高等流體力學—伯努力積分與動量定理

1、1第六章 伯努力積分和動量定理2第一節(jié) 伯努力積分和拉格朗日積分 理想正壓流體在有勢質量力的作用下，其運動方程在定常及無旋兩種特殊情形下可以積分出來，得到伯努力拉格朗日積分方程。 理想流體蘭勃葛羅米柯形式的運動方程為：divPFdtdvvrotvVgradtvdtdv223將本構方程代入運動方程zwyvxuxuppxx322zwyvxuyvppyy322zwyvxuzwppzz322yuxvpxyzuxwpxzzvywpyzdivPFdtdv4)(3vgradvgradpFdtdv 對理想流體：0gradpFdtdv1vrotvVgradtvdtdv22gradpFvrotvVgradtv12

2、25 正壓流體：內部任一點的壓力只是密度的函數(shù)的流體。若流體壓力不僅是密度的函數(shù)，而且還和其他熱力學參量（例如溫度等）有關，則稱為斜壓流體。 質量力有勢：即質量力是一單值函數(shù)的勢函數(shù)，滿足下式：VgradF gradgradp1dp 定義：V 則運動方程變?yōu)椋篻radVgradvrotvVgradtv226022vrotvVVgradtv 對于定常流動：0tv022vrotvVVgrad s 流線 對流線上任一點的切線求單位向量得：Vvs a) 伯努力積分7 將此式兩邊點乘單位矢量s得：022vrotvVvVVgrads0022VVgrads022vrotvVVgrad在切線方向的方向導數(shù)02

3、2VVs8 沿流線積分，得： C是積分常數(shù)，在不同的流線上取不同值，是流線的號碼 CVV22 對不可壓縮均質流體：為常數(shù)pdp 流體所受質量力只有重力時：VgradzgF9gzV積分得：gzV CVV22pdp CpgzV22 122CpzgV10伯努力方程的物理意義：沿流線總能量守恒速度頭壓力頭位勢頭11伯努力方程的適用條件：理想，正壓，質量力有勢不可壓縮均質流體定常流動 CpgzV2212b) 拉格朗日積分022vrotvVVgradtv理想，正壓，質量力有勢無旋流動0rotv速度場有勢，存在勢函數(shù)gradv 022VVgradtgrad13梯度是對空間坐標的導數(shù)，是對時間的導數(shù)，空間與時

4、間是相互獨立的變數(shù)，因此微分號可以對調，得：tgradtgrad022VVgradtgrad022VVtgradt 14)(22tfVVt對于某一固定時刻，f(t)在整個流場中采取同一常數(shù)值。對于不可壓縮流體，只受重力時：)(22tfpgzVtc) 對于理想、正壓的、質量力有勢，不可壓縮流體，定常流動且無旋，只受重力時，得到伯努力拉格朗日積分方程：CpgzV22對流場中各點和各個時刻取同一常數(shù)值15 d) 實際流體的伯努力方程whpgzVpgzV2222112122hw代表由位置1到位置2單位質量的流體沿流線的能量損失16 d) 實際流體的總流的伯努力方程近似認為在各流動截面上流速分布均勻，可

5、以用平均流速代替不同流線上的流速，條件是流動處于緩變流狀態(tài)whpgzVpgzV2222112122平均流速平均流速17緩變流：在流道中各流線之間的夾角很小，流線趨于平行，且流線的曲率很小，流線都近似于直線。1可忽略慣性力，在流動過程中只受重力2在垂直流動方向的截面上無速度分布，壓力分布規(guī)律與靜水壓力分布一致。3在流場中只有法向應力，而無剪切應力。18實際流體總流的伯努力方程適用條件：不可壓縮均質流體定常流動緩變流19 第三節(jié)伯努力方程的實際應用a) 小孔出流連續(xù)性方程：BBAAVSVS1ABBASSVV0AV近近似似認認為為20a) 小孔出流伯努力方程：0pppBAwABBhgzgzV22wB

6、ABhzzgV)(22ghhghVwB222ghSQB2流流量量系系數(shù)數(shù):21b) 駐點壓力忽略重力影響，沿O點的流線建立伯努力方程：oppV22動壓靜壓總壓22風速管Pitot tube(1732)最簡單的估算公式：)(2ppVohhghhV4205. 18 . 9222水水OmmHh223c) 文丘里管(Venturi tube)QVSVS2211hwpVpV22212122忽略能量損失得：21222212212122SSVVVppp21222212SSSQ24 喉部的靜壓：2122211212SSVpppp212221212222111212SSQpSSSQp122ppS可可大大大大低低

7、于于足足夠夠小小，則則足足夠夠大大，Q25文丘里管的工業(yè)應用文丘里式除塵器26作業(yè)：P299第4題27第四節(jié)動量定理及其應用SpFSvvtvnSSn)( 積分形式的動量方程 對于流體邊界上屬于整體性的特征量，例如運動的流體對于邊界的作用力等，可以利用積分形式的動量方程根據(jù)邊界條件直接求解，而不需要求助于解微分方程。動量方程SpFvdtdnS28第四節(jié)動量定理及其應用SpFSvvtvnSSn)( 積分形式的動量方程面積分體積分面積分 定常運動時：SpFSvvnSSn29面積分體積分面積分不可壓縮均質流體：常數(shù)SpFSvvnSSn 質量力有勢：即質量力是一單值函數(shù)的勢函數(shù)，滿足下式：VgradFV

8、dSnVdVFs體積分面積分 奧高定理30控制面S可自由選取，對于特定的控制面形狀，很容易利用上式及邊界條件直接積分SpSnVSvvnSsSna) 小孔出流的反推力及收縮比計算(1) 質量力只有重力；(2) 只有水平方向的速度；xnSxSnSpSvv31認為在出口截面上速度均勻分布 為小孔出流的收縮系數(shù)：實際形成的出流面積與孔口截面積之比jxSnSVSvv2ghV2BjSSBxSnghSSvv232 為小孔出流的收縮系數(shù)：實際形成的出流面積與孔口截面積之比xBCBxnSRghSdSppSp)(0BxSnghSSvv25 . 033a) 小孔出流的應用34b) 火箭發(fā)動機推動力計算(1) 設氣體

9、是理想的、定常運動且重力可忽略(2) 只有運動方向上有支反力作用；動量定理的表達：單位時間動量的變化等于合外力35b) 圓管突然擴大的能量損失(1) 不可壓縮流體、定常運動且重力可忽略(2) 忽略粘性的作用；36b) 圓管突然擴大的能量損失實際流體的伯努力方程為：whpVpV22212122whppVV2122212237b) 圓管突然擴大的能量損失對控制面ABCDEFGH應用動量定理2211SVSVSpSvvnSSn121222SVSVSvvSn連續(xù)性方程：)(1222VVSVSvvSn38b) 圓管突然擴大的能量損失對控制面ABCDEFGH應用動量定理SpSvvnSSn221111SpSpSpSpSpGHCDnS21SSSSGHCD221)(SppSpnS39b) 圓管突然擴大的能量損失221)(SppSpnSSpSvvnSSn)(1222VVSVSvvSn)(12221VVVpp40b) 圓管突然擴大的能量損失)(12221VVVppwhppVV2122212222121