建筑力學14組合變形

1、第十一章第十一章 桿件在組合變形下的強度計算桿件在組合變形下的強度計算 1，掌握用疊加法計算組合變形，2，熟悉斜彎曲時橫截面上的內力、應力和強度計算。3，熟悉拉伸（壓縮）與彎曲組合變形的強度計算、4，偏心壓縮桿件的強度計算，5，掌握截面核心的概念。 11.1 組合變形的概念組合變形的概念n在實際工程中，構件的受力情況是復雜的，構件受力后的變形往往不僅是某一種單一的基本變形，而是由兩種或兩種以上的基本變形組合而成的復雜變形，稱為組合變形。n例如，圖11.1(a)所示的屋架檁條；圖11.1(b)所示的空心墩；圖11.1(c)所示的廠房支柱，也將產生壓縮與彎曲的組合變形。 11.1.1 組合變形的概

2、念組合變形的概念圖11.1 n解決組合變形強度問題，分析和計算的基本步驟是：首先將構件的組合變形分解為基本變形；然后計算構件在每一種基本變形情況下的應力；最后將同一點的應力疊加起來，便可得到構件在組合變形情況下的應力。n試驗證明，只要構件的變形很小，且材料服從虎克定律，由上述方法計算的結果與實際情況基本上是符合的。11.1.2 組合變形的解題方法組合變形的解題方法11.2 斜彎曲斜彎曲n對于橫截面具有對稱軸的梁，當橫向力作用在梁的縱向對稱面內時，梁變形后的軸線仍位于外力所在的平面內，這種變形稱為平面彎曲。n如果外力的作用平面雖然通過梁軸線，但是不與梁的縱向對稱面重合時，梁變形后的軸線就不再位于

3、外力所在的平面內，這種彎曲稱為斜彎曲。 n如圖11.2(a)所示的矩形截面懸臂梁，集中力p作用在梁的自由端，其作用線通過截面形心，并與豎向形心主軸y的夾角為。n將力p沿截面兩個形心主軸y、z方向分解為兩個分力，得npy=pcosnpz=psinn分力py和pz將分別使梁在xoy和xoz兩個主平面內發(fā)生平面彎曲。11.2.1 外力的分解外力的分解圖11.2 n在距自由端為x的橫截面上，兩個分力py和pz所引起的彎矩值分別為nmz=pyx=pcosx=mcosnmy=pzx=psinx=msinn該截面上任一點k(y，z)，由mz和my所引起的正應力分別為n= mzy/iz =y mcos/iz

4、n= myz/iy =z msin/iy 11.2.2 內力和應力的計算內力和應力的計算n根據疊加原理，k點的正應力為n=+n = mzy/iz + myz/iy n =m(ycos/iz +zsin/iy)n 式中iz和iy分別是橫截面對形心主軸z和y的慣性矩。正應力和的正負號，可通過平面彎曲的變形情況直接判斷，如圖11.2(b)所示，拉應力取正號，壓應力取負號。 圖11.2 n因為中性軸上各點的正應力都等于零，設在中性軸上任一點處的坐標為y0和z0，將=0代入式(12.1)，有n =m(y0cos/iz +z0 sin/iy)=0n則n y0 cos/iz +z0sin/iy =0n上式稱

5、為斜彎曲時中性軸方程式。 11.2.3 中性軸的位置中性軸的位置n從中可得到中性軸有如下特點：n(1) 中性軸是一條通過形心的斜直線。n(2) 力p穿過一、三象限時，中性軸穿過二、四象限。反之位置互換。n(3) 中性軸與z軸的夾角(圖11.2(c)的正切為ntan=y0/z0= iz/iytann從上式可知，中性軸的位置與外力的數值有關，只決定于荷載p與y軸的夾角及截面的形狀和尺寸。 圖11.2 n進行強度計算，首先要確定危險截面和危險點的位置。危險點在危險截面上離中性軸最遠的點處，對于工程上常用具有棱角的截面，危險點一定在棱角上。圖11.2(a)所示的懸臂梁，固定端截面的彎矩值最大，為危險截

6、面，該截面上的b、c兩點為危險點，b點產生最大拉應力，c點產生最大壓應力。n若材料的抗拉和抗壓強度相等，則斜彎曲的強度條件為nmax= mzmax/wz + mymax/wy 11.2.4 強度條件強度條件n對于不同的截面形狀， wz/wy 的比值可按下述范圍選?。簄矩形截面： wz/wy = h/b=1.22；n工字形截面：wz/wy =810；n槽形截面： wz/wy =68。 n【例11.1】跨度l=4m的吊車梁，用32a號工字鋼制成，材料為a3鋼，許用應力=160mpa。作用在梁上的集中力p=30kn，其作用線與橫截面鉛垂對稱軸的夾角=15，如圖11.3所示。試校核吊車梁的強度。n【解

7、】(1) 荷載分解n將荷載p沿梁橫截面的y、z軸分解n py=pcos=30cos15kn=29knn pz=psin=30sin15kn=7.76knn(2) 內力計算n吊車荷載p位于梁的跨中時，吊車梁處于最不利的受力狀態(tài)，跨中截面的彎矩值最大，為危險截面。 圖11.3 n該截面上由py在xoy平面內產生的最大彎矩為nmzmax= pyl/4 = 294/4knm=29knmn該截面上由pz在xoz平面內產生的最大彎矩為nmymax= pzl/4 = 7.764/4 knm=7.76knmn(3) 強度校核n由型鋼表查得32a號工字鋼的抗彎截面系數wy和wz分別為n wy=70.8cm3=7

8、0.8103mm3n wz=692.2cm3=692.2103mm3n【例11.2】圖11.4所示矩形截面木檁條，兩端簡支在屋架上，跨度l=4m。承受由屋面?zhèn)鱽淼呢Q向均布荷載q=2kn/m。屋面的傾角=20，材料的許用應力=10mpa。試選擇該檁條的截面尺寸。n【解】(1) 荷載分解n荷載q與y軸間的夾角=20，將均布荷載q沿截面對稱軸y、z分解，得n qy=qcos=2cos20kn/mn=1.88kn/mn qz=qsin=2sin20kn/mn=0.68kn/m圖11.4 n(2) 內力計算n檁條在qy和qz單獨作用下，最大彎矩均發(fā)生在跨中截面，其值分別為nmzmax= qyl2/8 =

9、 1.8842/8knm=3.76knmnmymax= qzl2/8 = 0.6842/8knm=1.36knmn(3) 選擇截面尺寸n根據式(12.4)，檁條的強度條件為n mzmax/wz + mymax/wy n上式中包含有wz和wy兩個未知數。現設 wz/wy = h/b=1.5，代入上式，得n 3.76106/1.5wy + 1.36106/wy 10n wy387103mm3n由 wy= hb2/6 = 1.5b3/6 387103n解得 b115.68mmn為便于施工，取截面尺寸b=120mm，則nh=1.5b=1.5120mm=180mmn選用120mm180mm的矩形截面。1

10、1.3 偏心壓縮（拉伸）偏心壓縮（拉伸）n圖11.5(a)所示的柱子，荷載p的作用線與柱的軸線不重合，稱為偏心力，其作用線與柱軸線間的距離e稱為偏心距。偏心力p通過截面一根形心主軸時，稱為單向偏心受壓。n(1) 荷載簡化和內力計算n將偏心力p向截面形心平移，得到一個通過柱軸線的軸向壓力p和一個力偶矩m=pe的力偶，如圖11.5(b)所示。n橫截面m-n上的內力為軸力n和彎矩mz，其值為n n=p mz=pe11.3.1 單向偏心壓縮（拉伸）單向偏心壓縮（拉伸）圖11.5 n(2) 應力計算n對于該橫截面上任一點k(圖11.6)，由軸力n所引起的正應力為n=- n/a n由彎矩mz所引起的正應力

11、為n=- mzy/iz n根據疊加原理，k點的總應力為n=+=- n/a - mzy/iz圖11.6 n(3) 強度條件n從圖11.6(a)中可知：最大壓應力發(fā)生在截面與偏心力p較近的邊線n-n線上；最大拉應力發(fā)生在截面與偏心力p較遠的邊線m-m線上。其值分別為nmin=ymax=- p/a - mz/wz nmax=lmax=- p/a + mz/wz n截面上各點均處于單向應力狀態(tài)，所以單向偏心壓縮的強度條件為nmin=ymax=- p/a - mz/wzynmax=lmax=- p/a + mz/wz ln(4) 討論n下面來討論當偏心受壓柱是矩形截面時，截面邊緣線上的最大正應力和偏心距

12、e之間的關系。n圖12.6(a)所示的偏心受壓柱，截面尺寸為bh，a=bh，wz= bh2/6 ，mz=pe，將各值代入得nmax=- p/bh +pe/bh2/6 =- p/bh(1- 6e/h)n邊緣m-m上的正應力max的正負號，由上式中(1- 6e/h )的符號決定，可出現三種情況：n 當 6e/h 1，即e1，即e h/6 時，max為拉應力。截面部分受拉，部分受壓，應力分布如圖11.7(c)所示。圖11.7 n【例11.3】圖11.8所示矩形截面柱，屋架傳來的壓力p1=100kn，吊車梁傳來的壓力p2=50kn，p2的偏心距e=0.2m。已知截面寬b=200mm，試求：n(1) 若

13、h=300mm，則柱截面中的最大拉應力和最大壓應力各為多少?n(2) 欲使柱截面不產生拉應力，截面高度h應為多少?在確定的h尺寸下，柱截面中的最大壓應力為多少?n【解】(1) 內力計算n將荷載向截面形心簡化，柱的軸向壓力為nn=p1+p2=(100+50)kn=150kn圖11.8 n截面的彎矩為nmz=p2e=500.2knm=10knmn(2) 計算lmax和ymaxn由式(12.6)，得n lmax=- p/a + mz/wz =(-2.5+3.33)mpa=0.83mpan ymax= -p/a - mz/wz =(-2.5-3.33)mpa=-5.83mpan(3) 確定h和計算ym

14、axn欲使截面不產生拉應力，應滿足lmax0，即n - p/a + mz/wz 0n - 150103/200h + 10106/ 200h2/6 0n則 h400mmn取 h=400mmn當h=400mm時，截面的最大壓應力為nymax=- p/a - mz/wz n=(-1.875-1.875)mpa=-3.75mpan對于工程中常見的另一類構件，除受軸向荷載外，還有橫向荷載的作用，構件產生彎曲與壓縮的組合變形。 n【例11.4】圖11.9(a)所示的懸臂式起重架，在橫梁的中點d作用集中力p=15.5kn，橫梁材料的許用應力=170mpa。試按強度條件選擇橫梁工字鋼的型號(自重不考慮)。n

15、【解】(1) 計算橫梁的外力n橫梁的受力圖如圖11.9(b)所示。為了計算方便，將拉桿bc的作用力nbc分解為nx和ny兩個分力。由平衡方程解得n ry=ny= p/2 =7.75knn rx=nx=nycot=7.75 3.4/1.5 kn=17.57kn圖11.9n(2) 計算橫梁的內力n橫梁在ry、p和ny的作用下產生平面彎曲，橫梁中點截面d的彎矩最大，其值為nmmax= pl/4 = 15.53.4/4 knm=13.18knmn橫梁在rx和nx作用下產生軸向壓縮，各截面的軸力都相等，其值為nn=rx=17.57knn(3) 選擇工字鋼型號n由式(12.7)，有nymax=- n/a

16、- mmax/wzn由于式中a和wz都是未知的，無法求解。因此，可先不考慮軸力n的影響，僅按彎曲強度條件初步選擇工字鋼型號，再按照彎壓組合變形強度條件進行校核。由n max= mmax/wz n得wz mmax/ = 77.5103mm3=77.5cm3n查型鋼表，選擇14號工字鋼，wz=102cm3，a=21.5cm2。n根據式(12.7)校核，有nymax =- n/a - mmax/wz=137mpan結果表明，強度足夠，橫梁選用14號工字鋼。若強度不夠，則還需重新選擇。n當偏心壓力p的作用線與柱軸線平行，但不通過橫截面任一形心主軸時，稱為雙向偏心壓縮。n如圖11.10(a)所示，偏心壓

17、力p至z軸的偏心距為ey，至y軸的偏心距為ez。11.3.2 雙向偏心壓縮（拉伸）雙向偏心壓縮（拉伸）圖11.10n (1) 荷載簡化和內力計算n將壓力p向截面的形心o簡化，得到一個軸向壓力p和兩個附加力偶矩mz、my(圖11.10(b)，其中nmz=pey，my=pezn可見，雙向偏心壓縮就是軸向壓縮和兩個相互垂直的平面彎曲的組合。n由截面法可求得任一截面abcd上的內力為nn=p，mz=pey，my=pezn (2) 應力計算n對于該截面上任一點k(圖11.10(c)，由軸力n所引起的正應力為n=- n/a n由彎矩mz所引起的正應力為n=- mzy/iz n由彎矩my所引起的正應力為n=- myz/iy n根據疊加原理，k點的總應力為n=+=- n/a - mzy/iz - myz/iyn (3) 強度條件n由圖11.10(c)可見，最大壓應力min發(fā)生在c點，最大拉應力max發(fā)生在a點，其值為nmin=ymax=- p/a - mz/wz - my/wy nmax=lmax=- p/a + mz/wz+ my/wyn危險點a、c均處于單向應力狀態(tài)，所以強度條件為nmin=ymax=- p/a - m