第02章_測量誤差分析及處理(含第1次作業(yè))

1、第二章第二章 測量誤差分析與處理測量誤差分析與處理2.1 測量誤差與測量精度測量誤差與測量精度2.2 直接測量的誤差分析直接測量的誤差分析2.3 間接測量的誤差分析間接測量的誤差分析2.4 組合測量的誤差分析組合測量的誤差分析2.5 粗大誤差的處理粗大誤差的處理2.6 系統(tǒng)誤差介紹系統(tǒng)誤差介紹2.7 誤差的綜合誤差的綜合2.1 測量誤差與測量精度測量誤差與測量精度n誤差的概念誤差的概念n誤差的基本表示方法誤差的基本表示方法n誤差的分類誤差的分類n精密度、準(zhǔn)確度和精確度精密度、準(zhǔn)確度和精確度n不確定度不確定度2.1.1 測量誤差的概念n測量誤差的定義測量誤差的定義0 xX被測量的真值被測量的真值

2、測定值（測量結(jié)果）測定值（測量結(jié)果）測量誤差測量誤差測量誤差的概念測定值測定值(測量結(jié)果測量結(jié)果)n測定值（測量結(jié)果）測定值（測量結(jié)果）n測定值測定值 x 是由測量所得到的賦予被測量是由測量所得到的賦予被測量的值。的值。是我們研究的對象。是我們研究的對象。1.廣義上，可以把測量值、檢測值、實(shí)驗(yàn)廣義上，可以把測量值、檢測值、實(shí)驗(yàn)值、儀表示值等均看作是值、儀表示值等均看作是測量結(jié)果測量結(jié)果。測量誤差的概念測量誤差的概念真值真值真值：與給定的特定量一致的值。真值：與給定的特定量一致的值。 1、理論真值：、理論真值：如化合物的理論組成如化合物的理論組成2、計(jì)量學(xué)約定真值：、計(jì)量學(xué)約定真值：如國際計(jì)量大

3、會確定的長度、質(zhì)量、物質(zhì)的量等如國際計(jì)量大會確定的長度、質(zhì)量、物質(zhì)的量等單位單位3、相對真值：、相對真值：如高一級精度的測量值相對于低一級精度的測量如高一級精度的測量值相對于低一級精度的測量值值質(zhì)量基準(zhǔn)和長度基準(zhǔn)質(zhì)量基準(zhǔn)和長度基準(zhǔn)質(zhì)量的基準(zhǔn)質(zhì)量的基準(zhǔn)n質(zhì)量基準(zhǔn)質(zhì)量基準(zhǔn)千克原器千克原器n現(xiàn)存現(xiàn)存7個基本量中唯一的實(shí)物基準(zhǔn)個基本量中唯一的實(shí)物基準(zhǔn).n制造材料是鉑制造材料是鉑(90%)銥銥(10%)合金，英國合金，英國1878年生產(chǎn)。年生產(chǎn)。n千克原器具有較好的性能穩(wěn)定性，復(fù)現(xiàn)量值的相對標(biāo)準(zhǔn)千克原器具有較好的性能穩(wěn)定性，復(fù)現(xiàn)量值的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度達(dá)到了不確定度達(dá)到了10-9數(shù)量級。數(shù)量級。n實(shí)物基準(zhǔn)

4、的影響因素：實(shí)物基準(zhǔn)的影響因素：n污染物、灰塵、水分、材料老化等。污染物、灰塵、水分、材料老化等。n1889年，年，1946年，年，1989年進(jìn)行的國際比對顯示千克原器年進(jìn)行的國際比對顯示千克原器不確定度每次都有不確定度每次都有10-8量級的變化。量級的變化。 n未來的研究方向未來的研究方向質(zhì)量自然基準(zhǔn)質(zhì)量自然基準(zhǔn)n質(zhì)量實(shí)物基準(zhǔn)必將被質(zhì)量自然基準(zhǔn)所代替。質(zhì)量實(shí)物基準(zhǔn)必將被質(zhì)量自然基準(zhǔn)所代替。 n不隨時間變化的恒量，目前期望的不確定度為不隨時間變化的恒量，目前期望的不確定度為110-8。長度的基準(zhǔn)最高基準(zhǔn)的測量傳遞手段（測量儀器最高基準(zhǔn)的測量傳遞手段（測量儀器/測量方法）測量方法） 不絕對準(zhǔn)確不

5、絕對準(zhǔn)確 “米制米制”建議（建議（18世紀(jì)末法國科學(xué)院）世紀(jì)末法國科學(xué)院） “米米” 定義定義 （1791年法國國法國國會會） 通過巴黎的地球子午線長度的四千萬分之一通過巴黎的地球子午線長度的四千萬分之一 鉑桿鉑桿“檔案尺檔案尺” （1799年）年） 兩端之間的距離兩端之間的距離 第一個實(shí)物基準(zhǔn)第一個實(shí)物基準(zhǔn) “檔案尺檔案尺”變形變形 較大誤差較大誤差 廢棄（廢棄（1872年米制國際會議）年米制國際會議） 鉑銥合金的鉑銥合金的X形尺形尺 米原器（米原器（1889年國際計(jì)量大會）年國際計(jì)量大會） 中性面上兩端的中性面上兩端的二條刻線在二條刻線在0 C時的長度時的長度 （復(fù)現(xiàn)精度：（復(fù)現(xiàn)精度： （

6、12） 10-7 ） 自然基準(zhǔn)（自然基準(zhǔn)（1960年國際計(jì)量大會）年國際計(jì)量大會） (氪氪) Kr-86的的2p10-5d5能級間躍遷能級間躍遷在真空中的輻射波長的在真空中的輻射波長的1650763.73倍。倍。(復(fù)現(xiàn)精度復(fù)現(xiàn)精度: (0.51) 10-8) “米米”的最新定義（的最新定義（1983年第十七屆國際計(jì)量大會）年第十七屆國際計(jì)量大會） 光在真空中光在真空中1s時時間內(nèi)傳播距離的間內(nèi)傳播距離的1/299792485 （復(fù)現(xiàn)精度：（復(fù)現(xiàn)精度： 1.3 10-10 ）測量精度測量精度 測量技術(shù)水平的主要標(biāo)志之一測量技術(shù)水平的主要標(biāo)志之一精度提高受到認(rèn)知程度的限制精度提高受到認(rèn)知程度的限制

7、 影響測量誤差的評定影響測量誤差的評定2.1.2 誤差的基本表示方法n 絕對誤差絕對誤差n 相對誤差相對誤差n 引用誤差引用誤差絕對誤差（absolute error ）0 xX被測量的真值被測量的真值測定值測定值絕對誤差：絕對誤差：是一個具有確定的是一個具有確定的大小、符號及單位大小、符號及單位的量。單位給出了的量。單位給出了被測量的量綱，其被測量的量綱，其單位與測得值相同。單位與測得值相同。 相對誤差（relative error）定義： 式中式中m為約定值。一般有以下幾種取法：為約定值。一般有以下幾種取法：nm 取測量的實(shí)際值（約定真值），取測量的實(shí)際值（約定真值），稱為稱為實(shí)際相實(shí)際相

8、對誤差對誤差；nm 取測量儀表的指示值，取測量儀表的指示值，稱稱為為標(biāo)稱相對誤差標(biāo)稱相對誤差；1.m 取儀表的滿刻度值，取儀表的滿刻度值，為為引用相對誤差引用相對誤差。m相對誤差的特點(diǎn)n相對誤差只有相對誤差只有大小大小和和符號符號，無量綱，一般，無量綱，一般用百分?jǐn)?shù)表示，數(shù)值較小的時候用用百分?jǐn)?shù)表示，數(shù)值較小的時候用ppm； n相對誤差用來衡量測量的相對準(zhǔn)確程度。相對誤差用來衡量測量的相對準(zhǔn)確程度。n被測量的大小不同被測量的大小不同 允許的測量絕對誤差不允許的測量絕對誤差不同；同；n相對誤差相同時，被測量的量值小相對誤差相同時，被測量的量值小允許的測允許的測量絕對誤差也越小。量絕對誤差也越小。

9、例：壓力例：壓力P1=50 kPa，誤差，誤差 1 = 2 kPa；壓力；壓力P2=2 MPa，誤差，誤差 2 = 50 kPa 1= 100% = 100% = 4% 1G1G1的相對誤差為的相對誤差為250 2= 100% = 100% = 2.5% G2G2的相對誤差為的相對誤差為502000 2- G2的測量效果較好的測量效果較好例題例題1：引用誤差引用誤差n我國電工儀表、壓力表的準(zhǔn)確度等級我國電工儀表、壓力表的準(zhǔn)確度等級（accuracy class）按照按照引用誤差引用誤差進(jìn)行分級。進(jìn)行分級。 當(dāng)一個儀表的等級當(dāng)一個儀表的等級 s 選定后，用此表測量某一被測選定后，用此表測量某一被

10、測量時，所產(chǎn)生的最大絕對誤差為量時，所產(chǎn)生的最大絕對誤差為 絕對誤差的最大值與該儀表的標(biāo)稱范圍（或量程）絕對誤差的最大值與該儀表的標(biāo)稱范圍（或量程）上限成正比。上限成正比。如何使用這類儀表？如何使用這類儀表？mm%ms例題例題2：用有一塊測量范圍為用有一塊測量范圍為-0.1 0.1 MPa，2.5級的壓力真級的壓力真空表，在進(jìn)行計(jì)量校準(zhǔn)時，各示值點(diǎn)上最大允許誤空表，在進(jìn)行計(jì)量校準(zhǔn)時，各示值點(diǎn)上最大允許誤差是多少？差是多少？2.1.3 測量誤差的分類測量誤差的分類n系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差n粗大誤差粗大誤差n隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差1、系統(tǒng)誤差（systematic error）n定義：定義：n在重復(fù)性條件下，

11、對同一被測量進(jìn)行無限多次測在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差平均值與被測量的真值之差。n特征：特征：n在相同條件下，多次測量同一量值時，該誤差的在相同條件下，多次測量同一量值時，該誤差的絕對值絕對值和和符號符號保持不變，或者在條件改變時，按保持不變，或者在條件改變時，按某一確定規(guī)律某一確定規(guī)律變化的誤差。變化的誤差。例：系統(tǒng)誤差(systematic bias)n天平：砝碼的質(zhì)量偏差天平：砝碼的質(zhì)量偏差n千分表：表盤安裝偏心引起的示值誤差千分表：表盤安裝偏心引起的示值誤差n刻線直尺：溫度變化引起的示值誤差刻線直尺：溫度變化引起的示值誤差n

12、實(shí)際估計(jì)測量器具示值的系統(tǒng)誤差時，常用適當(dāng)次數(shù)的實(shí)際估計(jì)測量器具示值的系統(tǒng)誤差時，常用適當(dāng)次數(shù)的重復(fù)重復(fù)測量測量的的算術(shù)平均值算術(shù)平均值減去減去約定真值約定真值，又稱其為測量器具的，又稱其為測量器具的偏移偏移或或偏畸偏畸（bias）。）。n系統(tǒng)誤差具有系統(tǒng)誤差具有一定的規(guī)律性一定的規(guī)律性，可根據(jù)其產(chǎn)生原因，采取，可根據(jù)其產(chǎn)生原因，采取一定一定的技術(shù)措施的技術(shù)措施，設(shè)法消除或減??；也可以在相同條件下對已知，設(shè)法消除或減??；也可以在相同條件下對已知約定真值的標(biāo)準(zhǔn)器具進(jìn)行多次重復(fù)測量的辦法，或者通過多約定真值的標(biāo)準(zhǔn)器具進(jìn)行多次重復(fù)測量的辦法，或者通過多次變化條件下的重復(fù)測量的辦法，設(shè)法找出其次變化條

13、件下的重復(fù)測量的辦法，設(shè)法找出其系統(tǒng)誤差的規(guī)系統(tǒng)誤差的規(guī)律律后，對測量結(jié)果進(jìn)行修正。后，對測量結(jié)果進(jìn)行修正。2、隨機(jī)誤差（、隨機(jī)誤差（random error,noise）n定義定義n測得值與在重復(fù)性條件下對同一被測量進(jìn)行無限測得值與在重復(fù)性條件下對同一被測量進(jìn)行無限多次多次測量結(jié)果的測量結(jié)果的平均值之差平均值之差。又稱為。又稱為偶然誤差偶然誤差。 n特點(diǎn)特點(diǎn) n最主要特征是最主要特征是具有隨機(jī)性具有隨機(jī)性，沒有確定的規(guī)律。，沒有確定的規(guī)律。n在相同測量條件下，多次測量同一量值時，絕對在相同測量條件下，多次測量同一量值時，絕對值和符號以值和符號以不可預(yù)定方式不可預(yù)定方式變化的誤差。對無限次變化

14、的誤差。對無限次測量來說，隨機(jī)誤差服從測量來說，隨機(jī)誤差服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)誤差的產(chǎn)生原因n隨機(jī)誤差是由人們隨機(jī)誤差是由人們不能掌握、不能控制、不不能掌握、不能控制、不能調(diào)節(jié)、不能消除能調(diào)節(jié)、不能消除的微小因素造成。這些因的微小因素造成。這些因素包括素包括: :n尚未掌握其影響測量準(zhǔn)確的規(guī)律；尚未掌握其影響測量準(zhǔn)確的規(guī)律；n在測量過程中對其在測量過程中對其難以完全控制難以完全控制的微小變的微小變化，如溫度波動、噪聲干擾、電磁場微變、化，如溫度波動、噪聲干擾、電磁場微變、電源電壓的隨機(jī)起伏、地面振動等。電源電壓的隨機(jī)起伏、地面振動等。系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的比較系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的比較項(xiàng)目項(xiàng)目

15、系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差產(chǎn)生原因產(chǎn)生原因固定的因素固定的因素不定的因素不定的因素分類分類方法誤差、儀器與試劑方法誤差、儀器與試劑誤差、主觀誤差誤差、主觀誤差性質(zhì)性質(zhì)重現(xiàn)性、單向性（或周重現(xiàn)性、單向性（或周期性）、可測性期性）、可測性服從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律、服從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律、不可測性不可測性影響影響準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度精密度精密度消除或減消除或減小的方法小的方法校正校正增加測定的次數(shù)增加測定的次數(shù)例:激光干涉法測量表面張力的隨機(jī)誤差主要來源n測量裝置方面的因素測量裝置方面的因素n氦氖激光源輻射激光束的頻率不夠穩(wěn)定，波長漂移；氦氖激光源輻射激光束的頻率不夠穩(wěn)定，波長漂移；nCCD及其處理電路，造成干涉圖

16、像信號的隨機(jī)噪聲；及其處理電路，造成干涉圖像信號的隨機(jī)噪聲；n離散化采樣誤差離散化采樣誤差; ;n各次裝夾定位不一致。各次裝夾定位不一致。n測量環(huán)境方面的因素測量環(huán)境方面的因素 n隔震臺不能很好消除外界的低頻振動；隔震臺不能很好消除外界的低頻振動；n實(shí)驗(yàn)室氣流和溫度的波動實(shí)驗(yàn)室氣流和溫度的波動, ,空氣塵埃的漂浮空氣塵埃的漂浮; ;n穩(wěn)壓電源供電電壓的微小波動。穩(wěn)壓電源供電電壓的微小波動。n操作人員方面的因素操作人員方面的因素 n操作人員的裝夾調(diào)整不當(dāng)，引起測量干涉圖像質(zhì)量低、條操作人員的裝夾調(diào)整不當(dāng)，引起測量干涉圖像質(zhì)量低、條紋疏密不當(dāng)；紋疏密不當(dāng)；n采集干涉圖像的攝像頭變焦倍數(shù)過小，造成較

17、大的離散化采集干涉圖像的攝像頭變焦倍數(shù)過小，造成較大的離散化采樣誤差。采樣誤差。減小減小激光干涉法測量表面張力隨機(jī)誤差的隨機(jī)誤差的技術(shù)途徑技術(shù)途徑 n測量前，找出并消除或減小其隨機(jī)誤差的物理源測量前，找出并消除或減小其隨機(jī)誤差的物理源; ;n防震臺充氣減震；關(guān)閉空調(diào)，減少氣流；開機(jī)對激光器防震臺充氣減震；關(guān)閉空調(diào)，減少氣流；開機(jī)對激光器預(yù)熱。預(yù)熱。n測量中，采用適當(dāng)?shù)募夹g(shù)措施，抑制和減小隨機(jī)誤差測量中，采用適當(dāng)?shù)募夹g(shù)措施，抑制和減小隨機(jī)誤差; ;n戴工作手套裝夾工件，調(diào)整光路要盡量減少離焦、傾斜，戴工作手套裝夾工件，調(diào)整光路要盡量減少離焦、傾斜，并使干涉條紋疏密適當(dāng)，實(shí)驗(yàn)人員盡量遠(yuǎn)離測量光路；

18、并使干涉條紋疏密適當(dāng)，實(shí)驗(yàn)人員盡量遠(yuǎn)離測量光路；適當(dāng)增加重復(fù)測量次數(shù)取算術(shù)平均值等適當(dāng)增加重復(fù)測量次數(shù)取算術(shù)平均值等n測量后，對采集的測量數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)處理，抑制和減小隨測量后，對采集的測量數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)處理，抑制和減小隨機(jī)誤差。機(jī)誤差。n對采集的測量干涉圖進(jìn)行預(yù)處理，如低通濾波、平滑濾對采集的測量干涉圖進(jìn)行預(yù)處理，如低通濾波、平滑濾波等方法來消除中高頻隨機(jī)噪聲，用高通濾波法則可以波等方法來消除中高頻隨機(jī)噪聲，用高通濾波法則可以有效消除低頻隨機(jī)噪聲。有效消除低頻隨機(jī)噪聲。 系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差相互轉(zhuǎn)化系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差相互轉(zhuǎn)化n如：現(xiàn)有一支一等水銀溫度計(jì)，它的刻度誤差在制如：現(xiàn)有一支一等水銀溫度計(jì)，

19、它的刻度誤差在制造時可能是造時可能是隨機(jī)隨機(jī)的，但用此溫度計(jì)來校準(zhǔn)一批二等的，但用此溫度計(jì)來校準(zhǔn)一批二等溫度計(jì)時，該溫度計(jì)的刻度誤差就會造成被校準(zhǔn)的溫度計(jì)時，該溫度計(jì)的刻度誤差就會造成被校準(zhǔn)的這一批溫度計(jì)的這一批溫度計(jì)的系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差。n又如，由于溫度計(jì)刻度不準(zhǔn)，用它來測量某恒溫槽又如，由于溫度計(jì)刻度不準(zhǔn)，用它來測量某恒溫槽（thermostatic bath）的溫度時必帶來）的溫度時必帶來系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差，但，但如果采用多個溫度計(jì)測此溫度，由于每支溫度計(jì)的如果采用多個溫度計(jì)測此溫度，由于每支溫度計(jì)的刻度誤差有大有小，有正有負(fù)，就使得這些測量誤刻度誤差有大有小，有正有負(fù)，就使得這些測量誤差具

20、有差具有隨機(jī)性隨機(jī)性。3 3、粗大誤差（、粗大誤差（gross errorgross error）n定義：定義：n明顯超出統(tǒng)計(jì)規(guī)律預(yù)期值的誤差。又稱明顯超出統(tǒng)計(jì)規(guī)律預(yù)期值的誤差。又稱疏忽誤差疏忽誤差、過失過失誤差誤差或或粗差粗差。n產(chǎn)生原因：產(chǎn)生原因：某些偶爾突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。某些偶爾突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。n測量方法：不當(dāng)或錯誤；測量方法：不當(dāng)或錯誤；n測量操作：疏忽和失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯讀數(shù)或測量操作：疏忽和失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯讀數(shù)或單位、記錄錯誤、計(jì)算錯誤）；單位、記錄錯誤、計(jì)算錯誤）； n測量條件：突然變化（如電源電壓突然增高或降低、雷測量條件：突然變化（如電

21、源電壓突然增高或降低、雷電干擾、機(jī)械沖擊和振動）。電干擾、機(jī)械沖擊和振動）。n結(jié)論：結(jié)論：1.1.粗差粗差明顯歪曲了測量結(jié)果。應(yīng)按照一定的準(zhǔn)則進(jìn)行判別，明顯歪曲了測量結(jié)果。應(yīng)按照一定的準(zhǔn)則進(jìn)行判別，將含有粗大誤差的測量數(shù)據(jù)（壞值）予以剔除。將含有粗大誤差的測量數(shù)據(jù)（壞值）予以剔除。2.1.4 測量的精密度、準(zhǔn)確度和精確度測量的精密度、準(zhǔn)確度和精確度n精密度精密度(precision)：n對同一被測量進(jìn)行多次測量所得的測定值重復(fù)一致的程度，對同一被測量進(jìn)行多次測量所得的測定值重復(fù)一致的程度，或測定值分布的密集程度?；驕y定值分布的密集程度。n精密度反映精密度反映隨機(jī)誤差的影響隨機(jī)誤差的影響，隨機(jī)誤

22、差愈小精密度愈高。，隨機(jī)誤差愈小精密度愈高。n準(zhǔn)確度準(zhǔn)確度(correctness) ：n對同一被測量進(jìn)行多次測量，測定值偏離被測量真值的程度對同一被測量進(jìn)行多次測量，測定值偏離被測量真值的程度n準(zhǔn)確度反映準(zhǔn)確度反映系統(tǒng)誤差的影響系統(tǒng)誤差的影響，系統(tǒng)誤差愈小，準(zhǔn)確度愈高。，系統(tǒng)誤差愈小，準(zhǔn)確度愈高。n精密度與正確度的綜合指標(biāo)稱為精確度精密度與正確度的綜合指標(biāo)稱為精確度(accuracy)，或稱精度。，或稱精度。測量的精密度、準(zhǔn)確度和精確度測量的精密度、準(zhǔn)確度和精確度2.1.5 測量的不確定度測量的不確定度(uncertainty)n實(shí)際測量中，被測量的真值由測量值表示。實(shí)際測量中，被測量的真值

23、由測量值表示。n測量的不確定度則表示用測量值代表被測量真值測量的不確定度則表示用測量值代表被測量真值時的時的不肯定程度不肯定程度，是對被測量的真值以多大可能，是對被測量的真值以多大可能性處于測量值所決定的某個量值范圍之內(nèi)的一個性處于測量值所決定的某個量值范圍之內(nèi)的一個估計(jì)。估計(jì)。n不確定度小，測量結(jié)果的精確度高不確定度小，測量結(jié)果的精確度高。不確定度分類不確定度分類n按照不確定度各分量按照不確定度各分量估計(jì)方法的不同估計(jì)方法的不同，可分，可分為兩類：為兩類：nA類：類：統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)不確定度。用統(tǒng)計(jì)方法估算出不確定不確定度。用統(tǒng)計(jì)方法估算出不確定度的大小。度的大小。nB類：類：非統(tǒng)計(jì)非統(tǒng)計(jì)不確定度。

24、用經(jīng)驗(yàn)或其他信息估算不確定度。用經(jīng)驗(yàn)或其他信息估算出不確定度的大小。出不確定度的大小。2.2直接測量的誤差分析與處理直接測量的誤差分析與處理n大多數(shù)測定值及其誤差都服從正態(tài)分布。只要大多數(shù)測定值及其誤差都服從正態(tài)分布。只要可以求得可以求得正態(tài)分布特征參數(shù)正態(tài)分布特征參數(shù)和和，就可以得，就可以得到被測量的真值和測量的精度。到被測量的真值和測量的精度。n問題的提出：問題的提出：n和和是當(dāng)測量次數(shù)趨于無窮大時的理論值，在實(shí)際測量是當(dāng)測量次數(shù)趨于無窮大時的理論值，在實(shí)際測量過程中的測量次數(shù)是有限的。那么：過程中的測量次數(shù)是有限的。那么：n如何根據(jù)有限次直接測量所獲得的一列測定值來估計(jì)被測如何根據(jù)有限次

25、直接測量所獲得的一列測定值來估計(jì)被測量的真值量的真值? ?n如何衡量這種估計(jì)的精密度和這一列測定值的精密度如何衡量這種估計(jì)的精密度和這一列測定值的精密度? ?被測量的真值被測量的真值均方根誤差均方根誤差2.2.1 隨機(jī)誤差分布的特征隨機(jī)誤差分布的特征n有界性有界性n 單峰性單峰性n 對稱性對稱性n 抵償性抵償性n在一定測量條件下在一定測量條件下, ,有限次測量結(jié)果中，隨機(jī)誤差的絕對值不會超過有限次測量結(jié)果中，隨機(jī)誤差的絕對值不會超過某一界限。某一界限。n絕對值小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多于絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)。絕對值小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多于絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)。n在一定測量條件下的有限次測量結(jié)果

26、，其絕對值相等的正在一定測量條件下的有限次測量結(jié)果，其絕對值相等的正/ /負(fù)誤差出現(xiàn)負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等。的次數(shù)大致相等。n在有限次測量中，絕對值相同的正負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相同。取在有限次測量中，絕對值相同的正負(fù)誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相同。取這些誤差的算術(shù)平均值時，正負(fù)誤差產(chǎn)生相互抵消現(xiàn)象。這些誤差的算術(shù)平均值時，正負(fù)誤差產(chǎn)生相互抵消現(xiàn)象。2.2.2. 隨機(jī)誤差的分布曲線隨機(jī)誤差的分布曲線(誤差分布曲線誤差分布曲線)1). 正態(tài)分布正態(tài)分布(高斯分布高斯分布) 隨機(jī)誤差概率密度分布函數(shù)為：隨機(jī)誤差概率密度分布函數(shù)為： 22212fe D 2D 0E 22221121dd2fe 1). 正態(tài)分

27、布正態(tài)分布(高斯分布高斯分布) 2). 均勻分布均勻分布均勻分布又稱等概率分布，其概率密度函數(shù)為：均勻分布又稱等概率分布，其概率密度函數(shù)為： 1,20,fa當(dāng)a當(dāng)a3a 0E223a3). 三角分布三角分布三角分布的概率密度函數(shù)為：三角分布的概率密度函數(shù)為： 22,0,0aaafaaa當(dāng)-當(dāng)6a 0E226a4). t 分布分布設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X與與Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，Y服從服從自由度為的自由度為的2分布，則隨機(jī)變量分布，則隨機(jī)變量 1221212xf x 0E222tXY的概率分布為：2.2.3、誤差的表示方法、誤差的表示方法n如果測量值

28、用如果測量值用x x1 1, ,x x2 2, , ,x xn n表示，真值用表示，真值用 X X0 0 表示，表示，則每次測量的絕對誤差表示為：則每次測量的絕對誤差表示為：0iixnX0i根據(jù)抵償性原則，有根據(jù)抵償性原則，有2.2.3、測量結(jié)果的誤差評價方法、測量結(jié)果的誤差評價方法n標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差n平均誤差平均誤差n或然誤差或然誤差n極限誤差極限誤差1) 標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差(均方根誤差均方根誤差, Standard Error)n當(dāng)測量次數(shù)足夠多，有標(biāo)準(zhǔn)誤差當(dāng)測量次數(shù)足夠多，有標(biāo)準(zhǔn)誤差21niin其意義是，當(dāng)進(jìn)行多次測量后，測量誤差在其意義是，當(dāng)進(jìn)行多次測量后，測量誤差在范圍范圍內(nèi)的概率是內(nèi)

29、的概率是68.3%，即，即 222121dd0.6832fex實(shí)際上的測量次數(shù)是有限的，如何處理呢？實(shí)際上的測量次數(shù)是有限的，如何處理呢？n此時的此時的真值真值近似用測量值的近似用測量值的算數(shù)平均值算數(shù)平均值代替，即代替，即12/nXxxxniixnX每次測量的每次測量的殘差殘差表示為：表示為：211niin有有均方根誤差均方根誤差（貝賽爾公式）（貝賽爾公式）這種近似替代的偏差有多大呢？這種近似替代的偏差有多大呢？標(biāo)準(zhǔn)誤差計(jì)算0iXXn0XXX21niin根據(jù)誤差傳遞理論，根據(jù)誤差傳遞理論，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差Xn21(1)niXin nn可得算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差：可得算術(shù)

30、平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差的含義n若用等精度法對某被測量進(jìn)行若用等精度法對某被測量進(jìn)行n次測量，則次測量，則真值落在以真值落在以 為中心，以為中心，以 為區(qū)間的概為區(qū)間的概率為率為68.3的地方。的地方。XX2) 或然誤差或然誤差(中肯誤差中肯誤差, Probable Error)n一組測量中，隨機(jī)誤差的絕對值大于或然誤一組測量中，隨機(jī)誤差的絕對值大于或然誤差差或者小于或然誤差或者小于或然誤差出現(xiàn)的概率相等。出現(xiàn)的概率相等。 2221dd0.52fex0.6745 f()0閉合差1150%3） 極限誤差極限誤差 ( Limit Error)測量誤差落在測量誤差落在范圍的概率為范圍的

31、概率為99.7（95） 2221dd0.997(0.95)2fex或3 （或2 ）一般認(rèn)為，測量結(jié)果的最大誤差不會超過一般認(rèn)為，測量結(jié)果的最大誤差不會超過，所，所以很多儀器用極限誤差來標(biāo)明其本身的精度。以很多儀器用極限誤差來標(biāo)明其本身的精度。各種誤差的關(guān)系2.3 間接測量中的誤差分析間接測量中的誤差分析間接測量的定義間接測量的定義n通過直接測量與被測量通過直接測量與被測量有函數(shù)關(guān)系的量有函數(shù)關(guān)系的量，根，根據(jù)一定的據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系求得被測量值的測量方法。求得被測量值的測量方法。1、一次測量，間接測量誤差的計(jì)算、一次測量，間接測量誤差的計(jì)算n只能根據(jù)儀表的引用誤差估計(jì)測量結(jié)果中所包含的只

32、能根據(jù)儀表的引用誤差估計(jì)測量結(jié)果中所包含的極限誤差：極限誤差：0max%AAn間接測量的被測量為間接測量的被測量為Y，隨機(jī)誤差為，隨機(jī)誤差為y；直接測量；直接測量的被測量為的被測量為X1, X2, , Xn，并且并且Xi 之間相互獨(dú)立，之間相互獨(dú)立，隨機(jī)誤差為隨機(jī)誤差為x1 , x2 , , xn.；存在如下函數(shù)關(guān)系；存在如下函數(shù)關(guān)系11,nYfXXX 1122,nnYyXxXxXxf1212nnYYYYxxxXXX考慮考慮 Y 和和 X 的誤差，得到的誤差，得到泰勒展開，并忽略高階項(xiàng)，得到泰勒展開，并忽略高階項(xiàng)，得到上式為上式為間接測量的誤差傳遞公式。間接測量的誤差傳遞公式。間接測量的誤差傳

33、遞公式誤差傳遞公式的作用1、用直接測量的誤差計(jì)算間接測量量的誤差2、根據(jù)所給出的被測量的允許誤差來分配各直接測量量的誤差，并依此選擇合適的測量儀表。舉例常用函數(shù)的絕對誤差和相對誤差常用函數(shù)的絕對誤差和相對誤差2、多次測量，間接測量誤差的計(jì)算、多次測量，間接測量誤差的計(jì)算n設(shè)對設(shè)對Xi作了作了n次測量，則可以計(jì)算出次測量，則可以計(jì)算出n個個Y值。值。12,nYfXXX11121121222212,nnnnnnnYfXXXYfXXXYfXXX111211122122221211212nnnnnnnnnYYYyxxxXXXYYYyxxxXXXYYYyxxxXXXn每次測量的誤差分別為每次測量的誤差分

34、別為22222221212iiininYYYyxxxXXX22222221212iiininyxxxYYYnXnXnXnn根據(jù)誤差分布規(guī)律，等值的正負(fù)誤差的數(shù)量相等，根據(jù)誤差分布規(guī)律，等值的正負(fù)誤差的數(shù)量相等，上式中的各項(xiàng)的非平方項(xiàng)可以抵消，得到：上式中的各項(xiàng)的非平方項(xiàng)可以抵消，得到：n同除以同除以n，得到：，得到：間接測量的標(biāo)準(zhǔn)誤差間接測量的標(biāo)準(zhǔn)誤差12222222212nyXXXnYYYXXX3yy 間接多次測量的極限誤差間接多次測量的極限誤差（置信概率（置信概率99.7%）例題：例題：例題：例題：2.5 粗大誤差的處理粗大誤差的處理粗大誤差（粗大誤差（gross error）n定義：定義

35、：n指明顯超出統(tǒng)計(jì)規(guī)律預(yù)期值的誤差。指明顯超出統(tǒng)計(jì)規(guī)律預(yù)期值的誤差。n又稱為又稱為疏忽誤差疏忽誤差、過失誤差過失誤差或簡稱或簡稱粗差粗差。 n產(chǎn)生原因：某些偶爾突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。產(chǎn)生原因：某些偶爾突發(fā)性的異常因素或疏忽所致。n測量方法、過程的不當(dāng)或失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯讀數(shù)測量方法、過程的不當(dāng)或失誤（如未按規(guī)程操作、讀錯讀數(shù)或單位、記錄或計(jì)算錯誤等）或單位、記錄或計(jì)算錯誤等） n測量條件的突然變化（如雷電干擾、機(jī)械沖擊和振動等）。測量條件的突然變化（如雷電干擾、機(jī)械沖擊和振動等）。n結(jié)論：結(jié)論：n粗差明顯歪曲了測量結(jié)果。應(yīng)按照一定的準(zhǔn)則進(jìn)行判別，將粗差明顯歪曲了測量結(jié)果。應(yīng)按照一

36、定的準(zhǔn)則進(jìn)行判別，將含有粗差的測量數(shù)據(jù)（稱為壞值或異常值）予以剔除。含有粗差的測量數(shù)據(jù)（稱為壞值或異常值）予以剔除。1、拉伊特準(zhǔn)則、拉伊特準(zhǔn)則（3準(zhǔn)則準(zhǔn)則）n測量列中的某個測量值的殘差測量列中的某個測量值的殘差 i 的絕對值大于該的絕對值大于該測量列標(biāo)準(zhǔn)誤差的測量列標(biāo)準(zhǔn)誤差的3倍，可認(rèn)為是粗差，即：倍，可認(rèn)為是粗差，即：3i剔除粗大誤差后，需要重新計(jì)算測量列中的算數(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)誤差，繼續(xù)按照此方法判斷。拉伊特準(zhǔn)則的特點(diǎn)拉伊特準(zhǔn)則的特點(diǎn)1、簡單，實(shí)用；、簡單，實(shí)用；2、判斷條件界限寬松，容易混入該剔除的粗大誤差；、判斷條件界限寬松，容易混入該剔除的粗大誤差；3、當(dāng)、當(dāng)n10，即是有粗差，也不易判

37、斷。，即是有粗差，也不易判斷。2 2、格拉布斯準(zhǔn)則、格拉布斯準(zhǔn)則n一系列一系列等精度等精度測量，其子樣平均值和標(biāo)準(zhǔn)誤差的估測量，其子樣平均值和標(biāo)準(zhǔn)誤差的估計(jì)值分別為：計(jì)值分別為：2111,1nniiiixxnn 按照統(tǒng)計(jì)理論，導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)量按照統(tǒng)計(jì)理論，導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)量 11,nnxxxxgg取定危險率（取定危險率（0.05或或0.01），可以求得臨界值），可以求得臨界值0,gn若測量列中的最大測量值或最小測量值的殘差滿足若測量列中的最大測量值或最小測量值的殘差滿足 0,ign則則 xi 是壞值，應(yīng)剔除之。是壞值，應(yīng)剔除之。例題例題2.8nP362.6 系統(tǒng)誤差的處理（系統(tǒng)誤差的處理（P36）1 1、系

38、統(tǒng)誤差的性質(zhì)、系統(tǒng)誤差的性質(zhì)n恒值系統(tǒng)誤差，只影響結(jié)果的準(zhǔn)確度，不影響恒值系統(tǒng)誤差，只影響結(jié)果的準(zhǔn)確度，不影響測量的精密度：測量的精密度：n變值系統(tǒng)誤差，同時影響結(jié)果的準(zhǔn)確度和精密度：變值系統(tǒng)誤差，同時影響結(jié)果的準(zhǔn)確度和精密度：11niiin11niiin2、系統(tǒng)誤差處理的原則、系統(tǒng)誤差處理的原則n無規(guī)律的隨機(jī)誤差無規(guī)律的隨機(jī)誤差n處理方法：可按一定的處理方法：可按一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律統(tǒng)計(jì)規(guī)律來處理來處理n有規(guī)律的系統(tǒng)誤差有規(guī)律的系統(tǒng)誤差n處理方法：沒有通用的處理方法。處理方法：沒有通用的處理方法。n根據(jù)前人的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)識，總結(jié)歸納出一些根據(jù)前人的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)識，總結(jié)歸納出一些具有普遍意義的原則。具有普遍

39、意義的原則。系統(tǒng)誤差處理的原則系統(tǒng)誤差處理的原則1）在測量之前，應(yīng)該盡可能預(yù)見到系統(tǒng)誤差的來源。）在測量之前，應(yīng)該盡可能預(yù)見到系統(tǒng)誤差的來源。n由于測量設(shè)備、試驗(yàn)裝置不完善、安裝、調(diào)整、由于測量設(shè)備、試驗(yàn)裝置不完善、安裝、調(diào)整、使用不得當(dāng)而引起的誤差，如測量儀表未經(jīng)校準(zhǔn)使用不得當(dāng)而引起的誤差，如測量儀表未經(jīng)校準(zhǔn)投入使用；投入使用；n由于外界環(huán)境因素的影響而引起的誤差，如溫度由于外界環(huán)境因素的影響而引起的誤差，如溫度漂移、測量區(qū)域電磁場的干擾等；漂移、測量區(qū)域電磁場的干擾等；n由于測量方法不正確，或者測量方法所賴以存在由于測量方法不正確，或者測量方法所賴以存在的理論本身不完善而引起的誤差；的理論本身不完善而引起的誤差；系統(tǒng)誤差處理的原則系統(tǒng)誤差處理的原則2）在測量過程時，盡可能地采用有效的測量方法，）在測量過程時，盡可能地采用有效的測量方法，消除