相移干涉測量中相移相位提取算法及解包裹算法研究

1、分類號 密級 公開 UDC 學號 2012021579 碩士學位論文相移干涉測量中的相移相位提取算法及解包裹算法研究學位申請人： 牛 文 虎 專業(yè)名稱： 光學工程 研究方向： 微納成像檢測與應用 所在院系： 信息光電子科技學院 導師姓名及職稱： 呂曉旭 教授 論文提交日期： 2015年5月20日 相移干涉測量中的相移相位提取算法及解包裹算法研究專業(yè)名稱：光學工程申請者姓名：牛 文 虎導師姓名：呂 曉 旭摘要相移干涉測量技術作為一種高精度的光學干涉測量手段，在光學測量與檢測領域具有廣泛應用。本文介紹了相移干涉測量技術的基本原理、發(fā)展現狀及各類相移量提取算法和相位恢復算法。在提取相移量的研究中，介

2、紹了反余弦算法、歐幾里德矩陣范數算法和矩陣1-范數算法，并提出了一種既可以在多幅干涉圖的情況下提取相移量，又可以在僅有兩幅干涉圖的情況下提取相移量的內積之比算法。在恢復相位的研究中，分析了傳統多步相移算法的優(yōu)缺點，引入了改進迭代算法和主成分分算法，并深入研究了僅從兩幅干涉圖就可以恢復相位的兩步相移算法，介紹了施密特正交化算法、相關系數算法和干涉極值法的原理，并提出了新的兩步相移算法：改進的施密特正交化算法與內積之比算法。通過計算機模擬和實驗驗證的方法，分析比較了所提出的新算法和各種現有算法的特點及其適用范圍，為相移干涉測量中的相移相位提取提供了新的方法和思路。本文的主要內容如下：1. 分析了相

3、移干涉測量中的相移量提取算法，并對比了各算法的優(yōu)缺點及適用范圍。2. 研究了相移干涉測量中的多步相移算法與兩步相移算法，并對比了各相位恢復算法的的優(yōu)缺點及適用范圍。3. 介紹了幾種常見的濾除干涉圖背景項的方法和原理，并結合兩步相移算法分析了各方法的濾波效果。4. 研究了兩步相移算法所恢復的相位精度和全局符號與相移量的取值范圍之間的關系。5. 介紹了常見的解包裹算法及其原理，對比分析了各算法的優(yōu)缺點。本文的創(chuàng)新點如下：1. 提出了一種改進的施密特正交化兩步相移算法，與原施密特正交化算法相比，在保持原算法高精度的同時，改進的算法簡化了計算過程，減少了計算量，加快了運算速度。2. 提出了基于內積之比

4、的兩步相移算法，可以快速并準確地恢復待測相位。將其與現有的兩步相移算法進行比較，內積之比算法在速度上有一定的優(yōu)勢，在精度上與其他兩步相移算法相當。關鍵詞：相移干涉術，相移量提取，相位恢復，內積之比，解包裹 RESEARCH ON THE ALGORITHMS FOR PHASE SHIFT AND PHASE EXTRACTION AND PHASE UNWRAPPING IN THE PHASE-SHIFTING INTERFEROMETRYMajor：Optical EngineeringName：Wenhu NiuSupervisor：Xiaoxu LAbstractPhase-shif

5、t interferometry technology, which is an optical interferometry method with high precision, has been widely used in the field of optical measurement and detection. In this paper, we introduce the basic principle and the development of phase-shift interferometry and kinds of phase-shift algorithms fo

6、r phase shift extraction and phase retrieval. In the research of phase shift extraction, the arccosine algorithm, the algorithm based on Euclidean matrix norm and the algorithm based on the 1-norm of the matrix for phase shift extraction are introduced. And a new algorithm for phase shift extraction

7、 based on the ratio of inner product is proposed, this algorithm can determine the phase shifts by using only two-frame phase-shifting interferograms, as well as the phase shifts among a sequence of interferograms. In the research of phase retrieval, we introduce the traditional phase- shifting algo

8、rithms, and analyze their advantages and disadvantages. Then the advanced iterative algorithm and the algorithm based on the principle component analysis are introduced. Aiming at the two-step phase-shift algorithm, which can retrieve the phase by only two-frame interferograms, the algorithm based o

9、n the GramSchmidt orthonormalization method, the algorithm based on the correlation coefficient and the algorithm based on the extreme value of the interference are introduced. And we propose an improved algorithm based on GramSchmidt orthonormalization and a new algorithm for phase retrieval based

10、on the ratio of the inner product of the two-frame interferograms. To verify the performance and the characteristics of the proposed algorithms comparing with other algorithms, we have employed these algorithms to the simulation fringe patterns and experimental interferograms to extract the phase sh

11、ifts and retrieve the measured phase, both of the results show that the proposed algorithms are suitable for phase shifts extraction and phase retrieval. This paper provides a new thought and method for phase shift and phase extraction in the phase-shift interferometry.The main contents of this pape

12、r are listed as follows:1. The advantages and disadvantages of several algorithms for phase shift extraction in the phase-shift interferometry are summarized and the scopes of their application are analyzed. A new phase shift extraction algorithm is proposed, which can determine the phase shifts wit

13、h high precision in the case of only two-frame phase-shifting interferograms exist, as well as the case of multi-frame interferograms.2. The advantages and disadvantages for phase retrieval and the application scope of the multi-step phase-shifting algorithm are analyzed, as well as the two-step pha

14、se-shifting algorithm.3. Several methods and their principles for filtering the background of the interferograms are introduced, and combined with the two-step phase-shifting algorithm, the filtering effect of each method are analyzed.4. The precision and global sign of phase retrieved by the two-st

15、ep phase-shifting and the relationship with the range of phase shift values are analyzed.5. Several phase unwrapping algorithms and their principles are introduced, and their advantages and disadvantages are analyzed.The innovation points of this paper are listed as follows:1. An improved algorithm

16、based on GramSchmidt orthonormalization is proposed. Compared with the original algorithm, while maintaining the precision of original algorithm, the improved algorithm simplifies the process, reduce the amount of calculation and accelerate the speed.2. A two-step phase retrieval algorithm based on

17、the ratio of inner products of phase-shifting interferograms is proposed，which can retrieve the measured phase with high precision rapidly. Compared with several two-step phase-shift algorithm, the result shows that the proposed algorithm has advantages in speed, and the accuracy is almost the same

18、with the other two-step phase-shifting algorithm.KEY WORDS: phase-shifting interferometry, phase shift extraction, phase retrieval, ratio of the inner products，unwrappingVII目 錄摘要IAbstractIII第一章 引言11.1 相移干涉測量技術概述11.2 相移干涉測量技術的發(fā)展及研究現狀21.3 本文的研究目的、內容及創(chuàng)新點4第二章 相移干涉測量中的相移量提取算法研究62.1 相移量提取算法概述62.2 現有的相移量提取

19、算法62.2.1 反余弦算法62.2.2 歐幾里德矩陣范數法82.2.3 矩陣1-范數法92.3 本文提出的相移量提取算法112.4 相移量提取算法的比較122.4.1 計算機模擬122.4.2 實驗結果16第三章 相移干涉測量中的多步相移算法研究193.1 多步相移算法概述193.2 定步長相移算法193.2.1 三步相移算法193.2.2 四步相移算法203.2.3 五步相移算法203.3非定步長相移算法213.3.1 改進迭代算法213.3.2 主成分分析算法243.4 不同多步相移算法的比較與分析27第四章 相移干涉測量中的兩步相移算法研究284.1 兩步相移算法概述284.2 現有的

20、兩步相移算法284.2.1 施密特正交化算法284.2.2 相關系數算法304.2.3 干涉極值法314.3 本文提出的兩步相移算法334.3.1改進的施密特正交化算法334.3.2基于內積之比的兩步相移算法344.4 不同兩步相移算法的比較與分析354.4.1 計算機模擬354.4.2 實驗結果與討論37第五章 影響兩步相移算法精度的因素分析415.1 現有的濾除干涉圖背景項的方法415.1.1. 高斯高通濾波法415.1.2. 時域平均法415.1.3. 逐點遍歷法425.1.4. 差分法425.2 各濾波方法的對比435.3 相移量的取值范圍44第六章 相位解包裹算法的研究466.1 相

21、位解包裹算法簡介466.2 現有的相位解包裹算法466.2.1 行列逐點算法466.2.2 枝切法476.2.3 最小二乘算法476.3 不同解包裹算法的比較與分析486.3.1 計算機模擬486.3.2 實驗結果與討論51第七章 總結與展望547.1 全文總結547.2 展望55參考文獻57致 謝62附 錄63相移干涉測量中的相移相位提取算法及解包裹算法研究第一章 引言1.1 相移干涉測量技術概述光學干涉測量技術是利用光的波動性和干涉原理，將待測物體的三維形貌信息以干涉條紋和光學強度的形式記錄下來，通過對干涉條紋和光強的分析得到待測物體的相位，進而重構物體的三維形貌1。光學干涉測量具有非介入

22、、非接觸、非干預、非掃描、快速、全場、三維成像等特點，既可以利用物體的反射光進行測量，也可以利用物體的透射光進行測量，不僅測量精度高，可以達到橫向亞微米、縱向亞納米量級的高分辨率2, 3，而且光學系統結構簡單，成本低，因此在表面形貌測量領域受到了研究者們的極大關注，并得到了迅速的發(fā)展。相移干涉測量技術(Phase-Shifting Interferometry，簡稱PSI)是光學干涉測量中的重要技術4，其測量的基本原理是：在光學系統的參考光路中加入相移器件（如壓電陶瓷微位移器(PZT)、半波片、1/4波片、偏振片或衍射光柵等），使其有序地改變參考光波和物光波之間的光程差，即產生了相移。用CCD

23、等探測器件采集的相移干涉圖，每個像素點的光強值隨相移的變化而變化。因為干涉條紋的光強是關于待測物體相位的余弦函數，與物體表面形貌相關，通過對相移干涉圖進行分析和解調制，即可求解出待測物體的包裹相位信息，再通過相位解包裹算法得到連續(xù)的相位信息，從而重構待測物體的表面輪廓或三維形貌。根據移相方法的不同，可以將相移干涉測量主要分為：時域相移法5-7，空域相移法8-10和空間載頻相移法11-13等。時域相移法是指：在時間軸上產生相移,按一定的順序在不同的時刻采樣相移干涉圖的方法。該類方法具有一定程度的抗噪能力，但要求待測物體的形貌在測量期間不發(fā)生變化?？沼蛳嘁品ㄊ窃谕粫r刻但不同的空間位置采集多幅相移

24、干涉圖。該方法可以用來測量動態(tài)過程，但其測量系統比較復雜，精度方面也不如時域相移法高?？臻g載頻相移法是采用兩個窗函數卷積原干涉圖，從而產生多幅相移干涉圖，并使用時間相移法的公式進行恢復相位。這種方法只需要一幅干涉條紋圖，但要求載波頻率很高，背景和待測相位要緩變，否則將產生較大誤差，并且這種方法的分辨率比較低。在以上各類方法中，時域相移法是目前最常用、最有效、最可靠的方法，本文也是在時域相移干涉測量的領域內進行研究。隨著光電子學技術、計算機技術、激光技術、信號采集與處理技術和數字圖像處理技術的飛速發(fā)展，相移干涉測量技術作為一種高精度的光學檢測手段，得到了迅速的發(fā)展，在光學測量與檢測領域具有廣泛應

25、用，如散斑分析14, 15、數字全息16, 17、物體形變檢測18, 19、三維形貌測量20, 21等眾多領域。許多商用干涉儀和光學檢測儀器也都釆用了相移干涉測量技術。1.2 相移干涉測量技術的發(fā)展及研究現狀Carr于1966年提出了相移干涉測量的主體想法和思路22。Bruning于1974年利用通訊信息理論中的同步檢波技術23，使相移干涉測量對光學元件的測量精度達到了1/100個波長量級。此后，為了進一步提高相移干涉測量的精度，國內外的研究者們做了大量的研究工作24，歸納起來基本可以分為兩大類：一是對硬件的研究，即優(yōu)化相移干涉測量的實驗裝置和光學系統，使用更好的光學元件或設計更好的光學系統，

26、降低因元件缺陷而帶來的測量誤差，盡量減少測量過程中的環(huán)境和其他因素的干擾25，或對干擾造成的誤差進行校正26, 27。例如變頻相移干涉技術，它通過改變光源的頻率來實現相位調制，能消除傳統硬件相移引起的非線性誤差，減少由環(huán)境變化引起的誤差28，但這種方法對光源的要求比較高。二是對相移量提取算法與相位恢復算法的研究，即設計對相移誤差不敏感或者抗噪能力強的算法29，提高所恢復的相移量與相位的精度。相移量提取算法和相位恢復算法的優(yōu)劣直接影響著相移干涉測量的精度，且與優(yōu)化硬件相比，成本較低，是目前研究的熱門領域。一般來說，要恢復待測物體的相位信息，至少需要三幅相移干涉圖；為了減少環(huán)境噪聲和其它干擾對相位

27、測量精度的影響，三步、四步、五步以及N步相移算法等被不斷提出30。然而，上述算法的使用條件是干涉圖之間的相移量為已知且為某些定值，在實際應用中，如果相移量未知，或者受相移器件標定誤差、機械振動和空氣擾動等因素的影響，導致實際相移量值偏離理論值，這些算法進行相位恢復的精度會大大降低。因此，如何在相移量未知的情況下，快速并準確地提取干涉圖之間相移量及恢復相位，一直是相移干涉測量研究和應用中需要解決的重要問題。提取干涉圖之間的相移量，可以用來測定微位移器的步進或物體的整體平移距離，標定相移器件的誤差和非線性，也可以為需要相移量已知的傳統相位恢復算法提供先決條件。為此，許多相移量提取算法已經被提出31

28、-37。例如，Xu等通過尋找干涉圖序列中各個像素點的強度最大值與最小值，計算出干涉圖的直流項和調制項，再通過反余弦函數恢復待測相位并提取相移量 (ACA)34，但該算法需要逐個像素點來計算直流項與調制項，計算量大，比較耗時。鄧建等提出了一種基于歐幾里德矩陣范數的相移量提取算法35，速度快，精度高，但該算法要求干涉圖中的干涉條紋數多于一個，且干涉圖序列的相移量范圍不能小于 rad。針對干涉條紋數量問題，鄧建等又提出了基于矩陣1-范數的相移量提取算法36，該算法可以在條紋數少于一個的情況下提取相移量，計算量小，速度快，精度也很高。恢復待測物體的相位信息，可以用來重構物體三維形貌，測量表面輪廓或形變

29、，在這一方面，國內外的研究人員也提出了很多的相位恢復算法38-43。例如，Wang等基于最小二乘誤差估算，提出了一種改進迭代算法 (AIA)40, 41，該算法通過在相移干涉圖之間迭代計算相移量和待測相位，直到迭代誤差收斂，所提取的相移量和恢復的待測相位的精度都比較高，但迭代計算時間長，運算速度慢。Vargas等提出基于主成分分析的算法 (PCA)42, 43，可以較快地提取相移量并恢復待測相位，但該算法需要通過時域平均的濾波方法濾除相移干涉圖的直流背景項，因此要求干涉圖之間的相移量是均勻分布在(0, 2) rad范圍之內。上述提取相移量和恢復相位的算法，都要求三幅或三幅以上干涉圖才能進行有效

30、的計算。近年來，為了降低環(huán)境和空氣擾動對測量精度的影響，降低測量系統復雜性，以及減少提取相移量和恢復相位的計算量，提高運算速度，許多兩步相移算法相繼而出44-54。這類算法僅需兩幅相移干涉圖就可以恢復待測相位或提取相移量，計算量小，速度快，精度也高。例如，Kreis等提出基于傅里葉變換的兩步相移算法(Kreis)，可通過傅里葉變換來計算待測相位45，但其恢復相位的精度受噪聲影響較大。Vargas等提出基于施密特正交化的兩步相移算法 (GS)48，該算法恢復相位的精度較高，計算速度也比較快。Muravsky等提出相關系數算法(CC)49，通過計算兩干涉圖向量之間的相關系數來提取相移量并進一步恢復

31、待測相位。但該文獻中作者通過分別記錄物光波和參考光波的光強的方式來濾除干涉圖的直流項，操作流程比較復雜。上述幾種兩步算法 (Kreis、GS、CC)都須在相移干涉圖的條紋數多于1個的情況下才能進行有效的計算，為了解決這個問題，鄧建等提出基于干涉極值的兩步相移算法 (EVI)50，由干涉強度極大值和極小值求解出兩幅干涉圖之間的相移量，再通過一個反正切函數恢復待測相位。該算法速度快，精度高，并且在干涉圖的條紋數少于1個的情況下，也能準確地恢復待測相位并提取相移量。雖然這些兩步相移算法幾乎都需要預先濾除相移干涉圖中的背景項，通常利用高斯高通濾波的方法在頻域中濾除背景項55, 56，該濾波方法雖然比較

32、簡便，卻不能完全濾除干涉圖的直流背景項，這也是影響兩步相移算法所恢復的相位精度的重要原因之一。但因兩步相移算法要求的干涉圖數量少，計算量小，運算速度快，所以其在相移測量技術中有特別的優(yōu)勢，應用也越來越廣泛。由于各種相位恢復算法得到的結果都是包裹相位，只有對該結果進行相位解包裹運算，才能得到連續(xù)的相位，展示待測物體真實的三維形貌。因此相位解包裹算法也是相移干涉測量的一個關鍵技術。在這一方面，針對噪聲、欠采樣或其他因素的影響，國內外的研究人員也提出了很多解包裹算法，大致可分為路徑跟蹤算法與路徑無關算法57，其中比較經典的算法有：行列逐點算法57、枝切法57, 58、最小二乘算法57, 59和基于傅

33、里葉變換的解包算法60-62等。針對不同的情況，可以選擇較優(yōu)的解包裹算法進行運算。1.3 本文的研究目的、內容及創(chuàng)新點本文研究目的如下：在相移干涉測量中，提取相移干涉圖之間的相移量，以及從干涉圖中恢復待測相位并重構物體的三維形貌，是實際應用中極為有意義的問題。因此，如何準確并快速地提取相移量及恢復待測相位是相移干涉測量技術中的兩個重要研究內容。傳統的算法一般需要三幅及三幅以上的相移干涉圖才能準確并有效地提取相移量或恢復待測相位，數據量大，運算時間長。兩步相移算法以其僅需兩幅干涉圖、數據量小、運算速度快、精度較高等特點，在相移干涉測量中的優(yōu)勢越來越明顯。針對以上現狀的分析，本文介紹了一些傳統相移

34、算法、迭代算法的原理及其優(yōu)缺點，在此基礎之上，引入兩步相移干涉測量，并著重對兩步相移干涉測量中的相移量提取算法和相位恢復算法進行了理論和實驗研究。本文的主要內容安排如下：第一章對相移干涉測量技術的基本原理和發(fā)展歷程進行了概述，闡述了其應用于形貌測量的意義，介紹了目前已有的幾種相移量提取算法和相位恢復算法，對各種方法的優(yōu)缺點進行了簡單比較，引入兩步相移干涉測量及其相關算法；并對本論文的研究目的、內容以及主要工作與創(chuàng)新點進行了說明。第二章對相移量提取算法進行了概述，分別介紹反余弦算法、歐幾里得矩陣范數法和矩陣1-范數法這三種應用于多幅干涉圖的相移量提取算法的基本原理，并提出一種既可應用于多幅相移干

35、涉圖，又可以應用于兩幅相移干涉圖的相移量提取算法。通過計算機模擬與實驗驗證的方式將這四種相移量提取算法的性能進行了比較，分析了其優(yōu)缺點及使用條件。第三章對多步相移恢復相位的算法進行了概述，分別介紹了定步長算法中的三步、四步、五步相移算法和非定步長算法中的改進迭代算法與主成分分析算法，闡述了各算法恢復待測相位的基本原理，并通過計算機模擬分析了這幾種算法優(yōu)缺點及適用范圍。第四章對兩步相移恢復相位的算法進行了概述，分別介紹了施密特正交化算法、相關系數算法和干涉極值法，闡述了這三種現有的兩步相移算法恢復相位的基本原理，并提出了改進的施密特正交化算法和基于干涉圖內積之比的兩步相移算法；通過計算機模擬與實

36、驗驗證的方式，將幾種兩步相移算法的性能進行了比較，并分析其優(yōu)缺點。第五章分析了影響兩步相移算法精度的兩個主要因素：濾除背景項的方法和相移量的取值范圍。通過實驗驗證的方式，對這些因素進行了分析研究。第六章對幾種經典的解包裹算法進行了介紹，通過計算機模擬和實驗驗證的方式，分析總結了各算法的優(yōu)缺點及其適用范圍。第七章對全文的主要內容進行了總結概括，分析了多步相移算法和兩步相移算法的優(yōu)缺點及尚未解決的技術難點，分析了解包裹算法的局限性；展望了相移干涉測量未來的發(fā)展趨勢，指出了進一步研究工作的方向和設想。本文的主要創(chuàng)新點如下：1. 改進了原有的施密特正交化兩步相移算法，在保持原算法高精度的同時，簡化了計

37、算過程，減少了運算時間，提高了運算速度。2. 提出了基于干涉圖內積之比的兩步相移算法，既可用于準確提取兩幅或多幅相移干涉圖之間的相移量，又可以快速恢復高精度的待測相位。第二章 相移干涉測量中的相移量提取算法研究2.1 相移量提取算法概述相移量是相移干涉測量中的一個重要的物理參數，它代表著各相移干涉圖之間的差異性。相移量一般是由PZT、半波片或1/4波片、偏振片等相移器件引入的。在相移干涉測量過程中，由于相移器件和探測器的誤差以及外界環(huán)境擾動等因素的影響，往往使得實際相移量與理論相移量存在一定的誤差。而相移量的精確程度與相移干涉測量的精度有很大關系，提取相移量也可以來標定相移器件的性能，因此，快

38、速并準確地提取相移量的值是相移干涉測量領域中的一個重要的研究方向。近年來，許多從相移量未知的相移干涉圖中提取相移量的算法不斷被提出，本章介紹幾種常見的相移量提取算法，如反余弦算法(ACA)、歐幾里德矩陣范數法(EMN)。矩陣1-范數法(IN)，提出一種新的相移量提取算法，并歸納分析了不同算法的優(yōu)缺點及使用條件。2.2 現有的相移量提取算法2.2.1 反余弦算法反余弦算法(Arccosine Algorithm，簡稱ACA)通過尋找干涉圖序列中各個像素點的強度最大值與最小值，計算出干涉圖的背景項和調制項，再通過反余弦函數恢復待測相位并提取相移量。下面介紹該算法提取相移量的原理。在相移干涉測量中，

39、可以將第n幅相移干涉圖的每個像素點的光強表示為 其中，a(x,y)為干涉圖的背景項，它是一個直流低頻項；b(x,y)為干涉圖的調制項；為待測相位；為干涉圖對應的相移量，且1=0；(x,y)為像素點的位置坐標。通常認為，對于一幅干涉圖來說，其每個像素點對應的相移量的值是一個常數項，與像素點的空間位置無關，相移量是關于時間的函數，它并不影響待測相位分布的相對大??；而背景項、調制項與待測相位在時間軸上是不變的，他們是像素點的函數。將公式(2-1)變換后可得 其中，是每一幅相移干涉圖的相對待測相位的大小，它是每幅干涉圖所對應的相移量與待測相位之和。相移干涉圖每個像素點的光強是隨著相移量呈周期性的變化，

40、如果在一個相移周期內采集到足夠多的相移干涉圖，那么可以從時域變化的光強中逐像素點地確定出干涉圖中每一個像素點的光強最大值 和最小值，其值分別為 由公式(2-3)和(2-4)聯立可得 通過逐像素點計算，可以得出每個像素點上背景項a(x,y)與調制項b(x,y)，進而可求得每一幅相移干涉圖的相對待測相位的大小 則第n幅干涉圖的相移量值可由下式計算得出 綜上所述，ACA算法提取相移量的步驟為：(1) 在干涉圖序列中，尋找每個像素點的光強最大值與最小值，計算出干涉圖的背景項與調制項。(2) 通過公式(2-7)計算得出每幅干涉圖的相對待測相位的大小，將所求相對相位分別與第一幅干涉圖的相位相減，計算出每幅

41、干涉圖的相移量。2.2.2 歐幾里德矩陣范數法相移干涉測量中，因相移器件引入了相移量，使得相移干涉圖之間存在著差異性，因此相移量與干涉圖之間的差異性存在某種聯系。由干涉圖的光強表達式(2-1)可知，當相移量為2k rad時(k=0, 1, 2, 3)，干涉圖之間的差異性最小，其光強相等，幾乎無法區(qū)分。當相移量為(2k+1)時，干涉圖之間的差異性最大。在數學上，用歐幾里德矩陣范數(Euclidean Matrix Norm，簡稱EMN)來度量矩陣之間的差異性。而相移干涉圖的光強在CCD等探測器上是以像素點為單位的二維矩陣形式記錄的，所以歐幾里德矩陣范數也可以用來度量相移干涉圖之間的差異性。由于相

42、移干涉圖之間的差異性與相移量有密切的關系。利用這種特性，可通過計算相移干涉圖之間的歐幾里德矩陣范數來提取相移量。下面介紹該算法提取相移量的原理。對于兩個M N階矩陣P、Q，其歐幾里德矩陣范數的定義為 在相移干涉測量中，第n幅干涉圖的光強可以表示為 將相移干涉圖序列中的第一幅干涉圖（1=0）作為參考對象，那么各相移干涉圖與第一幅干涉圖相減后得 其歐幾里德矩陣范數可表示為 其中M、N分別為干涉圖的行數和列數。當干涉圖中的干涉條紋數大于1時，公式(2-10)中的三角函數周期也大于1，如下近似條件可以成立 結合近似條件，此時公式(2-12)可以簡化為 通常我們認為，在相移干涉圖序列中，b(x,y)在時

43、域上是不變化的，因此上式中的第一項B為常數項。由此可知，相移干涉圖相減后得到的歐幾里德矩陣范數是關于相移量的函數，與sin(n/2)成正比。當n=時，dn取得最大值，且有dmax=B。由公式(2-14)可得，相移量可由反正弦函數計算得出 綜上所述，歐幾里德矩陣范數法(EMN)提取相移量的步驟為：(1) 分別計算第1幅相移干涉圖的光強矩陣與第n幅相移干涉圖的光強矩陣之間的歐幾里德矩陣范數；(2) 尋找出所得的歐幾里德矩陣范數中的最大值，再通過公式(2-15)提取相移干涉圖之間的相移量。2.2.3 矩陣1-范數法在上節(jié)我們知道，相移干涉圖之間的差異性與相移量存在一定的聯系。利用歐幾里德矩陣范數法提

44、取相移干涉圖之間的相移量，這種方法簡單快速，但只適用于干涉圖中有多個干涉條紋的情況；而一種基于矩陣1-范數的相移量提取算法可適用于干涉圖中的條紋數少于一個的情況，又稱干涉圖范數法(Interferogram Norm，簡稱IN)。下面介紹該算法提取相移量的原理。在數學上，對于一個MN階矩陣P，其矩陣1-范數的定義為 同上一節(jié)，在相移干涉測量中，第n幅相移干涉圖的光強可以表示為 按照矩陣1-范數的定義，第n幅相移干涉圖的矩陣1-范數為： 其中， ， ，若令 則公式(2-18)可表示為 對于同一序列的相移干涉圖，A、B和n都是常數，可分別將他們稱為相移干涉圖的背景強度范數、調制振幅范數和相位范數。

45、在一系列的干涉圖矩陣1-范數中尋找其中的最大值與最小值，且有 由上面兩個公式聯立可得 由以上公式可知因為相移量是一個相對量，通常我們認為，是一個常數，所以只要確定出A和B的值，就可以從公式(2-26)中計算出相位范數，進而提取相移干涉圖之間相移量 綜上所述，矩陣1-范數法(IN)提取相移量的步驟為：(1) 計算每幅相移干涉圖的矩陣1-范數的值。(2) 尋找找出干涉圖矩陣1-范數的最大值與最小值，計算出干涉圖的背景范數與調制幅度范數。(3) 通過公式(2-26)計算得出每幅干涉圖的相位范數，再通過公式(2-27)提取相移量。 2.3 本文提出的相移量提取算法不論是反余弦算法、歐幾里德矩陣范數法，

46、還是矩陣1-范數法，都需要采集多幅相移干涉圖才能進行有效地提取相移量，在僅有兩幅干涉圖的情況下，這三種算法都無法進行計算。本節(jié)提出一種基于干涉圖內積之比的相移量提取算法(Ratio of Inner Products,簡稱RIP)，該算法既可以提取多幅干涉圖的相移量，對相移量的范圍沒有特別的要求，且在只有兩幅干涉圖的情況下，也可以準確計算相移量的值。下面介紹該算法提取相移量的原理。同上一節(jié)，在相移干涉測量中，第n幅相移干涉圖的強度可表示為： 一般來說，背景項a(x,y)是直流低頻信號，可以利用高斯高通濾波器將其濾除，濾除背景項的相移干涉圖可以表示為（為簡單明了，省去了像素坐標）： 以(=0)為

47、參考對象，分別計算的內積，可得 其中，M, N為干涉圖的行數與列數。符號 表示兩向量的內積。當干涉圖中的條紋數多于1個的時候，有以下近似條件： 結合公式(2-32)，可將公式(2-31) 簡化為： 根據公式(2-30)、(2-33)，兩幅相移干涉圖之間的相移量可由反余弦函數求出： 綜上所述，基于內積之比的算法(RIP)提取相移量的步驟為：(1) 使用高斯高通濾波器濾除相移干涉圖的背景項。(2) 分別計算濾波后的第n幅干涉圖與第一幅干涉圖的內積。(3) 計算各內積之間的比值，再通過反余弦函數提取每幅干涉圖的相移量。2.4 相移量提取算法的比較2.4.1 計算機模擬為了驗證本文提出的相移量提取算法

48、的速度和精度，并分析其相對于其他算法的優(yōu)缺點，本文根據相移干涉圖的光強表達式模擬了60幅相移干涉圖，尺寸為300300pixels，如圖2-1所示。模擬相移干涉圖的各參數設置為：背景項a(x,y)=120exp-0.25(x2+y2), 調制幅度b(x,y)=100exp-0.25(x2+y2), 待測相位 =4exp0.2(x2+y2), 第n幅相移干涉圖的相移量n=0.1(n-1) rad，-2.5mmx,y2.5 mm。并在模擬的干涉圖中加入了噪信比為5%的高斯加性噪聲。圖2-1 模擬圓條紋相移干涉圖序列，尺寸為300300pixels，其相移步進為0.1rad。圖2-2(a)為使用RI

49、P算法提取模擬相移干涉圖的相移量，圖2-2(b)為所提取的相移量與預設標準值之間的差值。從圖中可以看到，所提取的相移量整體誤差很小，但在真實相移量為 rad附近的區(qū)域，誤差比較大。造成這較大誤差的主要原因是：當相移量為 rad時，近似條件公式不能得到滿足。圖2-2 RIP算法對模擬圓條紋相移干涉圖提取相移量的結果。(a)每幅干涉圖對應的相移量；(b)所提取的相移量與模擬預設值之間的差值。此次模擬的干涉圖序列一共有60幅，相移步進設置為0.1 rad。提取相移量時，分別選取不同數量的干涉圖進行提取相移量的計算。當選取60幅干涉圖，相移量范圍為0-5.9 rad；當選取序列中前40幅干涉圖，相移量

50、范圍為0-3.9 rad；當選取序列中前20幅干涉圖，相移量范圍為0-1.9 rad；當選取序列中前10幅干涉圖，相移量范圍為0-0.9 rad；最后選取相移量為0 rad和1 rad的兩幅干涉圖。表2-1為本章中所介紹的幾種相移量提取算法對不同數量的相移干涉圖進行提取相移量所用的運算時間和其均方根誤差對比。其中，均方根誤差為各算法所提取的相移量與模擬預設參考值的差值的均方根。從表2-1中可以看出，在速度方面，從快到慢依次為IN、EMN、RIP、ACA；在精度方面，要當干涉圖數量較多，相移量范圍接近2 rad（60幅）時，其精度從大到小依次為ACA、IN、RIP、EMN。相移量范圍小于2 ra

51、d且大于時（40幅），四種算法的均方根誤差都有所增加，其精度從大到小依次為RIP、EMN、ACA、IN。但當相移量的范圍小于 rad時（20幅，10幅），RIP的均方根誤差減少，其他三種算法的均方根誤差增加。這是因為RIP算法在 rad附近的誤差較大，相移量小于 rad時，計算均方根誤差時，避開了誤差較大的區(qū)域；而此時干涉圖序列的相移量范圍小于 rad，EMN算法無法準確定位最大范數點，IN、ACA算法不能正確標定其相應范數最大最小值或單像素光強的最大最小值，使得其均方根誤差增大。當僅有兩幅干涉圖時，僅RIP算法能準確提取相移量，而其他三種算法均失效。表 2-1幾種算法對不同數量的模擬相移干涉

52、圖進行相移量提取的運算時間及其均方根誤差對比Fringe pattern numberRIPINEMNACATime (s)601.6110.0600.22220.371401.0210.0400.14915.913200.5260.0200.07611.298100.2720.0120.0468.77320.048-RMSE (rad)600.0350.0090.0660.002400.0410.2690.0720.109200.0100.3600.3090.421100.0100.6210.6740.72420.005-保持其他模擬條件不變，本文通過改變待測相位的參數來改變干涉圖條紋的形貌

53、，分別再模擬60幅直條紋干涉圖序列（相位設置為）與60幅復雜條紋干涉圖序列（相位設置為），分別如圖2-3和圖2-5所示。并使用RIP算法對兩組相移干涉圖進行提取相移量，其結果分別如圖2-4和圖2-6所示，其均方根誤差分別為0.045 rad(直條紋)和0.032 rad (復雜條紋)。圖2-3 模擬直條紋相移干涉圖序列，尺寸為300300pixels，其相移步進為0.1rad。圖2-4 RIP算法對模擬直條紋相移干涉圖提取相移量的結果。(a)每幅干涉圖對應的相移量；(b)所提取的相移量與模擬預設值之間的差值。圖2-5 模擬復雜條紋相移干涉圖序列，尺寸為300300pixels，其相移步進為0.

54、1 rad。圖2-6 RIP算法對模擬復雜條紋相移干涉圖提取相移量的結果。(a)每幅干涉圖對應的相移量；(b)所提取的相移量與模擬預設值之間的差值。2.4.2 實驗結果為了進一步驗證RIP算法及其他相移量提取算法在實際應用中的速度、精度及穩(wěn)定性，本文采集了一系列的實驗相移干涉圖并選取其中50幅，像素大小為512512 pixels，如圖2-7所示，并對其進行提取相移量的計算，結果如圖2-8所示。實驗系統將在章節(jié)4.4.2中進行詳細介紹。從計算機模擬的結果中得知，當干涉圖足夠多時，ACA算法的精度最高，因此在實驗中，本文將ACA算法計算50幅干涉圖所提取的相移量作為相移量參考值。從圖2-4中可以

55、看到，與模擬的結果相同，所提取的相移量整體誤差很小，但在相移量為 rad附近的區(qū)域，誤差比較大。圖2-7 實驗采集的相移干涉圖序列，干涉圖大小為512512 pixels。圖2-8 RIP算法對實驗相移干涉圖序列提取相移量的結果。(a)每幅實驗干涉圖所對應的相移量；(b)所提取的相移量與參考值之間的誤差。表2-2為本章節(jié)所介紹的幾種相移量提取算法對不同數量的實驗相移干涉圖進行提取相移量所用的運算時間和其均方根誤差對比。其中，均方根誤差為各算法所提取的相移量與參考值（ACA算法所得）的差值的均方根。從表中可以看出，在速度方面，從快到慢依次為IN、EMN、RIP、ACA；在精度方面，當干涉圖數量較多，相移量范圍接近2 rad（50幅）時，其精度從大到小依次為EMN、RIP、IN。相移量范圍小于2且大于 rad時（40幅），四種相移量提取算法的均方根誤差都有所增加，其精度從大到小依次為IN、EMN、RIP。但當相移量的范圍小于 rad時（20幅，10幅），RIP的均方根誤差減少，其他三種算法的均方根誤差增