第三章概率3.3.1幾何概型教學(xué)設(shè)計(jì)新人教A版必修3

1、幾何概型一、教材分析教材的地位和作用“幾何概型”是繼“古典概型”之后的第二類等可能概率模型，在概率論中占有相當(dāng)重要的地位，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸，是為更廣泛的滿足隨機(jī)模擬的需要而新增加的內(nèi)容，這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的緊密關(guān)系。幾何概型共安排 2課時(shí),本節(jié)課是第1課時(shí)，注重概念的建構(gòu)和公式的應(yīng)用，為第二課時(shí)的幾何概型的應(yīng)用以及體會(huì)隨機(jī)模擬中的統(tǒng)計(jì)思想打下基礎(chǔ)。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握幾何概型的判斷及幾何概型中概率的計(jì)算公式。難點(diǎn)：在幾何概型中把實(shí)驗(yàn)的基本事件和隨機(jī)事件與某一特定的幾何區(qū)域及其子區(qū)域?qū)?yīng)，確定適當(dāng)?shù)膸缀螠y(cè)度。通過數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題。理論依據(jù)本課是一節(jié)概念新授課，

2、因此把掌握幾何概型的判斷及幾何概型中概率的計(jì)算公式作為教學(xué)重點(diǎn)。教學(xué)難點(diǎn)是在幾何概型中把實(shí)驗(yàn)的基本事件和隨機(jī)事件與某一特定的幾何區(qū)域及其子區(qū)域?qū)?yīng)，確定適當(dāng)?shù)膸缀螠y(cè)度。此外，學(xué)生通過數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題也較為困難，因此也是本節(jié)課的難點(diǎn)。二、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)（1 ）體會(huì)幾何概型的意義。（2 ）了解幾何概型的概率計(jì)算公式過程與方法目標(biāo)通過古典概型的例子，稍加變化后成為幾何概型，從有限個(gè)等可能結(jié)果推廣到無限個(gè)等可能結(jié)果，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的建構(gòu)這一過程，感受數(shù)學(xué)的拓廣過程。通過實(shí)際應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的能力，感知用圖形解決概率問題的方法。情感與態(tài)度目標(biāo)體會(huì)概率在生活中的重要作用，

3、感知生活中的數(shù)學(xué)，激發(fā)提出問題和解決問題的勇氣，培養(yǎng)其積極探索的精神。三、教學(xué)方法，教學(xué)模式，教學(xué)手段本節(jié)課采用以引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)為主的教學(xué)方法，以歸納啟發(fā)式作為教學(xué)模式，結(jié)合多媒體輔助教學(xué)。15四、學(xué)法指導(dǎo)通過合作交流，類 比聯(lián)想，歸納化歸，總結(jié)提升，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)怎樣發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決冋題。五、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容情境一情境一：飛鏢游戲：如圖所示，規(guī)定射中紅色區(qū)域表示中獎(jiǎng)問題：各個(gè)圓盤的中獎(jiǎng)概率各是多少？以境激情形成概(1)(2)設(shè)計(jì)意圖對(duì)課本通過等分猜想引 入幾何概型的改造，通過學(xué) 生猜想依次得到概率。首先 是將圓盤五等分，概率的求 解十分容易，預(yù)計(jì)學(xué)生可能 將飛鏢分別射在五個(gè)相同

4、的 扇形區(qū)域作為五個(gè)等可能基 本事件，從而概率的求解仍 然停留在古典概型上。第二 種圓盤的三塊區(qū)域圓心角之 比為1:2:3。圓盤(2)的求解 雖然可以由等分的觀點(diǎn)得到 答案，但圖形淡化了等分。 第三種圓盤兩圓的半徑之比 為1:2，實(shí)現(xiàn)了完全的面積 化，古典概型已經(jīng)完全淡出 了學(xué)生的思考范圍。在這一情境中，以學(xué)生 為主體的直觀知識(shí)進(jìn)行猜 想，設(shè)置三個(gè)環(huán)節(jié)創(chuàng)造性的 使用教材，通過三個(gè)圓盤的 變化，逐步實(shí)現(xiàn)從有限到無 限，從古典概型到幾何概型 的過渡，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的念拓廣過程。冋時(shí)在這一情境i中，首先在學(xué)生的思維里呈j現(xiàn)面積這一幾何測(cè)度。J亠(3)情境二的設(shè)置是從情境二學(xué)生熟悉并且容易解決的一建問

5、題1在區(qū)間0 , 9上任取一個(gè)整數(shù)，恰好個(gè)古典概型冋題，稍加修改，取在區(qū)間0, 3上的概率為多少？轉(zhuǎn)變成為一個(gè)幾何概型的問構(gòu)問題2:在區(qū)間0，9上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，恰好題，進(jìn)一步從等可能性、無取在區(qū)間0，3上的概率為多少？限性兩方面來區(qū)別古典概概型與幾何概型，深化學(xué)生對(duì)幾何概型意義的體會(huì)，同時(shí)念在學(xué)生的思維里呈現(xiàn)長(zhǎng)度這一幾何測(cè)度。幾何概型的概念如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為幾何 概型幾何概型中事件 A的概率計(jì)算公式構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體 積）（）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）基于情境一和情境 二的分

6、析，不難引導(dǎo)學(xué)生得 到幾何概型的概念，并從兩 個(gè)幾何概型概率問題的解決 過程中歸納概括得到幾何概 型中的概率計(jì)算公式。這一 概念的形成過程符合學(xué)生“研究新問題一一產(chǎn)生內(nèi)在 需求一一解決新問題”的認(rèn) 知規(guī)律。而歸納是一種重要 的推理方法，由具體結(jié)論歸 納概括出定義能使學(xué)生的感 性認(rèn)識(shí)升華到理性認(rèn)識(shí)，培 養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的認(rèn)知 方法，實(shí)現(xiàn)體會(huì)幾何概型的 意義和了解幾何概型概率公 式的知識(shí)與技能目標(biāo)。在這一情境中，用生動(dòng) 的圖形，動(dòng)態(tài)演示，比較變 化，向?qū)W生展現(xiàn)幾何概型中 隨機(jī)事件的概率大小只與該 區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積） 成比例，易于學(xué)生理解和接 受同時(shí)令學(xué)生印象深刻。情境三如圖所示的邊長(zhǎng)為2的

7、正方形區(qū)域內(nèi)有一個(gè)面積為1的心形區(qū)域,現(xiàn)將一顆豆子隨機(jī)地扔在正方形內(nèi)計(jì)算它落在陰影部分的概率（不計(jì)豆子的面積且豆子都能落在正方形區(qū)域內(nèi)）情境四請(qǐng)問飛鏢射中靶心 A的概率是多少為了揭示概率與事件發(fā) 生可能性的內(nèi)在聯(lián)系，我在 情境四設(shè)置了這樣一個(gè)問 題。這個(gè)問題的難點(diǎn)在于點(diǎn) 的面積。為此我借助動(dòng)畫， 讓紅色圓面的半徑不斷縮短 至靶心A點(diǎn)，直觀的用極限 思想解釋了事件發(fā)生區(qū)域?yàn)?一個(gè)點(diǎn)時(shí)，半徑為0，面積 為0，從而突破了情境中的 難點(diǎn)，而求解得出的結(jié)論恰 恰與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中概率為 0是不可能事件發(fā)生了強(qiáng)烈 沖突，極大的調(diào)動(dòng)了學(xué)生的 思考熱情，通過這一矛盾沖 突的解決，延伸發(fā)展，揭示 出幾何概型與古典

8、概型的一 大區(qū)別，升華了學(xué)生的認(rèn)識(shí)， 實(shí)現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)問題、積極探索、 解決問題的情感目標(biāo)。情境一到情境四分步驟抓古典概型幾何概型聯(lián)系基本事件發(fā)生的 等可能性基本事件發(fā)生的等可能性區(qū)別基本事件個(gè)數(shù)的有限性概率為0的事件是不 可能事件，概率為1 的事件是必然事件基本事件個(gè)數(shù)的無限性 與基本事件的位置、形狀無關(guān) 概率為0的事件未必是不可能 事件，概率為1的事件未必是 必然事件求解方法i八、mP(A) = -n八 A的測(cè)度（）O的測(cè)度-住教學(xué)重點(diǎn)，逐步深化幾何 概型的意義和內(nèi)涵，從而達(dá) 到建構(gòu)和完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu) 的目的。配合表格的完成和 說明，幫助學(xué)生梳理概念， 加深印象。例題 1 在棱長(zhǎng)為 2的正方體

9、ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于1的概率為變式1 :在棱長(zhǎng)為2的正方體 ABCD-A1B1C1D1的面AA1B1B上任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于1的概率為變式2:在棱長(zhǎng)為 2的正方體 ABCD-A1B1C1D1中任取一點(diǎn) P,剖析例題深化鞏固辨析：如圖所示，正方體容器內(nèi)倒置一個(gè)圓柱形容器，隨機(jī)向正方體容器內(nèi)投擲一顆豆子（假設(shè)豆子都能落在正方形A1B1C1D1區(qū)域內(nèi)且豆子面積不計(jì)）.試問：豆子落入圓錐形容器內(nèi)的概率是多少？辨析變式：如圖所示，正方體容器內(nèi)倒置一個(gè)圓錐形容器，隨機(jī)幾何概型的概率公式 中，幾何測(cè)度的選擇是本節(jié) 課的難點(diǎn)之一，為了突破

10、這 一難點(diǎn)，我設(shè)計(jì)以下三個(gè)同 例變式通過解決三個(gè)具體問 題，讓學(xué)生經(jīng)歷公式的應(yīng)用 過程，三個(gè)例子形成梯度分 散難點(diǎn)，逐步拓展學(xué)生的想 象空間，逐一呈現(xiàn)了公式中 的三個(gè)幾何測(cè)度。同時(shí)將多 媒體技術(shù)與課堂教學(xué)有機(jī)整 合，提高課堂效率，教學(xué)目 的性明確，實(shí)現(xiàn)掌握幾何概 型概率公式的目標(biāo)，突破測(cè) 度選擇的教學(xué)難點(diǎn)。本題有兩個(gè)明顯的幾何 測(cè)度：面積與體積，在測(cè)度 的選取上產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，向正方體容器內(nèi)投擲一顆豆子（假設(shè)豆子都能落在正方形A1B1C1D1區(qū)域內(nèi)且豆子面積不計(jì)）試問：豆子落入圓錐形容器內(nèi)的概率是多少?E1L利用實(shí)物模型做實(shí)驗(yàn)，逐步 引導(dǎo)學(xué)生做出正確的測(cè)度選 擇。本例題作為一道測(cè)度選 擇的辨析

11、題，能夠進(jìn)一步提 高學(xué)生選擇測(cè)度的能力。例題2:設(shè)點(diǎn)P是三角形ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，1當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求 Sa pbcCSmbc的概率.2本例題的設(shè)置目的在于 讓學(xué)生利用已有知識(shí)，轉(zhuǎn)化 問題，找到滿足條件的p點(diǎn) 所在的區(qū)域，經(jīng)歷基本事件 發(fā)生區(qū)域的尋找過程，回歸 公式應(yīng)用的前提，確定構(gòu)成 事件A發(fā)生的幾何區(qū)域。從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)例題3:某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率實(shí)際應(yīng)用建立模型全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域：0,60構(gòu)成事件的區(qū)域：50,60模型，抽象數(shù)學(xué)語言和符號(hào), 是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一大難 點(diǎn)。將得出的科學(xué)結(jié)論用于 解決實(shí)際問題，有利于進(jìn)一

12、 步鞏固獲得的知識(shí)，發(fā)展數(shù) 學(xué)能力。例題3是關(guān)于數(shù)學(xué)建模的一 道實(shí)際應(yīng)用題。首先我分解 本題的兩個(gè)難點(diǎn)。難點(diǎn)是基 本事件的確定，難點(diǎn)二是幾 何測(cè)度的優(yōu)化選擇。針對(duì)難 點(diǎn)一，我利用實(shí)物，通過實(shí) 驗(yàn)得出結(jié)論，突破難點(diǎn)。確 定了構(gòu)成事件的區(qū)域后，由 于鐘表外觀具有明顯的幾何 特征，我預(yù)計(jì)學(xué)生可能會(huì)選 擇弧長(zhǎng)、圓心角、甚至扇形 面積等作為測(cè)度，當(dāng)然都可 以得到問題的解決，而當(dāng)以 角度作為變量時(shí)，弧長(zhǎng)和面 積均與角度成正比關(guān)系，故 這三種測(cè)度的選擇在本質(zhì)上是相同的。為了讓學(xué)生對(duì)這一實(shí)際 問題的本質(zhì)有進(jìn)一步的認(rèn) 識(shí)，優(yōu)化測(cè)度選擇，我圓盤 形鐘表換成了電子鐘，突破 課本的設(shè)計(jì)理念，引導(dǎo)學(xué)生 認(rèn)識(shí)到弧長(zhǎng)、角度

13、、面積這 些測(cè)度本質(zhì)上就是時(shí)間區(qū)域的長(zhǎng)度，從形到數(shù)的轉(zhuǎn)變， 實(shí)現(xiàn)了測(cè)度的優(yōu)化選擇，揭 示出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，突破了難 點(diǎn)二。梳概念、知識(shí)點(diǎn)表格在這一環(huán)節(jié)，通過學(xué)生理回顧，教師加以適當(dāng)總結(jié)和知提煉，突出本節(jié)課的重點(diǎn)，識(shí)加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的印象。同時(shí)注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解歸題思路和方法的總結(jié)，讓學(xué)納生知道理解概念是關(guān)鍵，掌總握公式是前提，實(shí)際應(yīng)用是結(jié)深化。1、探究題：甲、乙、丙三人做游戲，游戲規(guī)則如下：要將一枚質(zhì)地均勻的銅板扔到一個(gè)小方塊上，已知銅板的直徑是方塊邊長(zhǎng)的1/2，誰能將銅板完整的扔到這塊方塊上就可以晉級(jí)下一輪。已知，甲一扔，銅板落在小方塊上，且沒有掉下來，問他能晉級(jí)作業(yè)的布置米取分層作分下一輪的概

14、率有多大？業(yè)，分為必做題，目的在于層2、 必做題：P142 A組1、2區(qū)別古典概型與幾何概型，作熟悉幾何概型計(jì)算公式；選業(yè)3、選做題：如圖所示，做題是關(guān)于鞏固測(cè)度選擇的C練習(xí)；探究題，讓學(xué)有余力啟/W/ X的學(xué)生課后思考。設(shè)置分層迪/ 作業(yè)目的在于鞏固概念落實(shí)升AMB基礎(chǔ)的同時(shí)，利用彈性作業(yè)華在等腰直角三角形 ABC中，在線段 AB上取一點(diǎn)M,求AMAC使不同層次的學(xué)生都有所收的概率？獲。變式：過直角頂點(diǎn)C在ABC內(nèi)部作一條射線 CM與線段AB交于點(diǎn)M,則AMAC勺概率如何計(jì)算？六、評(píng)價(jià)分析1、評(píng)價(jià)教學(xué)目標(biāo)的完成情況本節(jié)課創(chuàng)造性的使用教材，揭示矛盾，創(chuàng)設(shè)問題的情境，在問題情境中讓古典概型自然地向幾 何概型的過渡，抓住了幾何概型與古典概型的幾大本質(zhì)區(qū)別，讓學(xué)生獲得新知的同時(shí)體會(huì)了數(shù)學(xué)知 識(shí)的拓廣過程。例題設(shè)置變式拓展，層層遞進(jìn)，突破教材設(shè)計(jì)理念，結(jié)合多媒體和實(shí)物模型的使用， 形象直觀，豐富課堂形式，實(shí)現(xiàn)掌握重點(diǎn)突破難點(diǎn)的目的以達(dá)到更好的教學(xué)效果。同時(shí)注重各種數(shù)學(xué)思想方法的滲透。最后以生活中的