北師大版選修4-4 直線參數(shù)方程

1、2.1直線的參數(shù)直線的參數(shù)方程方程請同學們回憶:學過的直線的普通方程都有哪些?兩點式:112121yyxxyyxx點斜式:00()yyk xxykxb1xyab一般式:0AxByC截距式：截距式：斜截式：斜截式：第一節(jié)課第一節(jié)課 00000 30P(2.3-3(0180 )0180P29-4MABMABXAMABMx ：如果已知直線L傾斜角是，定點），如何描述直線L上任何一點M(x,y)的位置呢？圖2中， 直線L的傾斜角是，直線L與 軸交于 點，當時點在 軸上方，直線L的正方向，直線L向上的方向為正方向，問題1直線L的正方向是如何規(guī)定的？規(guī)定 在課本頁圖AM的方向向上。AM的：是如方為2，向何

2、利用解，解直角決此三角形知識問題的？AP-3圖2LM-4 圖2？B APLM-4 圖2BCQ000000-4 ,Rt PQMPQ=PMcos30 ,QM=PMsin30 ,PM=t, y =tcos30 ysin30 , =2+tcos30(ysin30t圖2中，設因為 PQ=x-2,MQ= -3,所以x-2， -3=tx為參數(shù)）=3+t利用解直角三角形知識，000：已知一條直線過點M (x ,y )，問2傾斜角題， 求這條直線的方程.（用向量共線解決）M0(x0,y0)M(x,y)e(cos ,sin )0M M xOy解：解： 在直線上在直線上任任取一點取一點M(x,y),則則00, )

3、()x yxy（00(,)xxyyel設 是直線 的單位方向向量，則(cos ,sin)e00/ / ,M MeM MtteR 實數(shù)因為所以存在使即00(,)(cos,sin)xxyyt00cos ,sinxxtyyt00cos,sinxxtyyt即，000已知一條直線過點M (x ,y )，傾問2：斜角題， 求這條直線的方程求這條直線的方程.M0(x0,y0)M(x,y)exOy00cos,sinxxtyyt即，00cossinxxttyyt所以，該直線的參數(shù)方程為（ 為參數(shù)）直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程( (標準式）標準式）0,M Mtelt 由你能得到直線 的參數(shù)方程中參數(shù) 的幾何問題3

4、；意義嗎？|t|=|M0M|xyOM0Me解解:0M Mte 0M Mte 1ee又是單位向量，0M Mt e t所以所以, ,直線參數(shù)方程中參直線參數(shù)方程中參數(shù)數(shù)t t的絕對值等于直線上的絕對值等于直線上動點動點M M到定點到定點M M0 0的距離的距離. .這就是這就是t的幾何的幾何意義意義,要牢記要牢記注意向量工具的使用注意向量工具的使用.此時此時,若若t0,則則 的方向向上的方向向上;若若t0,則則 的點方向向下的點方向向下; 若若t=0,則則M與點與點M0重合重合.MM0MM0exM(x,y)OM0(x0,y0)y|t|=|M0M|并且，直線參數(shù)方程中參數(shù)并且，直線參數(shù)方程中參數(shù)t

5、t的絕對值等于直線上動點的絕對值等于直線上動點M M到到定點定點M M0 0的距離的距離. .0 L135P(1.21L2LyxP301 已知直線 傾斜角是，過定點），（ ）寫出 直線參數(shù)方程（ ）求出直線參見課本頁與直線的交例點坐標。x0tcos y0tsin 直線的參數(shù)方程還可以寫成這樣的形式直線的參數(shù)方程還可以寫成這樣的形式:020022211abttMatMb2 當1 時 當時，有明確的幾何意義，即，沒有明確的幾何意義。00(xxattyybt為參數(shù)），但是，|tbaMM220|212221ttbaMM直線的參數(shù)方程一般式直線的參數(shù)方程一般式:作業(yè) 課本 P38面習題22 A組T2、T

6、4第二節(jié)課第二節(jié)課PlQ 1,1P(4.3,l2 3054 如果已知直線 經(jīng)過兩個定點 （）和），那么 又如何描述直線 上任何一在課本頁圖 中，是如何利用相點M似三(x,y角形知識)的位置呢？，解決問題 ：此問題的？4,3P （）(1,1Q）, )M x y（-5圖2,x11,141+(1 3433x11=431+3QAAMQAMMNPMNNPyyxxyx有設這個反思：以下推導畫圖時，點M要畫在線段QP之間比值為 ，即，則求得：！為參數(shù)）ABN問題問題4：22P( ,x y）11Qx , y（）M （x,y)-5圖212121+(1+xxxyyy為參數(shù)）其中：參數(shù) 幾何意義是什么？1122lQ

7、x ,P(,lx yxy如果已知直線 經(jīng)過兩個定點 （）和），那么 又如何描述直線 上任何一點M（ ,y)的位置呢？0;0;QMMMPMM 的數(shù)量，即 為點分有向線段的比。的數(shù)量為內(nèi)分點時，為外分點時，例題選講例題選講LxP3012L，已知兩點A(3,4),B(-5,3)和直線 ：3 +5y+它與4=0（ ）求出過兩點A,B的直線參數(shù)方程。（ ）求出它與直線 的交點坐標。練習 參見課本課本頁例2P31頁小結:1.直線參數(shù)方程的標準式直線參數(shù)方程的標準式0cos(sinttyyt0 x=x是參數(shù)）|t|=|M0M|00(xxattyybt為參數(shù)）2.直線參數(shù)方程的一般式直線參數(shù)方程的一般式220

8、2211abttM Mabt當時，有明確的幾何意義，即當時，沒有明確的幾何意義。|tbaMM220|212221ttbaMM12121+(1+xxxyyy為參數(shù)）其中：參數(shù) 幾何意義是什么？3.直線參數(shù)方程的另一種一般式直線參數(shù)方程的另一種一般式0;0;QMMMPMM 的數(shù)量，即 為點分有向線段的比。的數(shù)量為內(nèi)分點時，為外分點時，2:10.l xyyx 已知直線與拋物線交于A,B兩點，求線段AB的長度和點M(-1,2)到A,B兩點的距例3離之積。分析分析1:3.點點M是否在直線上是否在直線上1.用普通方程去解還用普通方程去解還是用參數(shù)方程去解是用參數(shù)方程去解？;2.分別如何解分別如何解.ABM

9、(-1,2)xyO直線參數(shù)方程的應用之一直線參數(shù)方程的應用之一例題選講（升華題例題選講（升華題)1. 求（線段）弦長求（線段）弦長ABM(-1,2)xyO解題分析2:因為把點M的坐標代入直線方程后,符合直線方程,所以點M在直線上.(2sintyt3x=-1+tcos4為參數(shù)）34所以直線的參數(shù)方程可以寫成又可知直線的傾角為3斜4212(222xttyt ：為參數(shù)）把它代入拋物線把它代入拋物線y=xy=x2 2的方程的方程, ,得：得：2220tt t由參數(shù) 的幾何意義得1210ttAB121 22MAMBttt tABM(-1,2)xyO121 22,2ttt t 由韋達定理：解解:2s:1i

10、0nlytxy3x=-1+tcos直線 化為4即34.例4把它代入橢圓方程的方程把它代入橢圓方程的方程, ,得得所以直線與橢圓方程必相交（最好插入配圖）所以直線與橢圓方程必相交（最好插入配圖）3. 求軌跡問題求軌跡問題001.(3,4),4326.lPxyP一直線 過點傾斜角為 ，求此直線與的交點與之間的距離.,)(|;|.BA,x),(.2的的坐坐標標求求交交點點）求求弦弦長長（兩兩點點相相交交與與與與圓圓，傾傾斜斜角角為為過過點點直直線線BAABylPl217604220 習題習題精選精選難點題（從例題5 參數(shù)方程角 題：思考度來看）直線參數(shù)方程的簡單應用 1. 求（線段）弦長求（線段）弦

11、長難點題（從例題5 參數(shù)方程角 題：思考度來看）原直線參數(shù)方程標準化方法原直線參數(shù)方程標準化方法：222222 22222222a2at2121222( 5 )at5tat=a t =t5552tt11a!,btt55521a +=+=155ttabtbbbbabtat其中轉(zhuǎn)化：， ， 同理： t=此時（） （）令，代，入上式得，即標準化00(xxattyybt為參數(shù)）221abt當時， 沒有明確的幾何意義。22tt5tab a=2,b=1,令 00(xxattyybt為參數(shù)）原直線參數(shù)方程標準化方法：原直線參數(shù)方程標準化方法：.例4把它代入橢圓方程的方程把它代入橢圓方程的方程, ,得得所以直

12、線與橢圓方程必相交所以直線與橢圓方程必相交3. 求軌跡問題求軌跡問題作業(yè) 課本 P38面習題22 A組T1、3、5以下幻燈片內(nèi)容是以下幻燈片內(nèi)容是教學參考資料教學參考資料 由于選取的參數(shù)不同，曲線有不同的參數(shù)由于選取的參數(shù)不同，曲線有不同的參數(shù)方程；一般地，同一條曲線，可以選取不同的方程；一般地，同一條曲線，可以選取不同的變數(shù)為參數(shù)，因此得到的參數(shù)方程也可以有不變數(shù)為參數(shù)，因此得到的參數(shù)方程也可以有不同的形式。形式不同的參數(shù)方程，它們表示同的形式。形式不同的參數(shù)方程，它們表示 的曲線可以是相同的。的曲線可以是相同的。 另外，在建立曲線的參數(shù)時，要注明參數(shù)及另外，在建立曲線的參數(shù)時，要注明參數(shù)及

13、參數(shù)的取值范圍。參數(shù)的取值范圍。普通方程化為參數(shù)方程需要普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)引入?yún)?shù)M0（x0，y0） M（x，y）xyO是參數(shù)）ttyytxx(sincos00t表示有向線段表示有向線段M0P的數(shù)量。的數(shù)量。|t|=| M0M|t只有在只有在標準式標準式中才有上述幾何意義中才有上述幾何意義 設設A,BA,B為直線上任意兩點，它們所對應的參為直線上任意兩點，它們所對應的參數(shù)值分別為數(shù)值分別為t t1 1,t,t2 2. .（1 1）|AB|AB| （2 2）M M是是ABAB的中點，求的中點，求M M對應的參數(shù)值對應的參數(shù)值21tt 221tt AB00210tttM為為中中點點若若,1. 求（線段）弦長求（線段）弦長3. 求軌跡問題求軌跡問題2. 線段的中點問