定積分的概念和基本性質

1、1 4.3.1 定積分的定義定積分的定義4.3.2 定積分的基本性質定積分的基本性質2 例例: 求曲線求曲線 y= =x2、直線、直線 x= =1和和 x軸軸所圍成的曲邊三角形的面積所圍成的曲邊三角形的面積。x yoy= =x21s4.3.1 引出定積分定義的例題引出定積分定義的例題3sx yoy= =x212n1n1nn.1inin21()in (4)(4)取極限取極限 取取sn的極限，得曲邊三角形面積：的極限，得曲邊三角形面積： s=nlims ns n)211)(11 (31limnnn=13=(1)(1)分割分割(1,2,.,1)ixinnn=直線把曲邊三角形分成 個小曲邊梯形。0,1

2、n將區(qū)間分成 個相等的小區(qū)間。121.innssssss= (2)(2)近似近似i第 個小曲邊梯形面積:211s()(1,2,., )iiinnn=22211112110( )( ).()nnsnnnnnnn=6) 12() 1(13=nnnn)211)(11 (31nn=。 小矩形面積的總和：(3)(3)求和求和nss4sx yoy= =x212n1n1nn.1inin2( )in (4)(4)取極限取極限 取取sn的極限，得曲邊三角形面積：的極限，得曲邊三角形面積： s=nlims ns n)211)(11 (31limnnn=13=(1,2,.,1)ixinnn=直線把曲邊三角形分成 個

3、小曲邊梯形。(1)(1)分割分割0,1n將區(qū)間分成 個相等的小區(qū)間。121.innssssss= 21()ini第 個小曲邊梯形面積:(2)(2)近似近似211s()(1,2,., )iiinnn=6) 12() 1(13=nnnn)211)(11 (31nn=。 小矩形面積的總和：22211112110( )( ).()nnsnnnnnnn=(3)(3)求和求和5sx yoy= =x212n1n1nn.1inin ( (4)4)取極限取極限 取取sn的極限，得曲邊三角形面積：的極限，得曲邊三角形面積： s=nlims ns n)211)(11 (31limnnn=13=(1,2,.,1)ix

4、innn=直線把曲邊三角形分成 個小曲邊梯形。(1)(1)分割分割0,1n將區(qū)間分成 個相等的小區(qū)間。121.innssssss= i第 個小曲邊梯形面積:(2)(2)近似近似211s()(1,2,., )iiinnn=6) 12() 1(13=nnnn)211)(11 (31nn=。 小矩形面積的總和：22211112110( )( ).()nnsnnnnnnn= (3)(3)求和求和6分分 割割求求 和和近近 似似取極限取極限把整體的問題分成局部的問題把整體的問題分成局部的問題在局部上在局部上“以直代曲以直代曲”, 求出求出局部的近似值；局部的近似值；得到整體的一個近似值；得到整體的一個近

5、似值；得到整體量的精確值；得到整體量的精確值； 例例: 求曲線求曲線 y= =x2、直線、直線 x= =1和和 x軸軸所圍成的曲邊三角形的面積所圍成的曲邊三角形的面積。7 一般地，求由連續(xù)曲線一般地，求由連續(xù)曲線y= =f(x)(f(x) 0)，直線，直線x= =a、x= =b及及x軸所圍成的曲邊梯形的面積的方法是：軸所圍成的曲邊梯形的面積的方法是： (1,2,.,1)(1)ixx inn=用直線把曲邊梯形分割為個小曲邊梯形。1(1,2,., )iiixxxin=每個小曲邊梯形的底的寬度記為 。1( ),2iiiixxi在第 個小區(qū)間上任取一點,用第 個小矩形的面積近似替代()iiiiafx第

6、 個小曲邊梯形的面積：s =ni 1f(i)xi。 (3) 將全部小矩形面積求和后作為s曲邊梯形面積的近似值。即有12,(4,)nmaxxxx記 =,為得到曲邊梯形面積可取極限：01lim( )niiisfx=y=f(x)bx yoaxi-1xi1x2x.1nx=x0 xn=i( )if(1,2, )in=8例例2設物體沿直線作變速運動，速度為設物體沿直線作變速運動，速度為 v = =v (t), 假定假定v (t)是是 t 的連續(xù)的連續(xù)函數，求此物體在時間區(qū)間函數，求此物體在時間區(qū)間 a, b 內運動所走距離內運動所走距離 s 。totn=t0t1ti1 titn1 abti引出定義的實例二

7、引出定義的實例二：求物體作變速直線運動所經過的路程：求物體作變速直線運動所經過的路程 解：解：.01lim()niiisvtt= (2) 在第在第 i ( i= =1, 2, , n) 個時間段個時間段 ti 1, ti上任取一時刻上任取一時刻 t ti，用，用v(t ti) ti近似替代物體在第近似替代物體在第i個個時間段所走距離時間段所走距離: si v(t ti) ti 。(1) 用分點用分點 t= =ti (ti 10, f(x)0, 利用定積分幾何意義驗證：21112=dxxbaabbfdxxfabaf)()()(20 性質性質1 1：4.3.2 定積分的基本性質定積分的基本性質有限

8、個可積函數代數和的積分等于各函數積分的代數和，即若fi(x) (i = 1, 2, , n)在a, b內可積，則有=bababanbandxxfdxxfdxxfdxxfxfxf)()()()()()(212121 性質性質2 2：4.3.2 定積分的基本性質定積分的基本性質一個可積函數乘以一個常數之后，仍可為可積函數，且常數引資可以提到積分符號外面，即若 f(x)在a, b上可積，則 cf(x)在a, b上也可積（c為常數），且滿足=babadxxfdxxcf)()(22 性質性質3 3：積分的可加性定理：積分的可加性定理4.3.2 定積分的基本性質定積分的基本性質設f(x)在a, b內可積，

9、若acb, 則f(x)在a, c和c, b上可積；反之，若f(x)在a, c和c, b上可積，則f(x)在a, b內可積，且有=bccabadxxfdxxfdxxf)()()(23 性質性質4 4：積分的可加性定理：積分的可加性定理4.3.2 定積分的基本性質定積分的基本性質交換積分上下限，積分值變號，即特別地，若a=b，則=abbadxxfdxxf)()(0)()()(=aaaaaadxxfdxxfdxxf24 性質性質5 5：4.3.2 定積分的基本性質定積分的基本性質設f(x)和g(x)在a, b上皆可積，且滿足條件f(x) g(x)，則有babadxxgdxxf)()(25 性質性質6 6：4.3.2 定積分的基本性質定積分的基本性質abdxdxbaba=126 性質性質7 7：4.3.2 定積分的基本性質定積分的基本性質若函數f(x)在a, b上可積，且最大值與最小值分別為m和m，則推論：若函數f(x)在a, b上可積，則baabmdxxfabm)()()(bababadxxfdxxfdxxf)()()(27 性質性質8 8：定積分中值定理：定積分中值定理4.3.2 定積分的基本性質定