定積分在幾何物理中應(yīng)用 非常好

1、1.7.1定積分在幾何中的簡(jiǎn)單應(yīng)用定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用1、定積分的幾何意義：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當(dāng) f(x)0 時(shí)，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 x yOab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 -S 當(dāng)f(x)0時(shí)，由yf (x)、xa、xb 與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于 x 軸的下方，一、復(fù)習(xí)回顧定理定理 （微積分基本定理）（微積分基本定理）2、牛頓、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式-( )|( )( )( )bbaaf x dxF bxFFa

2、或或(F(x)叫 做 f(x)的 原 函 數(shù) , f(x)就 是 F(x)的 導(dǎo) 函 數(shù) ) 如果如果f(x)f(x)是區(qū)間是區(qū)間a,ba,b上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), ,并且并且F F(x)=f(x),(x)=f(x),則則baf x dxF bF a-( )( )( )一、復(fù)習(xí)回顧二、熱身練習(xí)1dxx - - -2224解： 如圖由幾何意義22222214 - - - - dxx2計(jì)算:計(jì)算： - - xdxsin解：如圖由幾何意義0sin - - xdx定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用xysin0yx定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用3.2 2yx計(jì)算由與x軸及x=1，x1所圍成的面積12( )( )bbaasf x d

3、xfx dx-xyNMOabABCD4用定積分表示陰影部分面積)(1xfy )(2xfy 二、熱身練習(xí)二、熱身練習(xí)A2ab曲邊梯形（三條直邊，一條曲邊）abXA0y曲邊形面積 A=A1-A2ab1三、問(wèn)題探究三、問(wèn)題探究曲邊形面積的求解思路定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用四、例題實(shí)踐求曲邊形面積例計(jì)算由曲線2xy 22xyxy與所圍圖形的面積解：作出草圖，所求面積為陰影部分的面積解方程組xy 2得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為0 x1x及曲邊梯形曲邊梯形dxx10dxx-10210331x-3231-31102332x定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用ABCD2xy xy 2xyO11-1-1歸納求由曲線圍成的平面圖形面積的解題步驟：（1）畫草

4、圖，求出曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)（3）確定被積函數(shù)及積分區(qū)間（4）計(jì)算定積分，求出面積定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用（2）將曲邊形面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積4xyO8422Bxy24- xyS1S2-442122844021dxxdxxsss：4yO8422AS1S2例2計(jì)算由曲線xy2直線4- xy以及x軸所圍圖形的面積定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用四、例題實(shí)踐求曲邊形面積442128021-dxxsss：xyO12xycosxysin五、鞏固練習(xí)書(shū)本P58練習(xí)提高:書(shū)本P66復(fù)習(xí)參考題A組16題定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用4xyxycos,sin求曲線與直線2, 0 xx所圍成平面圖形的面積S1dxxdxxS-40401sincosdxxdx

5、xS-24242cossin21SSS解題要點(diǎn):S2有其他方法嗎？S1=S2七、作業(yè)1、書(shū)本P60 習(xí)題A組1 B組32、全優(yōu)設(shè)計(jì)P48493、思考B組1，2六、小結(jié)1本節(jié)課我們做了什么探究活動(dòng)呢？2如何用定積分解決曲邊形面積問(wèn)題呢？3解題時(shí)應(yīng)注意些什么呢？4體會(huì)到什么樣的數(shù)學(xué)研究思路及方法呢？思考hb 如圖, 一橋拱的形狀為拋物線, 已知該拋物線拱的高為常數(shù)h, 寬為常數(shù)b. bhS32求證: 拋物線拱的面積定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用建立平面直角坐標(biāo)系 確定拋物線方程求由曲線圍成的平面圖形面積的解題步驟課本P60 習(xí)題B組2xhby0),2(hb-證明：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，可設(shè)拋物線方程為)0(2

6、-aaxy2)2(bah-則有24bha 得224xbhy-所以拋物線方程為于是，拋物線拱的面積為-dxxbhhbsb)4(2222220-2032)34(22bxbhhbbh32代拋物線上一點(diǎn)入方程S2S定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用定定積積分分在在物物理理中中的的應(yīng)應(yīng)用用2 . 7 . 1教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo): 會(huì)用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、會(huì)用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變力做功等問(wèn)題。變力做功等問(wèn)題。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn) ：重點(diǎn)：重點(diǎn)：用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、用定積分求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、變力做功等問(wèn)題的步驟變力做功等問(wèn)題的步驟難點(diǎn)：難點(diǎn)：理解可理解可用定積分求解的物理問(wèn)題的用定積分求解的物理問(wèn)

7、題的特點(diǎn)，確定積分的上下限。特點(diǎn)，確定積分的上下限。Oab( )vv ttvit( )( )iiiSv ttv tt 1lim( )( )nbiaxiSv ttv t dt 設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度v=v(t)v=v(t)0，則此物，則此物體在時(shí)間區(qū)間體在時(shí)間區(qū)間a, ba, b內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s s為為( )basv t dt一、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程一、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程11( )nnniiiiSSv ttbatn- 變速直線運(yùn)動(dòng)的物體變速直線運(yùn)動(dòng)的物體V（t）區(qū)間）區(qū)間a, b內(nèi)的積分內(nèi)的積分與位移和路程的關(guān)系：與位移和路程的關(guān)系：(1)若V（t）0，則路程( )basv t

8、 dt位移M=( )bav t d t(2)若V（t）0，則路程()basvtd t-位移M()bavtd t.min1.37.13行駛的路程行駛的路程這這求汽車在求汽車在所示所示如圖如圖線線時(shí)間曲時(shí)間曲度度速速一輛汽車的一輛汽車的例例-o102030405060102030CBAs/ ts/m/v37.1-圖圖o102030405060102030CBAs/ ts/m/v37. 1-圖圖:時(shí)間曲線可知由速度解.60t40,90t5. 1;40t10,30;10t0, t3- tv:min1程是行駛的路因此汽車在這dt90t5.1dt30tdt3S60404010100- .m1350t90t

9、43t30t236040240101002-.m1350min1行駛的路程是汽車在這答l法二：由定積分的幾何意義，直觀的可以得出路程即為如圖所示的梯形的面積，即30 6030 13502s變力沿直線作功二.FsWF),m:(sF,N:F所作的功為則力單位相同的方向移動(dòng)了果物體沿著與力如的作用下做直線運(yùn)動(dòng)單位一物體在恒力 ?xF,babxaxxF,xF所所作作的的功功呢呢那那么么如如何何計(jì)計(jì)算算變變力力移移動(dòng)動(dòng)到到相相同同方方向向從從并并且且物物體體沿沿著著與與動(dòng)動(dòng)的的作作用用下下做做直直線線運(yùn)運(yùn)如如果果物物體體在在變變力力探探究究變力所做的功變力所做的功 物體在變力（物體在變力（x x）的作用

10、下做直）的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與（線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與（x x）相同的）相同的方向從方向從x=ax=a移動(dòng)到移動(dòng)到x=bx=b（abab），那么變力），那么變力（x x）所作的功）所作的功( )iiWF xx1lim( )( )nbianiSF xxF x dx ( )baWF x dx11( )nnniiiiWWF xxbaxn- Oab( )yF xxFixlQF47.1-圖圖.或或壓壓縮縮拉拉伸伸動(dòng)動(dòng)畫畫演演示示彈彈簧簧., 47 . 14力所作的功求彈處拉到離平衡位置將一彈簧從平衡位置度內(nèi)在彈性限如圖例ml- .k,kxxF,xxF)(,是比例系數(shù)數(shù)其中常即成正比的長(zhǎng)度或壓縮彈簧拉伸與彈簧所需的力壓縮或拉伸在彈性限