[初三數(shù)學(xué)]九年級(jí)數(shù)學(xué)第一單元

1、第一章 證明（二）本章視點(diǎn)視點(diǎn)1 本章概述 本章從各公理出發(fā)，展開了對(duì)一些圖形性質(zhì)的嚴(yán)格證明本章證明的命題大都與等腰三角形和直角三角形有關(guān)，主要包括：等腰三角形(含等邊三角形)的性質(zhì)定理及判定定理；直角三角形的性質(zhì)定理及判定定理；線段垂直平分線的性質(zhì)定理及判定定理；角平分線的性質(zhì)定理及判定定理視點(diǎn)2 本章學(xué)習(xí)重難點(diǎn) 【本章重點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)定理及判定定理；直角三角形的性質(zhì)定理及判定定理；線段垂直平分線的性質(zhì)定理及判定定理；角平分線的性質(zhì)定理及判定定理 【本章難點(diǎn)】直角三角形性質(zhì)定理及判定定理的應(yīng)用；反證法的理解與應(yīng)用 【學(xué)習(xí)本章應(yīng)注意的問題】 1經(jīng)歷猜想、證明的過程，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性

2、 2加強(qiáng)探索證明的不同思路和方法，提倡證明的多樣性 3注重用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表述論證過程 4注意體會(huì)數(shù)學(xué)思想在解決問題中的作用視點(diǎn)3 中考透視 從近幾年的中考試題可以看出，用等腰三角形的性質(zhì)和判定結(jié)合線段垂直平分線、角平分線以及全等三角形的有關(guān)知識(shí)命題，以中檔解答題、證明題較為常見，另外，以有關(guān)線段垂直平分線、角平分線為主要內(nèi)容的實(shí)際應(yīng)用作圖題在中考中有所增加，此部分內(nèi)容以考查動(dòng)手操作能力和應(yīng)用創(chuàng)新能力為主，應(yīng)引起高度重視第1節(jié) 你能證明它們嗎新課導(dǎo)讀 情境引入【問題鏈接】如右圖所示，很多古代建筑以及我們居住的一些房屋的屋頂都是人字形梁架【問題探究】上面敘述的人字形梁架是由哪些圖形組成的呢?它們

3、有哪些性質(zhì)?教材解讀 精華要義知識(shí)點(diǎn)1 等腰三角形的性質(zhì)定理 重點(diǎn)：靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)述為等邊對(duì)等角)用符號(hào)語言表示為：如圖11所示，在abc中，abac，bc定理的證明： 取bc的中點(diǎn)d，連接ad abdacd(sss)bc(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)定理的作用：證明同一個(gè)三角形中的兩個(gè)內(nèi)角相等知識(shí)拓展 等腰三角形還具有其他性質(zhì)(1)等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等，都等于45(2)等腰三角形的底角只能是銳角，不能是鈍角或直角，但頂角可以是銳角、鈍角或直角(3)等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b，則a(4)等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為a，底角為b

4、，c，則a180bc1802b1802c探究交流 想一想：還有其他方法證明等腰三角形的性質(zhì)定理嗎？點(diǎn)撥 有，作等腰三角形abc的頂角平分線ad，如圖12所示.abdacd(sas).bc(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).知識(shí)點(diǎn)2 等腰三角形的性質(zhì)定理的推論 重點(diǎn)：理解推論1：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡(jiǎn)稱“三線合一”)(1)用符號(hào)語言表示為：如圖13所示，在abc中，abac，12，adbcbddc；在abc中，abac，adbc，12，bddc；在abc中，abac，bddc，12，adbc(2)推論1的證明在abc中，abac，12，adad，abdacd(sas

5、)bddc，adbadc90adbc在abc中，adbc，adbadc90abac，bc又adad，rtadbrtadc(aas)12，bdcd在abc中，abac，adad，bdcd，abdacd(sss)12，adbadc90，adbc.(3)推論1的作用：證明角相等、線段相等或垂直.推論2：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60(1)用符號(hào)語言表示為：如圖14所示，在abc中，abbcac，abc60(2)推論2的證明：abac，bcabbc，acabc又a+b+c180，即3a180，abc60探究交流 如圖15所示，在abc中，abac，如果abdabc，aceacb，那么b

6、dce嗎?點(diǎn)撥 bdceabac(已知)，abcacb(等邊對(duì)等角)abdabc，aceacb(已知)，abdace(等量代換)在abd和ace中，abdace(asa)，bdce(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)知識(shí)點(diǎn)3 等腰三角形的判定定理 重點(diǎn)：靈活運(yùn)用等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(簡(jiǎn)述為等角對(duì)等邊)用符號(hào)語言表示為：如圖16所示，在abc中，bc，abac判定定理的證明：如圖16所示過a作adbc于d，則adbadc90bc，adad，abdacd(aas)，abac判定定理的作用：證明同一個(gè)三角形中的邊相等知識(shí)拓展 如圖16所示，在abc中，(1)如果adbc，12，

7、那么abac；(2)如果adbc，bddc，那么abac；(3)如果12，bddc，那么abac探究交流 如圖17所示，在abc中，如果12，bddc，那么abac嗎？點(diǎn)撥 abac過點(diǎn)b作beac交ad的延長(zhǎng)線于e，e212，e1，abbe在adc和edb中，2e，adcedb，bddc，adcedb，acbe，abac知識(shí)點(diǎn)4 等腰三角形的判定定理的推論 重點(diǎn)：掌握推論1(1)推論1的內(nèi)容：有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形(2)用符號(hào)語言表示為：如圖18所示，abc中，abac，a60(或b60或c60)，abacbc(3)推論1的證明：在abc中，abac，bc又a60，bc60

8、abacbc(或b60，a1802b60abacbc或c60，a1802c60abacbc)推論2(1)推論2的內(nèi)容：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形(2)用符號(hào)語言表示為：如圖18所示，在abc中，abc，abacbc(3)推論2的證明：在abc中，ab，bcac(等角對(duì)等邊)又bc，abac(等角對(duì)等邊)abacbc(4)推論1和推論2的作用：證明一個(gè)三角形是等邊三角形知識(shí)拓展 判定一個(gè)三角形是等邊三角形主要有以下三種方法：(1)根據(jù)等邊三角形的定義，證明三條邊相等；(2)根據(jù)推論1，證明兩條邊相等，有一個(gè)角是60；(3)根據(jù)推論2，證明三個(gè)角都相等推論3(1)推論3的內(nèi)容：在直角三角形中

9、，如果一個(gè)銳角等于30。，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半(2)用符號(hào)語言表示為：如圖19所示，在rtabc中，c90，a30，bcab (3)推論3的作用：證明一條線段是另一條線段的一半或2倍 知識(shí)點(diǎn)5 反證法 了解先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后從假設(shè)出發(fā)，推導(dǎo)出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而否定假設(shè)，證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法知識(shí)拓展 反證法是一種常用的間接證明方法，用反證法的一般步驟是： (1)假設(shè)命題不成立； (2)從假設(shè)出發(fā)推導(dǎo)出矛盾； (3)否定假設(shè)，從而肯定命題的結(jié)論 規(guī)律方法小結(jié) 1轉(zhuǎn)化思想：在等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理的證明過程中，都

10、是通過構(gòu)造全等三角形，轉(zhuǎn)化為全等得以證明的2類比思想；采用類比思想，把等腰三角形的性質(zhì)和判定對(duì)照著學(xué)習(xí)3用反證法進(jìn)行證明時(shí)，注意推理的規(guī)范性和邏輯的嚴(yán)密性，不能忽略任何一種可能的情況典例剖析 觸類旁通基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題例1 如圖110所示，在abc中，abac，adac，aeab求證bdce證法1：abac，adac，aeab(已知)， adae 在abd和ace中， abdace(sas)， bdce(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)證法2：abac(已知)， abcacb(等邊對(duì)等角) adac，aeab， cdac，beab， cdbe(等量代換) 在dbc和ecb中， dbcecb(sas)， b

11、dce(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)【解題策略】認(rèn)真觀察bd邊和ce邊所在的三角形，尋找三角形全等的條件 例2 如圖111所示，p，q是abc的邊bc上兩點(diǎn)，且bppqqcapaq，求bac的度數(shù)分析 由等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理，可得出bac的度數(shù)解：appqqa(已知)，apqaqppaq60(等邊三角形三個(gè)角都等于60)apbp(已知)，pbapab(等邊對(duì)等角)又apqpab+pba(三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和)，pbapab30同理，qac30bacpab+paq+qac30+60+30120【解題策略】如果已知線段相等，要求角的度數(shù)，往往考慮含有已知角的等腰三角形(

12、特別是等邊三角形)，實(shí)現(xiàn)由邊向角的轉(zhuǎn)化 例3 如圖112所示，已知點(diǎn)d，e在abc的邊bc上，abac，adae求證bdce 分析 本題考查等腰三角形的性質(zhì)定理及其推論的應(yīng)用要證明線段bdce，可以證明abdace由已知abac，adae，所以只要證明badcae即可，這可由“等邊對(duì)等角”得出adeaed，bc來證明本題還可以運(yùn)用“三線合一”的性質(zhì)作輔助線(高af)來證明證法1：abac，adae， bc，adeaed(等邊對(duì)等角)， adebaedc， 即badcae 在abd與ace中， abac，badcae，adae， abdace(sas) bdce證法2：過a作afbc，垂足為f，

13、則afde abac，adae，afbc，afde， bfcf，dfef(等腰三角形“三線合一”) bfdfcfef，即bdce規(guī)律方法 作等腰三角形底邊上的高(或頂角平分線、底邊上的中線)，從而運(yùn)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)進(jìn)行解答，這是引輔助線的常見方法，在學(xué)習(xí)過程中要注意積累，并靈活運(yùn)用例4 如圖113所示，已知cae是abc的一個(gè)外角，12，adbc，求證abc是等腰三角形分析 本題考查等腰三角形的判定定理的應(yīng)用要證明abc是等腰三角形，需證明bc，這可利用已知條件得出證明：adbc，1b，2c 又12，bc abc是等腰三角形(有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形)【解題策略】判定等腰

14、三角形的方法有：(1)根據(jù)定義“有兩邊相等的三角形是等腰三角形”(2)運(yùn)用等腰三角形的判定定理“等角對(duì)等邊”例5 求證：在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不相等，那么這兩條邊所對(duì)的角也不相等解：已知：如圖114所示，在abc中，abac. 求證：bc. 證明：假設(shè)bc，那么根據(jù)“等角對(duì)等邊”可得ac ab，但已知abac，矛盾，因此bc綜合應(yīng)用題例6 (學(xué)科內(nèi)綜合題)如圖115所示已知在直角三角形abc中，c90，bd平分abc，交ac于點(diǎn)d(1)若bac30，求證adbd;(2)若ap平分bac，交bd于點(diǎn)p，求bpa的度數(shù)分析 (1)要證明adbd，只需證明baddba(2)可由直角三角形中兩銳角

15、互余及角平分線的性質(zhì)求bpa的度數(shù)證明：(1)bac30，c90，abc60 又bd平分abc，abd30 bacabdbdad.解：(2)c90，bac+abc90 (bac+abc)45bd平分abc，ap平分bac， bapbac，abpabc bap+abp45 apb180(bap+abp)18045135 .【解題策略】在問題(2)中可以考慮三角形的外角，即利用apbpda+pad來解決，這也是導(dǎo)角的常用方法例7 下面是數(shù)學(xué)課堂的一個(gè)學(xué)習(xí)片段，閱讀后，回答問題學(xué)習(xí)等腰三角形的有關(guān)內(nèi)容后，張老師請(qǐng)同學(xué)們交流討論這樣一個(gè)問題：已知等腰三角形abc的a等于30，求其余兩角同學(xué)們經(jīng)過片刻的

16、思考與交流后，李明同學(xué)舉手說：“其余兩角是30和120”王華同學(xué)說：“其余兩角是75和75”還有一些同學(xué)也提出了不同的看法假如你也在課堂上，你的意見如何?為什么?分析 本題考查等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，題中的三角形是等腰三角形，所以它的兩個(gè)底角相等由于a3090，所以a可能是頂角，也可能是底角，故需分類討論另兩個(gè)角的度數(shù)解答時(shí)要考慮全面，不要遺漏或忽略任何一種情況.解：上述兩名同學(xué)回答的都不全面，應(yīng)該是：其余兩角的大小是75和75或30 和120理由如下： 當(dāng)a是頂角時(shí)，設(shè)底角為，則30+180，解得75. 其余兩角分別是75和75當(dāng)a是底角時(shí)，設(shè)頂角是， 則30+30+180，解得120 其余

17、兩角分別是30和120 綜上，其余兩角為75和75或30和120規(guī)律方法 在解答有關(guān)等腰三角形的問題時(shí)要注意分類討論思想的應(yīng)用.探索與創(chuàng)新題例8 (開放題)本題有a，b兩類題，請(qǐng)你選擇其中一類證明(a類)如圖116(1)所示，deab，dfac，垂足分別為e，f，請(qǐng)你從下面的三個(gè)條件中選出兩個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，推出一個(gè)正確的命題(只需寫出一種情況)abac；bdcd；becf(b類)如圖116(2)所示，egaf，請(qǐng)你從下面的三個(gè)條件中選出兩個(gè)作為已知條件，另一個(gè)作為結(jié)論，推出一個(gè)正確的命題(只需寫出一種情況)abac；dedf；becf分析 本題是開放性試題答案不唯一解：a類(寫

18、出以下一種即可) (1)已知deab，dfac，垂足分別為e，f，abac，bdcd，求證becf 證明：abac，bc 又deab，dfac，bedcfd90在bde和cdf中，bdecdfbecf(2)已知deab，dfac，垂足分別為e，f，abac，becf，求證bd cd證明：abac，bc 又deab，dfac，bedcfd90 又becf，bdecdfbdcd (3)已知deab，dfac，垂足分別為e，f，bdcd，becf，求證abac 證明：deab，dfac，bedcfd90 又bdcd，becf， rtbdertcdfbcabac b類(寫出以下一種即可) (1)已知e

19、gaf，abac，dedf，求證becf 證明：egaf，gedf，bgeacb abac，abcbcaabcbgebeeg 在deg和dfc中， degdfcegcfbecf (2)已知egaf，dedf，becf，求證abac 證明：egaf，degcfd，egbacb dedf，edgfdc，edgfdcegcf 又becf，beeg begbbacbabac (3)已知egaf，abac，becf，求證dedf 證明:abac，bacb egaf，gedcfd，egbacbbegbebeg 又becf，cfeg 在deg與dfc中， degdfcdedf例9 已知等邊三角形abc和點(diǎn)p

20、，設(shè)點(diǎn)p到abc三邊ab，ac，bc的距離分別是h1，h2，h3，abc的高為h，若點(diǎn)p在邊bc上，如圖117(1)所示，此時(shí)h30，可得結(jié)論：h1+h2+h3h請(qǐng)直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：點(diǎn)p在abc內(nèi)，如圖117(2)所示點(diǎn)p在abc外，如圖117(3)所示，這兩種情況時(shí)，上述結(jié)論是否還成立?若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，h1，h2，h3與h之間又有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明分析 對(duì)于圖(2)結(jié)論仍然成立，對(duì)于圖(3)結(jié)論不成立，此時(shí)h1+h2h3h.解：當(dāng)點(diǎn)p在abc內(nèi)時(shí)，結(jié)論仍成立，證明如下： 過點(diǎn)p作nqbc，分別交ab，ac，am于n，q，k， 由題意得h1+h2ak

21、.易證kmpfh3 h1+h2+h3ak+kmh. 當(dāng)點(diǎn)p在abc外時(shí)，結(jié)論不成立，它們的關(guān)系應(yīng)是h1+h2h3h【解題策略】此題既是一道閱讀題，又是一道探索題，考查探究創(chuàng)新能力易錯(cuò)疑難辨析 糾錯(cuò)釋疑易錯(cuò)點(diǎn) 解等腰三角形有關(guān)問題時(shí)考慮不全面【易錯(cuò)點(diǎn)解讀】在涉及等腰三角形的邊、角、腰上的高等問題時(shí)，一定要多思考，注意分類討論，避免遺漏某種情況例題 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30，求頂角的度數(shù)錯(cuò)解：如圖118所示，在abc中，abac，bdac于d由題意可知 abd30，所以a90abd903060分析 涉及等腰三角形腰上的高時(shí)，要注意分類討論當(dāng)?shù)妊切畏謩e是頂角是銳角的等腰三角形、等

22、腰直角三角形、頂角是鈍角的等腰三角形時(shí)，腰上的高分別在三角形的內(nèi)部、三角形的一腰上、三角形的外部正解：如圖119(1)所示，當(dāng)a為銳角時(shí)，a90abd903060 如圖119(2)所示，當(dāng)bac為鈍角時(shí)，dab90dba903060 所以bac180dab18060。120 當(dāng)a為直角時(shí)，a90，ab即為腰ac上的高，而bc45，和題設(shè)矛盾中考解讀 點(diǎn)擊中考中考命題總結(jié)與展望本節(jié)的主要內(nèi)容是等腰二角形的性質(zhì)與判定和等邊三角形的性質(zhì)與判定以及含有30角的直角三角形的性質(zhì)的證明，用邏輯推理的方法解決幾何問題是本節(jié)的宗旨，在中考中單獨(dú)命題的時(shí)候較少，多數(shù)與全等三角形、平行四邊形、梯形等知識(shí)綜合考查，

23、出現(xiàn)的題型有選擇題、填空題、計(jì)算題、證明題等在今后中考中，對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查將以基礎(chǔ)題和中檔題為主中考真題解讀與預(yù)測(cè)例1 (2009寧波)等腰直角三角彤的一個(gè)底角的度數(shù)是 ( )a30 b45 c60 d90分析 等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等，設(shè)底角為，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180，所以+90180，所以45故選b例2 (2009濱州)已知等腰三角形abc的周長(zhǎng)為10若設(shè)腰長(zhǎng)為x，則x的取值范圍是 分析 底邊長(zhǎng)為102x，顯然102x0，x5三角形兩邊之和大于第三邊，x+x102x，x故x5例3 (2009大連)如圖120所示，在abc和def中，abde，becf，b1求證acdf(要求：寫出證明

24、過程中的重要依據(jù))分析 由sas可知abcdef，則acdf證明：becf， be+ecec+cf，即bcef 在abc和def中， abcdef(sas)， acdf(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)例4 (2009山西)如圖121所示，在abc中，abbc2，abc120，將abc繞點(diǎn)b順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(090。)，得a1bc1，a1b交ac于點(diǎn)e，a1c1分別交ac，bc于d，f兩點(diǎn)觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段ea1與fc有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并證明你的結(jié)論分析 線段ea1與fc的數(shù)量關(guān)系有三種可能性，ea1fc，ea1fc或ea1fc等腰三角形abc在旋轉(zhuǎn)過程中圖形的形狀和大小都不變，可證ebcfb

25、a1，得到bebf，再推得a1ecf，同理也可通過證abec1bf推出結(jié)論證法1：abbc，ac 由旋轉(zhuǎn)可知，abbc1，ac1，abec1bf abec1bfbebf 又ba1bc，ba1bebcbf，即ea1fc證法2：abbc，ac 由旋轉(zhuǎn)可知，a1c，a1bcb，而ebcfba1， a1bfcbe，bebf， ba1bebcbf，即ea1fc【解題策略】本題是探究猜想題，是中考常見題型之一，要認(rèn)真分析題目中的全部等量或不等量關(guān)系，才可得出正確結(jié)論課堂小結(jié) 本節(jié)歸納1知識(shí)結(jié)構(gòu)及要點(diǎn)小結(jié)等 腰 三 角 形性質(zhì)定理:等邊對(duì)等角判定定理:等角對(duì)等邊推論：(1)等腰三角形“三線合一”（2）等邊三

26、角形的每個(gè)角都等于60推論：(1)有一個(gè)角等于60的等腰三角形是等邊三角形（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形（3）在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半 2解題方法及技巧小結(jié) (1)解有關(guān)等腰三角形問題常作的輔助線是底邊上的高 (2)有關(guān)等腰三角形的問題經(jīng)常會(huì)用到分類討論思想 (3)根據(jù)推理論證的需要有時(shí)會(huì)用到反證法習(xí)題全解 課本習(xí)題隨堂練習(xí)1證明過程見本節(jié)三線合一定理推論22(1)證明：acbd，acbacd90又acbc，accd，abcadc(sas)abadabd是等腰三角形 (2)解：acbc，acb90，bbac45同理dcad45badbac +cad45+4590

27、習(xí)題111已知 已知 公共邊 sss全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等2證明：becf，be+ecec+cf，即bcef又abde，acdf，abcdef(sss)，ad3解：因?yàn)榈冗吶切问翘厥獾牡妊切?，所以等腰三角形的所有性質(zhì)對(duì)等邊三角 形都成立；而等腰三角形不一定是等邊三角形，所以等邊三角形的所有性質(zhì)未必對(duì) 等腰三角形都成立4提示：這兩個(gè)三角形全等設(shè)這兩個(gè)三角形的頂角為，則底角均為(180)，由aas或asa可證習(xí)題121證明：adbc，1b，2c又12，bcabac(等角對(duì)等邊)2.已知：abc：求證：a，b，c中至少有一個(gè)角小于或等于60證明：(用反證法)假設(shè)a，b，c中沒有一個(gè)角小于或等于

28、60，即a60，b60，c60，a+b+c603180，這與三角形內(nèi)角和是180相矛盾，假設(shè)不成立，故原命題正確3提示：(1)這樣的三角形有兩個(gè)，一個(gè)是以為頂角，另一個(gè)是以為底角 (2)這樣的三角形只有一個(gè)，即以為頂角的等腰三角形4(1)證明：連接ac，abad，bcdc，acac，abcadc，bd又beab，dfad，bedf又bd，bcdc，bcedcf(sas)，cecf (2)相等 (3)如becdfc，答案不唯一5解：nac42，nbc84，cnbcnac844242，ccabbcba1018180(海里)隨堂練習(xí)1證明過程見本節(jié)等腰三角形判定定理的推論22提示：邊長(zhǎng)為習(xí)題131證

29、明：debc，adeb，aedc又abc是等邊三角形，abc60，adeaed60，ade是等邊三角形2解：bcac，a30，bcab7437(m)又d為ab的中點(diǎn)，adab37(m)又deac，a30，dead371.85(m) 3解：(1)def是等邊三角形，abe，acf，bcd也都是等邊三角形證明如 下：abdf，dcbabc60，acfbac60，同理dbc60，caf60，eabeba60def60，def，abe，acf，bcd都是等邊三角形點(diǎn)a，b，c分別是ef，ed，fd的中點(diǎn) (2)abc是等邊三角形證明：def是等邊三角形，effdde又點(diǎn)a，b，c分別是ef，ed，fd

30、的中點(diǎn)，eaaffccddbbe在eab和fca中，eafc，ef，ebfa，eabfca，abca同理可證accb，accbba，abc為等邊三角形4提示：是真命題，證明略 5提示：由題意可知fad30，adgfad15自我評(píng)價(jià) 知識(shí)鞏固1(2009黔東南)如圖122所示，在abc中，abac，點(diǎn)d在ac上，且bdbcad，則a等于 ( )a30 b40 c45 d362在等腰梯形abcd中，abc2acb，bd平分abc，adbc，如圖123所示，則圖中的等腰三角形有 ( ) a1個(gè) b2個(gè) c3個(gè) d4個(gè)3(2009日照)如圖124所示，在abcd中，已知ad8cm，ab6cm，de平分

31、adc交bc邊于點(diǎn)e，則be等于 ( ) a2 cm b4 cm c6 cm d8 cm4下面幾種三角形： 有兩個(gè)角為60的三角形； 三個(gè)外角都相等的三角形； 一條邊上的高也是這條邊上的中線的三角形； 有一個(gè)角為60的等腰三角形 其中是等邊三角形的有 ( ) a4個(gè) b3個(gè) c2個(gè) d1個(gè)5用反證法證明命題“三角形中至少有一個(gè)角大于或等于60”時(shí)，第一步應(yīng)假設(shè) .6等腰三角形的頂角90，如果過其頂角的頂點(diǎn)作一條直線將這個(gè)等腰三角形分 成了兩個(gè)等腰三角形，那么的度數(shù)為 7如圖125所示，四邊形abcd的對(duì)角線ac與bd相交于o點(diǎn)，12，34求證： (1)abcadc； (2)bodo8文文和彬彬

32、在證明“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”這一命題時(shí)，畫出圖形， 如圖126所示，寫出已知、求證，她們對(duì)各自所作的輔助線描述如下： 文文：過點(diǎn)a作bc的中垂線ad，垂足為d 彬彬：作abc的角平分線ad 數(shù)學(xué)老師看了兩位同學(xué)的輔助線作法后，說：“彬彬的作法是正確的，而文文的作法 需要改正” (1)請(qǐng)你簡(jiǎn)要說明文文的輔助線作法錯(cuò)在哪里； (2)根據(jù)彬彬的輔助線作法，完成證明過程9(2009昆明)四邊形abcd是正方形 (1)如圖127(1)所示，點(diǎn)g是bc邊上任意一點(diǎn)(不與b，c兩點(diǎn)重合)，連接ag，作bfag于點(diǎn)f，deag于點(diǎn)e求證abfdae； (2)在(1)中，線段ef與af，bf的等量

33、關(guān)系是 ；(不需證明，直接寫出結(jié)論即可) (3)如圖127(2)所示，若點(diǎn)g是cd邊上任意一點(diǎn)(不與c，d兩點(diǎn)重合)，作bfag于點(diǎn)f，deag于點(diǎn)e，那么圖中的全等三角形是 ，線段ef與af，bf的等量關(guān)系是 (不需證明，直接寫出結(jié)論即可)10如圖128所示，d為abc的邊ab的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過d作dfac，垂足為f，交bc于e，且bdbe，求證abc是等腰三角形11如圖129所示，在abc中，acb90，cdab于點(diǎn)d，點(diǎn)e在ac上ce bc，過點(diǎn)e作ac的垂線，交cd的延長(zhǎng)線于點(diǎn)f，求證abfc評(píng) 價(jià) 標(biāo) 準(zhǔn)1d提示：本題綜合考查三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)由adbd，

34、得aabd，bdc2a，由bdbc，得cbdc2a由abac，得abcc2a，由三角形內(nèi)角和定理，得a+2a+2a180，即a36 2d提示：abd，acd，aod，boc都是等腰三角形 3a提示：由de平分adc，得adecde，由adbc，得adeced，cedcde，ecdc6 cm，bebcec862(cm)4b提示：利用等邊三角形的判定定理可知為等邊三角形，為等腰三角形5三角形中沒有大于或等于60的角(或_三角形的所有內(nèi)角都小于60)6108提示：畫出圖形，利用三角形內(nèi)角和求解7證明：(1)在abc和adc中，12，acac，34，abcadc (2)由(1)知abad，又12，ao

35、ao，aboado，obod8解：(1)過點(diǎn)a作bc的垂線，不一定過bc的中點(diǎn)，如果連接點(diǎn)a和bc中點(diǎn)d，則ad與bc不一定垂直 (2)證明：作abc的角平分線ad，則badcad，又bc，adad，abdacd，abac9(1)證明：在正方形abcd中，abad，bad90，baf+dae90在rtabf中，baf+abf90，abfdae在abf與dae中，abfdae，afbdea90，abda，abfdae(aas)(2)efafbf (3)abfdae efbfaf10證明：dfac，dfaefc90，a+d90，c+190，a+dc+1又bdbe，2d(等邊對(duì)等角)又12，1d，a

36、+dc+d，ac，abbc(等角對(duì)等邊)，abc是等腰三角形11證明：feac于點(diǎn)e，acb90，fecacb90，f+ecf90又cdab于點(diǎn)d，a+ecf90，af在abc和fce中，af，acbfec，bcce，abcfce，abfc第2節(jié) 直角三角形新課導(dǎo)讀 情境引入【生活鏈接】木工師傅中巧如魯班者大有人在，不知何年何人用魯班尺發(fā)明了三等分任一角的方法，所謂魯班尺或稱木工尺，是形如圖(1)所示的直角尺【問題探究】在過尺的拐角內(nèi)點(diǎn)b與尺邊bd垂直的尺邊緣直線上取一點(diǎn)c，使bc等于尺寬ab任給一角eof，先用魯班尺畫一條與oe相距為尺寬ab的平行線l，如圖(2)所示，再使魯班尺的邊緣上的點(diǎn)

37、a落在l上，c點(diǎn)落在of上，且邊緣線bd過o點(diǎn)，如圖(3)所示沿邊緣db畫出的直線l與of的夾角boc是eof的點(diǎn)撥 事實(shí)上，作agoe，g為垂足，則rtoagrtoabrtocb，故aogaobboceof教材解讀 精華要義知識(shí)點(diǎn)1 勾股定理及其逆定理 重點(diǎn)、難點(diǎn)；理解、靈活運(yùn)用勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即c2a2+b2(c為斜邊長(zhǎng))勾股定理的作用(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊(2)已知直角三角形的一條邊，求另外兩條邊的數(shù)量關(guān)系(3)用于證明平方關(guān)系的問題(4)利用勾股定理作出長(zhǎng)為的線段勾股定理的各種表達(dá)形式在rtabc中，c90，a，b，c的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，

38、b，c，則a2c2b2，b2c2a2，c2a2+b2，c，a，b勾股定理的逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理直角互角形的判定(1)首先確定最大邊(如c)(2)驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系若c2a2+b2，則abc是直角三角形；若c2a2+b2，則abc不是直角三角形勾股數(shù)(1)能夠成為直角三角形三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)或勾股弦數(shù)(2)勾股數(shù)必須是正整數(shù)如3，4，5；5，12，13等知識(shí)拓展 應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須是在同一

39、直角三角形中；應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形時(shí)，一定是最長(zhǎng)邊所對(duì)的角是直角，其他兩邊所對(duì)的角是銳角知識(shí)點(diǎn)2 互逆命題與互逆定理 了解在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題知識(shí)拓展 每個(gè)命題都有逆命題原命題是真命題，而它的逆命題不一定是真命題原命題和逆命題的真假性一般有四種情況：真、假；真、真；假、假；假、真如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理稱為互逆定理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理知識(shí)拓展 每個(gè)命題都有逆命題但不是所有的定理都有逆定理知識(shí)點(diǎn)3 直角三

40、角形全等的判定定理 重點(diǎn)：靈活運(yùn)用直角三角形全等的判定定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等這一定理可以簡(jiǎn)單地用“斜邊、直角邊”或“hl”表示定理的作用：判定兩個(gè)直角三角形全等定理的證明：如圖130所示，已知rtabc，rtabc，cc90，abab，acac，求證rtabcrtabc證明：在abc和abc中，cc90， bc，bc. abab，acac，bcbc rtabcrtabc(sss)知識(shí)拓展 “hl”是直角三角形所獨(dú)有的判定定理，對(duì)于一般三角形不成立判定兩個(gè)直角三角形全等時(shí)，這兩個(gè)直角三角形已經(jīng)有一對(duì)直角相等的條件，只需找出另外兩個(gè)條件即可，而這兩個(gè)條件中必須有一個(gè)是邊

41、對(duì)應(yīng)相等與一般三角形全等一樣，只有三個(gè)角相等的兩個(gè)直角三角形不一定全等規(guī)律方法小結(jié) 1方程思想：在學(xué)習(xí)勾股定理的過程中，要注意利用勾股定理尋找等量關(guān)系，通過列方程來解幾何問題2數(shù)形結(jié)合思想：運(yùn)用勾股定理判定直角三角形就是由數(shù)量關(guān)系來判定幾何問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)和形之間的相互轉(zhuǎn)化典例剖析 觸類旁通基本概念題例1 寫出命題“同位角相等，兩直線平行”的逆命題，并判斷真假分析 寫某個(gè)命題的逆命題時(shí)，要分清命題的題設(shè)和結(jié)論必須認(rèn)真審題，分清命題結(jié)構(gòu)，最后寫成“如果，那么”的形式解：如果兩直線平行，那么同位角相等 這個(gè)命題是真命題例2 寫出命題“三角形兩邊之和大于第三邊”的逆命題，并判斷真假解：如果三條線段中的任

42、意兩條線段之和都大于第三條線段，那么這三條線段能組成一個(gè)三角形 這個(gè)命題是真命題基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題例3 如圖131所示，在rtabc中，acb90，ab50，bc30，cdab于點(diǎn)d，求cd的長(zhǎng)分析 給出abc是直角三角形，同時(shí)給出兩邊長(zhǎng)，我們會(huì)想到利用勾股定理來解題解：abc是直角三角形，acb90，ab50，bc 30 由勾股定理，得ac. 又sabcbcacabcd， . 答：cd的長(zhǎng)是24【解題策略】 在有關(guān)直角三角形的問題中，除了掌握好直角三角形的性質(zhì)(兩銳角互余，三邊滿足勾股定理等)外，還要注意一般三角形的所有性質(zhì)例4 在正方形abcd中，如圖132所示，f為dc的中點(diǎn)，e為bc上一點(diǎn)

43、，且ecbc，求證efa90分析 由已知條件會(huì)想到勾股定理，同時(shí)由結(jié)論我們會(huì)想到利用勾股定理的逆定理證明：設(shè)正方形abcd的邊長(zhǎng)為4a，則eca，be3a， cfdf2a 在rtabe中，由勾股定理，得： ae2ab2+be2(4a)2+(3a)225a2 在rtadf中，由勾股定理，得： af2ad2+df2(4a)2+(2a)220a2 在rtecf中，由勾股定理，得： ef2ec2+cf2a2+(2a)25a2 在afe中，af+ef220a2+5a225a2， 又ae225a2，af2+ef2ae2 由勾股定理的逆定理，得aef是直角三角形，且ae為最大邊， efa90規(guī)律方法 用勾股

44、定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否為直角三角形的步驟：(1)確定最大邊；(2)算出最大邊的平方與另外兩邊的平方和；(3)比較最大邊的平方與另外兩邊的平方和，如果相等，那么此三角形為直角三角形注意不要盲目比較其中任意一邊的平方與另外兩邊的平方和的關(guān)系，這樣做容易得出錯(cuò)誤的結(jié)論例5 如圖133所示，在rtabc和rtabc中，acbacb90，cdab于d，cdab于d，bcbc，cdcd求證rtabcrtabc分析 欲證rtabcrtabc，由題意知有一直角邊和一角對(duì)應(yīng)相等，只需找出另一個(gè)條件對(duì)應(yīng)相等即可由bcbc，cdcd，知rtdbcrtdbc，從而有bb，故問題得證證明：cdab，cdab(已

45、知)， cdbcdb90(垂直的定義) 在rtbcd和rtbcd中， rtabcrtbcd(hl)bb 在rtabc和rtabc中， rtabcrtabc(asa)【解題策略】 證明直角三角形全等時(shí)，既可以利用hl證明，又可利用其他四種方法綜合應(yīng)用題例6 如圖1-34所示，在abc中，a=60，ab=9 cm，ac=144 cm，求bc的長(zhǎng)分析 本題所給的abc不是直角三角形，為解答本題，應(yīng)充分考慮已知條件中a=60，故作含30角的直角三角形，作cdab于d點(diǎn)，在rtadc中，求得ad和cd的長(zhǎng)，再利用勾股定理在rtbcd中求得bc的長(zhǎng)解：過點(diǎn)c作cdab于點(diǎn)d， a=60，cdab， acd=30又ac=144 cm， ad=ac=144=72(cm)(在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半) ab=9 cm，ad=72 cm，db=18cm cdab，ad2+dc2=ac2，db2+dc2=bc2 即722+dc2=1442，182+dc2=bc2， bc2=182+1442-722=324+20736-5184=15876， bc=126 cm，bc的長(zhǎng)為126 cm【解題策略】通過作三角形的高，把三角形