2021屆高考數(shù)學二輪考前復習第四篇探究新題型速提分必須掌握的命題新動向題型2數(shù)學文化試題課件文

1、題型2數(shù)學文化試題考向一滲透中國傳統(tǒng)文化考向一滲透中國傳統(tǒng)文化【典例【典例1 1】(2020(2020全國全國卷卷) ) 北京天壇的圜丘壇為古代祭天的北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所場所, ,分上、中、下三層分上、中、下三層. .上層中心有一塊圓形石板上層中心有一塊圓形石板( (稱為天心石稱為天心石),),環(huán)繞天心石砌環(huán)繞天心石砌9 9塊扇面形石板構成第一環(huán)塊扇面形石板構成第一環(huán), ,向外每環(huán)依次增加向外每環(huán)依次增加9 9塊塊, ,下一層的第一環(huán)比上一層的下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多最后一環(huán)多9 9塊塊, ,向外每環(huán)依次也增加向外每環(huán)依次也增加9 9塊塊, ,已知每層環(huán)數(shù)相同已知每層環(huán)數(shù)

2、相同, ,且下層比中層多且下層比中層多729729塊塊, ,則三層共有扇面形石板則三層共有扇面形石板( (不含天心石不含天心石) )( () )a.3 699a.3 699塊塊b.3 474b.3 474塊塊c. 3 402c. 3 402塊塊d.3 339d.3 339塊塊真題再研析真題再研析提升審題力提升審題力試題試題情境情境以北京天壇的圜丘壇的石板數(shù)為背景考查等差數(shù)列以北京天壇的圜丘壇的石板數(shù)為背景考查等差數(shù)列. .學科學科應用應用在中國傳統(tǒng)文化的實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題在中國傳統(tǒng)文化的實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題, ,提提出問題出問題, ,分析問題分析問題, ,建立模型建立模型

3、, ,計算求解計算求解, ,從而解決問題從而解決問題. .關鍵關鍵能力能力數(shù)學建模能力數(shù)學建模能力: :運用提供的情境建立等差數(shù)列求和模型運用提供的情境建立等差數(shù)列求和模型. .邏輯思維能力邏輯思維能力: :通過對北京天壇的圜丘壇的石板數(shù)的數(shù)據(jù)通過對北京天壇的圜丘壇的石板數(shù)的數(shù)據(jù)收集、整理、分析收集、整理、分析, ,考查學生推理的能力考查學生推理的能力. .運算求解能力運算求解能力: :通過等差數(shù)列通項公式及前通過等差數(shù)列通項公式及前n n項和的運算項和的運算, ,考查數(shù)學運算的能力考查數(shù)學運算的能力. .c c設每一層有設每一層有n n環(huán)環(huán), ,由題可知從內(nèi)到外每環(huán)的扇面形石板數(shù)之間構成等差

4、數(shù)由題可知從內(nèi)到外每環(huán)的扇面形石板數(shù)之間構成等差數(shù)列列aan n,且公差且公差d=9,d=9,首項首項a a1 1=9,=9,由等差數(shù)列的性質(zhì)可知由等差數(shù)列的性質(zhì)可知s sn n,s,s2n2n-s-sn n,s,s3n3n-s-s2n2n成等差數(shù)成等差數(shù)列列, ,且且(s(s3n3n-s-s2n2n)-(s)-(s2n2n-s-sn n)=n)=n2 2d d，由題意得，由題意得9n9n2 2=729,=729,所以所以n=9,n=9,則三層共有扇面形石板為則三層共有扇面形石板為s s3n3n=s=s2727=27a=27a1 1+ + 9=3 402(9=3 402(塊塊).).27 26

5、2考向二滲透外國文化考向二滲透外國文化【典例【典例2 2】(2020(2020全國全國卷卷) )埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一, ,它的形它的形狀可視為一個正四棱錐狀可視為一個正四棱錐, ,以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積側面三角形的面積, ,則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為 ( () )a. a. b. b. c. c. d. d. 514512514512試題試題情境情境以埃及胡夫金字塔為背景考查正四棱

6、錐的有關概念及以埃及胡夫金字塔為背景考查正四棱錐的有關概念及計算計算. .學科學科應用應用本題從數(shù)學角度對胡夫金字塔的問題進行解讀本題從數(shù)學角度對胡夫金字塔的問題進行解讀. .關注關注正四棱錐的有關概念及計算正四棱錐的有關概念及計算, ,體現(xiàn)了數(shù)學文化在數(shù)學體現(xiàn)了數(shù)學文化在數(shù)學中的應用中的應用. .關鍵關鍵能力能力數(shù)學運算能力數(shù)學運算能力: :本題求解三角形底邊上的高與底面正本題求解三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比方形的邊長的比, ,考查學生運算的能力考查學生運算的能力. .數(shù)學建模能力數(shù)學建模能力: :運用提供的情境建立正四棱錐的幾何運用提供的情境建立正四棱錐的幾何模型模型. .c c

7、如圖如圖, ,設設cd=a,pecd=a,pe=b,=b,則則po= po= 由題意由題意popo2 2= ab= ab, ,即即 化簡得化簡得 解得解得 ( (負值舍負值舍去去).).2222apeoeb4，1222a1bab42，2bb4( )210aa ，b15a41.(1.(數(shù)學名家數(shù)學名家) )朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學家之一朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學家之一, ,他所著的他所著的四元玉鑒四元玉鑒卷中卷中“如像招數(shù)如像招數(shù)”五問有如下問題五問有如下問題:“:“今有官司今有官司差夫一千八百六十四人筑堤差夫一千八百六十四人筑堤. .只云初日差六十四人只云初日差六十四人, ,次日轉多七人次日

8、轉多七人, ,每人日支米三每人日支米三升升, ,共支米四百三石九斗二升共支米四百三石九斗二升, ,問筑堤幾日問筑堤幾日”. .其大意為其大意為:“:“官府陸續(xù)派遣官府陸續(xù)派遣1 8641 864人人前往修筑堤壩前往修筑堤壩, ,第一天派出第一天派出6464人人, ,從第二天開始從第二天開始, ,每天派出的人數(shù)比前一天多每天派出的人數(shù)比前一天多7 7人人, ,修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3 3升升, ,共發(fā)出大米共發(fā)出大米40 39240 392升升, ,問修筑堤壩多少天問修筑堤壩多少天”. .這個問題中這個問題中, ,前前5 5天應發(fā)大米天應發(fā)大米( () )a.894

9、a.894升升b.1 170b.1 170升升c.1 275c.1 275米米d.1 467d.1 467米米高考演兵場高考演兵場檢驗考試力檢驗考試力b b因為第一天派出因為第一天派出6464人人, ,從第二天開始從第二天開始, ,每天派出的人數(shù)比前一天多每天派出的人數(shù)比前一天多7 7人人, ,所以第所以第5 5天派出天派出:64+4:64+47=927=92人人, ,所以前所以前5 5天共派出天共派出s s5 5= =390(= =390(人人),),所以前所以前5 5天應發(fā)大天應發(fā)大米米:390:3903=1 170(3=1 170(升升).).522.(2.(九連環(huán)九連環(huán)) )九連環(huán)是中

10、國杰出的益智游戲九連環(huán)是中國杰出的益智游戲. .九連環(huán)由九個相互連接的環(huán)組成九連環(huán)由九個相互連接的環(huán)組成, ,這這九個環(huán)套在一個中空的長形柄中九個環(huán)套在一個中空的長形柄中, ,九連環(huán)的玩法就是要將這九個環(huán)從柄上解下來九連環(huán)的玩法就是要將這九個環(huán)從柄上解下來, ,規(guī)則如下規(guī)則如下: :如果要解下如果要解下( (或安上或安上) )第第n n環(huán)環(huán), ,則第則第(n-1)(n-1)號環(huán)必須解下號環(huán)必須解下( (或安上或安上),n-1),n-1往往前的都要解下前的都要解下( (或安上或安上) )才能實現(xiàn)才能實現(xiàn). .記解下記解下n n連環(huán)所需的最少移動步數(shù)為連環(huán)所需的最少移動步數(shù)為a an n, ,已知

11、已知a a1 1=1,a=1,a2 2=2,a=2,an n=a=an-1n-1+2a+2an-2n-2+1(n3),+1(n3),則解六連環(huán)最少需要移動圓環(huán)步數(shù)為則解六連環(huán)最少需要移動圓環(huán)步數(shù)為 ( () )a.42a.42b.85b.85c.256c.256d.341d.341a a由題意可得由題意可得:a:a3 3=a=a2 2+2a+2a1 1+1=2+2+1=5,a+1=2+2+1=5,a4 4=a=a3 3+2a+2a2 2+1=5+4+1=10,+1=5+4+1=10,a a5 5=a=a4 4+2a+2a3 3+1=10+10+1=21,a+1=10+10+1=21,a6 6=

12、a=a5 5+2a+2a4 4+1=21+20+1=42.+1=21+20+1=42.3.(3.(數(shù)學名著數(shù)學名著) )程大位程大位算法統(tǒng)宗算法統(tǒng)宗里有詩云里有詩云“九百九十六斤棉九百九十六斤棉, ,贈分八子做盤纏贈分八子做盤纏. .次第每人多十七次第每人多十七, ,要將第八數(shù)來言要將第八數(shù)來言. .務要分明依次弟務要分明依次弟, ,孝和休惹外人傳孝和休惹外人傳.”.”意意為為:996:996斤棉花斤棉花, ,分別贈送給分別贈送給8 8個子女做旅費個子女做旅費, ,從第一個開始從第一個開始, ,以后每人依次多以后每人依次多1717斤斤, ,直到第八個孩子為止直到第八個孩子為止. .分配時一定要

13、等級分明分配時一定要等級分明, ,使孝順子女的美德外傳使孝順子女的美德外傳, ,則第八個則第八個孩子分得斤數(shù)為孩子分得斤數(shù)為 ( () )a.65a.65b.184b.184c.183c.183d.176d.176b b由題意可得由題意可得,8,8個孩子所得的棉花構成公差為個孩子所得的棉花構成公差為1717的等差數(shù)列的等差數(shù)列, ,且前且前8 8項和為項和為996,996,設首項為設首項為a a1 1, ,結合等差數(shù)列前結合等差數(shù)列前n n項和公式有項和公式有:s:s8 8=8a=8a1 1+ d=8a+ d=8a1 1+28+2817=996,17=996,解解得得:a:a1 1=65,=6

14、5,則則a a8 8=a=a1 1+7d=65+7+7d=65+717=184.17=184.即第八個孩子分得斤數(shù)為即第八個孩子分得斤數(shù)為184.184.8 724.(4.(牟合方蓋牟合方蓋) )九章算術九章算術中中, ,稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成稱一個正方體內(nèi)兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為的幾何體為“牟合方蓋牟合方蓋”( (如圖如圖).).現(xiàn)提供一種計算現(xiàn)提供一種計算“牟合方蓋牟合方蓋”體積的方法體積的方法. .顯顯然然, ,正方體的內(nèi)切球同時也是正方體的內(nèi)切球同時也是“牟合方蓋牟合方蓋”的內(nèi)切球的內(nèi)切球. .因此因此, ,用任意平行于水平面用任意平行于水平面的平面去

15、截的平面去截“牟合方蓋牟合方蓋”, ,截面均為正方形截面均為正方形, ,該平面截內(nèi)切球得到的是上述正方該平面截內(nèi)切球得到的是上述正方形截面的內(nèi)切圓形截面的內(nèi)切圓. .結合祖暅原理結合祖暅原理, ,兩個同高的立方體兩個同高的立方體, ,如在等高處的截面積相等如在等高處的截面積相等, ,則體積相等則體積相等; ;若正方體的棱長為若正方體的棱長為2,2,則則“牟合方蓋牟合方蓋”的體積為的體積為( () )a. a. b.2b.2c. c. d. d. 1638343a a依題意依題意, ,任意水平面與任意水平面與“牟合方蓋牟合方蓋”及其內(nèi)切球相交的截面為正方形和一個及其內(nèi)切球相交的截面為正方形和一個

16、正方形的內(nèi)切圓正方形的內(nèi)切圓, ,正方形和內(nèi)切圓的面積比為正方形和內(nèi)切圓的面積比為4,4,由祖暅原理由祖暅原理,“,“牟合方蓋牟合方蓋”的體積和內(nèi)切球的體積比為的體積和內(nèi)切球的體積比為4,4,又正方體的棱長為又正方體的棱長為2,2,所以其內(nèi)切球的半徑為所以其內(nèi)切球的半徑為1,1,所以內(nèi)切球體積為所以內(nèi)切球體積為 ,故故“牟合方蓋牟合方蓋”的體積為的體積為 . .431635.(5.(中式園林中式園林) )窗的運用是中式園林設計的重要組成部分窗的運用是中式園林設計的重要組成部分, ,常常運用象征、隱喻、常常運用象征、隱喻、借景等手法借景等手法, ,將民族文化與哲理融入其中將民族文化與哲理融入其中

17、, ,營造出廣闊的審美意境營造出廣闊的審美意境. .從窗的外形看從窗的外形看, ,常見的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等常見的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等. .如圖如圖, ,在平面直角坐標系在平面直角坐標系xoyxoy中中,o,o為正八邊形為正八邊形p p1 1p p2 2p p8 8的中心的中心,p,p1 1p p8 8xx軸軸, ,現(xiàn)用如下方法等可能地確定點現(xiàn)用如下方法等可能地確定點m:m:點點m m滿足滿足2 =0(2 =0(其中其中1i,j8,1i,j8,且且i,jni,jn* *,ij,ij),),則點則點m(m(異于點異于點o)o)落在坐標軸落在坐標軸上的概率為上的概率為(

18、 () )a. a. b. b. c. c. d. d. ijomopop 35373827d d因為確定一個因為確定一個 需從需從8 8個向量個向量 (1i8)(1i8)中任取兩個有中任取兩個有 =28=28種取法種取法, ,用用列舉法得使點列舉法得使點m(m(異于點異于點o)o)落在坐標軸上的取法與落在坐標軸上的取法與 結合的有結合的有 , , 兩個兩個, ,由于由于每個向量都對應兩個每個向量都對應兩個, ,但重復一次但重復一次, ,所以共有所以共有 =8=8種種, ,則點則點m m落在坐標軸上的概率落在坐標軸上的概率為為 = .= .omiop28c1op4op8op8 22828276

19、.(6.(龍門石窟龍門石窟) )河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術寶庫之一河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術寶庫之一, ,現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn), ,龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟. .現(xiàn)有一石窟的某現(xiàn)有一石窟的某處處“浮雕像浮雕像”共共7 7層層, ,每上層的數(shù)量是下層的每上層的數(shù)量是下層的2 2倍倍, ,總共有總共有10161016個個“浮雕像浮雕像”, ,這些這些“浮雕像浮雕像”構成一幅優(yōu)美的圖案構成一幅優(yōu)美的圖案, ,若從最下層往上若從最下層往上“浮雕像浮雕像”的數(shù)量構成一個數(shù)的數(shù)量構成一個數(shù)列列aan

20、 n,則則loglog2 2 的值為的值為( () )a.8a.8b.10b.10c.12c.12d.16d.1635(a a )c c因為最下層的因為最下層的“浮雕像浮雕像”的數(shù)量為的數(shù)量為a a1 1, ,依題有依題有: :公比公比q=2,n=7,sq=2,n=7,s7 7= = =1 016,=1 016,解得解得a a1 1=8,=8,則則a an n=8=82 2n-1n-1=2=2n+2n+2 , ,所以所以a a3 3=2=25 5,a,a5 5=2=27 7, ,從而從而a a3 3aa5 5=2=25 52 27 7=2=21212, ,所以所以loglog2 2 =log

21、=log2 2 =12. =12.71a (12 )12(1n7,nn*)35a a 1227.(7.(二十四節(jié)氣二十四節(jié)氣) )中國農(nóng)歷的中國農(nóng)歷的“二十四節(jié)氣二十四節(jié)氣”是凝結著中華民族的智慧與傳統(tǒng)文是凝結著中華民族的智慧與傳統(tǒng)文化的結晶化的結晶,“,“二十四節(jié)氣二十四節(jié)氣”歌是以歌是以“春、夏、秋、冬春、夏、秋、冬”開始的四句詩開始的四句詩,2016,2016年年1111月月3030日日,“,“二十四節(jié)氣二十四節(jié)氣”正式被聯(lián)合國教科文組織列入人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)正式被聯(lián)合國教科文組織列入人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn), ,也也被譽為被譽為“中國的第五大發(fā)明中國的第五大發(fā)明”. .某小學三年級共有學生某

22、小學三年級共有學生500500名名, ,隨機抽查隨機抽查100100名學名學生并提問生并提問“二十四節(jié)氣二十四節(jié)氣”歌歌, ,只能說出兩句的有只能說出兩句的有4545人人, ,能說出三句及其以上的有能說出三句及其以上的有3232人人, ,據(jù)此估計該校三年級的據(jù)此估計該校三年級的500500名學生中名學生中, ,對對“二十四節(jié)氣二十四節(jié)氣”歌只能說出一句或歌只能說出一句或一句也說不出的大約有一句也說不出的大約有 ( () )a.69a.69人人8484人人c.108c.108人人d.115d.115人人d d由題意由題意,100,100人中只能說出一句或一句也說不出的同學有人中只能說出一句或一句

23、也說不出的同學有100-45-32=23100-45-32=23人人, ,故故只能說出一句或一句也說不出的學生占的比例為只能說出一句或一句也說不出的學生占的比例為 , ,故只能說出一句或一句也故只能說出一句或一句也說不出的學生共有說不出的學生共有500500 =115 =115人人. .23100231008.(8.(中古玉器中古玉器) )玉琮是中國古代玉器中重要的禮器玉琮是中國古代玉器中重要的禮器, ,神人紋玉神人紋玉琮王是新石器時代良渚文化的典型玉器琮王是新石器時代良渚文化的典型玉器,1986,1986年出土于浙江年出土于浙江省余杭市反山文化遺址省余杭市反山文化遺址. .玉琮王通高玉琮王通

24、高8.8 cm,8.8 cm,孔徑孔徑4.9 cm,4.9 cm,外外徑徑17.6 cm.17.6 cm.琮體四面各琢刻一完整的獸面神人圖琮體四面各琢刻一完整的獸面神人圖. .獸面的兩側各淺浮雕鳥紋獸面的兩側各淺浮雕鳥紋. .器器形呈扁矮的方柱體形呈扁矮的方柱體, ,內(nèi)圓外方內(nèi)圓外方, ,上下端為圓面的射上下端為圓面的射, ,中心有一上下垂直相透的圓孔中心有一上下垂直相透的圓孔. .試估計該神人紋玉琮王的體積約為試估計該神人紋玉琮王的體積約為( (單位單位:cm:cm3 3) )( () )a.6 250a.6 250b.3 050b.3 050c.2 850c.2 850d.2 350d.2

25、 350d d由題可知由題可知, ,該神人紋玉琮王可看成是一個底面邊長為該神人紋玉琮王可看成是一個底面邊長為17.6 cm,17.6 cm,高為高為8.8 cm8.8 cm的的正四棱柱中挖去一個底面直徑為正四棱柱中挖去一個底面直徑為4.9 cm,4.9 cm,高為高為8.8 cm8.8 cm的圓柱的圓柱, ,此時求得體積記為此時求得體積記為v v1 1,v,v1 1= = 8.8-8.8- 8.82560(cm8.82560(cm3 3),),記該神人紋玉琮王的實際體積為記該神人紋玉琮王的實際體積為v,v,則則vvv,v 8.8-8.8- 8.81 975(cm8.81 975(cm3 3),

26、),故故1 975v2 560.1 975v2 560.2(17.6)24.9()2217.6()224.9()29.(9.(良渚古城遺址良渚古城遺址) )中國良渚古城遺址獲準列入世界遺產(chǎn)名錄中國良渚古城遺址獲準列入世界遺產(chǎn)名錄, ,標志著中華五千年標志著中華五千年文明史得到國際社會認可文明史得到國際社會認可. .良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例, ,證實了中證實了中華五千年文明史華五千年文明史. .考古科學家在測定遺址年齡的過程中利用了考古科學家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質(zhì)因衰放射性物質(zhì)因衰變而減少變而減少”這一規(guī)律這一規(guī)律. .已知樣本中

27、碳已知樣本中碳1414的質(zhì)量的質(zhì)量n n隨時間隨時間t(t(單位單位: :年年) )的衰變規(guī)律滿的衰變規(guī)律滿足足n=nn=n0 0 (n (n0 0表示碳表示碳1414原有的質(zhì)量原有的質(zhì)量),),則經(jīng)過則經(jīng)過5 7305 730年后年后, ,碳碳1414的質(zhì)量變?yōu)樵瓉淼馁|(zhì)量變?yōu)樵瓉淼牡腳;_;經(jīng)過測定經(jīng)過測定, ,良渚古城遺址文物樣本中碳良渚古城遺址文物樣本中碳1414的質(zhì)量是原來的的質(zhì)量是原來的 至至 , ,據(jù)此推測良渚古城存在的時期距今約在據(jù)此推測良渚古城存在的時期距今約在_年到年到5 7305 730年之間年之間.(.(參考數(shù)參考數(shù)據(jù)據(jù):log:log2 231.6,log31.6,log2 252.3)52.3)t5 73021235【解析【解析】因為文物樣本中碳因為文物樣本中碳1414的質(zhì)量的質(zhì)量n n與時間與時間t t之間的函數(shù)關系式為之間的函數(shù)關系式為: :n=nn=n0 0