等腰三角形分類討論思想

1、等腰三角形有關(guān)角度問題等腰三角形是一種特殊而又十分重要的三角形，就是因為這種特殊性，在具體處理問題時往往又會出現(xiàn)錯誤，因此，同學們在求解有關(guān)等腰三角形的問題時一定要注意分類討論。例1.已知等腰三角形的一個內(nèi)角為75則其頂角為（）a. 30b. 75c. 105d. 30或75簡析：75角可能是頂角，也可能是底角。當75是底角時，則頂角的度數(shù)為180752=30；當75角是頂角時，則頂角的度數(shù)就等于75。所以這個等腰三角形的頂角為30或75。故應(yīng)選d。說明：對于一個等腰三角形，若條件中并沒有確定頂角或底角時，應(yīng)注意分情況討論，先確定這個已知角是頂角還是底角，再運用三角形內(nèi)角和定理求解。變式1:已

2、知等腰三角形的一個外角為100，則其頂角為_。簡析：（1） 若外角與頂角相鄰，則其頂角為80；（2）若外角與底角相鄰，則其頂角為20。變式2:如果等腰三角形中一個角是另一個角的兩倍，那么它的底角是_度簡析：（1）若底角是頂角的2倍，則其底角為72；（2）若頂角是底角的2倍，則其底角為45。例2等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45，求這個等腰三角形的頂角的度數(shù)。簡析：依題意可畫出圖1和圖2兩種情形。圖1中頂角為45，圖2中頂角為135。等腰三角形有關(guān)邊的計算問題例題：已知等腰三角形的一邊等于5，另一邊等于6，則它的周長等于_。簡析：已知條件中并沒有指明5和6誰是腰長誰是底邊的長，因此應(yīng)由

3、三角形的三邊關(guān)系進行分類討論。當5是等腰三角形的腰長時，這個等腰三角形的底邊長就是6，則此時等腰三角形的周長等于16；當6是腰長時，這個三角形的底邊長就是5，則此時周長等于17。故這個等腰三角形的周長等于16或17。說明：對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪條是底哪條是腰時，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論。變式1：等腰三角形的一邊長為6，周長為14，那么它的腰長為_。簡析： 當?shù)走厼?時，則腰長為4；當腰長為6時，則底邊為2；變式2：等腰三角形的一邊長為2，周長為8，那么它的腰長為_。簡析： 當?shù)走厼?時，則腰長為3；當腰長為2時，則底邊為4，但此時不能構(gòu)成三角形，所以腰長只

4、為3.說明：求出來的解應(yīng)滿足三角形三邊關(guān)系例2.若等腰三角形一腰上的中線分周長為9cm和12cm兩部分，求這個等腰三角形的底和腰的長。簡析：已知條件并沒有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，應(yīng)有兩種情形。若設(shè)這個等腰三角形的腰長是cm，底邊長為cm，可得 或解得 或 即當腰長是6cm時，底邊長是9cm；當腰長是8cm時，底邊長是5cm。說明：這里求出來的解應(yīng)滿足三角形三邊關(guān)系定理。平面直角坐標系中的等腰三角形問題例1.在平面直角坐標系中，已知a（2，-2），在y軸上確定點p，使aop為等腰三角形，求點p的坐標.【解析】由于題目中沒有明確等腰三角形的頂角頂點，所以需要對此進行分類討論

5、(如圖)。點a、o、p均有可能為等腰三角形頂角的頂點。若點a為頂點，則點p坐標為（0，-4）；若點o為頂點，則點p坐標為（0，）， 或（0，）；若點p為頂點，此時，oa為底邊，點p在線段oa的中垂線上，則點p坐標為（0，-2）.所以，點p的坐標為（0，-4），（0，）， （0，），（0，-2）。例2.如圖，在平面直角坐標系中，oabc是矩形，點a、c坐標分別為a（10,0），c（0,4），d是oa的中點，p在bc邊上運動，當odp是腰長為5的等腰三角形時，點p的坐標為多少？【解析】由于題目只是給出odp是腰長為5的等腰三角形，所以需要對等腰三角形的腰進行分類討論。由題意，od=5,當od為腰時

6、，點o和點d均有可能為等腰三角形頂角的頂點，所以若點o為頂點時，則op=5，故點p坐標為（3,4），若點d為頂點時，則dp=5，故點p坐標為（2,4）或（8,4）；當od為底邊時，點p就在od的中垂線上，則此時點p坐標為（4），顯然此時兩腰長不為5，不合題意?！敬鸢浮奎cp坐標為（2,4）或（8,4）或（3,4）拓展提升在平面直角坐標系中，已知點p(-2,1),關(guān)于y軸的對稱點為q，點b（x,0)是橫軸上的一個動點，當三角形qbo是等腰三角形時，求x的值。因為p與 q關(guān)于y軸對稱,p（-2,1）所以q（2,1）,op=根號5當pto是等腰三角形時,分以下幾種情況進行討論：1.當點t在x軸的正半軸

7、時：（1）若tp=op,因為op=根號5,tp=op,所以（t-2）+1=5.t(t-4)=0.因為pto要構(gòu)成三角形,所以t點不可能與o點重合所以t=4（2）若ot=tp,則（t-0）+（0-0）=（t-2）+（1-0）所以t=5/4（3）若op=ot,則有op=ot,即（2-0）+（1-0）=（t-0）+（0-0）所以t=5,因為t點在x軸的正半軸,所以t=根號5.2.當點t在x軸的負半軸時,角top一定是一個鈍角三角形,所以當且僅當ot與op作三角形的腰時,才可構(gòu)成等腰三角形.所以ot=op,則t=5,因為t點在x軸的負半軸,所以t=-根號5在平面直角坐標系xoy中,已知點p（2,2）,

8、點q在y軸上,pqo是等腰三角形,則滿足條件的點q共有具體點的坐標在平面直角坐標系xoy中,已知點p（2,2）,點q在y軸上,pqo是等腰三角形,則滿足條件的點q共有具體點的坐標 (0,2倍根號2)(0,負2倍根號2) (0,4)(0,2)例5.為美化環(huán)境，計劃在某小區(qū)內(nèi)用的草皮鋪設(shè)一塊一邊長為10的等腰三角形綠地，請你求出這個等腰三角形綠地的另兩邊長。簡析：在等腰abc中，設(shè)ab=10，作cdab于d，由，可得cd=6。如下圖，當ab為底邊時，ad=db=5，所以。如下圖，當ab為腰且abc為銳角三角形時，所以，。如下圖，當ab為腰且abc為鈍角三角形時，所以。說明：三角形的高是由三角形的形

9、狀決定的，對于等腰三角形，當頂角是銳角時，腰上的高在三角形內(nèi)；當頂角是鈍角時，腰上的高在三角形外。五.遇中垂線需討論例6.在abc中，ab=ac，ab的中垂線與ac所在直線相交所得的銳角為50，則底角b=_。簡析：按照題意可畫出如圖1和如圖2兩種情況的示意圖。如圖1，當交點在腰ac上時，abc是銳角三角形，此時可求得a=40，所以b=c=（18040）=70。如圖2，當交點在腰ca的延長線上時，abc為鈍角三有形，此時可求得bac=140，所以b=c=（180140）=20故這個等腰三角形的底角為70或20。說明：這里的圖2最容易漏掉，求解時一定要認真分析題意，畫出所有可能的圖形，這樣才能正確

10、解題。六.和方程問題的綜合討論例7.已知abc的兩邊ab，ac的長是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，第三邊bc長為5。（1）為何值時，abc是以bc為斜邊的直角三角形？（2）為何值時，abc是等腰三角形，并求abc的周長。簡析：（1）略。（2）若abc是等腰三角形，則有ab=ac，ab=bc，ac=bc這三種情形。方程可化為，即，顯然，即。當ab=bc或ac=bc時，5是方程的根。當時，代入原方程可得，解得，。當時，原方程的解為，等腰abc的三邊長分別為5，5，4，周長為14。當時，原方程的解為，等腰abc的三邊長分別為5，5，6，周長為16。所以當或時，abc是等腰三角形，周長分別為14或1

11、6。分類討論思想1、等腰三角形的底邊長為3，腰長為5，那么它的周長是_。2、等腰三角形的一邊長為3，一邊長為5，那么它的周長是_。3、等腰三角形的一邊長為2，周長為8，那么它的腰長為_。abcd100分類討論題：一個等腰三角形的一個外角等于110,則這個三角形的三個內(nèi)角應(yīng)該為-如上,一定要分類討論噢分類討論題：一個等腰三角形的一個外角等于110,則這個三角形的三個內(nèi)角應(yīng)該為-如上,一定要分類討論噢1）若頂角為180-110=70,由于兩底角相等,三角形內(nèi)角和為180,則三個內(nèi)角為70,55,552)若底角為70,同理可得,三個內(nèi)角為70,70,401、 如圖，在abc中，ab=ac， 外角 acd=100，則b=_80（2）等腰三角形的一個底角是70， 則其頂角是_40（3）如果等腰三角形的一個內(nèi)角等于70 那么它的底角度數(shù)_.70或55（4） 如果等腰三角形中一個角是另一個角的兩倍，那么它的底角是_度 72或 45小結(jié)：當?shù)妊切沃杏觥敖恰钡挠嬎銌栴}時，需對各種可能的情況分類討論當頂角或底角不能確定時,必須進行分類討論分類討論思想是中學數(shù)學解題中常用的一種思想方法，它就是將要研 究的數(shù)學對象按照一定的標準進行分