí)失真程度已經(jīng)比較小了。而且不同的信號(hào)種類失真程度也不同，正弦波的幅度失真非常小，在1kHZ時(shí)基本無法分辨，但是正弦波有相位失真，波形如下：根據(jù)電路圖，我們可以得到無源高通和無源微分電路其實(shí)是相同的，所以根據(jù)無源微分電路的一些結(jié)論我們可以嘗試增大RC，將電阻和電容分別換為3OK電阻和105電容，信號(hào)為5k，先換電阻，再換電容：可以看到電阻從20k換為30k，輸出信號(hào)幅頻失真有好轉(zhuǎn)，電容從103換為105輸出信號(hào)的幅頻失真基本沒有了，不過此時(shí)相應(yīng)的帶來另一個(gè)問題：截止頻率變得非常小，

15、高通濾波已經(jīng)基本失去意義，所以我們因該在信號(hào)失真和截止頻率兩者之間做一個(gè)合理的取舍，但其實(shí)此時(shí)最好的解決辦法是提高濾波器的階數(shù)。接下來研究有源高通電路的實(shí)際濾波效果和理論差別，先觀察1khz下的高通濾輸出波形，可以看到波形就是微分波形，所以微分電路和高通電路在很多地方是等效的，所以信號(hào)處理的本質(zhì)是？同樣改變電容C的容值，將103電容換為105電容，可以看到失真明顯減小，所以一階有源高通濾波器的特性與無源高通濾波器基本相同，要根據(jù)需要在幅頻失真和截止頻率間合理取舍，最好的辦法是改為二階高通濾波器。（三）比例放大電路實(shí)際效果與理論對(duì)比比例放大電路的影響因數(shù)有兩個(gè)，一個(gè)是信號(hào)頻率，頻率越高失真越強(qiáng)，

16、波形圖如下：可以看到當(dāng)頻率比較高時(shí)，比例放大系統(tǒng)表現(xiàn)出了積分系統(tǒng)的特性，失真比較嚴(yán)重。還有有一個(gè)影響因素是Rs的大小，Rs越大失真越小，但是放大倍率越小，所以得出結(jié)論，比例放大電路要在放大倍率和信號(hào)失真之間合理取舍，波形圖如下：（四）低通電路實(shí)際效果與理論對(duì)比無源低通電路的輸出波形失真程度和時(shí)間常數(shù)成正比，時(shí)間常數(shù)RC越小，輸出信號(hào)的失真程度越低，但是相應(yīng)的截止頻率也在升高，高頻率時(shí)表現(xiàn)出積分特性，所以一階低通無源濾波器的參數(shù)選擇也要在截止頻率和失真程度之間合理選擇。照片順序：低頻率，高頻率，RC變高，RC變低 以上為無源低通電路，接下來為有源低通電路：與一階無源低通電路相同，RC越小則輸出信號(hào)失真程度越小，同時(shí)截止頻率也變得更高，所以有源低通濾波器同樣也存在著在截止頻率和信號(hào)失真程度間合理取舍的問題。（五）積分電路無源積分電路和一階無源低通濾波器電路相同，頻