第三章概率3.3.1幾何概型教學設計新人教A版必修3

1、幾何概型一、教材分析教材的地位和作用“幾何概型”是繼“古典概型”之后的第二類等可能概率模型，在概率論中占有相當重要的地位，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸，是為更廣泛的滿足隨機模擬的需要而新增加的內容，這充分體現了數學與實際生活的緊密關系。幾何概型共安排 2課時,本節(jié)課是第1課時，注重概念的建構和公式的應用，為第二課時的幾何概型的應用以及體會隨機模擬中的統(tǒng)計思想打下基礎。教學重點與難點重點：掌握幾何概型的判斷及幾何概型中概率的計算公式。難點：在幾何概型中把實驗的基本事件和隨機事件與某一特定的幾何區(qū)域及其子區(qū)域對應，確定適當的幾何測度。通過數學建模解決實際問題。理論依據本課是一節(jié)概念新授課，

2、因此把掌握幾何概型的判斷及幾何概型中概率的計算公式作為教學重點。教學難點是在幾何概型中把實驗的基本事件和隨機事件與某一特定的幾何區(qū)域及其子區(qū)域對應，確定適當的幾何測度。此外，學生通過數學建模解決實際問題也較為困難，因此也是本節(jié)課的難點。二、教學目標知識與技能目標（1 ）體會幾何概型的意義。（2 ）了解幾何概型的概率計算公式過程與方法目標通過古典概型的例子，稍加變化后成為幾何概型，從有限個等可能結果推廣到無限個等可能結果，讓學生經歷概念的建構這一過程，感受數學的拓廣過程。通過實際應用，培養(yǎng)學生把實際問題抽象成數學問題的能力，感知用圖形解決概率問題的方法。情感與態(tài)度目標體會概率在生活中的重要作用，

3、感知生活中的數學，激發(fā)提出問題和解決問題的勇氣，培養(yǎng)其積極探索的精神。三、教學方法，教學模式，教學手段本節(jié)課采用以引導發(fā)現為主的教學方法，以歸納啟發(fā)式作為教學模式，結合多媒體輔助教學。15四、學法指導通過合作交流，類 比聯想，歸納化歸，總結提升，讓學生在學習中學會怎樣發(fā)現問題、分析問題、解決冋題。五、教學過程教學環(huán)節(jié)教學內容情境一情境一：飛鏢游戲：如圖所示，規(guī)定射中紅色區(qū)域表示中獎問題：各個圓盤的中獎概率各是多少？以境激情形成概(1)(2)設計意圖對課本通過等分猜想引 入幾何概型的改造，通過學 生猜想依次得到概率。首先 是將圓盤五等分，概率的求 解十分容易，預計學生可能 將飛鏢分別射在五個相同

4、的 扇形區(qū)域作為五個等可能基 本事件，從而概率的求解仍 然停留在古典概型上。第二 種圓盤的三塊區(qū)域圓心角之 比為1:2:3。圓盤(2)的求解 雖然可以由等分的觀點得到 答案，但圖形淡化了等分。 第三種圓盤兩圓的半徑之比 為1:2，實現了完全的面積 化，古典概型已經完全淡出 了學生的思考范圍。在這一情境中，以學生 為主體的直觀知識進行猜 想，設置三個環(huán)節(jié)創(chuàng)造性的 使用教材，通過三個圓盤的 變化，逐步實現從有限到無 限，從古典概型到幾何概型 的過渡，讓學生感受數學的念拓廣過程。冋時在這一情境i中，首先在學生的思維里呈j現面積這一幾何測度。J亠(3)情境二的設置是從情境二學生熟悉并且容易解決的一建問

5、題1在區(qū)間0 , 9上任取一個整數，恰好個古典概型冋題，稍加修改，取在區(qū)間0, 3上的概率為多少？轉變成為一個幾何概型的問構問題2:在區(qū)間0，9上任取一個實數，恰好題，進一步從等可能性、無取在區(qū)間0，3上的概率為多少？限性兩方面來區(qū)別古典概概型與幾何概型，深化學生對幾何概型意義的體會，同時念在學生的思維里呈現長度這一幾何測度。幾何概型的概念如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何 概型幾何概型中事件 A的概率計算公式構成事件A的區(qū)域長度（面積或體 積）（）試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度（面積或體積）基于情境一和情境 二的分

6、析，不難引導學生得 到幾何概型的概念，并從兩 個幾何概型概率問題的解決 過程中歸納概括得到幾何概 型中的概率計算公式。這一 概念的形成過程符合學生“研究新問題一一產生內在 需求一一解決新問題”的認 知規(guī)律。而歸納是一種重要 的推理方法，由具體結論歸 納概括出定義能使學生的感 性認識升華到理性認識，培 養(yǎng)學生從特殊到一般的認知 方法，實現體會幾何概型的 意義和了解幾何概型概率公 式的知識與技能目標。在這一情境中，用生動 的圖形，動態(tài)演示，比較變 化，向學生展現幾何概型中 隨機事件的概率大小只與該 區(qū)域的長度（面積或體積） 成比例，易于學生理解和接 受同時令學生印象深刻。情境三如圖所示的邊長為2的

7、正方形區(qū)域內有一個面積為1的心形區(qū)域,現將一顆豆子隨機地扔在正方形內計算它落在陰影部分的概率（不計豆子的面積且豆子都能落在正方形區(qū)域內）情境四請問飛鏢射中靶心 A的概率是多少為了揭示概率與事件發(fā) 生可能性的內在聯系，我在 情境四設置了這樣一個問 題。這個問題的難點在于點 的面積。為此我借助動畫， 讓紅色圓面的半徑不斷縮短 至靶心A點，直觀的用極限 思想解釋了事件發(fā)生區(qū)域為 一個點時，半徑為0，面積 為0，從而突破了情境中的 難點，而求解得出的結論恰 恰與學生認知結構中概率為 0是不可能事件發(fā)生了強烈 沖突，極大的調動了學生的 思考熱情，通過這一矛盾沖 突的解決，延伸發(fā)展，揭示 出幾何概型與古典

8、概型的一 大區(qū)別，升華了學生的認識， 實現了發(fā)現問題、積極探索、 解決問題的情感目標。情境一到情境四分步驟抓古典概型幾何概型聯系基本事件發(fā)生的 等可能性基本事件發(fā)生的等可能性區(qū)別基本事件個數的有限性概率為0的事件是不 可能事件，概率為1 的事件是必然事件基本事件個數的無限性 與基本事件的位置、形狀無關 概率為0的事件未必是不可能 事件，概率為1的事件未必是 必然事件求解方法i八、mP(A) = -n八 A的測度（）O的測度-住教學重點，逐步深化幾何 概型的意義和內涵，從而達 到建構和完善學生認知結構 的目的。配合表格的完成和 說明，幫助學生梳理概念， 加深印象。例題 1 在棱長為 2的正方體

9、ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一點P,則點P到點A的距離小于等于1的概率為變式1 :在棱長為2的正方體 ABCD-A1B1C1D1的面AA1B1B上任取一點P,則點P到點A的距離小于等于1的概率為變式2:在棱長為 2的正方體 ABCD-A1B1C1D1中任取一點 P,剖析例題深化鞏固辨析：如圖所示，正方體容器內倒置一個圓柱形容器，隨機向正方體容器內投擲一顆豆子（假設豆子都能落在正方形A1B1C1D1區(qū)域內且豆子面積不計）.試問：豆子落入圓錐形容器內的概率是多少？辨析變式：如圖所示，正方體容器內倒置一個圓錐形容器，隨機幾何概型的概率公式 中，幾何測度的選擇是本節(jié) 課的難點之一，為了突破

10、這 一難點，我設計以下三個同 例變式通過解決三個具體問 題，讓學生經歷公式的應用 過程，三個例子形成梯度分 散難點，逐步拓展學生的想 象空間，逐一呈現了公式中 的三個幾何測度。同時將多 媒體技術與課堂教學有機整 合，提高課堂效率，教學目 的性明確，實現掌握幾何概 型概率公式的目標，突破測 度選擇的教學難點。本題有兩個明顯的幾何 測度：面積與體積，在測度 的選取上產生了認知沖突，向正方體容器內投擲一顆豆子（假設豆子都能落在正方形A1B1C1D1區(qū)域內且豆子面積不計）試問：豆子落入圓錐形容器內的概率是多少?E1L利用實物模型做實驗，逐步 引導學生做出正確的測度選 擇。本例題作為一道測度選 擇的辨析

11、題，能夠進一步提 高學生選擇測度的能力。例題2:設點P是三角形ABC內部的一點，1當P點運動時，試求 Sa pbcCSmbc的概率.2本例題的設置目的在于 讓學生利用已有知識，轉化 問題，找到滿足條件的p點 所在的區(qū)域，經歷基本事件 發(fā)生區(qū)域的尋找過程，回歸 公式應用的前提，確定構成 事件A發(fā)生的幾何區(qū)域。從實際問題中建立數學例題3:某人午覺醒來，發(fā)現表停了，他打開收音機，想聽電臺整點報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率實際應用建立模型全部結果構成的區(qū)域：0,60構成事件的區(qū)域：50,60模型，抽象數學語言和符號, 是高中數學學習的一大難 點。將得出的科學結論用于 解決實際問題，有利于進一

12、 步鞏固獲得的知識，發(fā)展數 學能力。例題3是關于數學建模的一 道實際應用題。首先我分解 本題的兩個難點。難點是基 本事件的確定，難點二是幾 何測度的優(yōu)化選擇。針對難 點一，我利用實物，通過實 驗得出結論，突破難點。確 定了構成事件的區(qū)域后，由 于鐘表外觀具有明顯的幾何 特征，我預計學生可能會選 擇弧長、圓心角、甚至扇形 面積等作為測度，當然都可 以得到問題的解決，而當以 角度作為變量時，弧長和面 積均與角度成正比關系，故 這三種測度的選擇在本質上是相同的。為了讓學生對這一實際 問題的本質有進一步的認 識，優(yōu)化測度選擇，我圓盤 形鐘表換成了電子鐘，突破 課本的設計理念，引導學生 認識到弧長、角度

13、、面積這 些測度本質上就是時間區(qū)域的長度，從形到數的轉變， 實現了測度的優(yōu)化選擇，揭 示出數學的本質，突破了難 點二。梳概念、知識點表格在這一環(huán)節(jié)，通過學生理回顧，教師加以適當總結和知提煉，突出本節(jié)課的重點，識加深學生對所學知識的印象。同時注重引導學生對解歸題思路和方法的總結，讓學納生知道理解概念是關鍵，掌總握公式是前提，實際應用是結深化。1、探究題：甲、乙、丙三人做游戲，游戲規(guī)則如下：要將一枚質地均勻的銅板扔到一個小方塊上，已知銅板的直徑是方塊邊長的1/2，誰能將銅板完整的扔到這塊方塊上就可以晉級下一輪。已知，甲一扔，銅板落在小方塊上，且沒有掉下來，問他能晉級作業(yè)的布置米取分層作分下一輪的概

14、率有多大？業(yè)，分為必做題，目的在于層2、 必做題：P142 A組1、2區(qū)別古典概型與幾何概型，作熟悉幾何概型計算公式；選業(yè)3、選做題：如圖所示，做題是關于鞏固測度選擇的C練習；探究題，讓學有余力啟/W/ X的學生課后思考。設置分層迪/ 作業(yè)目的在于鞏固概念落實升AMB基礎的同時，利用彈性作業(yè)華在等腰直角三角形 ABC中，在線段 AB上取一點M,求AMAC使不同層次的學生都有所收的概率？獲。變式：過直角頂點C在ABC內部作一條射線 CM與線段AB交于點M,則AMAC勺概率如何計算？六、評價分析1、評價教學目標的完成情況本節(jié)課創(chuàng)造性的使用教材，揭示矛盾，創(chuàng)設問題的情境，在問題情境中讓古典概型自然地向幾 何概型的過渡，抓住了幾何概型與古典概型的幾大本質區(qū)別，讓學生獲得新知的同時體會了數學知 識的拓廣過程。例題設置變式拓展，層層遞進，突破教材設計理念，結合多媒體和實物模型的使用， 形象直觀，豐富課堂形式，實現掌握重點突破難點的目的以達到更好的教學效果。同時注重各種數學思想方法的滲透。最后以生活中的