數(shù)學(xué)分析第三章習(xí)題課

1、第三章第三章 “函數(shù)極限函數(shù)極限” 習(xí)題習(xí)題課課一、函數(shù)的一、函數(shù)的24類極限類極限 )(limxfx; , , ,0 ,0 , : xxox。 , , , : A 函數(shù)在一點(diǎn)的極限（含單側(cè)極限）與函數(shù)在函數(shù)在一點(diǎn)的極限（含單側(cè)極限）與函數(shù)在這點(diǎn)的定義無關(guān)。這點(diǎn)的定義無關(guān)。0 x0 x0 x函數(shù)在函數(shù)在 無定義、有極限無定義、有極限0 x函數(shù)在函數(shù)在 的函數(shù)值與極限值不等的函數(shù)值與極限值不等0 x函數(shù)在函數(shù)在 的函數(shù)值與極限值相等的函數(shù)值與極限值相等0 x函數(shù)在函數(shù)在 有定義、無極限有定義、無極限0 x0 xxy二、函數(shù)極限的性質(zhì)二、函數(shù)極限的性質(zhì) 1、唯一性；、唯一性；2、局部局部有界性；有

2、界性； 3、局部局部保號(hào)性；保號(hào)性；4、局部局部保不等式性；保不等式性； 5、迫斂性；、迫斂性； 6、四則運(yùn)算性。、四則運(yùn)算性。三、函數(shù)極限存在的條件三、函數(shù)極限存在的條件.)(lim,lim ),;()(lim000AxfxxxUxAxfnnnnonxx 有有且且 單調(diào)有界必有單側(cè)極限：單調(diào)有界必有單側(cè)極限：Cauchy收斂準(zhǔn)則：收斂準(zhǔn)則：.| )()(| ),;(, 0, 0)(lim00 xfxfxUxxAxfoxx有有).(inf)(lim)( )1()(000 xfxfxUfxUxxxoo 單單調(diào)調(diào)遞遞增增、有有界界，則則在在歸結(jié)原則：歸結(jié)原則：四、兩個(gè)重要極限四、兩個(gè)重要極限; 1

3、sinlim某過程 為無窮大，則為無窮大，則為某過程中的無窮小，為某過程中的無窮小，設(shè)設(shè) .)11 (lim)1 (lim1e某過程某過程五、常用等價(jià)無窮小量五、常用等價(jià)無窮小量. 1 , )1ln( ,2 cos1, arctan , arcsin , tan , sin:02xexxxxxxxxxxxxxx 時(shí)當(dāng)六、求函數(shù)極限的一般方法六、求函數(shù)極限的一般方法 ，因因式式分分解解約約去去零零因因子子”無無窮窮大大。分分子子分分母母同同除除“最最大大的的 00 . 1型：型：對對多項(xiàng)式多項(xiàng)式根式根式有有理理化化約約去去零零因因子子，三角函數(shù)三角函數(shù)，利用利用1sin0lim xxx其他其他等

4、等價(jià)價(jià)無無窮窮小小量量代代換換。型：型：對對 . 23. 利用兩個(gè)重要極限。利用兩個(gè)重要極限。4. 利用有界函數(shù)乘無窮小還是無窮小。利用有界函數(shù)乘無窮小還是無窮小。5 5、利用迫斂性。、利用迫斂性。七、證明極限不存在的方法七、證明極限不存在的方法1. 利用歸結(jié)原則。利用歸結(jié)原則。發(fā)散。發(fā)散。不收斂同一個(gè)數(shù)；或不收斂同一個(gè)數(shù)；或但但找到兩個(gè)數(shù)列找到兩個(gè)數(shù)列)()(),(, ,00nnnnnxfxfxfxxxx 2. 利用利用Cauchy收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則。.| )()(|,| , 0, 000 xfxfxxxx但但找找到到兩兩個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)找找到到常常數(shù)數(shù)3. 證明左右極限不相等證明左右極限不相等。八、

5、有界變量、無窮小量及其比較八、有界變量、無窮小量及其比較. 0)()(lim)()( xgxfxgoxf.|)()(|, 0)()(LxgxfLxgOxf 使使反之不然。反之不然。),()()()(xgOxfxgoxf . 0)(lim)1()( xfoxf.| )(|, 0)1()(LxfLOxf 使使O(1)o(1)=o(1).o(1)o(1)=o(1).o(1)+o(1)=o(1).O(1)+O(1)=O(1).O(1)O(1)=O(1).例例1寫出下列極限的精確定義：寫出下列極限的精確定義：.)(lim )2( ,)(lim )1(0Axfxfxxx 解解,G 0)1( 0, )2(

6、.)(lim )4( ,)(lim )3(0Axfxfxxx 0, )3(0 G0, )4(0 G.f(x) 有有,M0 -M,x .| Af(x)有有0, ),;(0 xUxo .| 01G)f(x 使使0, ),;(U0o1 x x .|01 A)f(x使使0, MM,|:|11 xx例例2 用定義證明：用定義證明：. 274lim 2 xxx證證. .| | |x|x|xx7427274 則則不妨設(shè)不妨設(shè),81|2-|0 x. |2|14|74|2|7|274| xxxxx故故,|x2174| .|274|,|2|0,14,81min, 0 xxx有有取取. 274lim 2 xxx即即

7、,817815 x,237421 x例例3 : 0: 1 )( 無理數(shù)無理數(shù)，有理數(shù)有理數(shù)，證明：證明：xxxD在任何點(diǎn)極限不存在在任何點(diǎn)極限不存在。證法一證法一, ,00 xxxxnn 為有理數(shù)，使為有理數(shù)，使取取, 0 xxxnn 為無理數(shù)，使為無理數(shù)，使取取, 11)( nxD則則, 00)( nxD由歸結(jié)原則，由歸結(jié)原則，D(x)在任意點(diǎn)在任意點(diǎn) 沒有極限。沒有極限。0 x例例3 : 0: 1 )( 無理數(shù)無理數(shù)，有理數(shù)有理數(shù)，證明：證明：xxxD在任何點(diǎn)極限不存在在任何點(diǎn)極限不存在。證法二證法二為無理數(shù)，則為無理數(shù)，則取取為有理數(shù)，為有理數(shù)，取取取取),(),(, 0,21,0201

8、00 xUxxUxxoo ,1| )()(|021 xDxD由由Cauchy收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則，得證。得證。例例3 : 0: 1 )( 無理數(shù)無理數(shù)，有理數(shù)有理數(shù)，證明：證明：xxxD在任何點(diǎn)極限不存在在任何點(diǎn)極限不存在。證法三證法三為為有有理理數(shù)數(shù)，則則取取取取),(, 0, 0|1|21,0100 xUxaxo ,|1|)(|01 aaxD;)(lim0axDxx 即即為為無無理理數(shù)數(shù)，則則取取取取),(, 0, 021,0200 xUxxo ,21|10|)(|02 axD。即即1)(lim0 xDxx, 1 a, 1 a當(dāng)當(dāng)證畢。證畢。課后練習(xí)：課后練習(xí)： : ,: , )( 無理數(shù)無理

9、數(shù)有理數(shù)有理數(shù)設(shè)設(shè)x-xxxxf是否存在？是否存在？不存在；又不存在；又證明：若證明：若)(lim)(lim, 0000 xfxfxxxx 例例4.)(lim,)(limaxxxfaxfxx 證明：證明：已知：已知：證證,1- xx x ),( )(1-)( xxfxxfx xf , 0, xx可設(shè)可設(shè)),( )(1-)( xfxxxfxx f a x xa由迫斂性，得證。由迫斂性，得證。例例5 xxxsinlim0 xxxsinlim xxx1sinlim0 xxx1sinlim xxxsinlim0 xxxsinlim xxx1sin1lim0 xxx1sin1lim1,0,（o(1)O(

10、1)）0,1,0,不存在不存在,0.不存在不存在,例例6求求 2cos 2cos 2cos 2coslim 32nn解解 2sin 2cos2sin 2sin2cos 2cos2 222 2sin 2cos 2cos 2cos2 3323 2sin2cos 2cos 2cos 2cos2 n32nn 2sin2sinlim nnn 原式 2sin2 sinlim nnn . sin 設(shè)數(shù)集設(shè)數(shù)集S無上界無上界. 試證明試證明: 存在遞增數(shù)列存在遞增數(shù)列 ).( , nxSxnn使使例例7（P66.7）證明證明., 0MxSxMS 使使無上界，無上界，, 11111MxSxM 使使取取, 222

11、212MxSxxM 使使取取,1nnnnnMxSxnxM 使使取取).( , nxSxnn且且遞增遞增則則證畢。證畢。例例8解解計(jì)算計(jì)算112arctanlim )2( ,231lim )1(038 xxxxxx).sin1(sinlim )4(xxx ?？煽傻玫脴O極限限分分子子分分母母同同時(shí)時(shí)有有理理化化，2- )1(，1lim )3( xxxxx?？煽傻玫脴O極限限分分子子分分母母同同除除1, )3(x。極極限限再再將將分分母母有有理理化化，可可得得代代換換，用用等等價(jià)價(jià)無無窮窮小小4 2 arctan2 )2(xx. 0|21cos21sin2|lim xxxxx. |212|21cos2

12、1sin2| xxxxxx 21cos21sin2lim xxxxx 原式原式)sin1(sinlim )4(xxx 解解|11|xx )( 0 x，. 021cos21sin2lim xxxxx從而從而故原式故原式=0。解.1sinlim2 nn求求|1sin| 2 n由由例例9|sinsin1sin|2 nnn 和和差差化化積積|21sin21cos|222 nnnn |21sin|22 nn 2122nn nn 112. 01sinlim2 nn|sin|sin1sin|2 nnn 為為0解).1( )1ln()1ln(lim axbaxx求求變變形形原式原式)1ln()1(lnlimx

13、baaxxx 例例10)1ln()1ln(ln(limxbaaxxx )1ln()1ln(lim)1ln(limlnxbaxbxaxxx )0( 第二個(gè)重要極限第二個(gè)重要極限)00( .lnab 00)1ln(limln bxxxbab例例11時(shí)不是無窮大量。時(shí)不是無窮大量。但但上無界，上無界，在任意在任意證明證明0)0(1cos1)( xUxxxgo分析分析有界，即有界，即在某在某若若); 0()( oUxg.| )(|),; 0(, 0MxgUxMo 有有 但但有有只要只要取取),; 0(,21,2100 oUxnnx ,22cos2)(0 nnnxg .| )(|,20MxgMn 不可能

14、不可能而當(dāng)而當(dāng) 證明證明則則取取,21,2max, 0, 0 MnM .| )(|),; 0(2100MxgUnxo 且且則則 上無界。上無界。在任意在任意即即)0()(oUxg即即若若,)(lim0 xgx.| )(|),; 0(, 0, 0GxgUxGo 有有 例例11時(shí)不是無窮大量。時(shí)不是無窮大量。但但上無界，上無界，在任意在任意證明證明0)0(1cos1)( xUxxxgo但但足夠大，可使足夠大，可使只要只要取取),; 0(,2111 oUxnnx , 0)2cos()2()(1 nnxg矛盾！矛盾！不可能不可能 .| )(|1Gxg 時(shí)不是無窮大量。時(shí)不是無窮大量。在在即即0)(xxg或或,2/1, 0, 11 nxG取取取取,2/1 n只要只要),; 0(1 oUx 有有.10| )(|1Gxg 而而.)(lim0 xgx故故.| )(