建筑力學(xué)14組合變形

1、第十一章第十一章 桿件在組合變形下的強(qiáng)度計(jì)算桿件在組合變形下的強(qiáng)度計(jì)算 1，掌握用疊加法計(jì)算組合變形，2，熟悉斜彎曲時(shí)橫截面上的內(nèi)力、應(yīng)力和強(qiáng)度計(jì)算。3，熟悉拉伸（壓縮）與彎曲組合變形的強(qiáng)度計(jì)算、4，偏心壓縮桿件的強(qiáng)度計(jì)算，5，掌握截面核心的概念。 11.1 組合變形的概念組合變形的概念n在實(shí)際工程中，構(gòu)件的受力情況是復(fù)雜的，構(gòu)件受力后的變形往往不僅是某一種單一的基本變形，而是由兩種或兩種以上的基本變形組合而成的復(fù)雜變形，稱為組合變形。n例如，圖11.1(a)所示的屋架檁條；圖11.1(b)所示的空心墩；圖11.1(c)所示的廠房支柱，也將產(chǎn)生壓縮與彎曲的組合變形。 11.1.1 組合變形的概

2、念組合變形的概念圖11.1 n解決組合變形強(qiáng)度問(wèn)題，分析和計(jì)算的基本步驟是：首先將構(gòu)件的組合變形分解為基本變形；然后計(jì)算構(gòu)件在每一種基本變形情況下的應(yīng)力；最后將同一點(diǎn)的應(yīng)力疊加起來(lái)，便可得到構(gòu)件在組合變形情況下的應(yīng)力。n試驗(yàn)證明，只要構(gòu)件的變形很小，且材料服從虎克定律，由上述方法計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際情況基本上是符合的。11.1.2 組合變形的解題方法組合變形的解題方法11.2 斜彎曲斜彎曲n對(duì)于橫截面具有對(duì)稱軸的梁，當(dāng)橫向力作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，梁變形后的軸線仍位于外力所在的平面內(nèi)，這種變形稱為平面彎曲。n如果外力的作用平面雖然通過(guò)梁軸線，但是不與梁的縱向?qū)ΨQ面重合時(shí)，梁變形后的軸線就不再位于

3、外力所在的平面內(nèi)，這種彎曲稱為斜彎曲。 n如圖11.2(a)所示的矩形截面懸臂梁，集中力p作用在梁的自由端，其作用線通過(guò)截面形心，并與豎向形心主軸y的夾角為。n將力p沿截面兩個(gè)形心主軸y、z方向分解為兩個(gè)分力，得npy=pcosnpz=psinn分力py和pz將分別使梁在xoy和xoz兩個(gè)主平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲。11.2.1 外力的分解外力的分解圖11.2 n在距自由端為x的橫截面上，兩個(gè)分力py和pz所引起的彎矩值分別為nmz=pyx=pcosx=mcosnmy=pzx=psinx=msinn該截面上任一點(diǎn)k(y，z)，由mz和my所引起的正應(yīng)力分別為n= mzy/iz =y mcos/iz

4、n= myz/iy =z msin/iy 11.2.2 內(nèi)力和應(yīng)力的計(jì)算內(nèi)力和應(yīng)力的計(jì)算n根據(jù)疊加原理，k點(diǎn)的正應(yīng)力為n=+n = mzy/iz + myz/iy n =m(ycos/iz +zsin/iy)n 式中iz和iy分別是橫截面對(duì)形心主軸z和y的慣性矩。正應(yīng)力和的正負(fù)號(hào)，可通過(guò)平面彎曲的變形情況直接判斷，如圖11.2(b)所示，拉應(yīng)力取正號(hào)，壓應(yīng)力取負(fù)號(hào)。 圖11.2 n因?yàn)橹行暂S上各點(diǎn)的正應(yīng)力都等于零，設(shè)在中性軸上任一點(diǎn)處的坐標(biāo)為y0和z0，將=0代入式(12.1)，有n =m(y0cos/iz +z0 sin/iy)=0n則n y0 cos/iz +z0sin/iy =0n上式稱

5、為斜彎曲時(shí)中性軸方程式。 11.2.3 中性軸的位置中性軸的位置n從中可得到中性軸有如下特點(diǎn)：n(1) 中性軸是一條通過(guò)形心的斜直線。n(2) 力p穿過(guò)一、三象限時(shí)，中性軸穿過(guò)二、四象限。反之位置互換。n(3) 中性軸與z軸的夾角(圖11.2(c)的正切為ntan=y0/z0= iz/iytann從上式可知，中性軸的位置與外力的數(shù)值有關(guān)，只決定于荷載p與y軸的夾角及截面的形狀和尺寸。 圖11.2 n進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算，首先要確定危險(xiǎn)截面和危險(xiǎn)點(diǎn)的位置。危險(xiǎn)點(diǎn)在危險(xiǎn)截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處，對(duì)于工程上常用具有棱角的截面，危險(xiǎn)點(diǎn)一定在棱角上。圖11.2(a)所示的懸臂梁，固定端截面的彎矩值最大，為危險(xiǎn)截

6、面，該截面上的b、c兩點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn)，b點(diǎn)產(chǎn)生最大拉應(yīng)力，c點(diǎn)產(chǎn)生最大壓應(yīng)力。n若材料的抗拉和抗壓強(qiáng)度相等，則斜彎曲的強(qiáng)度條件為nmax= mzmax/wz + mymax/wy 11.2.4 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件n對(duì)于不同的截面形狀， wz/wy 的比值可按下述范圍選?。簄矩形截面： wz/wy = h/b=1.22；n工字形截面：wz/wy =810；n槽形截面： wz/wy =68。 n【例11.1】跨度l=4m的吊車梁，用32a號(hào)工字鋼制成，材料為a3鋼，許用應(yīng)力=160mpa。作用在梁上的集中力p=30kn，其作用線與橫截面鉛垂對(duì)稱軸的夾角=15，如圖11.3所示。試校核吊車梁的強(qiáng)度。n【解

7、】(1) 荷載分解n將荷載p沿梁橫截面的y、z軸分解n py=pcos=30cos15kn=29knn pz=psin=30sin15kn=7.76knn(2) 內(nèi)力計(jì)算n吊車荷載p位于梁的跨中時(shí)，吊車梁處于最不利的受力狀態(tài)，跨中截面的彎矩值最大，為危險(xiǎn)截面。 圖11.3 n該截面上由py在xoy平面內(nèi)產(chǎn)生的最大彎矩為nmzmax= pyl/4 = 294/4knm=29knmn該截面上由pz在xoz平面內(nèi)產(chǎn)生的最大彎矩為nmymax= pzl/4 = 7.764/4 knm=7.76knmn(3) 強(qiáng)度校核n由型鋼表查得32a號(hào)工字鋼的抗彎截面系數(shù)wy和wz分別為n wy=70.8cm3=7

8、0.8103mm3n wz=692.2cm3=692.2103mm3n【例11.2】圖11.4所示矩形截面木檁條，兩端簡(jiǎn)支在屋架上，跨度l=4m。承受由屋面?zhèn)鱽?lái)的豎向均布荷載q=2kn/m。屋面的傾角=20，材料的許用應(yīng)力=10mpa。試選擇該檁條的截面尺寸。n【解】(1) 荷載分解n荷載q與y軸間的夾角=20，將均布荷載q沿截面對(duì)稱軸y、z分解，得n qy=qcos=2cos20kn/mn=1.88kn/mn qz=qsin=2sin20kn/mn=0.68kn/m圖11.4 n(2) 內(nèi)力計(jì)算n檁條在qy和qz單獨(dú)作用下，最大彎矩均發(fā)生在跨中截面，其值分別為nmzmax= qyl2/8 =

9、 1.8842/8knm=3.76knmnmymax= qzl2/8 = 0.6842/8knm=1.36knmn(3) 選擇截面尺寸n根據(jù)式(12.4)，檁條的強(qiáng)度條件為n mzmax/wz + mymax/wy n上式中包含有wz和wy兩個(gè)未知數(shù)?，F(xiàn)設(shè) wz/wy = h/b=1.5，代入上式，得n 3.76106/1.5wy + 1.36106/wy 10n wy387103mm3n由 wy= hb2/6 = 1.5b3/6 387103n解得 b115.68mmn為便于施工，取截面尺寸b=120mm，則nh=1.5b=1.5120mm=180mmn選用120mm180mm的矩形截面。1

10、1.3 偏心壓縮（拉伸）偏心壓縮（拉伸）n圖11.5(a)所示的柱子，荷載p的作用線與柱的軸線不重合，稱為偏心力，其作用線與柱軸線間的距離e稱為偏心距。偏心力p通過(guò)截面一根形心主軸時(shí)，稱為單向偏心受壓。n(1) 荷載簡(jiǎn)化和內(nèi)力計(jì)算n將偏心力p向截面形心平移，得到一個(gè)通過(guò)柱軸線的軸向壓力p和一個(gè)力偶矩m=pe的力偶，如圖11.5(b)所示。n橫截面m-n上的內(nèi)力為軸力n和彎矩mz，其值為n n=p mz=pe11.3.1 單向偏心壓縮（拉伸）單向偏心壓縮（拉伸）圖11.5 n(2) 應(yīng)力計(jì)算n對(duì)于該橫截面上任一點(diǎn)k(圖11.6)，由軸力n所引起的正應(yīng)力為n=- n/a n由彎矩mz所引起的正應(yīng)力

11、為n=- mzy/iz n根據(jù)疊加原理，k點(diǎn)的總應(yīng)力為n=+=- n/a - mzy/iz圖11.6 n(3) 強(qiáng)度條件n從圖11.6(a)中可知：最大壓應(yīng)力發(fā)生在截面與偏心力p較近的邊線n-n線上；最大拉應(yīng)力發(fā)生在截面與偏心力p較遠(yuǎn)的邊線m-m線上。其值分別為nmin=ymax=- p/a - mz/wz nmax=lmax=- p/a + mz/wz n截面上各點(diǎn)均處于單向應(yīng)力狀態(tài)，所以單向偏心壓縮的強(qiáng)度條件為nmin=ymax=- p/a - mz/wzynmax=lmax=- p/a + mz/wz ln(4) 討論n下面來(lái)討論當(dāng)偏心受壓柱是矩形截面時(shí)，截面邊緣線上的最大正應(yīng)力和偏心距

12、e之間的關(guān)系。n圖12.6(a)所示的偏心受壓柱，截面尺寸為bh，a=bh，wz= bh2/6 ，mz=pe，將各值代入得nmax=- p/bh +pe/bh2/6 =- p/bh(1- 6e/h)n邊緣m-m上的正應(yīng)力max的正負(fù)號(hào)，由上式中(1- 6e/h )的符號(hào)決定，可出現(xiàn)三種情況：n 當(dāng) 6e/h 1，即e1，即e h/6 時(shí)，max為拉應(yīng)力。截面部分受拉，部分受壓，應(yīng)力分布如圖11.7(c)所示。圖11.7 n【例11.3】圖11.8所示矩形截面柱，屋架傳來(lái)的壓力p1=100kn，吊車梁傳來(lái)的壓力p2=50kn，p2的偏心距e=0.2m。已知截面寬b=200mm，試求：n(1) 若

13、h=300mm，則柱截面中的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力各為多少?n(2) 欲使柱截面不產(chǎn)生拉應(yīng)力，截面高度h應(yīng)為多少?在確定的h尺寸下，柱截面中的最大壓應(yīng)力為多少?n【解】(1) 內(nèi)力計(jì)算n將荷載向截面形心簡(jiǎn)化，柱的軸向壓力為nn=p1+p2=(100+50)kn=150kn圖11.8 n截面的彎矩為nmz=p2e=500.2knm=10knmn(2) 計(jì)算lmax和ymaxn由式(12.6)，得n lmax=- p/a + mz/wz =(-2.5+3.33)mpa=0.83mpan ymax= -p/a - mz/wz =(-2.5-3.33)mpa=-5.83mpan(3) 確定h和計(jì)算ym

14、axn欲使截面不產(chǎn)生拉應(yīng)力，應(yīng)滿足lmax0，即n - p/a + mz/wz 0n - 150103/200h + 10106/ 200h2/6 0n則 h400mmn取 h=400mmn當(dāng)h=400mm時(shí)，截面的最大壓應(yīng)力為nymax=- p/a - mz/wz n=(-1.875-1.875)mpa=-3.75mpan對(duì)于工程中常見(jiàn)的另一類構(gòu)件，除受軸向荷載外，還有橫向荷載的作用，構(gòu)件產(chǎn)生彎曲與壓縮的組合變形。 n【例11.4】圖11.9(a)所示的懸臂式起重架，在橫梁的中點(diǎn)d作用集中力p=15.5kn，橫梁材料的許用應(yīng)力=170mpa。試按強(qiáng)度條件選擇橫梁工字鋼的型號(hào)(自重不考慮)。n

15、【解】(1) 計(jì)算橫梁的外力n橫梁的受力圖如圖11.9(b)所示。為了計(jì)算方便，將拉桿bc的作用力nbc分解為nx和ny兩個(gè)分力。由平衡方程解得n ry=ny= p/2 =7.75knn rx=nx=nycot=7.75 3.4/1.5 kn=17.57kn圖11.9n(2) 計(jì)算橫梁的內(nèi)力n橫梁在ry、p和ny的作用下產(chǎn)生平面彎曲，橫梁中點(diǎn)截面d的彎矩最大，其值為nmmax= pl/4 = 15.53.4/4 knm=13.18knmn橫梁在rx和nx作用下產(chǎn)生軸向壓縮，各截面的軸力都相等，其值為nn=rx=17.57knn(3) 選擇工字鋼型號(hào)n由式(12.7)，有nymax=- n/a

16、- mmax/wzn由于式中a和wz都是未知的，無(wú)法求解。因此，可先不考慮軸力n的影響，僅按彎曲強(qiáng)度條件初步選擇工字鋼型號(hào)，再按照彎壓組合變形強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。由n max= mmax/wz n得wz mmax/ = 77.5103mm3=77.5cm3n查型鋼表，選擇14號(hào)工字鋼，wz=102cm3，a=21.5cm2。n根據(jù)式(12.7)校核，有nymax =- n/a - mmax/wz=137mpan結(jié)果表明，強(qiáng)度足夠，橫梁選用14號(hào)工字鋼。若強(qiáng)度不夠，則還需重新選擇。n當(dāng)偏心壓力p的作用線與柱軸線平行，但不通過(guò)橫截面任一形心主軸時(shí)，稱為雙向偏心壓縮。n如圖11.10(a)所示，偏心壓

17、力p至z軸的偏心距為ey，至y軸的偏心距為ez。11.3.2 雙向偏心壓縮（拉伸）雙向偏心壓縮（拉伸）圖11.10n (1) 荷載簡(jiǎn)化和內(nèi)力計(jì)算n將壓力p向截面的形心o簡(jiǎn)化，得到一個(gè)軸向壓力p和兩個(gè)附加力偶矩mz、my(圖11.10(b)，其中nmz=pey，my=pezn可見(jiàn)，雙向偏心壓縮就是軸向壓縮和兩個(gè)相互垂直的平面彎曲的組合。n由截面法可求得任一截面abcd上的內(nèi)力為nn=p，mz=pey，my=pezn (2) 應(yīng)力計(jì)算n對(duì)于該截面上任一點(diǎn)k(圖11.10(c)，由軸力n所引起的正應(yīng)力為n=- n/a n由彎矩mz所引起的正應(yīng)力為n=- mzy/iz n由彎矩my所引起的正應(yīng)力為n=- myz/iy n根據(jù)疊加原理，k點(diǎn)的總應(yīng)力為n=+=- n/a - mzy/iz - myz/iyn (3) 強(qiáng)度條件n由圖11.10(c)可見(jiàn)，最大壓應(yīng)力min發(fā)生在c點(diǎn)，最大拉應(yīng)力max發(fā)生在a點(diǎn)，其值為nmin=ymax=- p/a - mz/wz - my/wy nmax=lmax=- p/a + mz/wz+ my/wyn危險(xiǎn)點(diǎn)a、c均處于單向應(yīng)力狀態(tài)，所以強(qiáng)度條件為nmin=ymax=- p/a - m