2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章不等式推理與證明第四節(jié)合情推理與演繹推理教師文檔教案文北師大版

1、第四節(jié)第四節(jié)合情推理與演繹推理合情推理與演繹推理授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 112 頁(yè)基礎(chǔ)梳理1合情推理類型定義特征歸納推理由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理由部分到整體、由個(gè)別到一般類比推理由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理由特殊到特殊合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理2.演繹推理(1)定義： 從一般性的原理出發(fā)， 推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論， 我們把這種推理稱為演繹推理 簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理(2)“三段論”

2、是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷1類比推理的注意點(diǎn)在進(jìn)行類比推理時(shí)要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象迷惑，如果只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象的相似甚至假象就去類比，那么就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤2類比推理的幾個(gè)角度方法解讀適合題型類比定義在求解由某種熟悉的定義產(chǎn)生的類比推理型試題時(shí)，可以借助原定義來(lái)解已知熟悉定義類比新定義類比性質(zhì)從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、 一個(gè)特殊圖形的性質(zhì)入手， 提出類比推理型問(wèn)題， 求解時(shí)要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別， 深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過(guò)程是求解的關(guān)鍵平面幾何與立體幾何；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比方法有一些處理問(wèn)

3、題的方法具有類比性， 我們可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問(wèn)題的求解中， 注意知識(shí)的遷移已知熟悉的處理方法類比未知問(wèn)題的處理方法類比結(jié)構(gòu)有些是類比等式或不等式形式的推理， 可以從結(jié)構(gòu)特點(diǎn)上類比， 如兩項(xiàng)類比三項(xiàng)， 長(zhǎng)度類比面積，平方類比立方，面積類比體積，平面類比空間幾何問(wèn)題的結(jié)論四基自測(cè)1(基礎(chǔ)點(diǎn)：歸納推理)已知數(shù)列an中，a11，n2 時(shí)，anan12n1，依次計(jì)算 a2，a3，a4后，猜想 an的表達(dá)式是()aan3n1ban4n3cann2dan3n1答案：c2(基礎(chǔ)點(diǎn)：三段論)有一段“三段論”推理是這樣的：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù) f(x)，若 f(x0)0，則 xx0是函數(shù) f(x)的極值點(diǎn)，因?yàn)?/p>

4、 f(x)x3在 x0 處的導(dǎo)數(shù)值為 0，所以 x0 是 f(x)x3的極值點(diǎn)，以上推理()a大前提錯(cuò)誤b小前提錯(cuò)誤c推理形式錯(cuò)誤d結(jié)論正確答案：a3(基礎(chǔ)點(diǎn)：類比推理)在 rtabc 中，若c90，acb，bca，則abc 外接圓半徑ra2b22.運(yùn)用類比方法，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長(zhǎng)度分別為 a，b，c，則其外接球的半徑r_答案：a2b2c22授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第 113 頁(yè)考點(diǎn)一歸納推理挖掘 1與數(shù)字(數(shù)列)有關(guān)的推理/自主練透例 1(1)(2020新鄉(xiāng)模擬)從 1 開(kāi)始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列，現(xiàn)有一個(gè)三角形框架在圖中上下或左右移動(dòng)，使每次恰有九個(gè)數(shù)在此三角形內(nèi)，則這

5、九個(gè)數(shù)的和可以為()a2 011b2 012c2 013d2 014解析根據(jù)題干圖所示的規(guī)則排列，設(shè)最上層的一個(gè)數(shù)為 a，則第二層的三個(gè)數(shù)為 a7，a8，a9，第三層的五個(gè)數(shù)為 a14，a15，a16，a17，a18，這九個(gè)數(shù)之和為 a3a245a809a104.由 9a1042 012，得 a212，是自然數(shù)答案b(2)(2020湖北襄陽(yáng)優(yōu)質(zhì)高中聯(lián)考)將三項(xiàng)式(x2x1)n展開(kāi)，當(dāng) n0，1，2，3，時(shí)，得到以下等式：(x2x1)01，(x2x1)1x2x1，(x2x1)2x42x33x22x1，(x2x1)3x63x56x47x36x23x1，觀察多項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系，可以依照楊輝三角構(gòu)造

6、如圖所示的廣義楊輝三角，其構(gòu)造方法為：第 0 行為 1，以下各行每個(gè)數(shù)是它正頭頂上與左右兩肩上 3 個(gè)數(shù)(不足 3 個(gè)數(shù)的，缺少的數(shù)記為 0)的和，第 k 行共有(2k1)個(gè)數(shù)，若(x2x1)5(1ax)的展開(kāi)式中，x7項(xiàng)的系數(shù)為 75，則實(shí)數(shù) a 的值為_(kāi)解析根據(jù)題意可得廣義楊輝三角第 5 行的數(shù)為：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，故(1ax)(x2x1)5的展開(kāi)式中，x7項(xiàng)的系數(shù)為 3045a75，得 a1.答案1破題技法與數(shù)字有關(guān)的等式的歸納推理，觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號(hào)可解挖掘 2與等式(不等式)有關(guān)的推理/互動(dòng)探究例 2(1)觀察下列等式：

7、132332，13233362根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為_(kāi)解析因?yàn)樗o等式左邊的底數(shù)依次分別為 1，2；1，2，3；1，2，3，4；右邊的底數(shù)依次分別為 123，1236，123410，所以由底數(shù)內(nèi)在規(guī)律可知，第五個(gè)等式左邊的底數(shù)為 1，2，3，4，5，6，右邊的底數(shù)為 12345621，又左邊為立方和，右邊為平方的形式，故第五個(gè)等式為 132333435363212.答案132333435363212(2)觀察下列特殊的不等式：522252272，4535423252723，98289323831125，9105109555275，由以上特殊不等式，可以猜測(cè)：當(dāng) a

8、b0，s，rz z 時(shí)，有asbsarbr_解析5222522722152221，45354232527235243252，982893238311258392283，9105109555275105952105，由以上特殊不等式，可以猜測(cè)，當(dāng) ab0，s，rz z 時(shí)，有asbsarbrsrab2sr.答案srab2sr破題技法與式子有關(guān)的歸納推理(1)與不等式有關(guān)的歸納推理，觀察每個(gè)不等式的特點(diǎn)，注意從縱向看，找到規(guī)律后可解(2)與數(shù)列有關(guān)的歸納推理，通常是先求出幾個(gè)特殊項(xiàng)，采用不完全歸納法，找出數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，列出即可求解挖掘 3與圖形有關(guān)的推理/互動(dòng)探究例 3(1)下圖中為四個(gè)平

9、面圖形表中給出了各平面圖形中的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)以及區(qū)域數(shù)平面圖形頂點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)332812669510157現(xiàn)已知某個(gè)平面圖形有 1 009 個(gè)頂點(diǎn)，且圍成了 1 007 個(gè)區(qū)域，試根據(jù)以上關(guān)系確定這個(gè)平面圖形的邊數(shù)為_(kāi)解析由表歸納各平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)的關(guān)系如下表：平面圖形頂點(diǎn)數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)關(guān)系3323232812686122695659210157107152vefvfe2其頂點(diǎn)數(shù) v、邊數(shù) e、區(qū)域數(shù) f 滿足關(guān)系式 vfe2，故可猜想此平面圖形的邊數(shù)為 1 0091 00722 014.答案2 014(2)如圖，第 1 個(gè)圖形由正三角形擴(kuò)展而成，共 12 個(gè)頂點(diǎn)第 n 個(gè)圖形由正

10、 n2 邊形擴(kuò)展而來(lái)，其中 nn，則第 n 個(gè)圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是()a(2n1)(2n2)b3(2n2)c2n(5n1)d(n2)(n3)解析由已知中的圖形可以得到：當(dāng) n1 時(shí)，圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為 1234，當(dāng) n2 時(shí)，圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2045，當(dāng) n3 時(shí)，圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為 3056，當(dāng) n4 時(shí)，圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為 4267，由此可以推斷：第 n 個(gè)圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為(n2)(n3)，故選 d.答案d破題技法與圖形變化有關(guān)的歸納推理，合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡钥键c(diǎn)二類比推理挖掘類比方法、類比結(jié)論、類比運(yùn)算/ 互動(dòng)探究例(1)我國(guó)古代稱直角三角形為勾股形，并且

11、直角邊中較小者為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦若 a，b，c 為直角三角形的三邊，其中 c 為斜邊，則 a2b2c2，稱這個(gè)定理為勾股定理現(xiàn)將這一定理推廣到立體幾何中：在四面體 oabc 中，aobboccoa90，s 為頂點(diǎn) o 所對(duì)面abc 的面積，s1，s2，s3分別為側(cè)面oab，oac，obc 的面積，則下列選項(xiàng)中對(duì)于 s，s1，s2，s3滿足的關(guān)系描述正確的為()as2s21s22s23bs21s211s221s23css1s2s3ds1s11s21s3解析如圖，作 odbc 于點(diǎn) d，連接 ad，則 adbc，從而 s212bcad214bc2ad214bc2(oa2od2)14(o

12、b2oc2)oa214bc2od212oboa212ocoa212bcod2s21s22s23.答案a(2)若點(diǎn) p0(x0，y0)在橢圓x2a2y2b21(ab0)外，過(guò)點(diǎn) p0作該橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為 p1，p2，則切點(diǎn)弦 p1p2所在直線的方程為x0 xa2y0yb21.那么對(duì)于雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)，類似地，可以得到一個(gè)正確的切點(diǎn)弦方程為_(kāi)解析若點(diǎn) p0(x0，y0)在雙曲線x2a2y2b21(a0，b0)外，過(guò)點(diǎn) p0作該雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為 p1，p2(圖略)，則切點(diǎn)弦 p1p2所在直線的方程為x0 xa2y0yb21.答案x0 xa2y0yb21破題

13、技法類比推理是由一類事物的特殊性推另一類事物的特殊性，首先要找出兩類事物之間的聯(lián)系與不同，然后找出“特殊性”是什么內(nèi)容，定義方面、性質(zhì)方面、方法方面、運(yùn)算方面等，從而推導(dǎo)結(jié)論考點(diǎn)三演繹推理挖掘 1簡(jiǎn)單的三段論/ 自主練透例 1(1)(2020洛陽(yáng)模擬)下列四個(gè)推導(dǎo)過(guò)程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是()a大前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；小前提：是無(wú)理數(shù)；結(jié)論：是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)b大前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；小前提：是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；結(jié)論：是無(wú)理數(shù)c大前提：是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；小前提：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)；結(jié)論：是無(wú)理數(shù)d大前提：是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；小前提：是無(wú)理數(shù)；結(jié)論：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)

14、理數(shù)解析a 中小前提不是大前提的特殊情況，不符合三段論的推理形式，故 a 錯(cuò)誤；c，d 都不是由一般性命題到特殊性命題的推理，所以 c，d 都不正確，只有 b 正確答案b(2)(2020重慶檢測(cè))演繹推理“因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù) ylogax(a0 且 a1)是增函數(shù)，而函數(shù) ylog12x是對(duì)數(shù)函數(shù)，所以 ylog12x 是增函數(shù)”所得結(jié)論錯(cuò)誤的原因是()a大前提錯(cuò)誤b小前提錯(cuò)誤c推理形式錯(cuò)誤d大前提和小前提都錯(cuò)誤解析因?yàn)楫?dāng) a1 時(shí)，ylogax 在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng) 0a1 時(shí)，ylogax 在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以大前提錯(cuò)誤故選 a.答案a破題技法用演繹推理證明問(wèn)題時(shí)，大前提往往是定義、定理或

15、一些固定結(jié)論，小前提為問(wèn)題的條件，一般大前提可省略，當(dāng)大前提、小前提及推理正確時(shí)，結(jié)論就正確挖掘 2演繹推理、合情推理的生活應(yīng)用/自主練透例 2(1)(2019高考全國(guó)卷)古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是5125120.618，稱為黃金分割比例，著名的“斷臂維納斯”便是如此此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是512.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為105 cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為 26 cm，則其身高可能是()a165 cmb175cmc185 cmd190 cm解析設(shè)某人身高為 m cm， 脖子下端至肚臍的長(zhǎng)度為 n c

16、m， 則由腿長(zhǎng)為 105 cm， 可得m1051055120.618，解得 m169.890.由頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為 26 cm，可得26n5120.618，解得 n42.071.由已知可得26nm（n26）5120.618，解得 m178.218.綜上，此人身高 m 滿足 169.890m178.218，所以其身高可能為 175 cm.故選 b.答案b(2)(2020福建泉州一模)田忌賽馬是中國(guó)古代對(duì)策論與運(yùn)籌思想的著名范例故事中齊將田忌與齊王賽馬，孫臏獻(xiàn)策以下馬對(duì)齊王上馬，以上馬對(duì)齊王中馬，以中馬對(duì)齊王下馬，結(jié)果田忌一負(fù)兩勝?gòu)亩@勝該故事中以局部的犧牲換取全局的勝利成為軍事上一條重要的用兵規(guī)律在比大小游戲中(大者為勝)，