完整版)一階常微分方程初等解法畢業(yè)論文46doc

1、目錄 1關(guān)鍵詞.1Abstract 1Keywords. .10 前.11 預(yù)備知識 . .11. 1 變量分離方程 .21. 2 恰當(dāng)微分方.221. 3 積分因子2 基本方法 .22. 1 一般變量分 離.32. 2 齊次微分方 程.32. 2 .1 齊次微分方程類型一 .32. 2. 2齊次微分方程類型二 . . 42. 3 常數(shù)變易法 . . 52.3.1 常數(shù)變易法一 . 52.3.2 常數(shù)變易法二 . . .62.4 積分因子求解 法 . 72.5 恰當(dāng)微分方程求解法 . 83 基本方法的應(yīng)用 . 83. 1 一般變量分離方程應(yīng)用 83.1.1 應(yīng)用舉例 93.1.2 應(yīng)用舉例 .

2、 93. 2 齊次微分方程應(yīng)用 103.2.1 類型一應(yīng)用舉例 103.2.2 類型一應(yīng)用舉例 113.2.3 類型二應(yīng)用舉例 113.2.4 類型二應(yīng)用舉例123.3 常數(shù)變易法應(yīng)用 133.3.1 常數(shù)變易法應(yīng)用舉例133.3.2 伯努利微分方程應(yīng)用舉例. 143. 4 利用積分因子求解 . .143. 5 利用恰當(dāng)微分方程求15 參考文獻(xiàn)16一階常微分方程初等解法摘 要 : 本文對一階微分方程的初等解法進(jìn)行歸納與總結(jié) ,同時簡要 分析了變量分離 ,積分因子 ,恰當(dāng)微分方程等各類初等解法 .并且結(jié)合例題演 示了如何把常微分方程的求解問題化為積分問題 ,進(jìn)行求解 .關(guān)鍵詞: 一階常微分方程

3、;變量分離;恰當(dāng)微分方程 ;積分因子 The Fundamental methods of the first-order ordinary differential equation Abstract: In this thesis, we summarize the fundamental methods of the first-order ordinary differential equation. At the same time, we analysis the various types of fundamental methods such as the separation

4、 of variables, integrating factor and the exact differential equation. Combined with examples, we show how the ordinary differential equations solve problems by transforming them into the problems ofintegration.Key Words: first-order ordinary differential equation; separation of variables; exact dif

5、ferential equation; integrating factor0 前言常微分方程在微積分概念出現(xiàn)后即已出現(xiàn) ,對常微分方程的研究也可 分為幾個階段 .發(fā)展初期是對具體的常微分方程希望能用初等函數(shù)或超越 函數(shù)表示其解 ,屬于“求通解 ”時代.萊布尼茨曾專門研究利用變量變換解決 一階微分方程的求解問題 ,而歐拉則試圖用積分因子處理 .但是求解熱潮最終被劉維爾證明里卡蒂方程不存在一般初等解而中斷 .加上柯西初值問題 的提出,常微分方程從 “求通解”轉(zhuǎn)向“求定解”時代.在 20世紀(jì)六七十年代以 后,常微分方程由于計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展迎來了新的時期 ,從求“求所有解 ”轉(zhuǎn) 入“求特殊解 ”時代

6、,發(fā)現(xiàn)了具有新性質(zhì)的特殊的解和方程 ,如混沌(解)、奇 異吸引子及孤立子等 .常微分方程的研究還與其他學(xué)科或領(lǐng)域的結(jié)合而出現(xiàn)各種新的分支 , 如控制論、種群分析、種群生態(tài)學(xué)、分支理論、泛函微分方程、脈沖微分 方程等.總之 ,常微分方程屬于數(shù)學(xué)分析的一支 ,是數(shù)學(xué)中與應(yīng)用密切相關(guān)的基 礎(chǔ)學(xué)科 ,其自身也在不斷發(fā)展中 ,學(xué)好常微分方程基本理論和實(shí)際應(yīng)用均非 常重要 .因此本文對一階常微分方程的初等解法進(jìn)行了簡要的分析,同時結(jié)合例題 ,展示了初等解法在解題過程中的應(yīng)用 .1 預(yù)備知識1. 1 變量分離方程形如, () 的方程,稱為變量分離方程 , ,分別是,的連續(xù)函數(shù) .這是一類最簡單的一階函 數(shù).

7、如果,我們可將()改寫成,這樣變量就分離開來了 .兩邊積分 ,得到,為任意常數(shù) .由該式所確定的函數(shù)關(guān)系式就是常微分方程 ()的解 .1.2 恰當(dāng)微分方程將方程 寫成微分的形式 ,得到5或把，平等看待，寫成下面具有對稱形式的一階微分方程如果方程的左端恰好是某個二元函數(shù)的全微分，即GUcUM x, y dx N x, y dy =du x, y dx dy,cXdy則稱方程就是恰當(dāng)微分方程.1.3積分因子如果存在連續(xù)可微函數(shù)，使得J x,y M x, y dxx,y N x,y dy =0為一恰當(dāng)微分方程，即存在函數(shù)，使,則稱為方程的積分因子.2基本方法2.1 一般變量分離，的方程，稱為變量分離

8、方程，分別是，的連續(xù)函數(shù)這是一類最簡單的一階函 數(shù).如果，我們可將改寫成，這樣，變量就分離開來了 兩邊積分，得到這里我們把積分常數(shù)明確寫出來，而把，分別理解為 尚原函數(shù)常數(shù)的取值必 須保證有意義，如無特別聲明，以后也做這樣理解.因式不適合情形 .但是如果存在使 ,則直接驗證知也是的解 .因此 ,還必須尋求 的解 ,當(dāng)不包括在方程的通解中時 ,必須補(bǔ)上特解2.2 齊次微分方程2.2.1 齊次微分方程類型一形如 的方程 ,稱為奇次微分方程 ,這里是的連續(xù)函數(shù) . 作變量變換5即,于是 代入原方程可得整理后 ,得到因是一個變量分離方程 .則可按照變量分離方法求解 ,然后代回原來的變量 , 即可得到原

9、方程的解2.2.2 齊次微分方程類型二形如5的方程不可直接進(jìn)行變量分離 ,但是可以經(jīng)過變量變換后化為變量分離方程,這里, , , , ,均為常數(shù) . 可分為三種情況來討論 :（常數(shù) ）的情形 這時方程可化為有通解其中為任意常數(shù).的情形.令,這時有du, dy , ku ga? b?a? b?.dxdxu c2是變量分離方程及不全為零的情形因為方程右端分子，分母都是的一次多項式，因此代表平面上兩條相交的直線，設(shè)交點(diǎn)為，若令則方程可化為從而方程變?yōu)橐虼?，求解上述變量分離方程，最后代回原方程，即可得到原方程的解 的情形此時直接變換即可2.3常數(shù)變易法2.3.1常數(shù)變易法一一階線性微分方程其中在考慮的

10、區(qū)間上是的連續(xù)函數(shù)，若，方程變?yōu)?變易分稱其為一階齊次線性微分方程，若稱其為一階非齊次線性微分方程 離方程，易求得它的通解為這里是任意常數(shù).現(xiàn)在討論非齊次線性方程的通解的求法 不難看出，是特殊情形，兩者既有聯(lián)系又有差別，因此可以設(shè)想它們的解也應(yīng) 該有一定的聯(lián)系而又有差別，現(xiàn)試圖利用方程的通解的形式去求出方程的 通解，顯然，如果中恒保持為常數(shù)，它們不可能是的解可以設(shè)想在中將常數(shù)變 易為的待定函數(shù)，使它滿足方程，從而求出為此，令 兩邊同時微分，得到矽二牡ePxdx cxPxe Pxdx.dx dx代入原方程，得到dce Pxdx cxPxePxSpxcxePxdx Qx, dx即 兩邊同時積分，得

11、到 這里是任意常數(shù)，求得到y(tǒng) =ePxdx ,QxPxdxdx ci .就是方程的通解.這種將常數(shù)變?yōu)榇ê瘮?shù)的方法通常被稱之為常數(shù)變易法.2.3.2常數(shù)變易法二形如，的方程，稱為伯努利方程，這里，為的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù).利用變量變換可將伯努利微分方程化為線性微分方程事實(shí)上，對于，用乘的兩邊，得到，引入變量變換從而代入方程，得到一二(1 一 n)P(x)z (1 - n)Q(x)， dx這是線性微分方程，可按照前面介紹的方法來求出它的通解，然后代換原來的變量，便得到方程的通解.此外，當(dāng)時，方程還有解.2.4積分因子求解法函數(shù)為積分因子的充要條件是(型-週尸.X :y :y:x假設(shè)原方程存在只與有

12、關(guān)的積分因子，則，則為原方程的積分因子的充要條 件是，即僅是關(guān)于的函數(shù)此時可求得原方程的一個積分因子為同樣有只與 有關(guān)的積分因子的充要條件是是僅為的函數(shù)，此時可求得方程的一個積分 因子為2.5恰當(dāng)微分方程求解對于一階微分方程若有,則該方程必為恰當(dāng)微分方程下面討論如何求得該恰當(dāng)微分方程的解. 把看作只關(guān)于自變量的函數(shù)，對它積分可得 由此式可得.:ud (y)M (x, y)dxN ,.:yfydy由此可得又因為M(x,y)dx一N -一 M (x, y)dx :x:y：x故等式右邊只含有，積分可得：(yH N -丄 M(x, ydx)dy,cy進(jìn)而可得u = M (x, y)dx 亠 iNM (

13、x, y)dxdy .則恰當(dāng)微分方程的通解為 M (x, y)dx N - 一 M (x, y)dxdy二c, 綱這里是任意常數(shù).3基本方法的應(yīng)用3.1 一般變量分離應(yīng)用舉例3.1.1應(yīng)用舉例例1求解方程解將變量分離,得到兩邊積分，即得因而 ,通解為這里是任意正常數(shù) ,或者解出 ,寫出顯函數(shù)形式的解 3.1.2 應(yīng)用舉例例 2 求解方程 的通解 ,其中的連續(xù)函數(shù)解 將變量分離 , 得到5兩邊積分 ,即這里是任意常數(shù) .由對數(shù)定義 ,有, 即, 令,得到, 此外 ,顯然也是方程的解 ,如果允許中允許則也就包括在中 ,因而的通解為 ,其 中為任意常數(shù) .3.2 齊次微分方程應(yīng)用舉例3.2.1 類型

14、一應(yīng)用舉例 例 3 求解方程 解 這是齊次微分方程 ,以代入 , 則原方程變?yōu)閷⑸鲜椒蛛x變量 ,既有 兩邊積分 ,得到這里是任意常數(shù) ,整理后 ,得到得到此外,方程還有解如果在中允許 ,則也就包括在中 ,這就是說 ,方程的通解為 帶回原來的變量 ,得到方程的通解為3.2.2 類型一應(yīng)用舉例 例 4 求解方程（） 解 將方程改寫為, 這是齊次微分方程 .以代入 ,則原方程變?yōu)榉蛛x變量 ,得到兩邊積分 ,得到的通解 即當(dāng)時,這里 c 時任意常數(shù) .此外 ,方程還有解 注意 ,此解并不包括在通解中 .代入原來的變量 ,即得原方程的通解為3.2.3 類型二應(yīng)用舉例例 5 求解方程 .解 令 ,則有代入

15、所求方程整理可得由變量分離得故所求方程的解為3.2.4 類型二應(yīng)用舉例例 6 求解方程解 解方程組得令 代入上式方程 ,則有再令則上式可化為兩邊積分 ,得因此5記并帶回原變量，得(y 一2)2 2(x-1)(y-2)-(x-1)2此外容易驗證,即也是方程的解，因此方程的通解為,其中為任意的常數(shù).3.3常數(shù)變易法應(yīng)用3.3.1常數(shù)變易法應(yīng)用舉例例7求方程的通解解原方程可改寫為,即I首先，求出齊次線性微分方程,的通解為其次，利用常數(shù)變易法求非齊次線性微分方程的通解把看成，將方程兩邊同時微分得代入，得到兩邊同時積分，即可求得從而，原方程的通解為,這里是任意常數(shù).3.3.2伯努利微分方程的求解例8求方程的通解解這是時的伯努利微分方程令,算得,這是線性微分方程，求得它的通解為代入原來的變量，得到或者這就是原方程的通解.此外，方程還有解3.4利用積分因子求解 例9求解方程.解 這里M二y, N二y-x, =1,=T,方程不是恰當(dāng)?shù)? cy決因為只與有關(guān)，故方程有只與的積分因子以乘方程兩邊，得到3或者寫成,因而通解為3.5利用恰當(dāng)微分方程求解11x例 10 求解方程(cosx )dx - (一 -一2)dy =0.yy y解 因為，故方程是恰當(dāng)微分方程.把方程重新分項組合，得到x(cosx )dx (2)dy 二 0,yy y即dsinxdln|y|ydxxdy或者寫成于是,方程的通解為,這里