高數(shù)-數(shù)學(xué)極限總結(jié)

1、函數(shù)極限總結(jié)一極限的產(chǎn)生極限理論是研究關(guān)于極限的嚴(yán)格定義、基本性質(zhì)和判別準(zhǔn)則等問題的基礎(chǔ)理論。極限思想的萌芽可以追溯到古希臘時(shí)期和中國戰(zhàn)國時(shí)期，但極限概念真正意義上的首次出現(xiàn)于沃利斯的無窮算數(shù)中，牛頓在其自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理一書中明確使用了極限這個(gè)詞并作了闡述。但遲至18世紀(jì)下半葉，達(dá)朗貝爾等人才認(rèn)識(shí)到，把微積分建立在極限概念的基礎(chǔ)之上，微積分才是完善的，柯西最先給出了極限的描述性定義，之后，魏爾斯特拉斯給出了極限的嚴(yán)格定義（-和-N定義）。從此，各種極限問題才有了切實(shí)可行的判別準(zhǔn)則，使極限理論成為了微積分的工具和基礎(chǔ)。1二極限知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1. 極限定義函數(shù)極限：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)的x0某一去心鄰

2、域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)（無論它多么?。?，總存在正數(shù) ，使得當(dāng)x滿足不等式時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 都滿足不等式：那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)xx0時(shí)的極限，記作。2單側(cè)極限：.左極限：或 .右極限：或定理： 函數(shù)當(dāng)時(shí)極限存在的充分必要條件是左、右極限各自存在且相等 即。2. 極限概念函數(shù)極限可以分成以的極限為例，f(x) 在點(diǎn)x0以A為極限的定義是：對(duì)于任意給定的正數(shù)（無論它多么?。?，總存在正數(shù)，使得當(dāng)x滿足不等式時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式：|f(x)-A|，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng) xx。時(shí)的極限。函數(shù)極限具有唯一性、局部有限性、局部保號(hào)性23. 存在準(zhǔn)則有

3、些函數(shù)的極限很難或難以直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則求得，需要先判定。下面介紹幾個(gè)常用的判定數(shù)列極限的定理。準(zhǔn)則.如果數(shù)列，及滿足以下條件：（1） 從某項(xiàng)起，即，當(dāng)時(shí)，有；（2） ；，那么數(shù)列的極限存在，且準(zhǔn)則如果（1）當(dāng)（或）時(shí)， （2）， 那么存在，且等于。夾逼定理：（1）當(dāng)時(shí)，有成立（2）,那么，極限存在，且等于A【準(zhǔn)則，準(zhǔn)則合稱夾逼定理】準(zhǔn)則： 單調(diào)有界數(shù)列必有極限準(zhǔn)則 ：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)左(右)鄰域內(nèi)單調(diào)并且有界，則在的左(右)極限必定存在3單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)增加（減少）有上（下）界的數(shù)列必定收斂?？挛鳒?zhǔn)則：數(shù)列收斂的充分必要條件是任給,存在,使得當(dāng),時(shí)，有成立。2極限運(yùn)算相關(guān)法則、定理及推論

4、（1） .設(shè)、為同一極限過程下的無窮小 （無窮小）（2） .窮小之積為無窮小 （無窮?。┩普摚?常數(shù)與無窮小之積為無窮小 .有限個(gè)無窮小之積為無窮?。?） .有界函數(shù)與無窮小之積為無窮小 （4） .函數(shù)極限運(yùn)算法則 定理：設(shè)，則若，則推論1.如果存在，而c為常數(shù)那么推論2. 則定理（復(fù)合函數(shù)求極限法則）設(shè)函數(shù)是由函數(shù)與函數(shù)復(fù)合而成，在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義，若，且存在，當(dāng)時(shí)，有，則。兩個(gè)重要極限：.即若，則常用等價(jià)無窮?。寒?dāng)時(shí)， ， 計(jì)算極限方法總結(jié)（1） 直接帶入求極限 例1.【解】 （2）約零因子求極限 例2.求極限【說明】x1表明x與1無限接近，但。所以x-1這一零因子可以約去?！窘狻浚?/p>

5、3）分子分母同除求極限（公式法）例3.求極限【說明】型且分子分母都以多項(xiàng)式給出的極限，可通過分子分母同除來求?！窘狻俊咀ⅰ浚?）一般分子分母同除x的最高次方（2）(4)分子(分母)有理化求極限例4.求極限【說明】分子分母有理化求極限，是通過有理化去除無理式【解】例5.求極限【解】【注】本題除使用分子有理化方法外，及時(shí)分離極限式中的非零因子是解題的關(guān)鍵。(5)應(yīng)用兩個(gè)重要極限求極限【說明】兩個(gè)重要極限是和例6.求極限【說明】用第二個(gè)重要極限時(shí)主要搞清楚步驟：先湊出1，在湊，最后湊指數(shù)部分?！窘狻?6)用等價(jià)無窮小兩代換求極限【說明】(1）常見的等價(jià)無窮小有:當(dāng)x0時(shí)，x=sinx=tanx=arcsinx=arctanx=ln(1+x）=ex-1，1-cosx=,，。（2）等價(jià)無窮小量代換，只能代換極限式中的因式；（3）此方法在各種求極限的方法中應(yīng)作為首選。例7.求極限【解】例8.求極限【解】(7)用洛必達(dá)法則求極限例9.求極限【說明】和型的極限，可通過洛必達(dá)法則來求?！窘狻俊咀ⅰ坑性S多變動(dòng)上限的積分表示的極限，常用洛必達(dá)法則求解。例10.設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，求極限【解】由于，于是(8)用對(duì)數(shù)恒等式求極限例11.求極限【解】【注】對(duì)于形勢的未定式，也可用公式因?yàn)槔?2.求極限【解1】原式=【解2】原式=