必修二2.1.2空間中直線及直線之間的位置關(guān)系

1、2.1.2空間空間中直線與直線中直線與直線之間的位之間的位置關(guān)系置關(guān)系 (1)1 1、熟練掌握、熟練掌握異面直線異面直線定義；定義；2 2、理解掌握、理解掌握空間兩直線空間兩直線的位置關(guān)系的位置關(guān)系; ;3 3、熟練掌握公理、熟練掌握公理4 4，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用. .問題：平面幾何中，兩條直線的位置關(guān)系：?jiǎn)栴}：平面幾何中，兩條直線的位置關(guān)系：平行平行 或或 相交相交在空間中是否還是如此呢？在空間中是否還是如此呢？在正方體在正方體A1B1C1D1-ABCD中，說出下列各對(duì)線段中，說出下列各對(duì)線段的位置關(guān)系的位置關(guān)系A(chǔ)BCDA1B1C1D1（1）AB和和C1D1； （2）A1C1和和AC

2、；（3）A1C和和D1B：（4）AB和和CC1；（5）BD1和和A1C1；一、復(fù)習(xí)引入一、復(fù)習(xí)引入異面直線：異面直線：不同在不同在任何一個(gè)任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線。平面內(nèi)的兩條直線。（即即-既不共面（平行），也不相交既不共面（平行），也不相交）異面直線的畫法：異面直線的畫法：ababba二、異面直線的二、異面直線的 定義定義 和和 畫法畫法： Aa 空間兩條直線的位置關(guān)系空間兩條直線的位置關(guān)系1 1、平行、平行ab沒有沒有公共點(diǎn)公共點(diǎn)2 2、相交、相交bA a3、異面、異面沒有沒有公共點(diǎn)公共點(diǎn)b只有一個(gè)只有一個(gè)公共點(diǎn)公共點(diǎn)Aba 練習(xí)練習(xí)1：正方體正方體ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1

3、C1D11、與、與A1A是異面的有是異面的有:2、與、與D1B異面的有：異面的有：BC DC B1C1 D1C1AA1 AD A1B1 B1C1 CC1 CD練習(xí)練習(xí) 2：判斷下列說法的對(duì)錯(cuò)：判斷下列說法的對(duì)錯(cuò)1 1、分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是、分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是 異面直線；異面直線；3 3、a a與與b b是異面直線，是異面直線，b b與與c c是異面是異面直線直線，則，則a a與與c c是異面是異面直線直線；4 4、a a與與b b是共面，是共面，b b與與c c是共面，則是共面，則a a與與c c共面共面一定異面；、則、baba,2錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)平行直線 如圖, 在

4、長(zhǎng)方體ABCDABCD中, BBAA，DDAA，那么BB與DD平行嗎 ?C CB B C C A A D D B BA AD D觀察觀察答：平行答：平行三、平行直線的傳遞性三、平行直線的傳遞性公理平行同一條直線的兩條直線互相平行公理平行同一條直線的兩條直線互相平行.abcbac三條直線兩兩平行，可以記為三條直線兩兩平行，可以記為abcabc符號(hào)語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言( (空間平行線的傳遞性空間平行線的傳遞性) )平行直線 例2 如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn). 求證：四邊形EFGH是平行四邊形.F FG GD DA AE EB BC CH H所以所以 BDE

5、H /，且，且BDEH21同理同理 BDFG/，且，且BDFG21因?yàn)橐驗(yàn)?FGEH /，且，且FGEH 所以所以 四邊形四邊形EFGH EFGH 是平行四邊形是平行四邊形證明：連接證明：連接BDBD，因?yàn)橐驗(yàn)?EHEH是是 的中位線，的中位線，ABD 在上例中，如果再加上條件在上例中，如果再加上條件AC=BDAC=BD，那么，那么四邊形四邊形EFGH EFGH 是什么圖形？是什么圖形？探究探究答：四邊形答：四邊形EFGHEFGH是菱形是菱形F FG GD DA AE EB BC CH H是菱形所以平行四邊形所以且，因?yàn)镋FGHEHEFBDAC BD21EH AC21EF四：等角定理 在平面上

6、，在平面上，“如果一個(gè)角的兩邊如果一個(gè)角的兩邊 和和 另一個(gè)角另一個(gè)角的兩邊分別平行，的兩邊分別平行， 那么這兩個(gè)角那么這兩個(gè)角 思考思考1 1問題問題: :那么空間中，此結(jié)論是否仍然成立？那么空間中，此結(jié)論是否仍然成立？相等或互補(bǔ)相等或互補(bǔ) 如圖如圖, ,四棱柱四棱柱ABCD-ABCDABCD-ABCD的底面是平行的底面是平行四邊形，四邊形，ADCADC與與ADC, ADCADC, ADC與與BADBAD的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何 ? ?觀觀 察察B BA AD DC CA A B B D D C C B BA AD DC CA A

7、B B D D C C ADC=ADCADC=ADCADC+BAD=180ADC+BAD=1800 0 如圖，在空間中AB/ AB，AC/ AC，你能證明BAC與BAC 相等嗎？ 思考思考3 3B BC CA AB BC CA AE EE E D DD D 等角定理 定理：定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平行，那么這兩個(gè)角角 相等相等 或或 互補(bǔ)互補(bǔ). . 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且對(duì)應(yīng)平行且方向相同方向相同，那么這兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角相等. .ABCCABABCCABBAABCAAC

8、/,/且、一條直線與兩條異面直線中的一條相交，、一條直線與兩條異面直線中的一條相交，那么它與另一條之間的位置關(guān)系是（）那么它與另一條之間的位置關(guān)系是（）、平行、相交、平行、相交、異面、可能平行、可能相交、可能異面、異面、可能平行、可能相交、可能異面、兩條異面直線指的是（）、兩條異面直線指的是（）、沒有公共點(diǎn)的兩條直線、沒有公共點(diǎn)的兩條直線、分別位于兩個(gè)不同平面的兩條直線、分別位于兩個(gè)不同平面的兩條直線、某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線、某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線、不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線、不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線練習(xí)：練習(xí)：DD3、下列命題中，其中正確的是

9、、下列命題中，其中正確的是（）若兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線互相平行）若兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線互相平行（）若兩條直線都和第三條直線相交，那么這兩條直線互相平行（）若兩條直線都和第三條直線相交，那么這兩條直線互相平行（）若兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行）若兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行（）若兩條直線都和第三條直線異面，那么這兩條直線互相平行）若兩條直線都和第三條直線異面，那么這兩條直線互相平行（3）4、三個(gè)平面兩兩相交，所得的三條交線（）、三個(gè)平面兩兩相交，所得的三條交線（）、交于一點(diǎn)、互相平行、交于一點(diǎn)、互相平行、有兩條平行、或交于一點(diǎn)或互

10、相平行、有兩條平行、或交于一點(diǎn)或互相平行D第二課時(shí)第二課時(shí) 異面直線所成的角異面直線所成的角 a一、異面直線所成角的定義：一、異面直線所成角的定義：1.直線直線a、b是異面直線。經(jīng)過空間任意一點(diǎn)是異面直線。經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，分，分 別引直線別引直線a1a，b1b。我們把直線。我們把直線a1和和b1所成的所成的 銳角（或直角）叫做銳角（或直角）叫做異面直線異面直線a和和b所成的角。所成的角。ba1b1Ob aO為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O常取在兩條異面直線中的一條上。o900 2.異面直線異面直線a和和b所成的角的范圍：所成的角的范圍：如圖所示，如圖所示，a，b是兩條是兩條異面直線，異面直線， 在空間中任選

11、一點(diǎn)在空間中任選一點(diǎn)O，過過O點(diǎn)分別作點(diǎn)分別作 a，b的平行線的平行線 a和和 b，abPabO 則這兩條線所成則這兩條線所成的的銳角（或直角）銳角（或直角）， 稱為稱為異面直線異面直線a，b所成的角所成的角。？Oa平平移移注意注意:與與O的選取無關(guān)的選取無關(guān); 將空間角轉(zhuǎn)化為平面角將空間角轉(zhuǎn)化為平面角2.兩條異面直線所成的角兩條異面直線所成的角異面直線夾角的求解過程：異面直線夾角的求解過程：異面異面直線直線相交相交直線直線異面直線異面直線所成的角所成的角平移平移強(qiáng)調(diào)強(qiáng)調(diào):1)異面直線所成的角范圍異面直線所成的角范圍 2) 在求作異面直線所成的角時(shí)在求作異面直線所成的角時(shí),O點(diǎn)點(diǎn) 常選在其中的

12、一條直線上常選在其中的一條直線上 (如線段的端點(diǎn)如線段的端點(diǎn),線段的中點(diǎn)等線段的中點(diǎn)等)3)找兩條異面直線所成的角，要找兩條異面直線所成的角，要作平行移動(dòng)作平行移動(dòng)(平行線平行線)，把兩條異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的把兩條異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角角. 90, 0(0 如果兩條異面直線所成的角是如果兩條異面直線所成的角是直角直角，就說這兩就說這兩條異面直線條異面直線互相垂直互相垂直。 相交垂直（有垂足）相交垂直（有垂足）垂直垂直 異面垂直（無垂足）異面垂直（無垂足）OO因此，異面直線所成角的范圍是（因此，異面直線所成角的范圍是（0， 3、特、特 例：例：2例例1

13、.如圖，在正方體中，如圖，在正方體中，（1）哪些棱所在的直線與直線）哪些棱所在的直線與直線BA1成異面直線？成異面直線？（2）求直線）求直線BA1和和CC1所成的角的大小。所成的角的大小。ABCDA1B1C1D1四、例題分析：四、例題分析：解：（解：（1）與直線）與直線BA1成異成異面直線有面直線有AD、CD、B1C1、C1D1、C1C、D1D（2）B1BC1CA1B1B是異面直線是異面直線BA1和和CC1所成的角所成的角易求得所成的角為易求得所成的角為451D1C1BABC1AD例例2 2、已知正方體、已知正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 （1 1）求

14、證：）求證：AAAA1 1C C1 1D D1 1 （2 2）求異面直線）求異面直線BCBC與與B B1 1D D1 1所成角的度數(shù)。所成角的度數(shù)。 （3 3）求異面直線）求異面直線A A1 1C C1 1與與D D1 1C C所成角的度數(shù)。所成角的度數(shù)。 （1 1）在正方體中，在正方體中，DDDD1 1C C1 1D D1 1 DDDD1 1C C1 1=90=90在正方體中在正方體中AAAA1 1/DD/DD1 1AAAA1 1與與C C1 1D D1 1所成的角為所成的角為DDDD1 1C C1 1=90=90即即AAAA1 1C C1 1D D1 1在正方體中，在正方體中，BC/BBC

15、/B1 1C C1 1 D D1 1B B1 1C C1 1就是就是異面直線異面直線BCBC與與B B1 1D D1 1所成角。所成角。四邊形四邊形A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1為正方形為正方形D D1 1B B1 1C C1 1=45=45即即異面直線異面直線BCBC與與B B1 1D D1 1所成角的度數(shù)為所成角的度數(shù)為4545（2 2）連接）連接B B1 1D D1 1 練習(xí).如圖，正方體中，A1B1與C1C所成的角AD與B1B所成的角A1D與BC1所成的角D1C與A1A所成的角A1D與AC所成的角ABCDA1B1C1D11.90 ;2.90 ;3.90 ;4.45 ;5.60異面直線所成的角異面直線所成的角根據(jù)異面直線所成角的定義，求異面直線所成角根據(jù)異面直線所成角的定義，求異面直線所成角,就是要將其就是要將其變換成相交直線所成有角變換成相交直線所成有角。其方法為：。其方法為： 平移法：平移法：即根據(jù)定義，以即根據(jù)定義，以“運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)”的觀點(diǎn)，用的觀點(diǎn)，用“平平移轉(zhuǎn)化移轉(zhuǎn)化”的方法，使之成為相交直線所成的角。的方法，