湖南省2009屆高三12校聯(lián)考第二次考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷2009.4.5

1、湖南省2009屆高三十二校聯(lián)考第二次考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷總分：150分 時(shí)量：120分鐘 2009年4月5日聯(lián)合命題由 長(zhǎng)郡中學(xué)；衡陽(yáng)八中；永州四中；岳陽(yáng)縣一中；湘潭縣一中；湘西州民中 隆回一中；澧縣一中；郴州一中；益陽(yáng)市一中；桃源縣一中；株洲市二中一、選擇題：（本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）.1集合的真子集的個(gè)數(shù)為 （ ）A3 B4 C7 D82復(fù)數(shù)（）2（其中i為虛數(shù)單位）的虛部等于 （ ）Ai B1 C1 D03設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則實(shí)數(shù)的值為 ( )A2 B1 C0 D34. 已知展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和

2、之比為64，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)等于 ( )A. 135 B. 270 C. 540 D. 12155下面四個(gè)命題：“直線a直線b”的充要條件是“a平行于b所在的平面”；“直線平面內(nèi)所有直線”的充要條件是“平面”；“直線a、b為異面直線”的充分不必要條件是“直線a、b不相交”；“平面平面”的必要不充分條件是“內(nèi)存在不共線三點(diǎn)到的距離相等”；其中正確命題的序號(hào)是 ( )A B C D6已知，則 （ ）A2 B C1D07已知O，A，B，C是不共線的四點(diǎn)，若存在一組正實(shí)數(shù)，使= ，則三個(gè)角AOB，BOC，COA （ ）A都是銳角 B至多有兩個(gè)鈍角 C恰有兩個(gè)鈍角 D至少有兩個(gè)鈍角。8由數(shù)字0，1，2

3、，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，所得的數(shù)是大于20000的偶數(shù)的概率為 （ ）A B C D 9雙曲線 1的左右焦點(diǎn)分別為F1 F2，在雙曲線上存在點(diǎn)P，滿足PF15PF2。則此雙曲線的離心率e的最大值為 （ ）A B C D210f (x)是定義在(0,+)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù) ，且滿足 ，對(duì)任意的正數(shù)a b ，若a b，則必有 （ ）Aa f (a)b f (b) Ba f (a)b f (b) Ca f (b)b f (a) Da f (b)b f (a)二、填空題:（本大題共5個(gè)小題，共25分，將答案填寫(xiě)在題中的橫線上）.11已知在平面直角坐標(biāo)系中，O (0,0), M (1,),

4、N (0,1), Q (2,3), 動(dòng)點(diǎn)P (x,y)滿足：01,01,則的最大值為12已知函數(shù)y=f(x),x1，1的圖象是由以原點(diǎn)為圓心的兩段圓弧及原點(diǎn)構(gòu)成（如圖所示）, 則不等式的的解集為 13已知1，則14若兩條異面直線所成的角為600，則稱這對(duì)異面直線為“理想異面直線對(duì)”，在連接正方體各頂點(diǎn)的所有直線中，“理想異面直線對(duì)”的對(duì)數(shù)為15已知拋物線的方程為，直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，且以弦AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程為 ；當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，圓的半徑為 三、解答題:（本大題共6個(gè)小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）.16（本小題滿分12

5、分）已知向量a(cos, sin), b(cos, sin), 且x0, .(1) 求ab及ab；(2)若f (x)= ab2ab的最小值為7, 求實(shí)數(shù)的值.17（本小題滿分12分）某公司科研部研發(fā)了甲乙兩種產(chǎn)品的新一代產(chǎn)品，在投產(chǎn)上市前，每種新一代產(chǎn)品都要經(jīng)過(guò)第一和第二兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)檢測(cè)，兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)的檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)立，每項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)的檢測(cè)結(jié)果都均有A ，B兩個(gè)等級(jí)，對(duì)每種新一代產(chǎn)品，當(dāng)兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)的檢測(cè)結(jié)果均為A級(jí)時(shí)，才允許投產(chǎn)上市，否則不能投產(chǎn)上市。(1)已知甲乙兩種新一代產(chǎn)品的每一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)的檢測(cè)結(jié)果為A級(jí)的概率如下表所示，分別求出甲乙兩種新一代產(chǎn)品能投產(chǎn)上市的概率P甲P乙；第一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)

6、第二項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)甲0.80.85乙0.750.8(2)若甲乙兩種新一代產(chǎn)品能投產(chǎn)上市，可分別給公司創(chuàng)造100萬(wàn)元150萬(wàn)元的利潤(rùn)；否則將分別給公司造成10萬(wàn)元20萬(wàn)元的損失，在1）的條件下，用分別表示甲乙兩種新一代產(chǎn)品的研發(fā)給公司創(chuàng)造的利潤(rùn)，求的分布列及EE.18（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為等腰直角三角形，B = 900，D為棱BB1上一點(diǎn)，且面DA1 C面AA1C1C.1）求證：D點(diǎn)為棱BB1的中點(diǎn)；A1C1B1ACBA1D2）若二面角A A1D C的平面角為600，求的值。19（本小題滿分13分）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為Sn，q為非零常數(shù)。已知對(duì)任意正

7、整數(shù)n, m，當(dāng)n m時(shí)，總成立。1）求證數(shù)列是等比數(shù)列；2）若正整數(shù)n, m, k成等差數(shù)列，求證： 。20（本小題滿分13分）已知橢圓C：1（ab0）的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)。1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率KON ；2）對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M ，試證：總存在角（R）使等式：cossin成立。21（本小題滿分13分）我們知道：函數(shù)yf (x)如果存在反函數(shù)yf -1 (x)，則yf (x)的圖像與yf -1 (x)圖像關(guān)于直線yx對(duì)稱。若yf (x)的圖像與yf -1 (x)的圖像有公共點(diǎn)，其公共點(diǎn)卻不一定都在直線yx上；例如函數(shù)f

8、(x)。（1）若函數(shù)yf (x)在其定義域上是增函數(shù)，且yf (x)的圖像與其反函數(shù)yf -1 (x)的圖像有公共點(diǎn)，證明這些公共點(diǎn)都在直線yx上；（2）對(duì)問(wèn)題：“函數(shù)f (x)a x (a1)與其反函數(shù)f -1 (x)logax的圖像有多少個(gè)公共點(diǎn)？”有如下觀點(diǎn)：觀點(diǎn)：“當(dāng)a1時(shí)兩函數(shù)圖像沒(méi)有公共點(diǎn)，只有當(dāng)0a1時(shí)兩函數(shù)圖像才有公共點(diǎn)”。觀點(diǎn)：“利用（1）中的結(jié)論，可先討論函數(shù)f (x)a x (a1)的圖像與直線yx的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，為此可構(gòu)造函數(shù)F (x)a xx(a1)，然后可利用F (x)的最小值進(jìn)行討論”。請(qǐng)參考上述觀點(diǎn)，討論函數(shù)f (x)ax (a1)與其反函數(shù)f -1 (x)lo

9、gax圖像公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)。數(shù)學(xué)試卷（理科）參考解答 題序12345678910答案ACACDBDBBC11. 4. 12. 1, )(0, ). 13. 。 14. 24. 15. （3分）、 （2分）。16.解：（1） a = (cos, sin), b = (cos, sin) ab cos cossin（ sin）cos cossin sincos（）cos2x 3分又易知：a1,b1 ab2 a 2b 22 ab 112 cos2x4cos2x ，且x0, ,ab2cosx. 6分（2) f (x) ab2abcos2x2(2cosx)2cos2x4cosx 12(cosx)2221 8

10、分若0，當(dāng)cosx0時(shí)，f (x)取得最小值1，不合題意；若1，當(dāng)cosx1時(shí)，f (x)取得最小值14，由題意有147，得2；若01，當(dāng)cosx時(shí)，f (x)取得最小值221，由題意有2217，得(舍去)。綜上所述：2。 12分17解： 1）由題意有： P甲 0.80.85 0.68 ； 3分P乙 0.750.8 0.6 。 6分2）隨機(jī)變量的分布列分別是：10010P0.680.3215020P0.60.49分E 1000.68（10）0.32 64.8 ；E 1500.6（20）0.4 82 。 12分18解：1）過(guò)點(diǎn)D作DE A1 C 于E點(diǎn)，取AC的中點(diǎn)F，連BF EF。面DA1 C

11、面AA1C1C且相交于A1 C，面DA1 C內(nèi)的直線DE A1 C直線DE面AA1C1C 3分又面BA C面AA1C1C且相交于AC，易知BFAC，BF面AA1C1C由此知：DEBF ，從而有D，E，F(xiàn)，B共面，又易知BB1面AA1C1C，故有DBEF ，從而有EFAA1，A1C1B1ACBA1DHEFG又點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，所以DB EF AA1 BB1，所以D點(diǎn)為棱BB1的中點(diǎn)； 6分2）解法1：延長(zhǎng)A1 D與直線AB相交于G，易知CB面AA1B1B，過(guò)B作BHA1 G于點(diǎn)H，連CH，由三垂線定理知：A1 GCH，由此知CHB為二面角A A1D C的平面角； 9分設(shè)AA1 2b ，ABBC

12、；在直角三角形A1A G中，易知 AB BG。在直角三角形DB G中，BH ，在直角三角形CHB中，tanCHB ，據(jù)題意有： tan600 ，解得：，所以 。 12分2）解法2：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1 2b ，ABBC ，A1C1B1ACBA1DyOxZ則D（0,0,b）, A1 (a,0,2b), C (0,a,0) 所以， 8分設(shè)面DA1C的法向量為則 可取又可取平面AA1DB的法向量cos 10分 據(jù)題意有：，解得： 12分說(shuō)明：考生的其他不同解法，請(qǐng)參照給分。19解： 1）因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n, m，當(dāng)n m時(shí)，總成立。所以當(dāng)2時(shí)：，即，且也適合，又0，故當(dāng)2時(shí)：（非零常數(shù)

13、），即是等比數(shù)列。 5分2）若，則。所以。 7分若，則，。 8分所以。 10分又因?yàn)?。所以。綜上可知：若正整數(shù)n, m, k成等差數(shù)列，不等式 總成立。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”。 13分20解： 1）設(shè)橢圓的焦距為2c,因?yàn)椋杂?，故有。從而橢圓C的方程可化為： 2分易知右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（），據(jù)題意有AB所在的直線方程為： 3分由，有： 設(shè)，弦AB的中點(diǎn)，由及韋達(dá)定理有： 所以，即為所求。 5分2）顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對(duì)于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得等式成立。設(shè)，由1）中各點(diǎn)的坐標(biāo)有：，所以。 7分又點(diǎn)在橢圓C上，所以有整理為。 由有：。所以 又AB在橢圓

14、上，故有 將，代入可得：。 11分對(duì)于橢圓上的每一個(gè)點(diǎn)，總存在一對(duì)實(shí)數(shù)，使等式成立，而在直角坐標(biāo)系中，取點(diǎn)P（），設(shè)以x軸正半軸為始邊，以射線OP為終邊的角為，顯然 。也就是：對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M ，總存在角（R）使等式：cossin成立。 13分21解； 1）設(shè)點(diǎn)M（x0, y0）是函數(shù)y f (x)的圖像與其反函數(shù)y f -1 (x)的圖像的公點(diǎn)，則有：y0f (x0) ， y0 f -1 (x0)，據(jù)反函數(shù)的意義有：x0 f (y0)。 2分所以：y0 f (x0)且同時(shí)有x0 f (y0)。若x0 y0 ，因?yàn)楹瘮?shù)y f (x) 是其定義域上是增函數(shù)，所以有：f (x0) f (y0) ，即y0 x0 與 x0 y0矛盾，這說(shuō)明x0 y0是錯(cuò)誤的。同理可證x0 y0也是錯(cuò)誤的。所以x0 y0 ，即函數(shù)y f (x)的圖像與其反函數(shù)y f -1 (x)的圖像有公共點(diǎn)在直線y x上； 5分2）構(gòu)造函數(shù)F (x)a xx(a1)因?yàn)镕 (x) a xlna 1（a 1）， 6分令F (x) a xlna 10，解得：x 。所以當(dāng)x 時(shí)：F (x)0，F(xiàn) (x)在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)x 時(shí)：F (x)0，F(xiàn) (x)在區(qū)間上是減函數(shù)。所以F (x)的最小值為F (x)minF ()