八年級(jí)軸對(duì)稱圖形復(fù)習(xí)課

1、第十四章第十四章 軸對(duì)稱圖形復(fù)習(xí)課軸對(duì)稱圖形復(fù)習(xí)課如皋市新民初中如皋市新民初中初二數(shù)學(xué)備課組初二數(shù)學(xué)備課組更多資源更多資源 一、知識(shí)概況一、知識(shí)概況 本章著重研究軸對(duì)稱的概念，本章著重研究軸對(duì)稱的概念，性質(zhì)，軸對(duì)稱的作圖，應(yīng)用，以及性質(zhì)，軸對(duì)稱的作圖，應(yīng)用，以及軸對(duì)稱圖形和幾個(gè)常見的軸對(duì)稱圖軸對(duì)稱圖形和幾個(gè)常見的軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和判定。形的性質(zhì)和判定。 如果把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊如果把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊后，能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這后，能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)兩個(gè)圖形圖形關(guān)于這條直線關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱成軸對(duì)稱，這條直線叫，這條直線叫做對(duì)稱軸，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱

2、做對(duì)稱軸，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn)。點(diǎn)。 如果把一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，如果把一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)這個(gè)圖形圖形叫做叫做軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸。軸。 （一）軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形（一）軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形1 1、概念、概念2 2、軸對(duì)稱的性質(zhì)：、軸對(duì)稱的性質(zhì)： 成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等；如果兩個(gè)成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等；如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)稱點(diǎn)連線圖形成軸對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)稱點(diǎn)連線的垂直平分線。的垂直平分線。 （二）幾個(gè)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：（二）幾個(gè)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：1、線段

3、、射線、直線。 線段是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸，線段是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸，它的對(duì)稱軸是它所在的直線，和線段的垂它的對(duì)稱軸是它所在的直線，和線段的垂直平分線。直平分線。 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在距離相等；到線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。線段的垂直平分線上。2 2、角：、角： 角是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是它角是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是它的角平分線所在的直線。的角平分線所在的直線。 角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這相等；到角的兩邊的距離相等

4、的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。個(gè)角的平分線上。3、等腰三角形等邊三角形4 4、等腰梯形、等腰梯形從對(duì)稱的角度理解等腰三角形和等腰梯形的性質(zhì)和識(shí)別方法。5、正多邊形、正多邊形6、圓、圓二、重、難點(diǎn)剖析二、重、難點(diǎn)剖析1、軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系。、軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系。區(qū)別：區(qū)別： 軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形沿某直線對(duì)折能夠完軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形沿某直線對(duì)折能夠完全重合，而軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形的兩個(gè)部全重合，而軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形的兩個(gè)部分沿某直線對(duì)折能完全重合。對(duì)稱軸只有一條。分沿某直線對(duì)折能完全重合。對(duì)稱軸只有一條。 軸對(duì)稱是反映兩個(gè)圖形的特殊位置、大小軸對(duì)稱是反映兩個(gè)圖形的特殊位置、大

5、小關(guān)系；軸對(duì)稱圖形是反映一個(gè)圖形的特性。對(duì)關(guān)系；軸對(duì)稱圖形是反映一個(gè)圖形的特性。對(duì)稱軸可能會(huì)有多條。稱軸可能會(huì)有多條。 聯(lián)系：聯(lián)系： 兩部分都完全重合，都有對(duì)稱軸，都兩部分都完全重合，都有對(duì)稱軸，都有對(duì)稱點(diǎn)。有對(duì)稱點(diǎn)。 如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成是一如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成是一個(gè)整體，這個(gè)整體就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；個(gè)整體，這個(gè)整體就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形的兩旁的部分看成如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形的兩旁的部分看成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)部分圖形就成軸對(duì)稱。兩個(gè)圖形，這兩個(gè)部分圖形就成軸對(duì)稱。 2 2、軸對(duì)稱的性質(zhì)和幾個(gè)簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱、軸對(duì)稱的性質(zhì)和幾個(gè)簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，是這部分的重點(diǎn)知

6、識(shí)，應(yīng)引圖形的性質(zhì)，是這部分的重點(diǎn)知識(shí)，應(yīng)引起足夠的重視。起足夠的重視。 3 3、軸對(duì)稱的實(shí)際應(yīng)用應(yīng)提高到足夠、軸對(duì)稱的實(shí)際應(yīng)用應(yīng)提高到足夠的地位。的地位。 4 4、用對(duì)稱的眼光看問題，解決問題，、用對(duì)稱的眼光看問題，解決問題，指導(dǎo)輔助線的添加。指導(dǎo)輔助線的添加。例例1 1：如圖，如果：如圖，如果acdacd的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為17cm17cm，abcabc的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為25cm25cm，根據(jù)這些條件，根據(jù)這些條件，你可以求出哪條線段的長(zhǎng)你可以求出哪條線段的長(zhǎng)? ? edcba思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥：（1）acdacd的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)ad ad cdcdacac1717；（2 2）abcabc的周長(zhǎng)的周長(zhǎng)

7、ababacacbcbc2525；（3）由de是bc的垂直平分線得：bdcd；所以adcd adbdab。（4 4）由（）由（2 2）（）（1 1）得）得bcbc8cm.8cm.講練平臺(tái)講練平臺(tái)小結(jié)點(diǎn)評(píng)小結(jié)點(diǎn)評(píng)：（2 2）當(dāng)條件中有線段的垂直平分線時(shí)，）當(dāng)條件中有線段的垂直平分線時(shí)，要主動(dòng)去尋找相等線段。要主動(dòng)去尋找相等線段。（1 1）分析題意時(shí)，要將復(fù)雜條件簡(jiǎn)單化、）分析題意時(shí)，要將復(fù)雜條件簡(jiǎn)單化、具體化。具體化。例例2 2：如圖，：如圖，adad是是abcabc的中線，的中線，adcadc6060，把，把a(bǔ)dcadc沿直線沿直線adad折過來(lái)，折過來(lái)， c c落在落在cc的位置，的位置，（

8、1 1）在圖中找出點(diǎn)）在圖中找出點(diǎn)cc，連結(jié)，連結(jié)bcbc；（2 2）如果）如果bcbc4 4，求，求bcbc的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。dcba思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥： 由于翻折后的圖形與翻折前的圖形關(guān)由于翻折后的圖形與翻折前的圖形關(guān)于折痕對(duì)稱；所以于折痕對(duì)稱；所以c c、cc關(guān)于直線關(guān)于直線adad對(duì)稱，對(duì)稱，adad垂直平分垂直平分cccc，dcbac 又處于對(duì)稱位置的元素（線段、角）又處于對(duì)稱位置的元素（線段、角）對(duì)應(yīng)相等，這為問題解決提供了條件。對(duì)應(yīng)相等，這為問題解決提供了條件。dcbac 解：解：（1 1）畫）畫coco垂直垂直abab，并延，并延長(zhǎng)到長(zhǎng)到cc，使得，使得ococococ，點(diǎn)點(diǎn)cc即為所

9、求。即為所求。o（2 2）連結(jié)）連結(jié)c cd d，由對(duì)稱性得，由對(duì)稱性得cdcdcdcd，cdacdacdacda6060；所以；所以bdcbdc6060，所以，所以， cbd是等邊三角形，是等邊三角形，所以，所以，bcbd2。dcbac 小結(jié)點(diǎn)評(píng)小結(jié)點(diǎn)評(píng)： 1 1、翻折變換后得到的圖、翻折變換后得到的圖形與原圖形關(guān)于折痕對(duì)稱；對(duì)形與原圖形關(guān)于折痕對(duì)稱；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕垂直平分；應(yīng)點(diǎn)的連線段被折痕垂直平分； 2 2、解決翻折問題，要注意隱含在圖形中的相、解決翻折問題，要注意隱含在圖形中的相等線段、相等角，全等三角形；因?yàn)橐磺刑幱趯?duì)等線段、相等角，全等三角形；因?yàn)橐磺刑幱趯?duì)稱位置的線段相等，

10、角相等，三角形全等。稱位置的線段相等，角相等，三角形全等。 3 3、從對(duì)稱角度完善圖形，讓隱含條件顯現(xiàn)、從對(duì)稱角度完善圖形，讓隱含條件顯現(xiàn)出來(lái)，這是這部分題目添加輔助線的一個(gè)重要規(guī)出來(lái)，這是這部分題目添加輔助線的一個(gè)重要規(guī)律。律。練習(xí)練習(xí)1 1將一正方形紙片按圖中將一正方形紙片按圖中、的方的方式依次對(duì)折后，再沿式依次對(duì)折后，再沿中的虛線裁剪，最后中的虛線裁剪，最后將將中的紙片打開鋪平，所得圖案應(yīng)該是下中的紙片打開鋪平，所得圖案應(yīng)該是下面圖案中的面圖案中的( )( )課堂練習(xí)課堂練習(xí) a b c d a b c d小結(jié)點(diǎn)評(píng)：小結(jié)點(diǎn)評(píng)： 這類問題主要訓(xùn)練空間想象能力。這類問題主要訓(xùn)練空間想象能力。

11、我們可以實(shí)際操作，也可以倒推，還可我們可以實(shí)際操作，也可以倒推，還可以在頭腦中進(jìn)行思維實(shí)驗(yàn)，不過后者能以在頭腦中進(jìn)行思維實(shí)驗(yàn)，不過后者能力的要求比較高。力的要求比較高。例例3 3如圖，如圖，abcabc和和abcabc關(guān)于關(guān)于直線直線mnmn對(duì)稱，對(duì)稱，abc和和abc關(guān)于直線關(guān)于直線ef對(duì)稱。對(duì)稱。 （1 1）畫出直線）畫出直線efef；思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥： 由于連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)的線由于連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分，所段被對(duì)稱軸垂直平分，所以連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)的線段，作以連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)的線段，作其垂直平分線，即為兩個(gè)其垂直平分線，即為兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸。圖形的對(duì)稱軸。（2 2）直線）直線mnmn與與efef相

12、交于點(diǎn)相交于點(diǎn)o o，試探究，試探究bobbob與直線與直線mnmn、efef所夾銳角所夾銳角的的數(shù)量關(guān)系。數(shù)量關(guān)系。思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥：oef 從對(duì)稱角度來(lái)看，從對(duì)稱角度來(lái)看，連結(jié)連結(jié)obob、ob”ob”的對(duì)稱的對(duì)稱線段線段obob，可以得到，可以得到兩組角相等，問題容兩組角相等，問題容易得到解決。易得到解決。結(jié)結(jié)bobo。abcabc和和abcabc關(guān)于關(guān)于mnmn對(duì)稱，對(duì)稱，bom=bombom=bom又又abcabc和和abcabc關(guān)于關(guān)于efef對(duì)對(duì)稱，稱，boeboeboeboe。bob=bom+bom+boe+boebob=bom+bom+boe+boe =2 =2（bombom

13、boeboe）22。即即bobbob22解：（1）如圖，連結(jié)bb。 作線段bb的垂直平分線ef。 則直線ef是abc和abc的對(duì)稱軸。oef小結(jié)點(diǎn)評(píng)：小結(jié)點(diǎn)評(píng)：（1 1）作兩個(gè)成對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，只需）作兩個(gè)成對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，只需將對(duì)稱點(diǎn)的垂直平分線作出即可。將對(duì)稱點(diǎn)的垂直平分線作出即可。（2 2）成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)元素相）成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)元素相等是解題的關(guān)鍵。等是解題的關(guān)鍵。（3 3）補(bǔ)全對(duì)稱圖形中所缺的部分，是添）補(bǔ)全對(duì)稱圖形中所缺的部分，是添加輔助線的重要思考方向。加輔助線的重要思考方向。例例4 4：如下圖，由小正方形組成的：如下圖，由小正方形組成的l l形圖中，形圖中，

14、請(qǐng)你用三種方法分別在下圖中添畫一個(gè)小正請(qǐng)你用三種方法分別在下圖中添畫一個(gè)小正方形使它成為一個(gè)軸對(duì)稱圖形：方形使它成為一個(gè)軸對(duì)稱圖形： 小結(jié)點(diǎn)評(píng)：小結(jié)點(diǎn)評(píng)： 設(shè)計(jì)圖案問題，要注意設(shè)計(jì)的要求，設(shè)計(jì)圖案問題，要注意設(shè)計(jì)的要求，注意從多個(gè)角度思考問題，本題中的對(duì)注意從多個(gè)角度思考問題，本題中的對(duì)稱軸的位置可以是水平的，也可以是豎稱軸的位置可以是水平的，也可以是豎直的，還可以是斜的，特別是后者，我直的，還可以是斜的，特別是后者，我們常常容易忽視。們常常容易忽視。 做完這類題目，還要注意檢驗(yàn)，看做完這類題目，還要注意檢驗(yàn)，看是否符合題目的全部要求。是否符合題目的全部要求。練習(xí)練習(xí)2 2如圖，在一個(gè)規(guī)格為如

15、圖，在一個(gè)規(guī)格為4 48 8的球臺(tái)上，的球臺(tái)上，有兩個(gè)小球有兩個(gè)小球p p和和q q。若擊打小球。若擊打小球p p經(jīng)過球臺(tái)的經(jīng)過球臺(tái)的邊邊abab反彈后，恰好擊中小球反彈后，恰好擊中小球q q，則小球，則小球p p擊擊出時(shí)，應(yīng)瞄準(zhǔn)出時(shí)，應(yīng)瞄準(zhǔn)abab邊上的（邊上的（ ）a a、o o1 1點(diǎn)點(diǎn) b b、o o2 2點(diǎn)點(diǎn) c c、o o3 3點(diǎn)點(diǎn) d d、o o4 4點(diǎn)點(diǎn)b b例例5 5、已知：如圖，、已知：如圖，cdcd是是rtabcrtabc斜邊上的斜邊上的高，高，aa的平分線的平分線aeae交交cdcd于點(diǎn)于點(diǎn)f f。求證：。求證：cececfcf。 e a c b f d更多資源更多資源

16、 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥： e a c b f d思路思路1 1：（1 1）從結(jié)論出發(fā)：）從結(jié)論出發(fā)：要得到要得到cececfcf，只要有，只要有cefcefcfecfe；（2 2）從條件出發(fā)：）從條件出發(fā)：條件有：條件有：cafcafbafbaf； cdabcdab； acbacb9090。圖3圖2圖1abcdabcffedcba（3）從圖形出發(fā)：cafcafbafbafacdacdbb cdab cdabacbacb9090cafacdbafbcefcefcfecfecececfcffedcbaabcdefg思路思路2 2： 因?yàn)閳D形中有角平分線，且因?yàn)閳D形中有角平分線，且fcacfcac，考慮用角平分線的性質(zhì)，補(bǔ)全所缺的部分，考慮用角平分線的性質(zhì)，補(bǔ)全所缺的部分，過過f f作作fgabfgab。小結(jié)點(diǎn)評(píng)：小結(jié)