高等流體力學(xué)—伯努力積分與動量定理

1、1第六章 伯努力積分和動量定理2第一節(jié) 伯努力積分和拉格朗日積分 理想正壓流體在有勢質(zhì)量力的作用下，其運(yùn)動方程在定常及無旋兩種特殊情形下可以積分出來，得到伯努力拉格朗日積分方程。 理想流體蘭勃葛羅米柯形式的運(yùn)動方程為：divPFdtdvvrotvVgradtvdtdv223將本構(gòu)方程代入運(yùn)動方程zwyvxuxuppxx322zwyvxuyvppyy322zwyvxuzwppzz322yuxvpxyzuxwpxzzvywpyzdivPFdtdv4)(3vgradvgradpFdtdv 對理想流體：0gradpFdtdv1vrotvVgradtvdtdv22gradpFvrotvVgradtv12

2、25 正壓流體：內(nèi)部任一點(diǎn)的壓力只是密度的函數(shù)的流體。若流體壓力不僅是密度的函數(shù)，而且還和其他熱力學(xué)參量（例如溫度等）有關(guān)，則稱為斜壓流體。 質(zhì)量力有勢：即質(zhì)量力是一單值函數(shù)的勢函數(shù)，滿足下式：VgradF gradgradp1dp 定義：V 則運(yùn)動方程變?yōu)椋篻radVgradvrotvVgradtv226022vrotvVVgradtv 對于定常流動：0tv022vrotvVVgrad s 流線 對流線上任一點(diǎn)的切線求單位向量得：Vvs a) 伯努力積分7 將此式兩邊點(diǎn)乘單位矢量s得：022vrotvVvVVgrads0022VVgrads022vrotvVVgrad在切線方向的方向?qū)?shù)02

3、2VVs8 沿流線積分，得： C是積分常數(shù)，在不同的流線上取不同值，是流線的號碼 CVV22 對不可壓縮均質(zhì)流體：為常數(shù)pdp 流體所受質(zhì)量力只有重力時(shí)：VgradzgF9gzV積分得：gzV CVV22pdp CpgzV22 122CpzgV10伯努力方程的物理意義：沿流線總能量守恒速度頭壓力頭位勢頭11伯努力方程的適用條件：理想，正壓，質(zhì)量力有勢不可壓縮均質(zhì)流體定常流動 CpgzV2212b) 拉格朗日積分022vrotvVVgradtv理想，正壓，質(zhì)量力有勢無旋流動0rotv速度場有勢，存在勢函數(shù)gradv 022VVgradtgrad13梯度是對空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)，是對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，空間與時(shí)

4、間是相互獨(dú)立的變數(shù)，因此微分號可以對調(diào)，得：tgradtgrad022VVgradtgrad022VVtgradt 14)(22tfVVt對于某一固定時(shí)刻，f(t)在整個流場中采取同一常數(shù)值。對于不可壓縮流體，只受重力時(shí)：)(22tfpgzVtc) 對于理想、正壓的、質(zhì)量力有勢，不可壓縮流體，定常流動且無旋，只受重力時(shí)，得到伯努力拉格朗日積分方程：CpgzV22對流場中各點(diǎn)和各個時(shí)刻取同一常數(shù)值15 d) 實(shí)際流體的伯努力方程whpgzVpgzV2222112122hw代表由位置1到位置2單位質(zhì)量的流體沿流線的能量損失16 d) 實(shí)際流體的總流的伯努力方程近似認(rèn)為在各流動截面上流速分布均勻，可

5、以用平均流速代替不同流線上的流速，條件是流動處于緩變流狀態(tài)whpgzVpgzV2222112122平均流速平均流速17緩變流：在流道中各流線之間的夾角很小，流線趨于平行，且流線的曲率很小，流線都近似于直線。1可忽略慣性力，在流動過程中只受重力2在垂直流動方向的截面上無速度分布，壓力分布規(guī)律與靜水壓力分布一致。3在流場中只有法向應(yīng)力，而無剪切應(yīng)力。18實(shí)際流體總流的伯努力方程適用條件：不可壓縮均質(zhì)流體定常流動緩變流19 第三節(jié)伯努力方程的實(shí)際應(yīng)用a) 小孔出流連續(xù)性方程：BBAAVSVS1ABBASSVV0AV近近似似認(rèn)認(rèn)為為20a) 小孔出流伯努力方程：0pppBAwABBhgzgzV22wB

6、ABhzzgV)(22ghhghVwB222ghSQB2流流量量系系數(shù)數(shù):21b) 駐點(diǎn)壓力忽略重力影響，沿O點(diǎn)的流線建立伯努力方程：oppV22動壓靜壓總壓22風(fēng)速管Pitot tube(1732)最簡單的估算公式：)(2ppVohhghhV4205. 18 . 9222水水OmmHh223c) 文丘里管(Venturi tube)QVSVS2211hwpVpV22212122忽略能量損失得：21222212212122SSVVVppp21222212SSSQ24 喉部的靜壓：2122211212SSVpppp212221212222111212SSQpSSSQp122ppS可可大大大大低低

7、于于足足夠夠小小，則則足足夠夠大大，Q25文丘里管的工業(yè)應(yīng)用文丘里式除塵器26作業(yè)：P299第4題27第四節(jié)動量定理及其應(yīng)用SpFSvvtvnSSn)( 積分形式的動量方程 對于流體邊界上屬于整體性的特征量，例如運(yùn)動的流體對于邊界的作用力等，可以利用積分形式的動量方程根據(jù)邊界條件直接求解，而不需要求助于解微分方程。動量方程SpFvdtdnS28第四節(jié)動量定理及其應(yīng)用SpFSvvtvnSSn)( 積分形式的動量方程面積分體積分面積分 定常運(yùn)動時(shí)：SpFSvvnSSn29面積分體積分面積分不可壓縮均質(zhì)流體：常數(shù)SpFSvvnSSn 質(zhì)量力有勢：即質(zhì)量力是一單值函數(shù)的勢函數(shù)，滿足下式：VgradFV

8、dSnVdVFs體積分面積分 奧高定理30控制面S可自由選取，對于特定的控制面形狀，很容易利用上式及邊界條件直接積分SpSnVSvvnSsSna) 小孔出流的反推力及收縮比計(jì)算(1) 質(zhì)量力只有重力；(2) 只有水平方向的速度；xnSxSnSpSvv31認(rèn)為在出口截面上速度均勻分布 為小孔出流的收縮系數(shù)：實(shí)際形成的出流面積與孔口截面積之比jxSnSVSvv2ghV2BjSSBxSnghSSvv232 為小孔出流的收縮系數(shù)：實(shí)際形成的出流面積與孔口截面積之比xBCBxnSRghSdSppSp)(0BxSnghSSvv25 . 033a) 小孔出流的應(yīng)用34b) 火箭發(fā)動機(jī)推動力計(jì)算(1) 設(shè)氣體

9、是理想的、定常運(yùn)動且重力可忽略(2) 只有運(yùn)動方向上有支反力作用；動量定理的表達(dá)：單位時(shí)間動量的變化等于合外力35b) 圓管突然擴(kuò)大的能量損失(1) 不可壓縮流體、定常運(yùn)動且重力可忽略(2) 忽略粘性的作用；36b) 圓管突然擴(kuò)大的能量損失實(shí)際流體的伯努力方程為：whpVpV22212122whppVV2122212237b) 圓管突然擴(kuò)大的能量損失對控制面ABCDEFGH應(yīng)用動量定理2211SVSVSpSvvnSSn121222SVSVSvvSn連續(xù)性方程：)(1222VVSVSvvSn38b) 圓管突然擴(kuò)大的能量損失對控制面ABCDEFGH應(yīng)用動量定理SpSvvnSSn221111SpSpSpSpSpGHCDnS21SSSSGHCD221)(SppSpnS39b) 圓管突然擴(kuò)大的能量損失221)(SppSpnSSpSvvnSSn)(1222VVSVSvvSn)(12221VVVpp40b) 圓管突然擴(kuò)大的能量損失)(12221VVVppwhppVV2122212222121