函數(shù)的應(yīng)用難

1、學(xué)案設(shè)計(jì)方案 XueDa PPTS Learning Center姓 名年 級(jí)性 別課 題函數(shù)的應(yīng)用教 學(xué) 目 的讓學(xué)生能運(yùn)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。教 學(xué) 重 難 點(diǎn)利用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。教 學(xué) 過(guò) 程函數(shù)的應(yīng)用題（1）一、 建構(gòu)函數(shù)模型的應(yīng)用性問(wèn)題1某公司為幫助尚有26.8萬(wàn)元無(wú)息貸款沒(méi)有償還的殘疾人商店，借出20萬(wàn)元將該商店改建成經(jīng)營(yíng)狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店，并約定用該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)逐步償還債務(wù)(所有債務(wù)均不計(jì)利息)已知該種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件40元；該店每月銷售量q（百件）與銷售價(jià)p（元件）之間的關(guān)系用右圖中的一條折線（實(shí)線）表示；職工每人每月工資為600元，該店應(yīng)交付的其它費(fèi)用為每月1320

2、0元（）若當(dāng)銷售價(jià)p為52元件時(shí)，該店正好收支平衡，求該店的職工人數(shù)；（）若該店只安排40名職工，則該店最早可在幾年后還清所有債務(wù)，此時(shí)每件消費(fèi)品的價(jià)格定為多少元？2某廠生產(chǎn)一種儀器，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，該廠生產(chǎn)這種儀器，次品率P與日產(chǎn)量x（件）之間大體滿足關(guān)系：注：次品率，如表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，約有1件為次品其余為合格品已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A元，但每生產(chǎn)一件次品將虧損元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量（）試將生產(chǎn)這種儀器每天的盈利額T（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；（）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？3.某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)

3、驗(yàn)得到下面有關(guān)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺(tái)），其總成本為G（x）萬(wàn)元，其中固定成本為2萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)100臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本），銷售收入R(x)滿足R(x)=.假定該產(chǎn)品銷售平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律.（1）要使工廠有盈利，產(chǎn)品x應(yīng)控制在什么范圍？（2）工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)贏利最大？并求此時(shí)每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為多少？4.為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱（如圖），污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問(wèn)當(dāng)a、b各為多少米時(shí)

4、，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。ˋ、B孔的面積忽略不計(jì)）？5.運(yùn)輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具中選擇，它們的速度分別為v千米/小時(shí)、2v千米/小時(shí)、10v千米/小時(shí)，每千米的運(yùn)費(fèi)分別為a元、b元、c元.且bac,又這批海鮮在運(yùn)輸過(guò)程中的損耗為m元/小時(shí)，若使用三種運(yùn)輸工具分別運(yùn)輸時(shí)各自的總費(fèi)用（運(yùn)費(fèi)與損耗之和）互不相等.試確定使用哪種運(yùn)輸工具總費(fèi)用最省.（題中字母均為正的已知量）6.已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y（米）是時(shí)間t(0t24，單位小時(shí)）的函數(shù)，記作y=f(t)，下表是某日各時(shí)的浪高數(shù)據(jù)t03691215182124y1.51.00.51.01.4910.510.

5、991.5經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)y=f(t)的曲線可近似地看成函數(shù)y=Acost+b.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=Acost+b的最小正周期T，振幅A及函數(shù)表達(dá)式；（2）依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放，請(qǐng)依據(jù)（1）的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng).7.某外商到一開(kāi)放區(qū)投資72萬(wàn)美元建起一座蔬菜加工廠，第一年各種經(jīng)費(fèi)12萬(wàn)美元，以后每年增加4萬(wàn)美元，每年銷售蔬菜收入50萬(wàn)美元.（1）若扣除投資及各種經(jīng)費(fèi)，則從第幾年開(kāi)始獲取純利潤(rùn)？（2）若干年后，外商為開(kāi)發(fā)新項(xiàng)目，有兩種處理方案：年平均利潤(rùn)最大時(shí)以48萬(wàn)美元出售該廠；純利潤(rùn)總和最大時(shí)，以

6、16萬(wàn)元出售該廠，問(wèn)哪種方案最合算？8.某廠使用兩種零件A、B裝配兩種產(chǎn)品P、Q，該廠的生產(chǎn)能力是月產(chǎn)P產(chǎn)品最多有2500件，月產(chǎn)Q產(chǎn)品最多有1200件；而且組裝一件P產(chǎn)品要4個(gè)A、2個(gè)B，組裝一件Q產(chǎn)品要6個(gè)A、8個(gè)B，該廠在某個(gè)月能用的A零件最多14000個(gè)；B零件最多12000個(gè).已知P產(chǎn)品每件利潤(rùn)1000元，Q產(chǎn)品每件2000元，欲使月利潤(rùn)最大，需要組裝P、Q產(chǎn)品各多少件？最大利潤(rùn)多少萬(wàn)元.9. 隨著機(jī)構(gòu)改革工作的深入進(jìn)行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員人（140420，且為偶數(shù)），每人每年可創(chuàng)利萬(wàn)元.據(jù)評(píng)估，在經(jīng)營(yíng)條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利萬(wàn)元，但公

7、司需付下崗職員每人每年萬(wàn)元的生活費(fèi)，并且該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的，為獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，該公司應(yīng)裁員多少人？ 10.醫(yī)學(xué)上為研究傳染病傳播中病毒細(xì)胞的發(fā)展規(guī)律及其預(yù)防，將病毒細(xì)胞注入一只小白鼠體內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，經(jīng)檢測(cè)，病毒細(xì)胞的增長(zhǎng)數(shù)與天數(shù)的關(guān)系記錄如下表. 已知該種病毒細(xì)胞在小白鼠體內(nèi)的個(gè)數(shù)超過(guò)108的時(shí)候小白鼠將死亡但注射某種藥物，將可殺死其體內(nèi)該病毒細(xì)胞的98%（1）為了使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中不死亡，第一次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物？（精確到天）（2）第二次最遲應(yīng)在何時(shí)注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天） 已知：lg2=0.3010天數(shù)t病毒細(xì)胞總數(shù)N12345671

8、24816326411.在一很大的湖岸邊（可視湖岸為直線）停放著一只小船，由于纜繩突然斷開(kāi)，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15角，速度為2.5km/h，同時(shí)岸邊有一人,從同一地點(diǎn)開(kāi)始追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4km/h，在水中游的速度為2km/h.,問(wèn)此人能否追上小船.若小船速度改變，則小船能被人追上的最大速度是多少？12.有一個(gè)受到污染的湖泊，其湖水的容積為V立方米，每天流出湖泊的水量都是r立方米，現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡，且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合，用g(t)表示某一時(shí)刻t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱為在時(shí)刻t時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)，已知目前污染源以每天p克的污染物質(zhì)污染湖水

9、，湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式g(t)= +g(0)- e(p0),其中，g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).（1）當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí)，求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)； （2）求證：當(dāng)g(0)0.當(dāng)0x5時(shí)，有0.4x2+3.2x2.80,得1x7,15時(shí)，有8.2x0,得x8.2,5x8.2.綜上，要使工廠贏利，應(yīng)滿足1x5時(shí)f(x)b,各字母均為正值，所以y1y20，即y20,由cb及每字母都是正值，得cb+.所以，當(dāng)cb+時(shí)y2y3,由y2y1即y2最小，當(dāng)bacb+時(shí)，y3y21時(shí)，才可對(duì)沖浪者開(kāi)放.1, 0.2k,即有12k3t13k+3.由0t24,故可令k=0,1,2,得0t3或9

10、t15或210,2n2+40n720，解得2n18.由nN知從第三年開(kāi)始獲利.（2）年平均利潤(rùn)=402(n+)16.當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí)取等號(hào).故此方案先獲利616+48=144（萬(wàn)美元），此時(shí)n=6,f(n)=2(n10)2+128.當(dāng)n=10時(shí)，f(n)|max=128.故第種方案共獲利128+16=144（萬(wàn)美元）.故比較兩種方案，獲利都是144萬(wàn)美元，但第種方案只需6年，而第種方案需10年，故選擇第種方案.8. 解：設(shè)分別生產(chǎn)P、Q產(chǎn)品x件、y件，則有設(shè)利潤(rùn)S=1000x+2000y=1000(x+2y)要使利潤(rùn)S最大，只需求x+2y的最大值.x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x

11、(2m+n)+y(3m+4n) 有x+2y=(2x+3y)+(x+4y)7000+6000.當(dāng)且僅當(dāng)解得時(shí)取等號(hào)，此時(shí)最大利潤(rùn)Smax=1000(x+2y)=4000000=400(萬(wàn)元).另外此題可運(yùn)用“線性規(guī)劃模型”解決.9. 解 設(shè)裁員人，可獲得的經(jīng)濟(jì)效益為萬(wàn)元,則 =依題意 0.又140420, 70210.(1)當(dāng)0,即70,即140210時(shí)， , 取到最大值; 綜上所述，當(dāng)70140時(shí)，應(yīng)裁員人；當(dāng)140210時(shí)，應(yīng)裁員人.在多字母的數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)中，分類求解時(shí)需要搞清：為什么分類？對(duì)誰(shuí)分類？如何分類？10. 講解 （1）由題意病毒細(xì)胞關(guān)于時(shí)間n的函數(shù)為, 則由兩邊取對(duì)數(shù)得 n27.5

12、, 即第一次最遲應(yīng)在第27天注射該種藥物.（2）由題意注入藥物后小白鼠體內(nèi)剩余的病毒細(xì)胞為,再經(jīng)過(guò)x天后小白鼠體內(nèi)病毒細(xì)胞為,OABvt2(1k)t4kt15由題意108，兩邊取對(duì)數(shù)得， 故再經(jīng)過(guò)6天必須注射藥物，即第二次應(yīng)在第33天注射藥物本題反映的解題技巧是“兩邊取對(duì)數(shù)”，這對(duì)實(shí)施指數(shù)運(yùn)算是很有效的.11講解: 不妨畫一個(gè)圖形,將文字語(yǔ)言翻譯為圖形語(yǔ)言, 進(jìn)而想法建立數(shù)學(xué)模型.設(shè)船速為v，顯然時(shí)人是不可能追上小船，當(dāng)km/h時(shí)，人不必在岸上跑，而只要立即從同一地點(diǎn)直接下水就可以追上小船，因此只要考慮的情況，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追趕，當(dāng)人沿岸跑的軌

13、跡和人游水的軌跡以及船在水中漂流的軌跡組成一個(gè)封閉的三角形時(shí)，人才能追上小船。設(shè)船速為v，人追上船所用時(shí)間為t，人在岸上跑的時(shí)間為，則人在水中游的時(shí)間為，人要追上小船，則人船運(yùn)動(dòng)的路線滿足如圖所示的三角形.由余弦是理得即整理得.要使上式在（0，1）范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)解，則有且解得. 故當(dāng)船速在內(nèi)時(shí)，人船運(yùn)動(dòng)路線可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度為，由此可見(jiàn)當(dāng)船速為2.5km/h時(shí), 人可以追上小船.涉及解答三角形的實(shí)際應(yīng)用題是近年高考命題的一個(gè)冷點(diǎn), 復(fù)課時(shí)值得關(guān)注.12. 講解（1）g(t)為常數(shù), 有g(shù)(0)-=0, g(0)= .(2) 我們易證得0t1t2, 則g(t1)-

14、g(t2)=g(0)- e-g(0)- e=g(0)- e-e=g(0)- ,g(0)0,t1e,g(t1)80% ？（）求使得60%成立的最小的自然數(shù).為了解決這些問(wèn)題，我們可以根據(jù)題意，列出數(shù)列的相鄰項(xiàng)之間的函數(shù)關(guān)系，然后由此遞推公式出發(fā)，設(shè)法求出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式由題可知：，所以，當(dāng)時(shí)，兩式作差得：又，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列所以， 由上式可知：對(duì)于任意，均有即全縣綠地面積不可能超過(guò)總面積的80%（）令，得，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：隨的增大而單調(diào)遞減，因此，我們只需從開(kāi)始驗(yàn)證，直到找到第一個(gè)使得的自然數(shù)即為所求驗(yàn)證可知：當(dāng)時(shí)，均有，而當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)時(shí)，均有所以，從2000年底開(kāi)始，5年后，即2005年底，全縣綠