第十講幾種常用的隨機(jī)過程

1、第十講 幾種常用的隨機(jī)過程10.1 馬爾可夫過程10.1.1馬爾可夫序列馬爾可夫序列是指時(shí)間參數(shù)離散，狀態(tài)連續(xù)的馬爾可夫過程。一個(gè)隨機(jī)變量序列（n=1,2,）,若對于任意的n有 （10.1） 或 （10.2）則稱為馬爾可夫序列。的聯(lián)合概率密度為 （10.3）馬馬爾可夫序列有如下性質(zhì)：（1） 一個(gè)馬爾可夫序列的子序列仍為馬爾可夫序列。（2） （10.4） （3） （10.5）（4） 在一個(gè)馬爾可夫序列中，若已知現(xiàn)在，則未來與過去相互獨(dú)立。即 ，nrs （10.6）（5） 若條件概率密度與n無關(guān)，則稱馬爾可夫序列是齊次的。（6） 若一個(gè)馬爾可夫序列是齊次的，且所有的隨機(jī)變量具有同樣的概率密度，則稱

2、該馬爾可夫序列為平穩(wěn)的。（7） 馬爾可夫序列的轉(zhuǎn)移概率滿足切普曼柯爾莫哥洛夫方程，即 ，nrs (10.7)10.1.2馬爾可夫鏈馬爾可夫鏈?zhǔn)侵笗r(shí)間參數(shù)，狀態(tài)方程皆為離散的馬爾可夫過程。1 馬爾可夫鏈的定義 設(shè)為離散時(shí)間隨機(jī)過程，其狀態(tài)空間。如果過程在時(shí)刻為任一狀態(tài)的概率，只與過程在時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)，而與過程在時(shí)刻以前的狀態(tài)無關(guān)，即 則稱該過程為馬爾可夫鏈，或簡稱馬氏鏈。2 馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率及有限維分布 馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率定義為 如果與m無關(guān)，則稱該馬氏鏈為齊次的。下面我們僅研討齊次馬氏鏈，并習(xí)慣上省去“齊次”二字。 馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率及其矩陣分別定義為 （10.11）一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P有以下兩

3、個(gè)性質(zhì) （10.12） （10.13）馬氏鏈的高階轉(zhuǎn)移概率及其矩陣分別定義為 n步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(n)具有如下的性質(zhì)： 此外，還規(guī)定馬氏鏈的n步轉(zhuǎn)移概率及其矩陣具有如下的切普慢柯爾摩哥洛夫方程的離散形式，即當(dāng)n為任意正整數(shù)時(shí)，則有式（7.18），若n=k+1,則有 由上可知，以一步轉(zhuǎn)移概率為元素的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P決定了馬氏鏈狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程的概率法則。但是，P決定不了初始概率分布，必須引入初始概率 并稱=（）為初始分布，顯然有 若絕對概率，則有馬氏鏈的有限維分布可表示為 3遍歷性及平穩(wěn)分布（1）遍歷性 設(shè)為齊次馬氏鏈，若對于一切狀態(tài)i與j，存在不依賴于i的極限 則稱馬氏鏈X（n）具有遍歷性。 定

4、理 （有限馬氏鏈具有遍歷性的充分條件）對有限狀態(tài)的齊次馬氏鏈X（n），若存在正整數(shù)m，使則此鏈?zhǔn)潜闅v的。而且，式（10.36）中的是方程組 在滿足條件 下的惟一解。（2）平穩(wěn)分布 馬氏鏈的一個(gè)概率分布 則稱它為該鏈的平穩(wěn)分布。并有 10.1.3馬爾可夫過程 這里論及的馬爾可夫過程是指時(shí)間，狀態(tài)皆連續(xù)的馬爾可夫過程。擴(kuò)散過程就是這類馬爾可夫過程的一個(gè)特例。設(shè)有一隨機(jī)過程：則稱此類過程為馬爾可夫過程，簡稱馬氏過程。 馬氏過程的轉(zhuǎn)移概率分布定義為： 轉(zhuǎn)移概率分布是關(guān)于x的分布函數(shù)，故有：馬氏過程的轉(zhuǎn)移概率密度定義為故有它也滿足切普曼柯爾莫哥洛夫方程如果馬氏過程X（t）有則稱它為為齊次馬爾可夫過程。馬

5、氏過程X（t）的n維概率密度可寫成10.2 獨(dú)立增量過程10.2.1獨(dú)立增量過程設(shè)有一個(gè)隨機(jī)過程，若對任意的時(shí)刻，過程的增量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則稱為獨(dú)立增量過程或可加過程。 若參數(shù)集，則像馬爾可夫過程一樣，獨(dú)立增量過程的有限維分布可由它的初始概率分布及一切增量的概率分布唯一地確定。 如果獨(dú)立增量過程的增量的分布僅與有關(guān)，而與本身無關(guān)，則稱為齊次的。10.2.2泊松過程 實(shí)際上，泊松過程就是一個(gè)純不連續(xù)的馬爾可夫過程，而且也是一個(gè)獨(dú)立增量過程。1. 泊松過程（1） 定義 設(shè)隨機(jī)過程的狀態(tài)只取非負(fù)整數(shù)值，若滿足下列三個(gè)條件： X(t)為均勻獨(dú)立增量過程； 對任意時(shí)刻對應(yīng)的隨機(jī)變量的增量服從數(shù)學(xué)

6、期望為的泊松分布，即對于k=0,1,2有則稱X(t)為泊松過程。 對于式（10.57），若 時(shí)，則有 （2）數(shù)字特征 泊松過程X(t)的均值、均方差、方差、自相關(guān)函數(shù)分別為： 2. 泊松增量（1） 定義 由泊松過程X(t)在給定的時(shí)間間隔內(nèi)的增量與之比，我們構(gòu)成一新過程：稱它為泊松增量。顯然，若k是間隔內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)數(shù)，則Y(t)=k/t。故（2） Y(t)的均值、自相關(guān)函數(shù)分別為： 3過濾的泊松過程與散粒噪聲 泊松過程X(t)對t 求導(dǎo)，就能得到與時(shí)間軸上隨機(jī)點(diǎn)相對應(yīng)的沖激序列，稱此離散隨機(jī)過程為泊松沖激序列。即 （10.67）（1） 過濾的泊松過程 設(shè)有一泊松沖激脈沖序列經(jīng)過一線性時(shí)不變?yōu)V波器

7、，則此濾波器輸出是一隨機(jī)過程X(t)，如圖：式中，h(t)為濾波器的沖激響應(yīng)；為第i個(gè)沖激脈沖出現(xiàn)的時(shí)間；N(t)為在內(nèi)輸入到濾波器的沖激脈沖的個(gè)數(shù)，它服從泊松分布。我們稱此為過濾的泊松過程。（2） 散粒噪聲 在電子管、晶體管中，由散粒效應(yīng)引起的散粒噪聲電流皆為過濾的泊松過程。因此，散粒噪聲X(t)可表示成類似式（10.72）的形式。而且，不難證明此X(t)也是平穩(wěn)的。10.2.3 維納過程 維納過程是另一個(gè)最重要的獨(dú)立增量過程，有時(shí)也稱它為布朗運(yùn)動(dòng)過程，還可以將它看成是隨機(jī)游動(dòng)X(t)的極限形式。1.定義 設(shè)隨機(jī)過程滿足下列條件： （1） （2） 為均勻獨(dú)立增量過程，且對任意時(shí)刻及具有與相同的正態(tài)分布函數(shù)，其概率密度為式中，為正常數(shù)。（3） 對任意時(shí)刻，具有均值EW(t)=0的正態(tài)分布函數(shù)，其概率密度為2. W(t)的均值與自相關(guān)函數(shù)分別為 3. W(t)與正態(tài)白噪聲N(t) 維納過程W(t)的形式導(dǎo)數(shù)就是正態(tài)白噪聲N(t)，N(t)的自相關(guān)函數(shù)為令，則有換