河海大學理學院高等數(shù)學93三重積分

1、 高等數(shù)學（下）高等數(shù)學（下） 河海大學理學院河海大學理學院第三節(jié) 三重積分的計算 高等數(shù)學（高等數(shù)學（ 下）下）一、三重積分的定義4步步:劃分劃分,取點取點作乘積作乘積,求和求和,取極限取極限. 高等數(shù)學（高等數(shù)學（ 下）下）即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做體積元素叫做體積元素其中其中dv, 的的平平面面來來劃劃分分用用平平行行于于坐坐標標面面在在直直角角坐坐標標系系中中，如如果果.lkjizyxv 則則.積元素積元素叫做直角坐標系中的體叫做直角坐標系中的體其中其中dxdydzdxdydz 高等數(shù)學（高等數(shù)學（ 下）下）.,),(.,:則則三三重重積積分分存

2、存在在連連續(xù)續(xù)積積分分中中值值定定理理估估值值定定理理單單調調性性區(qū)區(qū)域域可可加加性性線線性性即即zyxf 高等數(shù)學（高等數(shù)學（ 下）下）直角坐標系中將三重積分化為三次累次積分直角坐標系中將三重積分化為三次累次積分二、三重積分的計算xyzo d1z2z2s1s),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如圖，如圖，,dxoy面面上上的的投投影影為為閉閉區(qū)區(qū)域域在在閉閉區(qū)區(qū)域域 ),(:),(:2211yxzzsyxzzs ,),(作作直直線線過過點點dyx 穿出穿出穿入，從穿入，從從從21zz方法一：穿線法方法一：穿線法或稱先一后二或稱先一后二 高等數(shù)學（高等

3、數(shù)學（ 下）下） dvzyxf),(注意注意于兩點情形于兩點情形相交不多相交不多的邊界曲面的邊界曲面直線與閉區(qū)域直線與閉區(qū)域內部的內部的軸且穿過閉區(qū)域軸且穿過閉區(qū)域這是平行于這是平行于sz .),(),(),(21xydyxzyxzdzzyxfdxdy1 高等數(shù)學（高等數(shù)學（ 下）下）解解由由 22222xzyxz, 得得交交線線投投影影區(qū)區(qū)域域, 122 yx.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxi 高等數(shù)學（高等數(shù)學（ 下）下）例例2 2 化化三三重重積積分分 dxdydzzyxfi),(為為三三 次次積積分分，其其中中 積積分分區(qū)區(qū)域域 為為由由曲曲面面22yxz

4、 , 2xy ,1 y, 0 z所所圍圍 成成的的空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域. 1101222),(yxxdzzyxfdydxi.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如圖，如圖， 高等數(shù)學（高等數(shù)學（ 下）下）fdxdydzzy,0| ),(22zyxhzzyx222yzyzhyhhfdxdzdyi 高等數(shù)學（高等數(shù)學（ 下）下）方法二：切片法方法二：切片法(截面法截面法)或稱先二后一或稱先二后一zdvzyxf),(（3）.),(21 ccdzdxdyzyxfdz 高等數(shù)學（高等數(shù)學（ 下）下）例例 4 4 計計算算三三重重積積分分 zdxdydz，其其中中 為為三三個個坐坐標標面面及及平平

5、面面1 zyx所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域.解解（一）（一）xozy111yxdzdzdxdyxy10原式dyyxdxx10102)1 (21241 . 高等數(shù)學（高等數(shù)學（ 下）下）解解（二）（二）xozy111 zdxdydz,10 zddxdyzdz1| ),(zyxyxdz )1)(1(21zzdxdyzd 原式原式 102)1(21dzzz241 .zd 高等數(shù)學（高等數(shù)學（ 下）下）例例 5 5 計算三重積分計算三重積分dxdydzz 2，其中，其中 是由是由 橢球面橢球面1222222 czbyax所成的空間閉區(qū)域所成的空間閉區(qū)域.: ,| ),(czczyx 1222222cz

6、byax 原原式式,2 zdccdxdydzzxyzozd解解 高等數(shù)學（高等數(shù)學（ 下）下）)1()1(222222czbczadxdyzd ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxdz 1222222czbyax 原式原式 高等數(shù)學（高等數(shù)學（ 下）下）dvyxzi22) 0(, 0,2, 02bbzzyyxx b0yy2x0:d22zdzdxdyyxi2 b020sin202zdzdrrd 高等數(shù)學（高等數(shù)學（ 下）下）三重積分的定義和計算三重積分的定義和計算在直角坐標系下的體積元素在直角坐標系下的體積元素dxdydzdv （計算時將三重積分化

7、為三次積分）（計算時將三重積分化為三次積分）三、小結 高等數(shù)學（高等數(shù)學（ 下）下）思考題思考題 為為六六個個平平面面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域，),(zyxf在在 上上連連續(xù)續(xù)，則則累累次次積積分分_ dvzyxf),(.(選擇題選擇題) 高等數(shù)學（高等數(shù)學（ 下）下）;),()(201222 xxdzzyxfdydxa;),()(202212 xxdzzyxfdydxb;),()(201222 xxdzzyxfdydxc.),()(202212 xxdzzyxfdydxd 高等數(shù)學（高等數(shù)學（ 下）下）例例 6 6 計計算算三三重重積積分分dxdydzxy 21，其其中中 由由曲曲面面221zxy ，122 zx，1 y所所圍圍成成.解解如圖如圖, ,將將 投影到投影到zox平面得平面得:xzd 122 zx, 高等數(shù)學（高等數(shù)學（ 下）下）dzzxxd